Точечное отражение

Двойные тетраэдры, центрально симметричные друг другу

В геометрии точечное отражение (также называемое точечной инверсией или центральной инверсией ) — это геометрическое преобразование аффинного пространства , при котором каждая точка отражается относительно назначенного центра инверсии , который остается неподвижным . В евклидовых или псевдоевклидовых пространствах точечное отражение является изометрией ( сохраняет расстояние ). ^[1] В евклидовой плоскости точечное отражение — это то же самое, что и поворот на пол-оборота (180° или $π$ радиан ), тогда как в трехмерном евклидовом пространстве точечное отражение — это несобственное вращение , которое сохраняет расстояния, но меняет ориентацию . Точечное отражение — это инволюция : применение ее дважды является тождественным преобразованием .

Говорят, что объект, который инвариантен относительно точечного отражения, обладает точечной симметрией (также называемой инверсионной симметрией или центральной симметрией ). Точечная группа, включающая точечное отражение среди своих симметрий, называется центросимметричной . Инверсионная симметрия встречается во многих кристаллических структурах и молекулах и оказывает большое влияние на их физические свойства. ^[2]

Терминология

Термин отражение нестрогий и некоторые считают его злоупотреблением языком, предпочитая инверсию ; однако широко используется точечное отражение . Такие отображения являются инволюциями , что означает, что они имеют порядок 2 — они являются своими собственными обратными: применение их дважды дает тождественное отображение — что также верно для других отображений, называемых отражениями . Более узко, отражение относится к отражению в гиперплоскости ( размерное аффинное подпространство — точка на прямой , прямая в плоскости , плоскость в 3-пространстве), при этом гиперплоскость фиксирована, но более широко отражение применяется к любой инволюции евклидова пространства, а фиксированное множество (аффинное пространство размерности k , где ) называется зеркалом . В размерности 1 они совпадают, так как точка является гиперплоскостью на прямой. $n-1$ $1\leq k\leq n-1$

В терминах линейной алгебры, предполагая, что начало координат фиксировано, инволюции — это в точности диагонализуемые отображения со всеми собственными значениями либо 1, либо −1. Отражение в гиперплоскости имеет единственное собственное значение −1 (и кратность собственного значения 1), тогда как точечное отражение имеет только собственное значение −1 (с кратностью n ). $n-1$

Термин инверсия не следует путать с инверсионной геометрией , где инверсия определяется относительно окружности.

Примеры

В двух измерениях точечное отражение равносильно повороту на 180 градусов. В трех измерениях точечное отражение можно описать как поворот на 180 градусов, составленный с отражением поперек плоскости вращения, перпендикулярной оси вращения. В измерении n точечные отражения сохраняют ориентацию, если n четное, и меняют ориентацию, если n нечетное.

Формула

Для заданного вектора a в евклидовом пространстве R ⁿ формула отражения a относительно точки p имеет вид

\mathrm {Ref} _{\mathbf {p} }(\mathbf {a} )=2\mathbf {p} -\mathbf {a} .

В случае, когда p является началом координат, отражение точки является просто отрицанием вектора a .

В евклидовой геометрии инверсия точки X относительно точки P — это точка X * такая, что P является серединой отрезка с концами X и X *. Другими словами, вектор из X в P такой же, как вектор из P в X *.

Формула для инверсии в P имеет вид

х * = 2 п − х

где p , x и x * — векторы положений P , X и X * соответственно.

Это отображение является изометрическим инволютивным аффинным преобразованием , которое имеет ровно одну неподвижную точку , которая есть P.

Точечное отражение как частный случай равномерного масштабирования или гомотетии

Когда точка инверсии P совпадает с началом координат, отражение точки эквивалентно частному случаю равномерного масштабирования : равномерному масштабированию с масштабным коэффициентом, равным −1. Это пример линейного преобразования .

Когда P не совпадает с началом координат, отражение точки эквивалентно частному случаю гомотетического преобразования : гомотетии с гомотетическим центром, совпадающим с P, и масштабным коэффициентом −1. (Это пример нелинейного аффинного преобразования .)

Группа точечного отражения

Композиция двух точечных отражений представляет собой перенос . ^[3] В частности, точечное отражение в точке p , за которым следует точечное отражение в точке q, представляет собой перенос на вектор 2( q − p ).

Множество, состоящее из всех точечных отражений и переносов, является подгруппой Ли евклидовой группы . Это полупрямое произведение R ⁿ с циклической группой порядка 2, которая действует на R n ^{отрицанием} . Именно подгруппа евклидовой группы фиксирует прямую на бесконечности поточечно.

В случае n = 1 группа отражения точки является полной группой изометрий прямой.

Точечные отражения в математике

Отражение точки через центр сферы дает антиподальную карту .
Симметричное пространство — это риманово многообразие с изометрическим отражением относительно каждой точки. Симметричные пространства играют важную роль в изучении групп Ли и римановой геометрии .

Точечное отражение в аналитической геометрии

Если задана точка и ее отражение относительно точки , то последняя является серединой отрезка ; $P(x,y)$ $P'(x',y')$ $C(x_{c},y_{c})$ ${\overline {PP'}}$

{\begin{cases}x_{c}={\frac {x+x'}{2}}\\y_{c}={\frac {y+y'}{2}}\end{cases}}

Следовательно, уравнения для нахождения координат отраженной точки имеют вид

{\begin{cases}x'=2x_{c}-x\\y'=2y_{c}-y\end{cases}}

Частным является случай, когда точка C имеет координаты (см. абзац ниже) $(0,0)$

{\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}

Характеристики

В четномерном евклидовом пространстве , скажем, 2 N -мерном пространстве, инверсия в точке P эквивалентна N поворотам на углы $π$ в каждой плоскости произвольного набора из N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в точке P. Эти повороты взаимно коммутативны. Поэтому инверсия в точке в четномерном пространстве является изометрией, сохраняющей ориентацию, или прямой изометрией .

В нечетномерном евклидовом пространстве , скажем, ( 2N + 1)-мерном пространстве, это эквивалентно N поворотам на $π$ в каждой плоскости произвольного набора из N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в точке P , в сочетании с отражением в 2N -мерном подпространстве, охватываемом этими плоскостями поворота. Следовательно, это изменяет ориентацию , а не сохраняет ее , это косвенная изометрия .

Геометрически в 3D это равносильно повороту вокруг оси, проходящей через P , на угол 180° в сочетании с отражением в плоскости, проходящей через P , которая перпендикулярна оси; результат не зависит от ориентации (в другом смысле) оси. Обозначения для типа операции или типа группы, которую она генерирует, следующие: , C _i , S ₂ и 1×. Тип группы — один из трех типов групп симметрии в 3D без какой-либо чистой вращательной симметрии , см. циклические симметрии с n = 1. ${\overline {1}}$

Следующие точечные группы в трех измерениях содержат инверсию:

C _{n h} и D _{n h} для четных n
S _{2 n} и D _{n d} для нечетных n
Т , О _, и я _ч

С инверсией относительно точки тесно связано отражение относительно плоскости , которое можно рассматривать как «инверсию относительно плоскости».

Центры инверсии в кристаллах и молекулах

Инверсионная симметрия играет важную роль в свойствах материалов, как и другие операции симметрии. ^[2]

Некоторые молекулы содержат центр инверсии, когда существует точка, через которую все атомы могут отражаться, сохраняя симметрию. Во многих случаях их можно рассматривать как многогранники, классифицированные по их координационному числу и углам связи. Например, четырехкоординатные многогранники классифицируются как тетраэдры , в то время как пятикоординатные окружения могут быть квадратными пирамидальными или тригональными бипирамидальными в зависимости от углов связи. Шестикоординатные октаэдры являются примером центросимметричных многогранников, поскольку центральный атом действует как центр инверсии, через который шесть связанных атомов сохраняют симметрию. Тетраэдры, с другой стороны, нецентросимметричны, поскольку инверсия через центральный атом привела бы к развороту многогранника. Многогранники с нечетным (по сравнению с четным) координационным числом не являются центросимметричными. Многогранники, содержащие центры инверсии, известны как центросимметричные, в то время как те, у которых нет, являются нецентросимметричными. Наличие или отсутствие центра инверсии оказывает сильное влияние на оптические свойства; ^[4] Например, молекулы без инверсионной симметрии имеют дипольный момент и могут напрямую взаимодействовать с фотонами, в то время как молекулы с инверсией не имеют дипольного момента и взаимодействуют только посредством комбинационного рассеяния света . ^[5] Последнее названо в честь К. В. Рамана , который был удостоен Нобелевской премии по физике 1930 года за свое открытие. ^[6]

Кроме того, в кристаллографии наличие центров инверсии для периодических структур различает центросимметричные и нецентросимметричные соединения. Все кристаллические соединения происходят из повторения атомного строительного блока, известного как элементарная ячейка, и эти элементарные ячейки определяют, какие полиэдры образуются и в каком порядке. Во многих материалах, таких как оксиды, эти полиэдры могут соединяться вместе посредством общих углов, ребер или граней, в зависимости от того, какие атомы имеют общие связи, а также валентность. В других случаях, таких как металлы и сплавы, структуры лучше рассматривать как расположения плотно упакованных атомов. Кристаллы, которые не имеют симметрии инверсии, также демонстрируют пьезоэлектрический эффект . Наличие или отсутствие симметрии инверсии также имеет многочисленные последствия для свойств твердых тел, ^[2] , как и математические соотношения между различными симметриями кристаллов. ^[7]

Реальные многогранники в кристаллах часто не обладают однородностью, ожидаемой в их геометрии связей. Обычные нерегулярности, обнаруженные в кристаллографии, включают искажения и беспорядок. Искажение включает в себя искривление многогранников из-за неравномерных длин связей, часто из-за различных электростатических взаимодействий между гетероатомами или электронных эффектов, таких как искажения Яна-Теллера . Например, титановый центр, скорее всего, будет равномерно связан с шестью атомами кислорода в октаэдре, но искажение произойдет, если один из атомов кислорода будет заменен более электроотрицательным фтором. Искажения не изменят внутреннюю геометрию многогранников — искаженный октаэдр по-прежнему классифицируется как октаэдр, но достаточно сильные искажения могут оказать влияние на центросимметрию соединения. Беспорядок включает в себя раздельное заполнение двух или более позиций, в которых атом будет занимать одну кристаллографическую позицию в определенном проценте многогранников, а другой — в оставшихся позициях. Беспорядок может также влиять на центросимметрию некоторых многогранников в зависимости от того, разделена ли занятая область по уже имеющемуся центру инверсии.

Центросимметрия применима к кристаллической структуре в целом, а не только к отдельным многогранникам. Кристаллы классифицируются на тридцать две кристаллографические точечные группы , которые описывают, как различные многогранники располагаются в пространстве в объемной структуре. Из этих тридцати двух точечных групп одиннадцать являются центросимметричными. Наличие нецентросимметричных многогранников не гарантирует, что точечная группа будет одинаковой — две нецентросимметричные формы могут быть ориентированы в пространстве таким образом, что между ними будет центр инверсии. Два тетраэдра, обращенные друг к другу, могут иметь центр инверсии в середине, поскольку ориентация позволяет каждому атому иметь отраженную пару. Обратное также верно, поскольку несколько центросимметричных многогранников могут быть организованы так, чтобы образовать нецентросимметричную точечную группу.

Инверсия относительно начала координат

Инверсия относительно начала координат соответствует аддитивной инверсии вектора положения, а также скалярному умножению на −1. Операция коммутирует с любым другим линейным преобразованием , но не с переносом : она находится в центре общей линейной группы . «Инверсия» без указания «в точке», «на линии» или «на плоскости» означает эту инверсию; в физике трехмерное отражение через начало координат также называется преобразованием четности .

В математике отражение относительно начала координат относится к точечному отражению евклидова пространства R ⁿ относительно начала декартовой системы координат . Отражение относительно начала координат является ортогональным преобразованием, соответствующим скалярному умножению на , и может быть также записано как , где — единичная матрица . В трех измерениях это посылает , и так далее. $-1$ $-I$ $I$ $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$

Представления

Как скалярная матрица , она представлена в каждом базисе матрицей с на диагонали и вместе с единицей является центром ортогональной группы . $-1$ $O(n)$

Это произведение n ортогональных отражений (отражений относительно осей любого ортогонального базиса ); обратите внимание, что ортогональные отражения коммутируют.

В 2-х измерениях это фактически поворот на 180 градусов, а в измерении это поворот на 180 градусов в n ортогональных плоскостях; ^[a] еще раз отметим, что повороты в ортогональных плоскостях коммутируют. $2n$

Характеристики

Он имеет определитель (из представления матрицей или как произведение отражений). Таким образом, он сохраняет ориентацию в четном измерении, таким образом, является элементом специальной ортогональной группы SO(2 n ), и он меняет ориентацию в нечетном измерении, таким образом, не является элементом SO(2 n + 1) и вместо этого обеспечивает разбиение отображения , показывая, что это внутреннее прямое произведение . $(-1)^{n}$ $O(2n+1)\to \pm 1$ $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$

Вместе с единицей он образует центр ортогональной группы .
Он сохраняет каждую квадратичную форму, т.е. , и, таким образом, является элементом каждой неопределенной ортогональной группы . $Q(-v)=Q(v)$
Он равен тождеству тогда и только тогда, когда характеристика равна 2.
Это самый длинный элемент группы знаковых перестановок Кокстера .

Аналогично, это самый длинный элемент ортогональной группы относительно порождающего набора отражений: все элементы ортогональной группы имеют длину не более n относительно порождающего набора отражений, ^[b] а отражение относительно начала координат имеет длину n, хотя оно не уникально в этом: другие максимальные комбинации вращений (и, возможно, отражений) также имеют максимальную длину.

Геометрия

В SO(2 r ) отражение относительно начала координат является самой дальней точкой от тождественного элемента относительно обычной метрики. В O(2 r + 1) отражение относительно начала координат не находится в SO(2 r +1) (оно находится в нетождественном компоненте), и нет естественного смысла, в котором оно является «более дальней точкой», чем любая другая точка в нетождественном компоненте, но оно обеспечивает базовую точку в другом компоненте.

Алгебры Клиффорда и спиновые группы

Его не следует путать с элементом в группе спина . Это особенно запутанно для четных групп спина, как , и таким образом в есть и 2 подъема . $-1\in \mathrm {Spin} (n)$ $-I\in SO(2n)$ $\operatorname {Spin} (n)$ $-1$ $-I$

Отражение посредством тождества распространяется на автоморфизм алгебры Клиффорда , называемый основной инволюцией или инволюцией градуировки.

Отражение через тождество поднимается до псевдоскаляра .

Смотрите также

Примечания

^ «Ортогональные плоскости» означает, что все элементы ортогональны, и плоскости пересекаются только в точке 0, а не то, что они пересекаются по прямой и имеют двугранный угол 90°.
^ Это следует из классификации ортогональных преобразований как прямых сумм вращений и отражений, что следует , например, из спектральной теоремы .

Ссылки

^ "Отражения в линиях". new.math.uiuc.edu . Получено 2024-04-27 .
^ abc Nye, JF (1984). Физические свойства кристаллов: их представление тензорами и матрицами (1-е издание в pbk. с исправлениями, 1984 ред.). Oxford [Oxfordshire] : New York: Clarendon Press ; Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851165-6.
^ "Lab 9 Point Reflection". sites.math.washington.edu . Получено 2024-04-27 .
^ Харрис и Бертолуччи (1989). Симметрия и спектроскопия . Dover Publications. ISBN 978-0-486-66144-5.
^ Раман, CV (1928). «Новое излучение». Indian Journal of Physics . 2 : 387–398. hdl :10821/377. Вступительная речь, произнесенная в Южноиндийской научной ассоциации в пятницу, 16 марта 1928 г.
^ Сингх, Р. (2002). «CV Raman и открытие эффекта Рамана». Physics in Perspective . 4 (4): 399–420. Bibcode :2002PhP.....4..399S. doi :10.1007/s000160200002. S2CID 121785335.
^ Мюллер, Ульрих; Вондратчек, Ганс; Бернигхаузен, Хартмут (2017). Симметрические отношения между кристаллическими структурами: применение теории кристаллографических групп в кристаллохимии . Тексты Международного союза кристаллографии по кристаллографии (впервые опубликованы в мягкой обложке). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-880720-9.