Обильное количество

В теории чисел избыточное число или чрезмерное число — это положительное целое число, для которого сумма его собственных делителей больше самого числа. Число 12 — первое избыточное число. Его собственные делители — 1, 2, 3, 4 и 6, что в сумме дает 16. Величина, на которую сумма превышает число, называется избыточностью . Например, число 12 имеет избыточность 4.

Определение

Избыточное число — это натуральное число $n$ , для которого сумма делителей $σ (n)$ удовлетворяет условию $σ (n) > 2 n$ , или, что то же самое, сумма собственных делителей (или аликвотная сумма ) $s (n)$ удовлетворяет условию $s (n) > n$ .

Обилие натурального числа — это целое число $σ (n) - 2n$ (эквивалентно $s (n) - n$ ).

Примеры

Первые 28 избыточных чисел:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... (последовательность A005101 в OEIS ).

Например, собственные делители числа 24 — это 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 12, сумма которых равна 36. Поскольку 36 больше 24, число 24 является избыточным. Его избыточность равна 36 − 24 = 12.

Характеристики

Наименьшее нечетное избыточное число — 945.
Наименьшее избыточное число, не делящееся на 2 или на 3, — это 5391411025, чьи различные простые множители — 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29 (последовательность A047802 в OEIS ). Алгоритм, предложенный Ианнуччи в 2005 году, показывает, как найти наименьшее избыточное число, не делящееся на первые k простых чисел . ^[1] Если представляет наименьшее избыточное число, не делящееся на первые k простых чисел, то для всех имеем $А(к)$ $\epsilon >0$

(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }

для достаточно большого k .

Каждое кратное совершенному числу (кроме самого совершенного числа) является обильным. ^[2] Например, каждое кратное 6 больше 6 является обильным, потому что $1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.$
Каждое кратное избыточному числу является избыточным. ^[2] Например, каждое кратное 20 (включая само 20) является избыточным, потому что ${\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.$
Следовательно, существует бесконечно много четных и нечетных избыточных чисел.

Более того, множество избыточных чисел имеет ненулевую естественную плотность . ^[3] Марк Делеглиз показал в 1998 году, что естественная плотность множества избыточных чисел и совершенных чисел находится в пределах от 0,2474 до 0,2480. ^[4]
Избыточное число, которое не является кратным избыточному числу или совершенному числу (т.е. все его собственные делители являются недостаточным), называется примитивным избыточным числом.
Обильное число, обилие которого больше, чем любое меньшее число, называется высокообильным числом, а число, относительное обилие которого (т.е. s(n)/n ) больше, чем любое меньшее число, называется сверхобильным числом.
Каждое целое число, большее 20161, можно записать в виде суммы двух избыточных чисел. Наибольшее четное число, которое не является суммой двух избыточных чисел, — это 46. ^[5]
Избыточное число, которое не является полусовершенным числом, называется странным числом . ^[6] Избыточное число с избытком 1 называется квазисовершенным числом , хотя ни одно такое число пока не найдено.
Каждое избыточное число является кратным либо совершенному числу, либо примитивному избыточному числу.

Связанные концепции

Числа, сумма собственных множителей которых равна самому числу (например, 6 и 28), называются совершенными числами , тогда как числа, сумма собственных множителей которых меньше самого числа, называются недостаточными числами . Первая известная классификация чисел как недостаточных, совершенных или избыточных была сделана Никомахом в его Introductio Arithmetica (около 100 г. н. э.), который описал избыточные числа как деформированных животных со слишком большим количеством конечностей.

Индекс обилия n — это отношение σ ( n )/ n . ^[7] Различные числа n ₁ , n _{2 , ... (независимо от того}, обильные они или нет) с одинаковым индексом обилия называются дружественными числами .

Последовательность ( ak ₎ наименьших чисел n, таких, что σ ( n )> kn , в которой a2 =12 соответствует первому избыточному числу, растет очень быстро (последовательность _A134716 в OEIS ) .

Наименьшее нечетное целое число с индексом изобилия, превышающим 3, равно 1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29. ^[8]

Если p = ( p ₁ , ..., p _n ) — список простых чисел, то p называется обильным , если некоторое целое число, состоящее только из простых чисел в p, является обильным. Необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы произведение p _i /( p _i − 1) было > 2. ^[9]

Ссылки

^ Д. Ианнуччи (2005), «О наименьшем избыточном числе, не делящемся на первые k простых чисел», Бюллетень Бельгийского математического общества , 12 (1): 39–44, doi :10.36045/bbms/1113318127
^ ab Tattersall (2005) стр.134
^ Холл, Ричард Р.; Тененбаум, Джеральд (1988). Дивизоры . Кембриджские трактаты по математике. Т. 90. Кембридж: Cambridge University Press . С. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Збл 0653.10001.
^ Deléglise, Marc (1998). «Границы плотности обильных целых чисел». Experimental Mathematics . 7 (2): 137–143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . doi :10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A048242 (Числа, которые не являются суммой двух избыточных чисел)». Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Таттерсолл (2005) стр.144
^ Лаач, Ричард (1986). «Измерение обилия целых чисел». Mathematics Magazine . 59 (2): 84–92. doi :10.2307/2690424. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424. MR 0835144. Zbl 0601.10003.
^ Для наименьшего нечетного целого числа k с индексом распространенности, превышающим n , см. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A119240 (Наименьшее нечетное число k, такое, что sigma(k)/k >= n.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Фридман, Чарльз Н. (1993). «Суммы делителей и египетские дроби». Журнал теории чисел . 44 (3): 328–339. doi : 10.1006/jnth.1993.1057 . MR 1233293. Zbl 0781.11015.

Таттерсолл, Джеймс Дж. (2005). Элементарная теория чисел в девяти главах (2-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-85014-8. Збл 1071.11002.

Внешние ссылки

Главный глоссарий: обильное число
Вайсштейн, Эрик В. «Изобилие чисел». MathWorld .
Обильное число на PlanetMath .