Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждая частица притягивает любую другую частицу во Вселенной с силой , пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами. Отдельные предметы притягиваются и притягиваются так, как если бы вся их масса сосредоточилась в их центрах . Публикация закона стала известна как « первое великое объединение », поскольку оно ознаменовало объединение ранее описанных явлений гравитации на Земле с известными астрономическими закономерностями. [1] [2] [3]
Это общий физический закон , выведенный на основе эмпирических наблюдений с помощью того, что Исаак Ньютон называл индуктивным рассуждением . [4] Она является частью классической механики и была сформулирована в работе Ньютона Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (« Начала »), впервые опубликованной 5 июля 1687 года.
Таким образом, уравнение всемирного тяготения принимает вид:
где F — сила гравитации, действующая между двумя объектами, m 1 и m 2 — массы объектов, r — расстояние между центрами их масс , а G — гравитационная постоянная .
Первой проверкой закона тяготения Ньютона между массами в лаборатории стал эксперимент Кавендиша , проведенный британским ученым Генри Кавендишем в 1798 году . [5] Он состоялся через 111 лет после публикации «Начал» Ньютона и примерно через 71 год после его смерти.
Закон гравитации Ньютона напоминает закон электрических сил Кулона , который используется для расчета величины электрической силы, возникающей между двумя заряженными телами. Оба являются законами обратных квадратов , где сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. В законе Кулона вместо массы используется заряд и другая константа.
Закон Ньютона позже был заменен общей теорией относительности Альберта Эйнштейна , но универсальность гравитационной постоянной сохранилась, и закон до сих пор продолжает использоваться как превосходное приближение эффектов гравитации в большинстве приложений. Теория относительности требуется только тогда, когда существует необходимость в предельной точности или когда мы имеем дело с очень сильными гравитационными полями, например, теми, которые обнаруживаются вблизи чрезвычайно массивных и плотных объектов, или на небольших расстояниях (например, на орбите Меркурия вокруг Солнца).
Около 1600 года научный метод начал укореняться. Рене Декарт начал с более фундаментальной точки зрения, развивая идеи материи и действия независимо от теологии. Галилео Галилей писал об экспериментальных измерениях падающих и катящихся предметов. Законы движения планет Иоганна Кеплера обобщили астрономические наблюдения Тихо Браге . [6] : 132
Около 1666 года Исаак Ньютон разработал идею о том, что законы Кеплера должны применяться также к орбите Луны вокруг Земли, а затем и ко всем объектам на Земле. Для анализа потребовалось предположить, что сила гравитации действовала так, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре, что на тот момент было недоказанной гипотезой. Его расчеты времени обращения Луны находились в пределах 16% от известного значения. К 1680 году новые значения диаметра Земли улучшили время его обращения по орбите с точностью до 1,6%, но, что более важно, Ньютон нашел доказательство своей более ранней гипотезы. [7] : 201
В 1687 году Ньютон опубликовал свои «Начала» , в которых его законы движения сочетались с новым математическим анализом для объяснения эмпирических результатов Кеплера. [6] : 134 Его объяснение было в форме закона всемирного тяготения: любые два тела притягиваются силой, пропорциональной их массе и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. [8] : 28 Первоначальная формула Ньютона была:
где этот символ означает «пропорционален». Чтобы превратить это в равностороннюю формулу или уравнение, должен был быть умножающий коэффициент или константа, которая давала бы правильную силу гравитации независимо от значения масс или расстояния между ними (гравитационная постоянная). Ньютону понадобилась бы точная мера этой константы, чтобы доказать свой закон обратных квадратов. (Когда Ньютон представил в апреле 1686 года Королевскому обществу Книгу 1 неопубликованного текста , Роберт Гук заявил, что Ньютон получил от него закон обратных квадратов, что в конечном итоге оказалось необоснованным обвинением [7] : 204 )
Хотя Ньютон смог сформулировать свой закон тяготения в своей монументальной работе, ему было очень не по себе понятие «действия на расстоянии», которое подразумевалось в его уравнениях. В 1692 году в своем третьем письме Бентли он писал: «То, что одно тело может действовать на другое на расстоянии через вакуум без посредничества чего-либо еще, посредством чего их действие и сила могут передаваться друг от друга, является для меня это настолько великая нелепость, что, я думаю, ни один человек, обладающий в философских вопросах компетентным мышлением, никогда не сможет в нее впасть».
Он никогда, по его словам, "не назначал причину этой власти". Во всех остальных случаях он использовал явление движения для объяснения происхождения различных сил, действующих на тела, но в случае тяготения ему не удалось экспериментально выявить движение, вызывающее силу тяготения (хотя он выдвинул две механические гипотезы в 1675 и 1717 годах). Более того, он отказался даже предложить гипотезу о причине этой силы на том основании, что это противоречит здравой науке. Он посетовал, что «философы до сих пор тщетно пытались найти в природе» источник гравитационной силы, поскольку он был убежден «по многим причинам», что существуют «до сих пор неизвестные причины», которые были фундаментальными для всех «феноменов природы». ". Эти фундаментальные явления все еще изучаются, и, хотя гипотез имеется множество, окончательный ответ еще не найден. И в «Общем схолии» Ньютона 1713 года во втором издании « Начал» : «Я еще не смог открыть причину этих свойств гравитации на основе явлений и не выдвигаю никаких гипотез … Достаточно того, что гравитация действительно существует и действует согласно законам, которые я объяснил, и что это в значительной степени служит для объяснения всех движений небесных тел». [9]
Говоря современным языком, в законе говорится следующее:
В системе СИ F измеряется в ньютонах (Н), м 1 и м 2 в килограммах (кг), r в метрах (м), а константа G равна6,674 30 (15) × 10 −11 м 3 ⋅кг −1 ⋅с −2 . [11] Значение константы G было впервые точно определено по результатам эксперимента Кавендиша , проведенного британским учёным Генри Кавендишем в 1798 году, хотя сам Кавендиш не рассчитал численное значение G . [5] Этот эксперимент был также первой проверкой теории Ньютона о гравитации между массами в лаборатории. Это произошло через 111 лет после публикации « Начал» Ньютона и через 71 год после смерти Ньютона, поэтому ни в одном из расчетов Ньютона нельзя было использовать значение G ; вместо этого он мог только вычислить силу относительно другой силы.
Если рассматриваемые тела имеют пространственную протяженность (а не являются точечными массами), то сила гравитации между ними рассчитывается путем суммирования вкладов воображаемых точечных масс, составляющих тела. В пределе, когда точечные массы компонентов становятся «бесконечно малыми», это влечет за собой интегрирование силы (в векторной форме, см. Ниже) по протяженности двух тел .
Таким образом, можно показать, что объект со сферически-симметричным распределением массы оказывает такое же гравитационное притяжение на внешние тела, как если бы вся масса объекта была сосредоточена в точке в его центре. [10] (Это, как правило, не верно для несферически симметричных тел.)
Для точек внутри сферически симметричного распределения материи теорема Ньютона о оболочках может быть использована для определения гравитационной силы. Теорема говорит нам, как различные части распределения массы влияют на силу гравитации, измеренную в точке, расположенной на расстоянии r 0 от центра распределения массы: [12]
Как следствие, например, внутри оболочки одинаковой толщины и плотности нигде внутри полой сферы нет чистого гравитационного ускорения.
Закон всемирного тяготения Ньютона можно записать в виде векторного уравнения , позволяющего объяснить направление гравитационной силы, а также ее величину. В этой формуле величины, выделенные жирным шрифтом, представляют собой векторы.
Видно, что векторная форма уравнения такая же, как и скалярная форма, приведенная ранее, за исключением того, что F теперь является векторной величиной, а правая часть умножается на соответствующий единичный вектор. Также можно видеть, что F 12 = − F 21 .
Гравитационное поле — это векторное поле , которое описывает гравитационную силу, которая будет приложена к объекту в любой заданной точке пространства на единицу массы. Фактически оно равно гравитационному ускорению в этой точке.
Это обобщение векторной формы, которое становится особенно полезным, если задействовано более двух объектов (например, ракета между Землей и Луной). Для двух объектов (например, объект 2 — ракета, объект 1 — Земля) мы просто пишем r вместо r 12 и m вместо m 2 и определяем гравитационное поле g ( r ) как:
чтобы мы могли написать:
Эта формулировка зависит от объектов, вызывающих поле. Поле имеет единицы ускорения; в системе СИ это м/с 2 .
Гравитационные поля также консервативны ; то есть работа, совершаемая гравитацией из одного положения в другое, не зависит от пути. Это приводит к тому, что существует гравитационное потенциальное поле V ( r ) такое, что
Если m 1 — точечная масса или масса сферы с однородным распределением массы, то силовое поле g ( r ) вне сферы изотропно, т. е. зависит только от расстояния r от центра сферы. В таком случае
гравитационное поле действует внутри и снаружи симметричных масс.
Согласно закону Гаусса , поле в симметричном теле можно найти по математическому уравнению:
где – замкнутая поверхность, – масса, заключенная в поверхности.
Следовательно , для полой сферы радиусом и полной массой
Для однородной твердой сферы радиуса и полной массы
Описание гравитации, данное Ньютоном, достаточно точно для многих практических целей и поэтому широко используется. Отклонения от него малы при безразмерных величинах и обе много меньше единицы, где – гравитационный потенциал , – скорость изучаемых объектов, – скорость света в вакууме. [14] Например, ньютоновская гравитация обеспечивает точное описание системы Земля/Солнце, поскольку
где - радиус орбиты Земли вокруг Солнца.
В ситуациях, когда любой безразмерный параметр велик, для описания системы необходимо использовать общую теорию относительности . Общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации в пределе малого потенциала и малых скоростей, поэтому закон гравитации Ньютона часто называют пределом низкой гравитации общей теории относительности.
Первые два конфликта с приведенными выше наблюдениями были объяснены общей теорией относительности Эйнштейна , в которой гравитация является проявлением искривленного пространства-времени, а не возникает из-за силы, распространяющейся между телами. В теории Эйнштейна энергия и импульс искажают пространство-время вблизи себя, а другие частицы движутся по траекториям, определяемым геометрией пространства-времени. Это позволило описать движения света и массы, согласующееся со всеми доступными наблюдениями. В общей теории относительности гравитационная сила — это фиктивная сила , возникающая в результате искривления пространства-времени , поскольку гравитационное ускорение тела в свободном падении обусловлено тем, что его мировая линия является геодезической линией пространства-времени .
В последние годы поиск членов необратных квадратов в законе гравитации проводился с помощью нейтронной интерферометрии . [16]
Проблема n тел — древняя классическая задача [17] предсказания отдельных движений группы небесных объектов, гравитационно взаимодействующих друг с другом . Решение этой проблемы — со времен греков и далее — было мотивировано желанием понять движение Солнца , планет и видимых звезд . В 20 веке понимание динамики звездных систем шаровых скоплений также стало важной проблемой n -тел. Задачу n тел в общей теории относительности решить значительно сложнее.
Классическую физическую задачу можно неформально сформулировать так: учитывая квазистационарные орбитальные свойства ( мгновенное положение, скорость и время ) [18] группы небесных тел, предсказать силы их взаимодействия; и, следовательно, предсказать их истинные орбитальные движения на все будущие времена . [19]
Задача двух тел полностью решена, как и ограниченная задача трех тел . [20]