Групповая задержка и фазовая задержка

Задержки, возникающие в линейной системе, не зависящей от времени

В обработке сигналов групповая задержка и фазовая задержка — это два связанных способа описания того, как частотные компоненты сигнала задерживаются во времени при прохождении через линейную инвариантную во времени (LTI) систему (такую ​​как микрофон , коаксиальный кабель , усилитель , громкоговоритель , систему связи , кабель Ethernet , цифровой фильтр или аналоговый фильтр ). Фазовая задержка описывает временной сдвиг синусоидальной составляющей (синусоидальной волны в установившемся состоянии ). Групповая задержка описывает временной сдвиг огибающей волнового пакета , «стакана» или «группы» колебаний, сосредоточенных вокруг одной частоты, которые движутся вместе, образованных, например, путем умножения ( амплитудной модуляции ) синусоидальной волны на огибающую (такую ​​как сужающаяся функция ).

Эти задержки обычно зависят от частоты , ^{[1] что означает, что различные частотные компоненты испытывают различные задержки. В результате} форма сигнала испытывает искажение при прохождении через систему. Это искажение может вызвать такие проблемы, как плохая точность аналогового видео и аналогового аудио или высокий уровень битовых ошибок в цифровом битовом потоке. Однако для идеального случая постоянной групповой задержки во всем диапазоне частот сигнала с ограниченной полосой пропускания и плоской частотной характеристики форма сигнала не будет испытывать искажений.

Фон

Частотные составляющие сигнала

Анализ Фурье показывает, как сигналы во времени могут быть альтернативно выражены в виде суммы синусоидальных частотных компонентов , каждый из которых основан на тригонометрической функции с фиксированной амплитудой и фазой и не имеет начала и конца. ${\displaystyle \sin(x)}$

Линейные системы, не зависящие от времени, обрабатывают каждую синусоидальную составляющую независимо; свойство линейности означает, что они удовлетворяют принципу суперпозиции .

Введение

Свойства групповой задержки и фазовой задержки линейной системы с постоянной временем (LTI) являются функциями частоты, определяющими время от момента, когда частотная составляющая изменяющейся во времени физической величины (например, сигнала напряжения) появляется на входе системы LTI, до момента, когда копия этой же частотной составляющей (возможно, другого физического явления) появляется на выходе системы LTI.

Изменение фазовой характеристики в зависимости от частоты, из которой можно рассчитать групповую задержку и фазовую задержку, обычно происходит в таких устройствах, как микрофоны, усилители, громкоговорители, магнитные записывающие устройства, наушники, коаксиальные кабели и фильтры сглаживания. ^[2] Все частотные компоненты сигнала задерживаются при прохождении через такие устройства или при распространении в пространстве или среде, например, в воздухе или воде.

В то время как фазовый отклик описывает сдвиг фазы в угловых единицах (например, градусах или радианах ), задержка фазы измеряется в единицах времени и равна отрицательному сдвигу фазы на каждой частоте, деленному на значение этой частоты. Групповая задержка — это отрицательная производная сдвига фазы по частоте.

Фазовая задержка

Линейная система или устройство, инвариантная во времени, имеет свойство фазовой реакции и свойство фазовой задержки, причем одно можно точно рассчитать из другого. Фазовая задержка напрямую измеряет временную задержку устройства или системы отдельных синусоидальных частотных компонентов в установившемся состоянии . ^[3] Если функция фазовой задержки на любой заданной частоте — в пределах интересующего частотного диапазона — имеет одинаковую константу пропорциональности между фазой на выбранной частоте и самой выбранной частотой, система/устройство будет иметь идеальную линейную фазу , что приводит к постоянной групповой задержке. ^[1] Поскольку фазовая задержка является функцией частоты, дающей временную задержку, отклонение от плоскостности ее графика функции может выявить различия во временной задержке между различными частотными компонентами сигнала, и в этом случае эти различия будут способствовать искажению сигнала, что проявляется в том, что форма выходного сигнала отличается от формы входного сигнала.

Групповая задержка

В то время как фазовая задержка описывает реакцию системы на синусоидальные компоненты устойчивого состояния, групповая задержка описывает реакцию на амплитудно-модулированные синусоиды.

Групповая задержка является удобной мерой линейности фазы относительно частоты в системе модуляции. ^{[4] [5]} Для сигнала модуляции (сигнала полосы пропускания) информация, переносимая сигналом, переносится исключительно в огибающей волны . Таким образом, групповая задержка работает только с частотными компонентами, полученными из огибающей.

Базовая система модуляции

Рисунок 1: Внешние и внутренние устройства LTI

Групповую задержку устройства можно точно рассчитать на основе его фазовой характеристики, но не наоборот.

Простейший вариант использования групповой задержки проиллюстрирован на рисунке 1, где показана концептуальная система модуляции , которая сама по себе является системой LTI с выходом основной полосы, который в идеале является точной копией входного сигнала основной полосы. Эта система в целом упоминается здесь как внешняя система/устройство LTI, которая содержит внутреннюю (красный блок) систему/устройство LTI. Как это часто бывает в радиосистеме, внутренняя красная система LTI на рисунке 1 может представлять две системы LTI в каскаде, например, усилитель, управляющий передающей антенной на передающем конце, а другой - антенной и усилителем на приемном конце.

Амплитудная модуляция

Амплитудная модуляция создает сигнал полосы пропускания путем смещения компонентов базовой полосы в гораздо более высокий диапазон частот. Хотя частоты различаются, сигнал полосы пропускания несет ту же информацию, что и сигнал базовой полосы. Демодулятор делает обратное, сдвигая частоты полосы пропускания обратно в исходный диапазон частот базовой полосы. В идеале выходной (базовый) сигнал представляет собой задержанную по времени версию входного (базового) сигнала, где форма выходной волны идентична форме входной волны.

На рисунке 1 фазовая задержка внешней системы является значимой метрикой производительности. Для амплитудной модуляции групповая задержка внутреннего красного устройства LTI становится фазовой задержкой внешнего устройства LTI . Если групповая задержка внутреннего красного устройства полностью плоская в интересующем диапазоне частот, внешнее устройство будет иметь идеальную фазовую задержку, которая также полностью плоская, где вклад искажения из-за фазовой характеристики внешнего устройства LTI — определяемый полностью возможной другой фазовой характеристикой внутреннего устройства — устраняется. В этом случае групповая задержка внутреннего красного устройства и фазовая задержка внешнего устройства дают одинаковую величину временной задержки для сигнала в целом, от входа основной полосы частот до выхода основной полосы частот. Важно отметить, что внутреннее (красное) устройство может иметь очень неплоскую фазовую задержку (но плоскую групповую задержку), в то время как внешнее устройство имеет идеальную идеально плоскую фазовую задержку. Это удачно, потому что в конструкции устройства LTI плоскую групповую задержку легче достичь, чем плоскую фазовую задержку.

Угловая модуляция

В системе угловой модуляции, например, с частотной модуляцией (ЧМ) или фазовой модуляцией (ФМ), сигнал полосы пропускания (ЧМ или ФМ), подаваемый на вход системы LTI, может быть проанализирован как два отдельных сигнала полосы пропускания, синфазный (I) сигнал полосы пропускания амплитудной модуляции АМ и квадратурно-фазовый (Q) сигнал полосы пропускания амплитудной модуляции АМ, где их сумма точно восстанавливает исходный сигнал полосы пропускания угловой модуляции (ЧМ или ФМ). В то время как сигнал полосы пропускания (ЧМ/ФМ) не является амплитудной модуляцией и, следовательно, не имеет видимой внешней огибающей, сигналы полосы пропускания I и Q действительно имеют огибающие амплитудной модуляции. (Однако, в отличие от обычной амплитудной модуляции, огибающие I и Q не напоминают форму волны сигналов основной полосы частот, хотя 100 процентов сигнала основной полосы частот представлены сложным образом их огибающими.) Таким образом, для каждого из сигналов полосы пропускания I и Q плоская групповая задержка гарантирует, что ни огибающая полосы пропускания I, ни огибающая полосы пропускания Q не будут иметь искажений формы волны, поэтому, когда сигнал полосы пропускания I и сигнал полосы пропускания Q складываются вместе, сумма представляет собой исходный сигнал полосы пропускания FM/PM, который также останется неизменным.

Теория

Согласно теории систем LTI (используемой в теории управления и цифровой или аналоговой обработке сигналов ), выходной сигнал системы LTI может быть определен путем свертки импульсного отклика во временной области системы LTI с входным сигналом . Линейная система, инвариантная во времени § преобразования Фурье и Лапласа выражает эту связь как: ${\displaystyle \displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$

${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )\,x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\,X(s)\}\,,}$

где обозначает операцию свертки, и — преобразования Лапласа входного и импульсного отклика , соответственно, s — комплексная частота , а — обратное преобразование Лапласа. называется передаточной функцией системы LTI и, как и импульсный отклик , полностью определяет входные-выходные характеристики системы LTI. Эту свертку можно оценить с помощью интегрального выражения во временной области или (согласно самому правому выражению) с помощью умножения в области Лапласа и последующего применения обратного преобразования для возврата во временную область. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \displaystyle X(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$ ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$

Реакция системы LTI на волновой пакет

Предположим, что такая система управляется волновым пакетом, образованным синусоидой , умноженной на огибающую амплитуды , тогда входной сигнал можно выразить в следующей форме: ${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)>0}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=A_{\text{env}}(t)\cos(\omega t+\theta )\,.}$

Также предположим, что огибающая медленно меняется относительно частоты синусоиды . Это условие можно выразить математически как: ${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$

${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\log {\big (}A_{\text{env}}(t){\big )}\right|\ll \omega \ .}$

Применение предыдущего уравнения свертки показало бы, что выход такой системы LTI очень хорошо аппроксимируется ^{[ необходимо разъяснение ]} следующим образом:

${\displaystyle y(t)={\big |}H(i\omega ){\big |}\ A_{\text{env}}(t-\tau _{g})\cos {\big (}\omega (t-\tau _{\phi })+\theta {\big )}\;.}$

Здесь — групповая задержка, а — фазовая задержка, и они задаются выражениями ниже (и потенциально являются функциями угловой частоты ). Фаза синусоиды, как указано в положениях нулевых переходов, задерживается во времени на величину, равную фазовой задержке, . Огибающая синусоиды задерживается во времени на групповую задержку, . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$

Математическое определение групповой задержки и фазовой задержки

Групповая задержка , , и фазовая задержка , , (потенциально) зависят от частоты ^[6] и могут быть вычислены из развернутого фазового сдвига . Фазовая задержка на каждой частоте равна отрицательному значению фазового сдвига на этой частоте, деленному на значение этой частоты: ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \phi (\omega )}$

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\,.}$

Групповая задержка на каждой частоте равна отрицательному значению наклона ( т.е. производной по частоте) фазы на этой частоте: ^[7]

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\,.}$

В линейной фазовой системе (с неинвертирующим усилением) оба являются постоянными (т.е. не зависят от ) и равны, а их общее значение равно общей задержке системы; а развернутый фазовый сдвиг системы (а именно ) отрицателен, причем величина линейно увеличивается с частотой . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \displaystyle -\omega \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$

Реакция системы LTI на сложную синусоиду

В более общем плане можно показать, что для системы LTI с передаточной функцией, управляемой комплексной синусоидой единичной амплитуды, ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$

${\displaystyle x(t)=e^{i\omega t}\ }$

выходной сигнал

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=H(i\omega )\ e^{i\omega t}\ \\&=\left({\big |}H(i\omega ){\big |}e^{i\phi (\omega )}\right)\ e^{i\omega t}\ \\&={\big |}H(i\omega ){\big |}\ e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}\ \\\end{aligned}}\ }$

где сдвиг фаз равен ${\displaystyle \displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \arg \left\{H(i\omega )\right\}\;.}$

Пример RC-фильтра нижних или верхних частот 1-го порядка

Фаза фильтра нижних частот 1-го порядка , образованного RC-цепью с частотой среза, равна: ^[8] ${\displaystyle \omega _{o}{=}{\frac {1}{RC}}}$

$${\displaystyle \phi (\omega )=-\arctan({\frac {\omega }{\omega _{o}}})\,.}$$

Аналогично, фаза для RC -фильтра верхних частот 1-го порядка равна:

$${\displaystyle \phi (\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arctan({\frac {\omega }{\omega _{o}}})\,.}$$

Взятие отрицательной производной по для этого фильтра нижних или верхних частот дает одинаковую групповую задержку: ^[9] ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega )&={\frac {\omega _{o}}{\omega ^{2}+\omega _{o}^{2}}}\,.\\\end{aligned}}}$$

Для частот, значительно меньших частоты среза, фазовая характеристика приблизительно линейна (арктангенс для малых входов можно аппроксимировать линией), поэтому групповая задержка упрощается до постоянного значения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega \ll \omega _{o})&\approx {\frac {1}{\omega _{o}}}=RC\,.\\\end{aligned}}}$$

Аналогично, прямо на частоте среза, ${\displaystyle \tau _{g}(\omega {=}\omega _{o})={\frac {1}{2\omega _{o}}}={\frac {RC}{2}}\,.}$

По мере того как частоты становятся еще больше, групповая задержка уменьшается обратно пропорционально квадрату частоты и приближается к нулю по мере того, как частота стремится к бесконечности.

Отрицательная групповая задержка

• Рисунок 2: Схема фильтра с отрицательной групповой задержкой
• Схема с отрицательной групповой задержкой = −RC = −1 мс для частот намного ниже 1 ⁄ RC = 1 кГц . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$
• 
  Моделирование переменного тока LTspice от 1 Гц ( ≅ −1 мс ) до 10 кГц ( ≅ 0 мс ). ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$
• 
  Переходное моделирование входной (зеленой) волны, выходная (красная) которой опережает на 1 мс , но с нестабильностью при включении и выключении входного сигнала.

Фильтры будут иметь отрицательную групповую задержку в диапазонах частот, где его фазовая характеристика имеет положительный наклон. Если сигнал ограничен полосой в пределах некоторой максимальной частоты B, то он предсказуем в небольшой степени (в пределах периодов времени, меньших 1 ⁄ B ). Фильтр, групповая задержка которого отрицательна во всем диапазоне частот этого сигнала, способен использовать предсказуемость сигнала для создания иллюзии некаузального опережения во времени. Однако, если сигнал содержит непредсказуемое событие (такое как резкое изменение, которое заставляет спектр сигнала превышать его предельную полосу), то иллюзия разрушается. ^[10] Схемы с отрицательной групповой задержкой (например, рисунок 2) возможны, хотя причинность не нарушается. ^[11]

Фильтры с отрицательной групповой задержкой могут быть сделаны как в цифровой, так и в аналоговой области. Приложения включают компенсацию внутренней задержки фильтров нижних частот, для создания фильтров нулевой фазы , которые могут быть использованы для быстрого обнаружения изменений в тенденциях данных датчиков или цен на акции. ^[12]

Групповая задержка звука

Групповая задержка имеет некоторое значение в области аудио и особенно в области воспроизведения звука. ^{[13] [14]} Многие компоненты цепи воспроизведения звука, особенно громкоговорители и многополосные кроссоверные сети громкоговорителей , вносят групповую задержку в звуковой сигнал. ^{[2] [14]} Поэтому важно знать порог слышимости групповой задержки по отношению к частоте, ^{[15] [16] [17]} особенно если предполагается, что звуковая цепь должна обеспечивать воспроизведение с высокой точностью . Лучшая таблица порогов слышимости была предоставлена ​​Блауэртом и Лоусом. ^[18]

Фланаган, Мур и Стоун пришли к выводу, что на частотах 1, 2 и 4 кГц групповая задержка около 1,6 мс слышна в наушниках в условиях отсутствия реверберации. ^[19] Другие экспериментальные результаты показывают, что когда групповая задержка в диапазоне частот от 300 Гц до 1 кГц составляет менее 1,0 мс, она неслышима. ^[16]

Форма волны любого сигнала может быть точно воспроизведена системой, которая имеет плоскую частотную характеристику и групповую задержку по всей полосе пропускания сигнала. Лич ^[20] ввел концепцию дифференциального искажения временной задержки, определяемого как разница между фазовой задержкой и групповой задержкой:

${\displaystyle \Delta \tau =\tau _{\phi }-\tau _{g}}$.

Идеальная система должна демонстрировать нулевое или пренебрежимо малое искажение дифференциальной задержки времени. ^[20]

Можно использовать методы цифровой обработки сигнала для исправления искажений групповой задержки, возникающих из-за использования кроссоверных сетей в многополосных акустических системах. ^[21] Это включает в себя значительное вычислительное моделирование акустических систем для успешного применения выравнивания задержки, ^[22] используя алгоритм проектирования фильтра с равноволновой КИХ-полосой Паркса-Макклеллана . ^{[1] [5] [23] [24]}

Групповая задержка в оптике

Групповая задержка играет важную роль в физике , в частности в оптике .

В оптическом волокне групповая задержка — это время прохождения, необходимое для оптической мощности , распространяющейся с групповой скоростью заданной моды , для прохождения заданного расстояния. Для целей измерения дисперсии оптического волокна интересующей величиной является групповая задержка на единицу длины, которая является обратной величиной групповой скорости конкретной моды. Измеренная групповая задержка сигнала через оптическое волокно показывает зависимость от длины волны из-за различных механизмов дисперсии, присутствующих в волокне.

Часто желательно, чтобы групповая задержка была постоянной на всех частотах; в противном случае происходит размывание сигнала во времени. Поскольку групповая задержка равна , отсюда следует, что постоянная групповая задержка может быть достигнута, если передаточная функция устройства или среды имеет линейную фазовую характеристику (т. е. где групповая задержка является константой). Степень нелинейности фазы указывает на отклонение групповой задержки от постоянного значения. ${\textstyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}}$ ${\displaystyle \phi (\omega )=\phi (0)-\tau _{g}\omega }$ ${\displaystyle \tau _{g}}$

Дифференциальная групповая задержка — это разница во времени распространения между двумя собственными модами поляризации X и Y. Рассмотрим две собственные моды , которые являются состояниями линейной поляризации 0° и 90° . Если состояние поляризации входного сигнала — это линейное состояние при 45° между двумя собственными модами, входной сигнал делится поровну на две собственные моды. Мощность переданного сигнала E _{T ,total} представляет собой комбинацию переданных сигналов обеих мод x и y .

${\displaystyle E_{T}=(E_{i,x}\cdot t_{x})^{2}+(E_{i,y}\cdot t_{y})^{2}\,}$

Дифференциальная групповая задержка D _t определяется как разница во времени распространения между собственными модами: D _t  = | t _{t , x}  −  t _{t , y} |.

Истинная задержка времени

Говорят, что передающее устройство имеет истинную временную задержку (TTD), если временная задержка не зависит от частоты электрического сигнала. ^{[25] [26]} TTD обеспечивает широкую мгновенную полосу пропускания сигнала практически без искажений сигнала, таких как расширение импульса во время импульсной работы.

TTD является важной характеристикой линий передачи без потерь и с малыми потерями, свободных от дисперсии . Уравнения телеграфиста § Передача без потерь показывает, что сигналы распространяются по ним со скоростью для распределенной индуктивности L и емкости C. Следовательно, любая задержка распространения сигнала по линии просто равна длине линии, деленной на эту скорость. ${\displaystyle 1/{\sqrt {LC}}}$

Групповая задержка от полиномов передаточной функции

Если передаточная функция или Sij параметра рассеяния , находится в форме полиномиального преобразования Лапласа , то математическое определение для групповой задержки выше может быть решено аналитически в замкнутой форме. Полиномиальная передаточная функция может быть взята вдоль оси и определена как . может быть определена из , а затем групповая задержка может быть определена путем решения для . ${\displaystyle P(S)}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle P(j\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle P(j\omega )}$ ${\displaystyle -d\phi (\omega )|/d\omega }$

для определения из , используйте определение . Учитывая, что всегда является действительным, а всегда является мнимым, можно переопределить как, где четный и нечетный относятся к полиномам, которые содержат только коэффициенты четного или нечетного порядка соответственно. В числителе просто преобразует мнимый числитель в действительное значение, поскольку сам по себе является чисто мнимым. ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle P(j\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )=tan^{-1}(P(j\omega )_{imag}/P(j\omega )_{real})}$ ${\displaystyle j^{2N}}$ ${\displaystyle j^{2N+1}}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )=tan^{-1}(-jP(j\omega )_{odd}/P(j\omega )_{even})}$ ${\displaystyle -j}$ ${\displaystyle P(j\omega )_{odd}}$ ${\displaystyle P(j\omega )_{odd}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dtan^{-1}(f(x))}{dx}}={\frac {df(x)/dx}{1+f(x)^{2}}}\\&f(x)={\frac {-jP(j\omega )_{odd}}{P(j\omega )_{even}}}\\&{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {P(j\omega )_{even}{\frac {d(P(j\omega )_{odd})}{dx}}--jP(j\omega )_{odd}{\frac {d(-jP(j\omega )_{even})}{dx}}}{P(j\omega )_{even}^{2}}}\end{aligned}}}$

Выражения выше содержат четыре члена для расчета:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Se=P(j\omega )_{even}&=&\sum _{k=0}^{N/2}P_{2k}(j\omega )^{2k}&=&\sum _{k=0}^{N/2}P_{2k}(-1)^{k}(\omega )^{2k}\\So=P(j\omega )_{odd}&=&-j\sum _{k=1}^{(N+1)/2}P_{2k-1}(j\omega )^{2k-1}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}P_{2k-1}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-1}\\De={\frac {d(P(j\omega )_{even})}{dx}}&=&-j\sum _{k=1}^{N/2}2kP_{2k}(j\omega )^{2k-1}&=&\sum _{k=1}^{N/2}2kP_{2k}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-1}\\Do={\frac {d(P(j\omega )_{odd})}{dx}}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}{(2k-1)}P_{2k-1}(j\omega )^{2k-2}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}{(2k-1)}P_{2k-1}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-2}\\\\{\frac {df(x)}{dx}}&=&{\frac {SeDo-SoDe}{Se^{2}}}\end{array}}}$

Приведенные выше уравнения можно использовать для определения групповой задержки полинома в замкнутой форме, показанной ниже после приведения уравнений к упрощенной форме. ${\displaystyle P(S)}$

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}=-{\frac {(So*De+Se*Do)}{(Se^{2}+So^{2})}}{\text{ sec}}}$

Полиномиальное отношение

Полиномиальное отношение вида , такое как обычно встречается в определении конструкций фильтров , может иметь групповую задержку, определяемую с использованием фазового соотношения, . ${\displaystyle P2(S)=P_{num}(S)/P_{den}(S)}$ ${\displaystyle \phi (P1/P2)=\phi (P1)-\phi (P2)}$

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P2)=gd(P2_{num})-gd(P2_{den})sec}$

Пример простого фильтра

Ниже показана передаточная функция четырехполюсного фильтра Лежандра, используемая в примере фильтра Лежандра .

${\displaystyle T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}}$

Групповая задержка числителя по результатам проверки равна нулю, поэтому необходимо определить только групповую задержку знаменателя.

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=2.4494897\omega ^{4}-4.6244874\omega ^{2}+1\\&Po_{den}=-3.8282201\omega ^{3}+3.0412127\omega \\&De_{den}=4(2.4494897)\omega ^{3}-2(4.6244874)\omega \\&Do_{den}=3(-3.8282201)\omega ^{2}+3.0412127\end{aligned}}}$

Оценка при = 1 рад/сек: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=-1.1749977\\&Po_{den}=-0.7870074\\&De_{den}=-0.548984\\&Do_{den}=-8.4434476\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&={\bigg [}0--{\frac {((-0.7870074*-0.548984)+(-1.1749977*-8.4434476))}{((-1.1749977)^{2}+(-0.7870074)^{2})}}{\bigg ]}\\&=5.1765430{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

Правильность процедуры расчета групповой задержки и ее результатов можно подтвердить путем сравнения их с результатами, полученными с помощью цифровой производной фазового угла, с использованием небольшой дельты +/-1,e-04 рад/сек. ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \Delta \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&=-(\phi (1+1e-04)-\phi (1.-1e04))/2e-04\\&=5.1765432{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

Поскольку групповая задержка, рассчитанная с помощью цифровой производной с использованием небольшой дельты, находится в пределах 7 знаков погрешности по сравнению с точным аналитическим расчетом, подтверждается правильность процедуры расчета групповой задержки и результатов.

Отклонение от линейной фазы

Отклонение от линейной фазы , иногда называемое просто «отклонением фазы», ​​представляет собой разницу между фазовой характеристикой, и линейной частью фазовой характеристики , ^[27] и является полезным измерением для определения линейности . ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{L}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$

Удобным способом измерения является взятие простой линейной регрессии выборки в интересующем диапазоне частот и вычитание ее из фактического . Идеальной линейной фазовой характеристики, как ожидается, будет иметь значение 0 в интересующем диапазоне частот (например, полоса пропускания фильтра), в то время как реальной приблизительно линейной фазовой характеристики может отклоняться от 0 на небольшую конечную величину в интересующем диапазоне частот. ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$

Преимущество перед групповой задержкой

Преимущество измерения или вычисления над измерением или вычислением групповой задержки, , всегда сходится к 0, когда фаза становится линейной, тогда как сходится к конечной величине, которая может быть неизвестна заранее. Учитывая это, линейная функция оптимизации фазы может быть проще выполнена с целью, чем с целью, когда значение для не обязательно уже известно. ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle gd(\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle gd(\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega ){=}0}$ ${\displaystyle gd(\omega ){=}constant}$ ${\displaystyle constant}$

Смотрите также

• Измерения аудиосистемы
• Линейная фаза
• Фильтр Бесселя — фильтр нижних частот с максимально плоской групповой задержкой
• Фильтр Лежандра — из раздела примеров
• Рисунок глаз
• Групповая скорость — «Групповая скорость света в среде обратно пропорциональна групповой задержке на единицу длины». ^[28]
• Фазовая скорость
• Волновой пакет

Ссылки

 В этой статье использованы материалы из общедоступного федерального стандарта 1037C. Администрация общих служб . Архивировано из оригинала 2022-01-22.

1. Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-914101-4.
2. Preis, D. (1982). «Фазовые искажения и фазовая выравнивание в обработке аудиосигналов — учебный обзор». Журнал Audio Engineering Society . 30 (11): 774–794 . Получено 22.05.2022 .
3. Лати, Б. П. (2005). Линейные системы и сигналы (второе издание). Oxford University Press, Inc. ISBN 978-0-19-515833-5.
4. Оппенгейм, Алан В.; Шефер, Р. В.; Бак, Дж. Р. (1999). Обработка сигналов в дискретном времени . Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-754920-2.
5. Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W. (2014). Discrete-Time Signal Processing . Англия: Pearson Education Limited. ISBN 978-1-292-02572-8.
6. Амбардар, Ашок (1999). Аналоговая и цифровая обработка сигналов (второе изд.). Cengage Learning. ISBN 9780534954093.
7. Оппенгейм, Алан В.; Вилски, Алан С.; Наваб, Хамид (1997). Сигналы и системы . Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-814757-4.
8. https://www.tedpavlic.com/teaching/osu/ece209/lab3_opamp_FO/lab3_opamp_FO_phase_shift.pdf ^{[ пустой URL PDF ]}
9. "EELE503: Современный дизайн фильтра" (PDF) . 2011. стр. 11.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
10. Bariska, Andor (2008). "Отрицательная групповая задержка" (PDF) . Физическое значение отрицательной групповой задержки?. Архивировано (PDF) из оригинала 2021-10-16 . Получено 2022-10-28 .
11. Наканиши, Тосихиро; Сугияма, К.; Китано, М. (2002-01-01). «Демонстрация отрицательных групповых задержек в простой электронной схеме». American Journal of Physics . 70 (11): 1117–1121. arXiv : quant-ph/0201001 . Bibcode :2002AmJPh..70.1117N. doi :10.1119/1.1503378. S2CID  39928138.
12. Кастор-Перри, Кендалл (18.03.2020). "Пять вещей, которые нужно знать о прогнозировании и фильтрах с отрицательной задержкой". planetanalog.com . Архивировано из оригинала 28.06.2022 . Получено 13.06.2023 .
13. Plomp, R.; Steeneken, HJM (1969). «Влияние фазы на тембр сложных тонов». Журнал акустического общества Америки . 46 (2B): 409–421. Bibcode : 1969ASAJ...46..409P. doi : 10.1121/1.1911705. PMID  5804112.
14. Ashley, J. (1980). Требования к групповой и фазовой задержке для систем громкоговорителей . ICASSP '80. Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. Том 5. стр. 1030–1033. doi :10.1109/ICASSP.1980.1170852.
15. Möller, Henning (1975). "Измерения фазы громкоговорителя, переходная характеристика и качество звука" (PDF) . Brüel & Kjaer (Application Note 17-198). Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 2022-05-22 .
16. Liski, J.; Mäkivirta, A.; Välimäki, V. (2018). Слышимость характеристик групповой задержки громкоговорителя (PDF) . 144-я Международная конвенция Общества инженеров-аудиотехников, номер статьи 10008. Общество инженеров-аудиотехников. стр. 879–888. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 2022-05-21 .
17. Лиски, Юхо; Мякивирта, Аки; Вялимяки, Веса (2021). «Слышимость выравнивания групповой задержки». Транзакции IEEE/ACM по обработке звука, речи и языка . 29 : 2189–2201. дои : 10.1109/TASLP.2021.3087969 . S2CID  236192266.
18. Blauert, J.; Laws, P. (май 1978). "Искажения групповой задержки в электроакустических системах" (PDF) . Журнал акустического общества Америки . 63 (5): 1478–1483. Bibcode :1978ASAJ...63.1478B. doi :10.1121/1.381841. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-09-30.
19. Фланаган, Шейла; Мур, Брайан CJ; Стоун, Майкл А. (2005). «Распознавание групповой задержки в щелчкоподобных сигналах, подаваемых через наушники и громкоговорители». Журнал Audio Engineering Society . 53 (7/8): 593–611.
20. Leach, Jr., W. Marshall (1989). "Дифференциальное искажение задержки по времени и дифференциальное искажение сдвига фазы как меры линейности фазы" (PDF) . Журнал Audio Engineering Society . 37 (9): 709–715. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
21. Адам, Вероник; Бенц, Себастьен (2007). Коррекция искажений фазы кроссовера с использованием обращенного времени всепропускающего БИХ-фильтра. 122-й съезд Общества инженеров-аудиотехников . Получено 22 мая 2022 г.
22. Мякивирта, Аки; Лиски, Юхо; Вялимяки, Веса (2018). «Моделирование и выравнивание задержки откликов громкоговорителей». Журнал Общества аудиоинженеров . 66 (11): 922–934. дои : 10.17743/jaes.2018.0053 . S2CID  85506559 . Проверено 22 мая 2022 г.
23. Макклеллан, Дж.; Паркс, Т.; Рабинер, Л. (1973). «Компьютерная программа для проектирования оптимальных цифровых фильтров с линейной фазой КИХ». Труды IEEE по аудио и электроакустике . 21 (6): 506–526. doi :10.1109/TAU.1973.1162525.
24. Оппенгейм, Алан В.; Шефер, Рональд В. (2010). Дискретно-временная обработка сигналов . Англия: Pearson Education Limited. ISBN 978-0-13-198842-2.
25. "Истинная задержка времени". Microwaves101, IEEE .
26. Джулиус О. Смит III. «Фазовая задержка и групповая задержка». Music 320 Background Reader. Кафедра электротехники, Стэнфордский университет .
27. Keysight Technologies, Inc. "Отклонение от линейной фазы" . Получено 2024-09-09 .
28. «Групповая задержка».

Внешние ссылки

• Обсуждение групповой задержки в громкоговорителях
• Объяснения и применение групповой задержки
• «Введение в цифровые фильтры в аудиоприложениях», Джулиус О. Смит III (издание от сентября 2007 г.).