В математике выражение или уравнение находится в замкнутой форме , если оно образовано константами , переменными и конечным набором основных функций , связанных арифметическими операциями ( +, −, ×, / и целыми степенями ) и композицией функций . Обычно разрешенными функциями являются корень n- й степени , показательная функция , логарифм и тригонометрические функции . [a] Однако набор основных функций зависит от контекста.
Проблема замкнутой формы возникает, когда вводятся новые способы задания математических объектов , такие как пределы , ряды и интегралы : если задан объект с помощью таких инструментов, естественной проблемой является нахождение, если это возможно, выражения этого объекта в замкнутой форме , то есть выражения этого объекта в терминах предыдущих способов его задания.
Квадратичная формула
представляет собой замкнутую форму решений общего квадратного уравнения
В более общем смысле, в контексте полиномиальных уравнений замкнутая форма решения — это решение в радикалах ; то есть выражение в замкнутой форме, для которого разрешенными функциями являются только корни n -й степени и полевые операции . Фактически, теория поля позволяет показать, что если решение полиномиального уравнения имеет замкнутую форму, включающую экспоненты, логарифмы или тригонометрические функции, то оно также имеет замкнутую форму, которая не включает эти функции. [ необходима ссылка ]
Существуют выражения в радикалах для всех решений кубических уравнений (степень 3) и уравнений четвертой степени (степень 4). Размер этих выражений значительно увеличивается с ростом степени, что ограничивает их полезность.
В более высоких степенях теорема Абеля–Руффини утверждает, что существуют уравнения, решения которых не могут быть выражены в радикалах, и, таким образом, не имеют замкнутых форм. Простым примером является уравнение Теория Галуа предоставляет алгоритмический метод для определения того, может ли конкретное полиномиальное уравнение быть решено в радикалах.
Символическое интегрирование по существу состоит из поиска замкнутых форм для первообразных функций, которые заданы выражениями замкнутой формы. В этом контексте основными функциями, используемыми для определения замкнутых форм, обычно являются логарифмы , показательные функции и полиномиальные корни . Функции, имеющие замкнутую форму для этих основных функций, называются элементарными функциями и включают тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции , гиперболические функции и обратные гиперболические функции .
Таким образом, основная проблема символического интегрирования состоит в том, чтобы, имея элементарную функцию, заданную выражением в замкнутой форме, решить, является ли ее первообразная элементарной функцией, и, если это так, найти выражение в замкнутой форме для этой первообразной.
Для рациональных функций ; то есть для дробей двух полиномиальных функций ; первообразные не всегда являются рациональными дробями, но всегда являются элементарными функциями, которые могут включать логарифмы и полиномиальные корни. Это обычно доказывается с помощью частичного дробного разложения . Необходимость логарифмов и полиномиальных корней иллюстрируется формулой
что справедливо, если и являются взаимно простыми многочленами, такими что является свободным от квадратов и
Изменение определения «хорошо известно» для включения дополнительных функций может изменить набор уравнений с решениями в замкнутой форме. Многие кумулятивные функции распределения не могут быть выражены в замкнутой форме, если только не считать специальные функции , такие как функция ошибок или гамма-функция, хорошо известными. Можно решить уравнение пятой степени, если включить общие гипергеометрические функции , хотя решение слишком сложно алгебраически, чтобы быть полезным. Для многих практических компьютерных приложений вполне разумно предположить, что гамма-функция и другие специальные функции хорошо известны, поскольку численные реализации широко доступны.
Аналитическое выражение (также известное как выражение в аналитической форме или аналитическая формула ) — это математическое выражение , построенное с использованием хорошо известных операций, которые легко поддаются вычислениям. [ неопределенно ] [ необходима цитата ] Подобно выражениям в аналитической форме, набор известных допустимых функций может меняться в зависимости от контекста, но всегда включает в себя основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в действительную степень (включая извлечение корня n -й степени ), логарифмы и тригонометрические функции.
Однако класс выражений, считающихся аналитическими, имеет тенденцию быть шире, чем для выражений замкнутой формы. В частности, специальные функции , такие как функции Бесселя и гамма-функция, обычно разрешены, и часто таковыми являются бесконечные ряды и непрерывные дроби . С другой стороны, пределы в целом и интегралы в частности, как правило, исключаются. [ необходима цитата ]
Если аналитическое выражение включает в себя только алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в рациональную степень) и рациональные константы, то его более конкретно называют алгебраическим выражением .
Выражения в замкнутой форме являются важным подклассом аналитических выражений, которые содержат конечное число приложений известных функций. В отличие от более широких аналитических выражений, выражения в замкнутой форме не включают бесконечные ряды или непрерывные дроби ; не включают интегралы или пределы . Действительно, по теореме Стоуна–Вейерштрасса любая непрерывная функция на единичном интервале может быть выражена как предел многочленов, поэтому любой класс функций, содержащий многочлены и замкнутый относительно пределов, обязательно будет включать все непрерывные функции.
Аналогично, говорят, что уравнение или система уравнений имеют решение в замкнутой форме , если и только если, по крайней мере, одно решение может быть выражено как выражение в замкнутой форме; и говорят, что они имеют аналитическое решение, если и только если, по крайней мере, одно решение может быть выражено как аналитическое выражение. Существует тонкое различие между « функцией замкнутой формы » и «числом замкнутой формы» в обсуждении «решения в замкнутой форме», обсуждаемом в (Chow 1999) и ниже. Решение в замкнутой форме или аналитическое решение иногда называют явным решением .
Выражение: не имеет замкнутой формы, поскольку суммирование влечет за собой бесконечное число элементарных операций. Однако, суммируя геометрическую прогрессию, это выражение можно выразить в замкнутой форме: [1]
Интеграл замкнутого выражения может быть, а может и не быть сам по себе выражен в виде замкнутого выражения. Это исследование называется дифференциальной теорией Галуа по аналогии с алгебраической теорией Галуа.
Основная теорема дифференциальной теории Галуа была сформулирована Жозефом Лиувиллем в 1830–1840-х годах и поэтому называется теоремой Лиувилля .
Стандартный пример элементарной функции, первообразная которой не имеет замкнутого выражения, таков: единственная первообразная которой ( с точностью до мультипликативной константы) является функцией ошибки :
Уравнения или системы, слишком сложные для замкнутых или аналитических решений, часто можно проанализировать с помощью математического моделирования и компьютерной симуляции (пример из физики см. в [2] ).
Три подполя комплексных чисел C были предложены как кодирующие понятие «числа замкнутой формы»; в порядке возрастания общности это числа Лиувилля (не путать с числами Лиувилля в смысле рациональной аппроксимации), числа EL и элементарные числа . Числа Лиувилля , обозначаемые L , образуют наименьшее алгебраически замкнутое подполе C , замкнутое относительно возведения в степень и логарифмирования (формально, пересечение всех таких подполей) — то есть числа, которые включают явное возведение в степень и логарифмы, но допускают явные и неявные многочлены (корни многочленов); это определено в (Ritt 1948, p. 60). L изначально называлось элементарными числами , но этот термин теперь используется более широко для обозначения чисел, определенных явно или неявно в терминах алгебраических операций, экспонент и логарифмов. Более узкое определение, предложенное в (Chow 1999, стр. 441–442), обозначается E и упоминается как числа EL , является наименьшим подполем C , замкнутым относительно возведения в степень и логарифма — оно не обязательно должно быть алгебраически замкнутым и соответствует явным алгебраическим, экспоненциальным и логарифмическим операциям. «EL» означает как «экспоненциальный–логарифмический», так и сокращение от «элементарный».
Является ли число числом замкнутой формы, связано с тем, является ли число трансцендентным . Формально, лиувиллевы числа и элементарные числа содержат алгебраические числа , и они включают некоторые, но не все трансцендентные числа. Напротив, числа EL не содержат все алгебраические числа, но включают некоторые трансцендентные числа. Числа замкнутой формы можно изучать с помощью теории трансцендентных чисел , в которой основным результатом является теорема Гельфонда–Шнайдера , а основным открытым вопросом является гипотеза Шануэля .
Для численных вычислений, в общем случае, не обязательно иметь замкнутую форму, поскольку многие пределы и интегралы можно эффективно вычислить. Некоторые уравнения не имеют решения в замкнутой форме, например, те, которые представляют задачу трех тел или модель Ходжкина–Хаксли . Поэтому будущие состояния этих систем должны быть вычислены численно.
Существует программное обеспечение, которое пытается найти выражения в замкнутой форме для числовых значений, включая RIES, [3] identify в Maple [4] и SymPy , [5] Plouffe's Inverter, [6] и Inverse Symbolic Calculator . [7]