В геометрии звездчатый многогранник — это многогранник , который имеет повторяющиеся свойства невыпуклости, что придает ему визуальное сходство со звездой.
Существует два основных типа звездчатого многогранника:
Математические исследования звездчатых многогранников обычно связаны с правильными однородными многогранниками или двойственными однородным многогранникам. Все эти звезды относятся к самопересекающимся типам.
Правильные звездчатые многогранники являются самопересекающимися многогранниками. Они могут иметь либо самопересекающиеся грани , либо самопересекающиеся фигуры вершин .
Существует четыре правильных звездчатых многогранника , известных как многогранники Кеплера-Пуансо . Символ Шлефли { p , q } подразумевает грани с p сторонами и фигуры вершин с q сторонами. Два из них имеют пентаграммные грани {5/2}, а два - пентаграммные вершинные фигуры.
На этих изображениях каждая форма показана с одним лицом, окрашенным в желтый цвет, чтобы показать видимую часть этого лица.
Также существует бесконечное количество правильных звездчатых диэдров и осоэдров {2, p/q } и { p/q , 2} для любого звездчатого многоугольника { p/q }. Будучи вырожденными в евклидовом пространстве, они могут быть реализованы сферически в невырожденной форме.
Существует множество однородных звездчатых многогранников , включая две бесконечные серии призм и антипризм , а также двойственные им .
Однородные и двойственные однородные звездчатые многогранники также являются самопересекающимися многогранниками. Они могут иметь либо самопересекающиеся грани , либо самопересекающиеся фигуры вершин, либо и то, и другое.
Однородные звездчатые многогранники имеют правильные грани или правильные грани звездчатого многоугольника . Двойственные однородные звездчатые многогранники имеют правильные грани или правильные фигуры вершин звездчатого многоугольника .
Помимо указанных выше форм, существует неограниченное количество классов самопересекающихся (звездчатых) многогранников.
Двумя важными классами являются звёздочки выпуклых многогранников и их двойственные многогранники, грани двойственных многогранников.
Например, полную звездчатость икосаэдра (на рисунке) можно интерпретировать как самопересекающийся многогранник, состоящий из 20 одинаковых граней, каждая из которых представляет собой намотанный многоугольник (9/4). Ниже приведена иллюстрация этого многогранника, одна грань которого нарисована желтым цветом.
Аналогично самопересекающийся многогранник в любом количестве измерений называется звездным многогранником .
Правильный многогранник { p , q , r ,..., s , t } является звездным многогранником, если либо его грань { p , q ,... s }, либо его вершинная фигура { q , r ,..., s , t } – звездчатый многогранник.
В четырех измерениях 10 правильных звездчатых полихор называются полихорой Шлефли – Гесса . Аналогично правильным звездчатым многогранникам, все эти 10 состоят из граней, которые являются либо одним из пяти правильных платоновых тел , либо одним из четырех правильных звездчатых многогранников Кеплера-Пуансо .
Например, великий звёздчатый 120-клеточный , проецируемый ортогонально в 3-мерное пространство, выглядит так:
Не существует правильных звездчатых многогранников в размерностях выше 4 .
Многогранник, который не пересекает сам себя, так что все внутреннее пространство можно увидеть из одной внутренней точки, является примером звездной области . Видимые внешние части многих самопересекающихся звездчатых многогранников образуют границы звездных доменов, но, несмотря на схожий внешний вид, как абстрактные многогранники, это разные структуры. Например, маленький звездчатый додекаэдр имеет 12 граней пентаграммы, но соответствующий звездный домен имеет 60 граней равнобедренного треугольника и, соответственно, разное количество вершин и ребер.
Многогранные звездные домены появляются в различных типах архитектуры, обычно религиозного характера. Например, их можно увидеть на многих церквях в стиле барокко как символы Папы, построившего церковь, на венгерских церквях и других религиозных зданиях. Эти звезды также можно использовать в качестве украшений. Моравские звезды используются для обеих целей и могут иметь различные формы.