Теория инвариантов

Математическое исследование инвариантов относительно симметрий

Теория инвариантов — это раздел абстрактной алгебры, изучающий действия групп на алгебраических многообразиях , таких как векторные пространства, с точки зрения их влияния на функции. Классически эта теория занималась вопросом явного описания полиномиальных функций , которые не изменяются или инвариантны относительно преобразований из заданной линейной группы . Например, если мы рассмотрим действие специальной линейной группы SL _n на пространстве матриц размера n на n левым умножением, то определитель будет инвариантом этого действия, поскольку определитель AX равен определителю X , когда A находится в SL _n .

Введение

Пусть будет группой , и конечномерным векторным пространством над полем ( которое в классической теории инвариантов обычно предполагалось как комплексные числа ). Представление в является групповым гомоморфизмом , который индуцирует групповое действие на . Если — пространство полиномиальных функций на , то групповое действие на производит действие на по следующей формуле: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k[V]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k[V]}$

${\displaystyle (g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x))\qquad \forall x\in V,g\in G,f\in k[V].}$

При таком действии естественно рассмотреть подпространство всех полиномиальных функций, которые инвариантны относительно этого группового действия, другими словами, множество полиномов таких, что для всех . Это пространство инвариантных полиномов обозначается . ${\displaystyle g\cdot f=f}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle k[V]^{G}}$

Первая проблема теории инвариантов : ^[1] Является ли конечно порожденной алгебра над ? ${\displaystyle k[V]^{G}}$ ${\displaystyle k}$

Например, если и пространство квадратных матриц, а действие на задается левым умножением, то изоморфно алгебре многочленов от одной переменной, порожденной определителем. Другими словами, в этом случае каждый инвариантный многочлен является линейной комбинацией степеней определительного многочлена. Так что в этом случае конечно порождено над . ${\displaystyle G=SL_{n}}$ ${\displaystyle V=M_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k[V]^{G}}$ ${\displaystyle k[V]^{G}}$ ${\displaystyle k}$

Если ответ да, то следующим вопросом будет нахождение минимального базиса и выяснение, является ли модуль полиномиальных отношений между элементами базиса (известными как сизигии ) конечно порожденным над . ${\displaystyle k[V]}$

Теория инвариантов конечных групп тесно связана с теорией Галуа . Одним из первых крупных результатов была основная теорема о симметрических функциях , которая описывала инварианты симметрической группы, действующей на многочленное кольцо ] перестановками переменных. В более общем смысле теорема Шевалле–Шепарда–Тодда характеризует конечные группы, алгебра инвариантов которых является многочленным кольцом. Современные исследования в области теории инвариантов конечных групп подчеркивают «эффективные» результаты, такие как явные границы степеней генераторов. Случай положительной характеристики , идеологически близкий к модулярной теории представлений , является областью активного изучения, связанной с алгебраической топологией . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}}$

Теория инвариантов бесконечных групп неразрывно связана с развитием линейной алгебры , особенно с теориями квадратичных форм и определителей . Другим предметом с сильным взаимным влиянием была проективная геометрия , где предполагалось, что теория инвариантов будет играть важную роль в организации материала. Одним из основных моментов этой связи является символический метод . Теория представлений полупростых групп Ли имеет свои корни в теории инвариантов.

Работа Дэвида Гильберта по вопросу о конечном порождении алгебры инвариантов (1890) привела к созданию новой математической дисциплины — абстрактной алгебры. Более поздняя работа Гильберта (1893) рассматривала те же вопросы более конструктивно и геометрически, но оставалась практически неизвестной до тех пор, пока Дэвид Мамфорд не вернул эти идеи к жизни в 1960-х годах в значительно более общей и современной форме в своей геометрической теории инвариантов . В значительной степени благодаря влиянию Мамфорда предмет теории инвариантов охватывает теорию действий линейных алгебраических групп на аффинных и проективных многообразиях. Отдельное направление теории инвариантов, восходящее к классическим конструктивным и комбинаторным методам девятнадцатого века, было разработано Джан-Карло Ротой и его школой. Ярким примером этого круга идей является теория стандартных мономов .

Примеры

Простые примеры инвариантной теории происходят из вычисления инвариантных мономов из группового действия. Например, рассмотрим -действие при отправке ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{aligned}}}$

Тогда, поскольку являются мономами наименьшей степени, которые являются инвариантными, то имеем, что ${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }\cong \mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

Этот пример служит основой для выполнения многих вычислений.

Истоки девятнадцатого века

Теория инвариантов возникла примерно в середине девятнадцатого века, подобно Минерве : взрослая девственница, облаченная в сияющие доспехи алгебры, она возникла из юпитерианской головы Кейли .

Вейль (1939б, стр.489)

Кэли впервые изложил инвариантную теорию в своей работе «О теории линейных преобразований» (1845). В начале своей статьи Кэли ссылается на статью Джорджа Буля 1841 года : «исследования были навеяны мне очень элегантной статьей на ту же тему... мистера Буля». (Статья Буля называлась «Изложение общей теории линейных преобразований», Cambridge Mathematical Journal.) ^[2]

Классически термин «теория инвариантов» относится к изучению инвариантных алгебраических форм (эквивалентно, симметричных тензоров ) для действия линейных преобразований . Это было основной областью исследований во второй половине девятнадцатого века. Современные теории, относящиеся к симметрической группе и симметрическим функциям , коммутативной алгебре , пространствам модулей и представлениям групп Ли, укоренены в этой области.

Более подробно, учитывая конечномерное векторное пространство V размерности n, мы можем рассмотреть симметричную алгебру S ( S ^r ( V )) многочленов степени r над V и действие GL( V ) на нее. На самом деле точнее рассматривать относительные инварианты GL( V ) или представления SL( V ), если мы собираемся говорить об инвариантах : это потому, что скалярное кратное тождества будет действовать на тензор ранга r в S( V ) через r -ю степень «веса» скаляра. Тогда дело в том, чтобы определить подалгебру инвариантов I ( S ^r ( V )) для действия. Мы, на классическом языке, рассматриваем инварианты n -арных r -иков, где n - размерность  V . (Это не то же самое, что нахождение инвариантов GL( V ) на S( V ); это неинтересная задача, поскольку единственными такими инвариантами являются константы.) Наиболее изученным случаем были инварианты бинарных форм , где n  = 2.

Другие работы включают работу Феликса Клейна по вычислению инвариантных колец конечных групповых действий на ( бинарных полиэдральных группах , классифицированных по классификации ADE ); это координатные кольца особенностей Дю Валя . ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

Подобно аравийскому фениксу, возрождающемуся из пепла, теория инвариантов, объявленная мертвой на рубеже веков, вновь оказалась на переднем крае математики.

Кунг и Рота (1984, стр. 27)

Работа Дэвида Гильберта , доказавшая, что I ( V ) конечно представлено во многих случаях, почти положила конец классической теории инвариантов на несколько десятилетий, хотя классическая эпоха в этом вопросе продолжалась до последних публикаций Альфреда Янга , более 50 лет спустя. Явные вычисления для конкретных целей были известны в наше время (например, Сиода, с двоичными октавами).

Теоремы Гильберта

Гильберт (1890) доказал, что если V — конечномерное представление комплексной алгебраической группы G = SL _n ( C ), то кольцо инвариантов группы G, действующее ^на кольце многочленов R = S ( V ), конечно порождено. Его доказательство использовало оператор Рейнольдса ρ из R в RG со свойствами

• ρ (1) = 1
• ρ ( а + б ) знак равно ρ ( а ) + ρ ( б )
• ρ ( ab ) = a ρ ( b ) всякий раз, когда a является инвариантом.

Гильберт построил оператор Рейнольдса явно, используя омега-процесс Кэли Ω, хотя сейчас более распространено конструировать ρ косвенно следующим образом: для компактных групп G оператор Рейнольдса получается путем взятия среднего по G , а некомпактные редуктивные группы можно свести к случаю компактных групп, используя унитарный прием Вейля .

Учитывая оператор Рейнольдса, теорема Гильберта доказывается следующим образом. Кольцо R является многочленным кольцом, поэтому градуировано по степеням, а идеал I определяется как идеал, порожденный однородными инвариантами положительных степеней. По теореме Гильберта о базисе идеал I конечно порожден (как идеал). Следовательно, I конечно порожден конечным числом инвариантов G (потому что если нам дано любое — возможно бесконечное — подмножество S , которое порождает конечно порожденный идеал I , то I уже порождено некоторым конечным подмножеством S ). Пусть i ₁ ,..., i _n — конечный набор инвариантов G , порождающих I (как идеал). Основная идея — показать, что они порождают кольцо ^{инвариантов RG} . Предположим, что x — некоторый однородный инвариант степени d  > 0. Тогда

х = а ₁ я ₁ + ... + а _н и _н

для некоторого a _j в кольце R, поскольку x принадлежит идеалу I. Мы можем предположить, что a _j является однородным степени d − deg i _j для каждого j (в противном случае мы заменим a _j его однородной компонентой степени d − deg i _j ; если мы сделаем это для каждого j , уравнение x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n останется справедливым). Теперь, применяя оператор Рейнольдса к x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _{n ,} получим

Икс знак равно ρ( а ₁ ) я ₁ + ... + ρ ( а _п ) я _п

Теперь мы покажем, что x лежит в R -алгебре, порожденной i ₁ ,..., i _n .

Сначала сделаем это в случае, когда все элементы ρ( a _k ) имеют степень меньше d . В этом случае все они находятся в R -алгебре, порожденной i ₁ ,..., i _n (по нашему предположению индукции). Следовательно, x также находится в этой R -алгебре (так как x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _n ).

В общем случае мы не можем быть уверены, что все элементы ρ( a _k ) имеют степень меньше d . Но мы можем заменить каждый ρ( a _k ) его однородной компонентой степени d − deg i _j . В результате эти модифицированные ρ( a _k ) по-прежнему являются G -инвариантами (потому что каждая однородная компонента G -инварианта является G -инвариантом) и имеют степень меньше d (так как deg i _k > 0). Уравнение x = ρ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _n по-прежнему справедливо для нашего модифицированного ρ( a _k ), поэтому мы можем снова заключить, что x лежит в R -алгебре, порожденной i ₁ ,..., i _n .

Следовательно, по индукции по степени, все элементы ^RG находятся в R -алгебре, порожденной i ₁ ,..., i _n .

Геометрическая инвариантная теория

Современная формулировка геометрической инвариантной теории принадлежит Дэвиду Мамфорду и подчеркивает построение фактора групповым действием, которое должно захватывать инвариантную информацию через свое координатное кольцо. Это тонкая теория, в которой успех достигается путем исключения некоторых «плохих» орбит и идентификации других с «хорошими» орбитами. В отдельном развитии символический метод инвариантной теории , по-видимому, эвристическая комбинаторная нотация, был реабилитирован.

Одной из мотиваций было построение пространств модулей в алгебраической геометрии как факторов схем, параметризующих отмеченные объекты. В 1970-х и 1980-х годах теория развивала взаимодействия с симплектической геометрией и эквивариантной топологией и использовалась для построения пространств модулей объектов в дифференциальной геометрии , таких как инстантоны и монополи .

Смотрите также

• Теорема Грама
• Теория представлений конечных групп
• серия Молиен
• Инвариант (математика)
• Инвариант бинарной формы
• Инвариантная мера
• Первая и вторая основные теоремы теории инвариантов

Ссылки

1. Борель, Арманд (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп . Т. История математики, т. 21. Американское математическое общество и Лондонское математическое общество. ISBN 978-0821802885.
2. Вольфсон, Пол Р. (2008). «Джордж Буль и истоки теории инвариантов». Historia Mathematica . 35 (1). Elsevier BV: 37–46. doi :10.1016/j.hm.2007.06.004. ISSN  0315-0860.

• Дьедонне, Жан А.; Каррелл, Джеймс Б. (1970), «Инвариантная теория, старая и новая», Advances in Mathematics , 4 : 1–80, doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 , ISSN  0001-8708, MR  0255525Перепечатано как Дьедонне, Жан А.; Каррелл, Джеймс Б. (1971), «Инвариантная теория, старая и новая», Advances in Mathematics , 4 , Бостон, Массачусетс: Academic Press : 1–80, doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 , ISBN 978-0-12-215540-6, МР  0279102
• Долгачев, Игорь (2003), Лекции по теории инвариантов , London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 296, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511615436, ISBN 978-0-521-52548-0, МР  2004511
• Грейс, Дж. Х.; Янг, Альфред (1903), Алгебра инвариантов, Кембридж: Cambridge University Press
• Гроссханс, Фрэнк Д. (1997), Алгебраические однородные пространства и теория инвариантов , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-63628-5
• Гильберт, Дэвид (1890), «Ueber die Theorie der алгебраических форм», Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503, ISSN  0025-5831
• Гильберт, Д. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme (О полных инвариантных системах)", Math. Аннален , 42 (3): 313, doi :10.1007/BF01444162
• Кунг, Джозеф ПС; Рота, Джан-Карло (1984), «Инвариантная теория бинарных форм», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 10 (1): 27–85, doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 , ISSN  0002-9904, MR  0722856
• Нойзель, Мара Д.; Смит, Ларри (2002), Инвариантная теория конечных групп , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2916-5 Новейший ресурс для изучения модулярных инвариантов конечных групп.
• Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2Введение в классическую теорию инвариантов бинарных форм на уровне бакалавриата, включая процесс Омега, начиная со страницы 87.
• Попов, В.Л. (2001) [1994], "Инварианты, теория", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Springer, TA (1977), Теория инвариантов , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-08242-5 Старый, но все еще полезный опрос.
• Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-82445-6 Прекрасное введение в теорию инвариантов конечных групп и методы их вычисления с использованием базисов Грёбнера.
• Вейль, Герман (1939), Классические группы. Их инварианты и представления, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, МР  0000255
• Вейль, Герман (1939б), «Инварианты», Duke Mathematical Journal , 5 (3): 489–502, doi :10.1215/S0012-7094-39-00540-5, ISSN  0012-7094, MR  0000030

Внешние ссылки

• Х. Крафт, К. Прочези, Классическая теория инвариантов, учебник для начинающих
• В. Л. Попов, Э. Б. Винберг, «Теория инвариантов», в Алгебраической геометрии . IV. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 г.) Springer-Verlag, Берлин, 1994; vi+284 стр.; ISBN 3-540-54682-0