Математическое доказательство

Рассуждение о математических утверждениях

P. Oxy. 29 , один из старейших сохранившихся фрагментов « Начал » Евклида , учебника, который тысячелетиями использовался для обучения методам корректуры. Диаграмма прилагается к Книге II, Предложение 5. ^[1]

Математическое доказательство — это дедуктивный аргумент для математического утверждения , показывающий, что заявленные предположения логически гарантируют заключение. Аргумент может использовать другие ранее установленные утверждения, такие как теоремы ; но каждое доказательство может, в принципе, быть построено с использованием только определенных основных или исходных предположений, известных как аксиомы , ^{[2] [3] [4]} вместе с принятыми правилами вывода . Доказательства — это примеры исчерпывающих дедуктивных рассуждений , которые устанавливают логическую определенность, в отличие от эмпирических аргументов или неисчерпывающих индуктивных рассуждений , которые устанавливают «разумное ожидание». Представление множества случаев, в которых утверждение справедливо, недостаточно для доказательства, которое должно продемонстрировать, что утверждение истинно во всех возможных случаях. Предложение, которое не было доказано, но считается истинным, известно как предположение или гипотеза, если часто используется в качестве предположения для дальнейшей математической работы.

Доказательства используют логику, выраженную в математических символах, наряду с естественным языком , который обычно допускает некоторую двусмысленность. В большинстве математической литературы доказательства записываются в терминах строгой неформальной логики . Чисто формальные доказательства , написанные полностью на символическом языке без привлечения естественного языка, рассматриваются в теории доказательств . Различие между формальными и неформальными доказательствами привело к большому изучению текущей и исторической математической практики , квазиэмпиризма в математике и так называемой народной математики , устных традиций в основном математическом сообществе или в других культурах. Философия математики занимается ролью языка и логики в доказательствах, а также математикой как языком .

История и этимология

Слово «доказательство» происходит от латинского probare (проверять). Соответствующие современные слова — английские «probe», «probation» и «probability», испанское probar (нюхать или пробовать, а иногда и трогать или проверять), ^[5] итальянское provare (пытаться) и немецкое probieren (пытаться). Юридический термин «probity» означает авторитет или достоверность, силу показаний для доказательства фактов, когда они даны людьми с репутацией или статусом. ^[6]

Аргументы правдоподобия, использующие эвристические приемы, такие как изображения и аналогии, предшествовали строгому математическому доказательству. ^[7] Вероятно, что идея демонстрации вывода впервые возникла в связи с геометрией , которая возникла в практических проблемах измерения земли. ^[8] Развитие математического доказательства является в первую очередь продуктом древнегреческой математики и одним из ее величайших достижений. ^[9] Фалес (624–546 до н. э.) и Гиппократ Хиосский (ок. 470–410 до н. э.) дали некоторые из первых известных доказательств теорем в геометрии. Евдокс (408–355 до н. э.) и Теэтет (417–369 до н. э.) сформулировали теоремы, но не доказали их. Аристотель (384–322 до н. э.) сказал, что определения должны описывать определяемое понятие в терминах других уже известных понятий.

Математическое доказательство было революционизировано Евклидом (300 г. до н. э.), который ввел аксиоматический метод, используемый и по сей день. Он начинается с неопределенных терминов и аксиом , предложений, касающихся неопределенных терминов, которые предполагаются самоочевидно истинными (от греческого «axios», что-то достойное). На этой основе метод доказывает теоремы с помощью дедуктивной логики . Книгу Евклида « Начала » читал каждый, кто считался образованным на Западе, вплоть до середины 20-го века. ^[10] В дополнение к теоремам геометрии, таким как теорема Пифагора , «Начала» также охватывают теорию чисел , включая доказательство того, что квадратный корень из двух иррационален , и доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел .

Дальнейшие успехи также имели место в средневековой исламской математике . В 10 веке н. э. иракский математик Аль-Хашими работал с числами как таковыми, называемыми «линиями», но не обязательно рассматриваемыми как измерения геометрических объектов, чтобы доказать алгебраические предложения, касающиеся умножения, деления и т. д., включая существование иррациональных чисел . ^[11] Индуктивное доказательство для арифметических последовательностей было введено в Аль-Фахри (1000) Аль-Караджи , который использовал его для доказательства биномиальной теоремы и свойств треугольника Паскаля .

Современная теория доказательств рассматривает доказательства как индуктивно определенные структуры данных , не требуя предположения, что аксиомы являются «истинными» в каком-либо смысле. Это допускает параллельные математические теории как формальные модели данной интуитивной концепции, основанные на альтернативных наборах аксиом, например, аксиоматическая теория множеств и неевклидова геометрия .

Природа и цель

На практике доказательство выражается на естественном языке и представляет собой строгий аргумент , призванный убедить аудиторию в истинности утверждения. Стандарт строгости не является абсолютным и менялся на протяжении истории. Доказательство может быть представлено по-разному в зависимости от предполагаемой аудитории. Чтобы получить признание, доказательство должно соответствовать общим стандартам строгости; аргумент, считающийся неопределенным или неполным, может быть отклонен.

Понятие доказательства формализовано в области математической логики . ^[12] Формальное доказательство записывается на формальном языке вместо естественного языка. Формальное доказательство — это последовательность формул на формальном языке, начинающаяся с предположения, и каждая последующая формула является логическим следствием предыдущих. Это определение делает понятие доказательства поддающимся изучению. Действительно, область теории доказательств изучает формальные доказательства и их свойства, наиболее известным и удивительным из которых является то, что почти все аксиоматические системы могут генерировать определенные неразрешимые утверждения, которые не доказуемы в рамках системы.

Определение формального доказательства призвано охватить концепцию доказательств, как они написаны в практике математики. Обоснованность этого определения сводится к убеждению, что опубликованное доказательство может быть, в принципе, преобразовано в формальное доказательство. Однако, за пределами области автоматизированных помощников доказательства , это редко делается на практике. Классический вопрос в философии спрашивает, являются ли математические доказательства аналитическими или синтетическими . Кант , который ввел аналитическое-синтетическое различие , считал, что математические доказательства являются синтетическими, тогда как Куайн утверждал в своей работе 1951 года « Две догмы эмпиризма », что такое различие несостоятельно. ^[13]

Доказательствами можно восхищаться за их математическую красоту . Математик Пол Эрдёш был известен тем, что описывал доказательства, которые он находил особенно элегантными, как исходящие из «Книги», гипотетического тома, содержащего самые красивые методы доказательства каждой теоремы. Книга « Доказательства из КНИГИ » , опубликованная в 2003 году, посвящена представлению 32 доказательств, которые ее редакторы находят особенно приятными.

Методы доказательства

Прямое доказательство

При прямом доказательстве вывод устанавливается путем логического объединения аксиом, определений и более ранних теорем. ^[14] Например, прямое доказательство можно использовать для доказательства того, что сумма двух четных целых чисел всегда четна:

Рассмотрим два четных целых числа x и y . Поскольку они четные, их можно записать как x  = 2 a и y  = 2 b , соответственно, для некоторых целых чисел a и b . Тогда сумма будет x  +  y  = 2 a  + 2 b  = 2( a + b ). Поэтому x + y имеет 2 в качестве множителя и, по определению, является четным. Следовательно, сумма любых двух четных целых чисел является четной.

В этом доказательстве используются определение четных целых чисел, целочисленные свойства замыкания относительно сложения и умножения, а также свойство дистрибутивности .

Доказательство методом математической индукции

Несмотря на свое название, математическая индукция является методом дедукции , а не формой индуктивного рассуждения . В доказательстве методом математической индукции доказывается один «базовый случай» и доказывается «правило индукции», которое устанавливает, что любой произвольный случай влечет за собой следующий случай. Поскольку в принципе правило индукции может применяться многократно (начиная с доказанного базового случая), отсюда следует, что все (обычно бесконечно много) случаев доказуемы. ^[15] Это позволяет избежать необходимости доказывать каждый случай по отдельности. Вариантом математической индукции является доказательство методом бесконечного спуска , которое можно использовать, например, для доказательства иррациональности квадратного корня из двух .

Распространенным применением доказательства методом математической индукции является доказательство того, что свойство, известное как справедливое для одного числа, справедливо и для всех натуральных чисел : ^[16] Пусть N = {1, 2, 3, 4, ... } — множество натуральных чисел, а P ( n ) — математическое утверждение, включающее натуральное число n, принадлежащее N , такое, что

• (i) P (1) истинно, т. е. P ( n ) истинно для n = 1 .
• (ii) P ( n +1) истинно всякий раз, когда P ( n ) истинно, т. е. P ( n ) истинно, значит, P ( n +1) истинно.
• Тогда P ( n ) верно для всех натуральных чисел n .

Например, мы можем доказать по индукции, что все положительные целые числа вида 2 n  − 1 нечетны . Пусть P ( n ) представляет « 2 n  − 1 нечетно »:

(i) Для n = 1 , 2 n  − 1 = 2(1) − 1 = 1 , и 1 нечетно, так как при делении на 2 дает остаток 1. Таким образом, P (1) верно.

(ii) Для любого n , если 2 n  − 1 нечетно ( P ( n ) ), то (2 n  − 1) + 2 также должно быть нечетным, потому что добавление 2 к нечетному числу дает нечетное число. Но (2 n  − 1) + 2 = 2 n  + 1 = 2( n +1) − 1 , поэтому 2( n +1) − 1 нечетно ( P ( n +1) ). Поэтому P ( n ) влечет P ( n +1) .

Таким образом, 2 n  − 1 является нечетным для всех положительных целых чисел n .

Вместо «доказательства математической индукции» часто используется более короткая фраза «доказательство по индукции». ^[17]

Доказательство от противного

Доказательство от противного выводит утверждение «если p, то q » путём установления логически эквивалентного контрапозитивного утверждения : «если не q, то не p ».

Например, противопоставление можно использовать для установления того, что если целое число четно, то четно: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$

Предположим, что нечетно. Тогда нечетно. Произведение двух нечетных чисел нечетно, следовательно, нечетно. Таким образом, нечетно. Таким образом, если четно , предположение должно быть ложным, поэтому должно быть четным. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$

Доказательство от противного

В доказательстве от противного, также известном по латинской фразе reductio ad absurdum (сведение к абсурду), показано, что если некоторое утверждение предполагается истинным, возникает логическое противоречие , следовательно, утверждение должно быть ложным. Известный пример включает доказательство того, что является иррациональным числом : ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Предположим, что было рациональным числом. Тогда его можно записать в простейших терминах как, где a и b — ненулевые целые числа без общего множителя . Таким образом, . Возведение обеих сторон в квадрат дает 2 b ² = a ² . Поскольку выражение слева — целое число, кратное 2, правое выражение по определению делится на 2. То есть, a ² — четное число, что подразумевает, что a также должно быть четным, как видно из предложения выше (в #Доказательство от противного). Поэтому мы можем записать a = 2 c , где c также является целым числом. Подстановка в исходное уравнение дает 2 b ² = (2 c ) ² = 4 c ² . Разделив обе стороны на 2, получаем b ² = 2 c ² . Но тогда, по тому же аргументу, что и раньше, 2 делит b ² , поэтому b должно быть четным. Однако, если a и b оба четные, у них есть 2 в качестве общего множителя. Это противоречит нашему предыдущему утверждению, что a и b не имеют общего множителя, поэтому мы должны заключить, что — иррациональное число. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$ ${\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Перефразируя: если бы можно было записать в виде дроби , эту дробь никогда не удалось бы записать в простейших формах, поскольку 2 всегда можно было бы разложить на множители из числителя и знаменателя. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Доказательство построением

Доказательство по построению, или доказательство по примеру, — это построение конкретного примера со свойством, чтобы показать, что нечто, обладающее этим свойством, существует. Например, Жозеф Лиувилль доказал существование трансцендентных чисел , построив явный пример . Его также можно использовать для построения контрпримера , чтобы опровергнуть утверждение о том, что все элементы обладают определенным свойством.

Доказательство исчерпанием

В доказательстве исчерпанием вывод устанавливается путем деления его на конечное число случаев и доказательства каждого из них по отдельности. Число случаев иногда может быть очень большим. Например, первое доказательство теоремы о четырех красках было доказательством исчерпыванием с 1936 случаями. Это доказательство было спорным, потому что большинство случаев проверялось компьютерной программой, а не вручную. ^[18]

Замкнутая цепочка выводов

Замкнутая цепочка выводов показывает, что совокупность утверждений попарно эквивалентна.

Для того чтобы доказать, что каждое из утверждений попарно эквивалентно, приводятся доказательства для импликаций , , , и . ^{[19] [20]} ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle \varphi _{n-1}\Rightarrow \varphi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}\Rightarrow \varphi _{1}}$

Попарная эквивалентность утверждений тогда вытекает из транзитивности материального условного предложения .

Вероятностное доказательство

Вероятностное доказательство — это доказательство, в котором с уверенностью показано существование примера с использованием методов теории вероятностей . Вероятностное доказательство, как и доказательство построением, является одним из многих способов доказательства теорем существования .

В вероятностном методе ищут объект, обладающий заданным свойством, начиная с большого набора кандидатов. Каждому кандидату назначают определенную вероятность выбора, а затем доказывают, что существует ненулевая вероятность того, что выбранный кандидат будет обладать желаемым свойством. Это не определяет, какие кандидаты обладают свойством, но вероятность не может быть положительной без хотя бы одного.

Вероятностное доказательство не следует путать с аргументом о том, что теорема «вероятно» истинна, «аргументом правдоподобия». Работа над гипотезой Коллатца показывает, насколько правдоподобие далеко от подлинного доказательства, как и опровержение гипотезы Мертенса . Хотя большинство математиков не считают, что вероятностное доказательство свойств данного объекта считается подлинным математическим доказательством, некоторые математики и философы утверждают, что по крайней мере некоторые типы вероятностных доказательств (например, вероятностный алгоритм Рабина для проверки простоты ) так же хороши, как и подлинные математические доказательства. ^{[21] [22]}

Комбинаторное доказательство

Комбинаторное доказательство устанавливает эквивалентность различных выражений, показывая, что они подсчитывают один и тот же объект по-разному. Часто биекция между двумя множествами используется для того, чтобы показать, что выражения для их двух размеров равны. В качестве альтернативы аргумент двойного подсчета предоставляет два различных выражения для размера одного множества, снова показывая, что два выражения равны.

Неконструктивное доказательство

Неконструктивное доказательство устанавливает, что существует математический объект с определенным свойством — без объяснения того, как такой объект может быть найден. Часто это принимает форму доказательства от противного, в котором несуществование объекта доказывается невозможным. Напротив, конструктивное доказательство устанавливает, что существует определенный объект, предоставляя метод его нахождения. Следующий известный пример неконструктивного доказательства показывает, что существуют два иррациональных числа a и b, такие что — рациональное число . Это доказательство использует то, что является иррациональным (легкое доказательство известно со времен Евклида ), но не то, что является иррациональным (это верно, но доказательство не является элементарным). ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

Либо является рациональным числом, и мы закончили (берем ), либо является иррациональным, поэтому мы можем записать и . Это тогда дает , которое, таким образом, является рациональным числом вида ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle a=b={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$ ${\displaystyle a^{b}.}$

Статистические доказательства в чистой математике

Выражение «статистическое доказательство» может использоваться в техническом или разговорном смысле в областях чистой математики , таких как криптография , хаотические ряды и вероятностная теория чисел или аналитическая теория чисел . ^{[23] [24] [25]} Реже оно используется для обозначения математического доказательства в разделе математики, известном как математическая статистика . См. также раздел «Статистическое доказательство с использованием данных» ниже.

Компьютерные доказательства

До двадцатого века предполагалось, что любое доказательство, в принципе, может быть проверено компетентным математиком для подтверждения его обоснованности. ^[7] Однако теперь компьютеры используются как для доказательства теорем, так и для выполнения вычислений, которые слишком длинны для проверки любым человеком или группой людей; первое доказательство теоремы о четырех красках является примером доказательства с помощью компьютера. Некоторые математики обеспокоены тем, что возможность ошибки в компьютерной программе или ошибки времени выполнения в ее вычислениях ставит под сомнение обоснованность таких доказательств с помощью компьютера. На практике вероятность ошибки, делающей доказательство с помощью компьютера недействительным, можно уменьшить, включив избыточность и самопроверки в вычисления, а также разработав несколько независимых подходов и программ. Ошибки никогда не могут быть полностью исключены и в случае проверки доказательства людьми, особенно если доказательство содержит естественный язык и требует глубокого математического понимания для выявления потенциальных скрытых предположений и заблуждений.

Неразрешимые утверждения

Утверждение, которое не является ни доказуемым, ни опровергаемым из набора аксиом , называется неразрешимым (из этих аксиом). Одним из примеров является постулат о параллельных линиях , который не является ни доказуемым, ни опровергаемым из оставшихся аксиом евклидовой геометрии .

Математики показали, что существует множество утверждений, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть в теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), стандартной системе теории множеств в математике (предполагая, что ZFC непротиворечива); см. Список утверждений, неразрешимых в ZFC .

Первая теорема Гёделя о неполноте показывает, что многие системы аксиом, представляющие математический интерес, будут содержать неразрешимые утверждения.

Эвристическая математика и экспериментальная математика

В то время как ранние математики, такие как Евдокс Книдский, не использовали доказательства, от Евклида до фундаментальных математических разработок конца 19-го и 20-го веков доказательства были неотъемлемой частью математики. ^[26] С ростом вычислительной мощности в 1960-х годах началась значительная работа по исследованию математических объектов за пределами рамок теорем-доказательств, ^[27] в экспериментальной математике . Ранние пионеры этих методов намеревались в конечном итоге разрешить работу в классическую рамку теорем-доказательств, например, раннее развитие фрактальной геометрии , ^[28] которая в конечном итоге была разрешена таким образом.

Связанные концепции

Визуальное доказательство

Хотя это и не формальное доказательство, визуальная демонстрация математической теоремы иногда называется « доказательством без слов ». Левая картинка ниже — пример исторического визуального доказательства теоремы Пифагора в случае треугольника (3,4,5) .

• 
  Визуальное доказательство треугольника (3,4,5) в « Чжоуби Суаньцзине» 500–200 гг. до н.э.
• 
  Анимированное наглядное доказательство теоремы Пифагора путем перестановки.
• 
  Второе анимированное доказательство теоремы Пифагора.

Некоторые иллюзорные визуальные доказательства, такие как головоломка с отсутствующим квадратом , могут быть построены таким образом, чтобы казалось, что они доказывают предполагаемый математический факт, но это происходит только за счет игнорирования крошечных ошибок (например, предположительно прямых линий, которые на самом деле слегка изгибаются), которые незаметны, пока вся картина не будет тщательно исследована, с точно измеренными или рассчитанными длинами и углами.

Элементарное доказательство

Элементарное доказательство — это доказательство, которое использует только базовые методы. Более конкретно, этот термин используется в теории чисел для обозначения доказательств, которые не используют комплексный анализ . Некоторое время считалось, что некоторые теоремы, такие как теорема о простых числах , могут быть доказаны только с использованием «высшей» математики. Однако со временем многие из этих результатов были передоказаны с использованием только элементарных методов.

Проверка в две колонки

Двухколоночное доказательство, опубликованное в 1913 году

Особый способ организации доказательства с использованием двух параллельных столбцов часто используется в качестве математического упражнения на уроках элементарной геометрии в Соединенных Штатах. ^[29] Доказательство записывается в виде ряда строк в двух столбцах. В каждой строке левый столбец содержит предложение, а правый столбец содержит краткое объяснение того, как соответствующее предложение в левом столбце является либо аксиомой, либо гипотезой, либо может быть логически выведено из предыдущих предложений. Левый столбец обычно озаглавлен «Утверждения», а правый столбец обычно озаглавлен «Причины». ^[30]

Разговорное использование термина «математическое доказательство»

Выражение «математическое доказательство» используется неспециалистами для обозначения использования математических методов или спора с математическими объектами , такими как числа, для демонстрации чего-либо о повседневной жизни, или когда данные, используемые в аргументе, являются числовыми. Иногда его также используют для обозначения «статистического доказательства» (ниже), особенно когда используют для аргументации на основе данных.

Статистическое доказательство с использованием данных

«Статистическое доказательство» из данных относится к применению статистики, анализа данных или байесовского анализа для вывода предложений относительно вероятности данных. При использовании математического доказательства для установления теорем в статистике, оно обычно не является математическим доказательством, поскольку предположения , из которых выводятся утверждения о вероятности, требуют для проверки эмпирических доказательств извне математики. В физике, в дополнение к статистическим методам, «статистическое доказательство» может относиться к специализированным математическим методам физики, применяемым для анализа данных в эксперименте по физике элементарных частиц или наблюдательном исследовании в физической космологии . «Статистическое доказательство» может также относиться к необработанным данным или убедительной диаграмме, включающей данные, такой как диаграммы рассеяния , когда данные или диаграмма достаточно убедительны без дальнейшего анализа.

Доказательства индуктивной логики и байесовский анализ

Доказательства, использующие индуктивную логику , хотя и считаются математическими по своей природе, стремятся установить предложения с определенной степенью достоверности, которая действует аналогично вероятности , и может быть меньше полной достоверности . Индуктивную логику не следует путать с математической индукцией .

Байесовский анализ использует теорему Байеса для обновления оценки человеком вероятности гипотез при получении новых доказательств или информации.

Доказательства как ментальные объекты

Психологизм рассматривает математические доказательства как психологические или ментальные объекты. Математические философы, такие как Лейбниц , Фреге и Карнап, по-разному критиковали эту точку зрения и пытались разработать семантику для того, что они считали языком мысли , посредством которого стандарты математических доказательств могли бы применяться к эмпирической науке .

Влияние математических методов доказательства за пределами математики

Философы-математики, такие как Спиноза, пытались сформулировать философские аргументы в аксиоматической манере, посредством чего стандарты математических доказательств могли быть применены к аргументации в общей философии. Другие математики-философы пытались использовать стандарты математических доказательств и разума, без эмпиризма, чтобы прийти к утверждениям вне математики, но имея уверенность предложений , выведенных в математическом доказательстве, например, аргумент cogito Декарта .

Окончание доказательства

Иногда сокращение «QED» пишется для обозначения конца доказательства. Это сокращение означает «quod erat demonstrandum» , что на латыни означает «то, что должно было быть продемонстрировано» . Более распространенной альтернативой является использование квадрата или прямоугольника, например □ или ∎, ​​известного как « надгробный камень » или «halmos» по имени его эпонима Пола Халмоса . Часто «то, что должно было быть показано» устно указывается при написании «QED», «□» или «∎» во время устной презентации. Unicode явно предоставляет символ «конца доказательства», U+220E (∎) (220E(hex) = 8718(dec)) .

Смотрите также

• Философский портал
• Математический портал

• Автоматизированное доказательство теорем
• Недействительное доказательство
• Список неполных доказательств
• Список длинных доказательств
• Список математических доказательств
• Неконструктивное доказательство
• Доказательство путем запугивания
• Анализ прекращения
• Мысленный эксперимент
• Что Черепаха Сказала Ахиллесу
• Доказательство с нулевым разглашением

Ссылки

1. Билл Кассельман . «Одна из старейших сохранившихся диаграмм Евклида». Университет Британской Колумбии . Получено 26 сентября 2008 г.
2. Клэпхэм, К. и Николсон, Дж. Н. Краткий Оксфордский словарь математики, четвертое издание . Утверждение, истинность которого либо следует считать самоочевидной, либо предполагать. Определенные области математики включают выбор набора аксиом и обнаружение того, какие результаты можно из них вывести, предоставляя доказательства для полученных теорем.
3. Купиллари, Антонелла (2005) [2001]. Основы доказательств: Введение в математические доказательства (третье изд.). Academic Press . стр. 3. ISBN 978-0-12-088509-1.
4. Госсетт, Эрик (июль 2009). Дискретная математика с доказательством . John Wiley & Sons . стр. 86. ISBN 978-0470457931. Определение 3.1. Доказательство: неформальное определение
5. «proof» Новый краткий Оксфордский словарь английского языка, 1993, OUP, Оксфорд.
6. Хакинг, Ян (1984) [1975]. Возникновение вероятности: философское исследование ранних идей о вероятности, индукции и статистическом выводе . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-31803-7.
7. История и концепция математического доказательства, Стивен Г. Кранц. 1. 5 февраля 2007 г.
8. Книл, Уильям ; Книл, Марта (май 1985) [1962]. Развитие логики (Новое издание). Oxford University Press . стр. 3. ISBN 978-0-19-824773-9.
9. Moutsios-Rentzos, Andreas; Spyrou, Panagiotis (февраль 2015 г.). "The Genesis of proof in Ancient Greece The pedagogical implications of a Husserlian reading". Архив открыт HAL . Получено 20 октября 2019 г.
10. Ивс, Говард У. (январь 1990) [1962]. Введение в историю математики (серия Saunders) (6-е изд.). Brooks/Cole . стр. 141. ISBN 978-0030295584. Ни одно произведение, за исключением Библии, не использовалось столь широко...
11. Матвиевская, Галина (1987), «Теория квадратичных иррациональностей в средневековой восточной математике», Annals of the New York Academy of Sciences , 500 (1): 253–77 [260], Bibcode : 1987NYASA.500..253M, doi : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x, S2CID  121416910
12. Басс, Сэмюэл Р. (1998), «Введение в теорию доказательств», в Басс, Сэмюэл Р. (ред.), Справочник по теории доказательств , Исследования по логике и основаниям математики, т. 137, Elsevier, стр. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6. См. в частности стр. 3: «Изучение теории доказательств традиционно мотивируется проблемой формализации математических доказательств; первоначальная формулировка логики первого порядка Фреге [1879] была первым успешным шагом в этом направлении».
13. Куайн, Уиллард Ван Орман (1961). «Два догмы эмпиризма» (PDF) . Университет Цюриха – Теологический факультет . п. 12 . Проверено 20 октября 2019 г.
14. Купиллари, стр. 20.
15. Купиллари, стр. 46.
16. Примеры простых доказательств методом математической индукции для всех натуральных чисел
17. Доказательство по индукции. Архивировано 18 февраля 2012 г. в Wayback Machine , Глоссарий математических терминов Уорикского университета.
18. См . Теорема о четырех красках#Упрощение и проверка .
19. Плауэ, Матиас; Шерфнер, Майк (11 февраля 2019 г.). Mathematik für das Bachelorstudium I: Grundlagen und Grundzüge der Linearen Algebra und Analysis [ Математика для степени бакалавра I: Основы и основы линейной алгебры и анализа ] (на немецком языке). Спрингер-Верлаг. п. 26. ISBN 978-3-662-58352-4.
20. Штрукманн, Вернер; Вятен, Дитмар (20 октября 2016 г.). Mathematik für Informatiker: Grundlagen und Anwendungen [ Математика для компьютерщиков: основы и приложения ] (на немецком языке). Спрингер-Верлаг. п. 28. ISBN 978-3-662-49870-5.
21. Дэвис, Филип Дж. (1972), «Верность в математическом дискурсе: один и один действительно два?» American Mathematical Monthly 79:252–63.
22. Фэллис, Дон (1997), «Эпистемический статус вероятностного доказательства». Журнал философии 94:165–86.
23. "в теории чисел и коммутативной алгебре... в частности статистическое доказательство леммы". [1]
24. "Является ли константа π (т.е. пи) нормальной — запутанная проблема без какой-либо строгой теоретической демонстрации, за исключением некоторого статистического доказательства"" (Уничижительное использование.)[2]
25. "Эти наблюдения предполагают статистическое доказательство гипотезы Гольдбаха с очень быстро исчезающей вероятностью неудачи при больших E" [3]
26. Мамфорд, Дэвид Б. ; Серия, Кэролайн ; Райт, Дэвид (2002). Жемчуг Индры: Видение Феликса Кляйна . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-35253-6. Что делать с картинками? Возникли две мысли: первая заключалась в том, что их нельзя было публиковать стандартным способом, не было никаких теорем, только очень наводящие на размышления картинки. Они давали убедительные доказательства для многих догадок и соблазняли к дальнейшему исследованию, но теоремы были монетами королевства, и условности того времени диктовали, что журналы публиковали только теоремы.
27. "Заметка об истории фракталов". Архивировано из оригинала 15 февраля 2009 г. Мандельброт, работая в исследовательской лаборатории IBM, провел несколько компьютерных симуляций для этих множеств, разумно предположив, что если вы хотите что-то доказать, может быть полезно знать ответ заранее.
28. Лесмуар-Гордон, Найджел (2000). Введение во фрактальную геометрию . Icon Books . ISBN 978-1-84046-123-7. ...снова вернули Бенуа [Мандельброту] мысль о том, что существует «математика глаза», что визуализация проблемы является таким же действенным методом, как и любой другой для поиска решения. Удивительно, но он оказался один на один с этой гипотезой. Преподавание математики во Франции находилось под контролем горстки догматичных математиков, скрывавшихся за псевдонимом «Бурбаки»...
29. Хербст, Патрисио Г. (2002). «Установление обычая доказательства в американской школьной геометрии: эволюция доказательства в двух столбцах в начале двадцатого века» (PDF) . Образовательные исследования в области математики . 49 (3): 283–312. doi :10.1023/A:1020264906740. hdl : 2027.42/42653 . S2CID  23084607.
30. Доктор Фишер Бернс. «Введение в доказательство двух столбцов». onemathematicalcat.org . Получено 15 октября 2009 г.

Дальнейшее чтение

• Полиа, Г. (1954), Математика и правдоподобное рассуждение , Princeton University Press, hdl : 2027/mdp.39015008206248 , ISBN 9780691080055.
• Фэллис, Дон (2002), «Чего хотят математики? Вероятностные доказательства и эпистемические цели математиков», Logique et Analyse , 45 : 373–88.
• Франклин, Дж.; Дауд, А. (2011), Доказательство в математике: Введение, Kew Books, ISBN 978-0-646-54509-7.
• Голд, Бонни ; Саймонс, Роджерс А. (2008). Доказательство и другие дилеммы: математика и философия . MAA.
• Солоу, Д. (2004), Как читать и делать доказательства: Введение в математические мыслительные процессы , Wiley , ISBN 978-0-471-68058-1.
• Веллеман, Д. (2006), Как это доказать: структурированный подход , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-67599-4.
• Хаммак, Ричард (2018), Книга доказательств, Ричард Хаммак, ISBN 978-0-9894721-3-5.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с математическим доказательством на Wikimedia Commons
• Доказательства в математике: простые, очаровательные и ошибочные
• Урок о доказательствах в курсе Викиверситета