Звездчатый октаэдр — единственная звездчатая форма октаэдра . Его также называют stella octangula (лат. «восьмиконечная звезда»), это название дал ему Иоганн Кеплер в 1609 году, хотя он был известен и более ранним геометрам . Он был изображен в трактате Пачоли « О божественной пропорции» ( 1509). [2]
Это простейшее из пяти правильных многогранных соединений и единственное правильное соединение двух тетраэдров . Это также наименее плотное из правильных многогранных соединений, имеющее плотность 2.
Его можно рассматривать как трехмерное расширение гексаграммы : гексаграмма представляет собой двумерную форму, образованную двумя перекрывающимися равносторонними треугольниками, центрально симметричными друг другу, и таким же образом звездчатый октаэдр может быть образован двумя центрально симметричными перекрывающимися тетраэдрами. Это можно обобщить на любое желаемое количество более высоких измерений; четырехмерная эквивалентная конструкция представляет собой соединение двух 5-ячеек . Ее также можно рассматривать как один из этапов построения трехмерной снежинки Коха , фрактальной формы, образованной повторным присоединением меньших тетраэдров к каждой треугольной грани большей фигуры. Первый этап построения снежинки Коха представляет собой один центральный тетраэдр, а второй этап, образованный путем добавления четырех меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, представляет собой звездчатый октаэдр.
Звездчатый октаэдр можно построить несколькими способами:
Соединение двух сферических тетраэдров можно построить, как показано на рисунке.
Два тетраэдра составного вида звездчатого октаэдра являются «десмическими», что означает, что (при интерпретации как линии в проективном пространстве ) каждое ребро одного тетраэдра пересекает два противоположных ребра другого тетраэдра. Одно из этих двух пересечений видно в звездчатом октаэдре; другое пересечение происходит в точке на бесконечности проективного пространства, где каждое ребро одного тетраэдра пересекает параллельное ребро другого тетраэдра. Эти два тетраэдра могут быть дополнены до десмической системы из трех тетраэдров, где третий тетраэдр имеет в качестве своих четырех вершин три точки пересечения на бесконечности и центроид двух конечных тетраэдров. Те же двенадцать вершин тетраэдра также образуют точки конфигурации Рейе .
Числа stella octangula — это фигурные числа , которые подсчитывают количество шаров, которые можно расположить в форме звездчатого октаэдра. Они
Звездчатый октаэдр появляется вместе с несколькими другими многогранниками и многогранными соединениями в гравюре М. К. Эшера « Звезды » [4] и является центральной формой в «Двойном планетоиде » Эшера (1949). [5]
Обелиск в центре площади Европы в Сарагосе , Испания , окружен двенадцатью звёздчатыми восьмигранными фонарными столбами, имеющими форму трёхмерной версии Флага Европы . [6]
Некоторые современные мистики связывают эту форму с «меркабой», [7] которая, по их мнению, является «вращающимся в противоположных направлениях энергетическим полем», названным в честь древнеегипетского слова. [8] Однако слово «меркаба» на самом деле еврейское и более точно относится к колеснице в видениях Иезекииля . [9] Также часто отмечалось сходство между этой формой и двумерной звездой Давида . [10]
Музыкальный проект "Miracle Musical" (часто стилизованный под его оригинальное японское название ミラクルミュージカル, произносится как "mirakuru myujikaru" [11] ), возглавляемый участником Tally Hall Джо Хоули вместе с коллегой по группе Россом Федерманом и почетным коллегой по группе Борой Караджой, делает несколько ссылок на звездчатый октаэдр как на stella octangula . Форма показана на главном веб-сайте проекта, а также в магазине товаров. [11] [12] Третья песня на их первом и единственном студийном альбоме "Hawaii: Part II", "Black Rainbows", содержит текст, спетый Мади Диас , который просто говорит "Stella octangula". [13]
Stella octangula — это трехмерный аналог Звезды Давида.
