Карта кота Арнольда

Хаотическое отображение из тора в себя

Рисунок, показывающий, как линейная карта растягивает единичный квадрат и как его части перестраиваются при выполнении операции по модулю . Линии со стрелками показывают направление сжимающихся и расширяющихся собственных пространств

В математике отображение кошки Арнольда — это хаотическое отображение тора в себя, названное в честь Владимира Арнольда , который продемонстрировал его эффекты в 1960-х годах, используя изображение кошки, отсюда и название. ^[1] Это простой и педагогический пример для гиперболических торических автоморфизмов.

Если рассматривать тор как фактор-пространство , то кошачье отображение Арнольда представляет собой преобразование, заданное формулой ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}}$

${\displaystyle \Gamma (x,y)=(2x+y,x+y){\bmod {1}}.}$

Эквивалентно, в матричной записи это

${\displaystyle \Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.}$

То есть, при единице, равной ширине квадратного изображения, изображение сдвигается на одну единицу вверх, затем на две единицы вправо, а все, что лежит за пределами этого квадрата, сдвигается назад на эту единицу, пока не окажется внутри квадрата.

Имя

Карта получила свое название от рукописи Арнольда 1967 года с Андре Авезом, Problèmes ergodiques de la mécanique classique , ^[1] , в которой контур кошки использовался для иллюстрации действия карты на торе. В оригинальной книге она была озаглавлена ​​юмористической сноской,

Общество защиты животных дало разрешение на воспроизведение этого изображения, а также других.

На родном русском языке Арнольда карта известна как « окрошка (холодный суп) из кошки» ( русский : окрошка из кошки ), что указывает на смешивающие свойства карты, и что образует игру слов. Позже Арнольд писал, что он нашел название «Кот Арнольда», под которым карта известна в английском и других языках, «странным». ^[2]

Характеристики

• Γ обратима, поскольку определитель матрицы равен 1, и, следовательно, ее обратная матрица имеет целые элементы ,
• Γ сохраняет площадь ,
• Γ имеет единственную гиперболическую неподвижную точку ( вершины квадрата). Линейное преобразование, которое определяет отображение, является гиперболическим: его собственные значения являются иррациональными числами, одно больше, а другое меньше 1 (по абсолютной величине), поэтому они связаны соответственно с расширяющимся и сжимающимся собственным пространством , которые также являются устойчивым и неустойчивым многообразиями . Собственные пространства ортогональны, поскольку матрица симметрична . Поскольку собственные векторы имеют рационально независимые компоненты, оба собственных пространства плотно покрывают тор. Отображение кошки Арнольда является особенно известным примером гиперболического торического автоморфизма , который является автоморфизмом тора, заданного квадратной унимодулярной матрицей, не имеющей собственных значений с абсолютным значением 1. ^[3]
• Множество точек с периодической орбитой плотно на торе. На самом деле точка является периодической тогда и только тогда, когда ее координаты рациональны .
• Γ топологически транзитивен (т.е. существует точка, орбита которой плотна ).
• Число точек с периодом равно точно (где и — собственные значения матрицы). Например, первые несколько членов этого ряда равны 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205 .... ^[4] (То же самое уравнение справедливо для любого унимодулярного гиперболического торического автоморфизма, если заменить собственные значения.) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |\lambda _{1}^{n}+\lambda _{2}^{n}-2|}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$
• Γ является эргодическим и перемешивающим ,
• Γ является диффеоморфизмом Аносова и, в частности, структурно устойчив .
• Тор отображения Γ является солвмногообразием , и, как и другие диффеоморфизмы Аносова, это многообразие имеет солвгеометрию .

Дискретная карта кошек

От порядка к хаосу и обратно. Пример отображения на картинке 150x150 пикселей. Число показывает шаг итерации; после 300 итераций возвращается исходное изображение.

Пример отображения на изображении пары вишен. Изображение имеет ширину 74 пикселя и требует 114 итераций для восстановления, хотя оно выглядит перевернутым в середине (57-я итерация).

Можно определить дискретный аналог карты кошки. Одной из особенностей этой карты является то, что изображение, по-видимому, рандомизировано преобразованием, но возвращается в исходное состояние после ряда шагов. Как можно видеть на соседнем рисунке, исходное изображение кошки срезается, а затем оборачивается вокруг в первой итерации преобразования. После нескольких итераций полученное изображение выглядит довольно случайным или неупорядоченным, однако после дальнейших итераций изображение, по-видимому, имеет дальнейший порядок — призрачные изображения кошки, несколько меньших копий, организованных в повторяющуюся структуру, и даже перевернутые копии исходного изображения — и в конечном итоге возвращается к исходному изображению.

Дискретное отображение кошек описывает поток фазового пространства , соответствующий дискретной динамике прыжка шарика из узла q _t (0 ≤ q _t < N ) в узел q _{t +1} на круговом кольце с окружностью N , согласно уравнению второго порядка :

${\displaystyle q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N}$

Определяя переменную импульса p _t = q _t  −  q _{t −1} , приведенную выше динамику второго порядка можно переписать как отображение квадрата 0 ≤ q , p < N ( фазового пространства дискретной динамической системы) на себя:

${\displaystyle q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N}$

Это отображение кота Арнольда показывает поведение смешивания , типичное для хаотических систем. Однако, поскольку преобразование имеет определитель, равный единице, оно сохраняет площадь и, следовательно, обратимо, причем обратное преобразование имеет вид:

${\displaystyle q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N}$

Для действительных переменных q и p принято задавать N = 1. В этом случае получается отображение единичного квадрата с периодическими граничными условиями на себя.

Когда N установлено в целое значение, переменные положения и импульса могут быть ограничены целыми числами, и отображение становится отображением тороидальной квадратной сетки точек на себя. Такое целочисленное отображение кошек обычно используется для демонстрации поведения смешивания с рекуррентностью Пуанкаре, использующей цифровые изображения. Можно показать, что количество итераций, необходимых для восстановления изображения, никогда не превышает 3N. ^[5]

Для изображения связь между итерациями можно выразить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}n=0:\quad &T^{0}(x,y)&=&{\text{Input Image}}(x,y)\\n=1:\quad &T^{1}(x,y)&=&T^{0}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=k:\quad &T^{k}(x,y)&=&T^{k-1}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=m:\quad &{\text{Output Image}}(x,y)&=&T^{m}(x,y)\end{array}}}$

Модели

Код Python для карты кошек Арнольда

импортировать  осиз  PIL.Импорт  изображения  открыт  как  load_pic ,  новый  как  new_picdef  main ( path ,  iterations ,  keep_all = False ,  name = " arnold_cat- { name } - { index} .png" ) : """  Параметры  path:str  путь к фотографии  iterations:int  количество итераций для вычисления  name:str  форматируемая строка для использования в качестве шаблона для имен файлов "  "" title = os.path.splitext ( os.path.split ( path ) [ 1 ] ) [ 0 ] counter = 0 while counter < iterations : с load_pic ( path ) в качестве изображения : dim = width , height = image.size с new_pic ( image.mode , dim ) в качестве холста : for x in range ( width ) : for y in range ( height ) : nx = ( 2 * x + y ) % width ny = ( x + y ) % height                                                   холст.putpixel (( nx , высота - ny - 1 ) , изображение.getpixel ( ( x , высота - y - 1 ) ) )    если  счетчик  >  0  и  не  keep_all :  os.remove ( path ) counter + = 1 print ( counter , end = " \ r " ) path = name.format ( name = title , index = counter ) canvas.save ( path )​​​​           вернуть  холстif  __name__  ==  "__main__" :  path  =  input ( "Введите путь к изображению: \n\t " )  while  not  os . path . exist ( path ):  path  =  input ( "Не удалось найти выбранное изображение, попробуйте еще раз: \n\t " )  result  =  main ( path ,  3 )  result . show ()

Смотрите также

• Математический портал

• Список хаотичных карт
• График повторяемости

Ссылки

1. Владимир И. Арнольд ; А. Авез (1967). Problèmes Ergodiques de la Mécanique Classique (на французском языке). Париж: Готье-Виллар.; Английский перевод: VI Arnold; A. Avez (1968). Эргодические проблемы в классической механике . Нью-Йорк: Benjamin.
2. Арнольд, VI (2015). Лекции и задачи: Подарок молодым математикам . Беркли, Калифорния, США: Научно-исследовательский институт математических наук.
3. Фрэнкс, Джон М. (октябрь 1977 г.). «Инвариантные множества гиперболических торических автоморфизмов». American Journal of Mathematics . 99 (5). Издательство Университета Джона Хопкинса: 1089–1095. doi : 10.2307/2374001. ISSN  0002-9327. JSTOR  2374001.
4. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A004146". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
5. Дайсон, Фримен Джон ; Фальк, Гарольд (1992). «Период дискретного отображения кошек». The American Mathematical Monthly . 99 (7). Математическая ассоциация Америки: 603–614. doi :10.2307/2324989. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324989.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Карта кота Арнольда». MathWorld .
• Влияние рандомизации начальных условий на время повторения
• Карта кота Арнольда, автор Энрике Зелени, The Wolfram Demonstrations Project .
• Карта кота Арнольда: интерактивное графическое исследование