Странное число

В теории чисел странное число — это натуральное число , которого много , но которое не является полусовершенным . ^[1]^[2] Другими словами, сумма правильных делителей ( делителей , включая 1, но не само число) числа больше, чем число, но никакое подмножество этих делителей не суммируется с самим числом.

Примеры

Наименьшее странное число — 70. Его правильные делители — 1, 2, 5, 7, 10, 14 и 35; их сумма равна 74, но никакое подмножество этих сумм не дает 70. Например, число 12 является многочисленным, но не странным, потому что собственные делители 12 — это 1, 2, 3, 4 и 6, что в сумме дает 16; но 2+4+6=12.

Первые несколько странных чисел:

70 , 836 , 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 0, 13930, 14770, ... (последовательность A006037 в ОЭИС ).

Характеристики

Нерешенная задача по математике :

Есть ли какие-нибудь странные странные цифры?

(еще нерешенные задачи по математике)

Существует бесконечно много странных чисел. ^[3] Например, 70 p является странным для всех простых чисел p ≥ 149. Фактически, набор странных чисел имеет положительную асимптотическую плотность . ^[4]

Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные странные числа. Если да, то они должны быть больше 10 ²¹ . ^[5]

Сидни Кравиц показал, что для k — положительное целое число , Q — простое число, превышающее 2 ^k , и

R={\frac {2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{k}}}

также простое число и больше 2 ^k , тогда

n=2^{k-1}QR

это странное число. ^[6] С помощью этой формулы он нашел большое странное число

n=2^{56}\cdot (2^{61}-1)\cdot 153722867280912929\ \approx \ 2\cdot 10^{52}.

Примитивные странные числа

Свойство странных чисел состоит в том, что если n является странным и p — простое число, большее суммы делителей σ( n ), то pn также является странным. ^[4] Это приводит к определению примитивных странных чисел : странных чисел, которые не кратны другим странным числам (последовательность A002975 в OEIS ). Среди 1765 странных чисел менее миллиона есть 24 примитивных странных числа. Конструкция Кравица дает примитивные странные числа, поскольку все странные числа этой формы примитивны, но существование бесконечного числа k и Q , которые дают простое число R, не гарантируется. Предполагается , что существует бесконечно много примитивных странных чисел, и Мелфи показал, что бесконечность примитивных странных чисел является следствием гипотезы Крамера . ^[7] Были найдены примитивные странные числа, состоящие из 16 простых делителей и 14712 цифр. ^[8] $2^{k}pq$

Смотрите также

Неприкасаемый номер

Внешние ссылки