Венок изделие

Тема теории групп

В теории групп сплетение представляет собой специальную комбинацию двух групп , основанную на полупрямом произведении . Он образуется путем воздействия одной группы на множество копий другой группы, что в некоторой степени аналогично возведению в степень . Сплетения используются при классификации групп перестановок , а также позволяют построить интересные примеры групп.

Учитывая две группы и (иногда называемые нижней и верхней ^[1] ), существуют два варианта сплетения: неограниченное сплетение и ограниченное сплетение . Общая форма, обозначаемая или соответственно, требует, чтобы действие действовало на некотором множестве ; если не указано, обычно ( обычный венок ), хотя иногда подразумевается другое . Оба варианта совпадают, когда , и все конечны. Любой вариант также обозначается как (с \wr для символа LaTeX) или A  ≀  H ( Unicode U+2240). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A\wr H}$

Это понятие обобщается на полугруппы и, как таковое, является центральной конструкцией в структурной теории Крона – Родса конечных полугрупп.

Определение

Пусть группа и группа, действующая на множестве (слева). Прямое произведение с индексом на себя представляет собой набор последовательностей в , индексированных с групповой операцией, заданной поточечным умножением. Действие on можно расширить до действия on путем переиндексации , а именно путем определения ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {a}}=(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$

${\displaystyle h\cdot (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }:=(a_{h^{-1}\cdot \omega })_{\omega \in \Omega }}$

для всех и вся . ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }\in A^{\Omega }}$

Тогда неограниченное сплетение by является полупрямым произведением с действием на данное выше. Подгруппа называется базой сплетения . ${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$

Ограниченное сплетение строится так же, как и неограниченное сплетение, за исключением того, что в качестве основы сплетения используется прямая сумма . В этом случае база состоит из всех последовательностей с конечным числом неединичных записей . Эти два определения совпадают, когда конечен. ${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega }$

В наиболее распространенном случае и действует на себя умножением слева. В этом случае неограниченное и ограниченное сплетение могут обозначаться символами и соответственно. Это называется обычным сплетенным изделием. ${\displaystyle \Omega =H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$

Обозначения и соглашения

Структура сплетения A на H зависит от H -множества Ω, а в случае, если Ω бесконечно, она также зависит от того, используется ли ограниченное или неограниченное сплетение. Однако в литературе используемые обозначения могут быть несовершенными и необходимо учитывать обстоятельства.

• В литературе A ≀ _Ω H может обозначать неограниченное сплетение A  Wr _Ω  H или ограниченное сплетение A  wr _Ω  H .
• Аналогично, A ≀ H может обозначать неограниченное регулярное сплетение A  Wr  H или ограниченное регулярное сплетение A  wr  H .
• В литературе H -множество Ω может быть опущено в обозначениях, даже если Ω ≠  H .
• В частном случае, когда _H =  Sn  является симметрической группой степени n, _в литературе принято предполагать, что Ω = {1,..., n } (с естественным действием Sn ), а затем исключать Ω из обозначения. То есть A ≀ S _n обычно обозначает A ≀ _{{1,..., n }} S _n вместо обычного сплетения A ≀ _{S n} S _n . В первом случае базовая группа — это продукт n копий A , во втором — продукт n ! копии  А.​

Характеристики

Согласование неограниченного и ограниченного сплетения на конечном Ω

Поскольку конечное прямое произведение совпадает с конечной прямой суммой групп, отсюда следует, что неограниченное A  Wr _Ω  H и ограниченное сплетение A  wr _Ω  H согласуются, если Ω конечен. В частности, это верно, когда Ω = H и H конечна.

Подгруппа

A  wr _Ω  H всегда является подгруппой A Wr  Ω _H  .

Мощность

Если A , H и Ω конечны, то

| А ≀ _Ом Ч | = | А | ^|Ом| | Ч |. ^[2]

Универсальная теорема вложения

Универсальная теорема вложения : если G является расширением A посредством H , то существует подгруппа неограниченного сплетения A ≀ H , которая изоморфна G. ^[3] Это также известно как теорема вложения Краснера–Калужнина . Теорема Крона –Родса включает в себя то, что по сути является ее полугрупповым эквивалентом. ^[4]

Канонические действия сплетенных изделий

Если группа A действует на множестве Λ, то существует два канонических способа построения множеств из Ω и Λ, на которых может действовать A  Wr _Ω  H (а значит, и A  wr _Ω  H ).

• Импримитивное сплетение на Λ × Ω .

  Если (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H и ( λ , ω ′) ∈ Λ × Ω , то

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').}$

• Примитивное сплетение на Λ ^Ω .

  Элементом из Λ ^Ω называется последовательность ( λ _ω ), индексированная H -множеством Ω. Для данного элемента (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H его действие на ( λ _ω ) ∈ Λ ^Ω задается формулой

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).}$

Примеры

• Группа фонарщиков является ограниченным венковым продуктом . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\wr S_{n}}$( обобщенная симметрическая группа ). Базой этого сплетения является n -кратное прямое произведение копий, где действие симметрической группы Sn степени _n задается выражением φ ( σ )(α ₁ ,..., α _n ) := ( α _{σ (1)} ,..., α _{σ ( n )} ). ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{n}=\mathbb {Z} _{m}...\mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \phi :S_{n}\to {\text{Aut}}(\mathbb {Z} _{m}^{n})}$

• ${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$( гипероктаэдрическая группа ).
• Действие S _n на {1,..., n } аналогично предыдущему. Поскольку симметрическая группа S ₂ степени 2 изоморфна гипероктаэдрической группе, она является частным случаем обобщенной симметрической группы. ^[6] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

• Наименьшее нетривиальное сплетение — это двумерный случай указанной выше гипероктаэдрической группы. Это группа симметрии квадрата, также называемая D4 _, группа диэдра восьмого порядка. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}}$
• Пусть p — простое число и пусть . Пусть P — силовская p - подгруппа симметрической _группы Spn ^_. Тогда P изоморфен итерированному регулярному сплетению n копий . Здесь и для всех . ^{[7] [8]} Например, силовская 2-подгруппа группы S ₄ является указанной выше группой. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle W_{n}=\mathbb {Z} _{p}\wr ...\wr \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle W_{1}:=\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle W_{k}:=W_{k-1}\wr \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}}$

• Группа кубика Рубика — это нормальная подгруппа с индексом 12 в произведении сплетений, множителей, соответствующих симметрии 8 углов и 12 ребер. ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}\wr S_{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr S_{12})}$

• Группа преобразований, сохраняющих достоверность судоку (VPT), ​​содержит двойное сплетение ( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ , где факторами являются перестановки строк/столбцов внутри полосы или стека из 3 строк или 3 столбцов ( S ₃ ), перестановку самих полос/стеков ( S3 ₎ и транспозицию, меняющую местами полосы и стопки ( _S2 ) . Здесь наборы индексов Ω — это набор полос (соответственно стеков) (| Ω | = 3) и набор {полос, стеков} (| Ω | = 2). Соответственно, | С ₃ ≀ С ₃ | = | С ₃ | ³ | С ₃ | знак равно (3!) ⁴ и |( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ | = | С ₃ ≀ С ₃ | ² | С ₂ | = (3!) ⁸ × 2.

• Сплетения естественным образом возникают в симметриях полных корневых деревьев и их графов . Например, повторяющееся (итерированное) сплетение S ₂ ≀ S ₂ ≀ ... ≀ S ₂ является группой автоморфизмов полного бинарного дерева .

Рекомендации

1. Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёнвальдур Г.; Нойманн, Питер М. (1998), «Сплетения», Заметки о бесконечных группах перестановок , Конспекты лекций по математике, том. 1698, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 67–76, doi : 10.1007/bfb0092558, ISBN. 978-3-540-49813-1, получено 12 мая 2021 г.
2. Джозеф Дж. Ротман, Введение в теорию групп, с. 172 (1995)
3. М. Краснер и Л. Калужнин, «Produit Complete des Groupes de permutations et le problème d'extension de groups III», Acta Sci. Математика. 14, стр. 69–82 (1951).
4. JDP Мелдрам (1995). Сплетения групп и полугрупп . Лонгман [Великобритания] / Уайли [США]. п. ix. ISBN 978-0-582-02693-3.
5. Дж. В. Дэвис и А. О. Моррис, «Множитель Шура обобщенной симметричной группы», J. London Math. Соц. (2), 8, (1974), стр. 615–620.
6. П. Грачик, Г. Летак и Х. Массам, «Гипероктаэдрическая группа, представления симметричных групп и моменты реального распределения Уишарта», J. Theoret. Вероятно. 18 (2005), вып. 1, 1–42.
7. Джозеф Дж. Ротман, Введение в теорию групп, с. 176 (1995)
8. Л. Калужнин, «Структура p-групп Силова симметричных конечных групп», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Troisième Série 65, стр. 239–276 (1948).

Внешние ссылки

• Сплетение в Математической энциклопедии .
• Некоторые применения конструкции сплетенных изделий. Архивировано 21 февраля 2014 года в Wayback Machine.