Квадрик

Место расположения нулей многочлена второй степени

В математике квадрика или квадратичная поверхность ( квадричная гиперповерхность в более высоких измерениях ) является обобщением конических сечений ( эллипсов , парабол и гипербол ). Это гиперповерхность (размерности D ) в ( D + 1) -мерном пространстве, определяемая как нулевое множество неприводимого полинома второй степени от D + 1 переменных; например, D = 1 в случае конических сечений. Когда определяющий полином не является абсолютно неприводимым , нулевое множество обычно не считается квадрикой, хотя его часто называют вырожденной квадрикой или приводимой квадрикой .

Таким образом , в координатах x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1} общая квадрика определяется алгебраическим уравнением ^[1]

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{D+1}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{D+1}P_{i}x_{i}+R=0}$

что можно компактно записать в векторной и матричной записи как:

${\displaystyle xQx^{\mathrm {T} }+Px^{\mathrm {T} }+R=0\,}$

где x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1} ) — вектор -строка , x ^T — транспонирование x ( вектор-столбец), Q — ( D + 1) × ( D + 1 ) матрица , P — ( D + 1) -мерный вектор-строка, а R — скалярная константа. Значения Q , P и R часто считаются действительными или комплексными числами , но квадрика может быть определена для любого поля .

Квадрика — это аффинное алгебраическое многообразие или, если оно приводимо, аффинное алгебраическое множество . Квадрики также могут быть определены в проективных пространствах ; см. § Нормальную форму проективных квадрик ниже.

Евклидова плоскость

Поскольку размерность евклидовой плоскости равна двум, квадрики в евклидовой плоскости имеют размерность один и, таким образом, представляют собой плоские кривые . Их называют коническими сечениями , или кониками .

Круг ( e  = 0), эллипс ( e  = 0,5), парабола ( e  = 1) и гипербола ( e  = 2) с фиксированным фокусом F и директрисой.

Евклидово пространство

В трехмерном евклидовом пространстве квадрики имеют размерность два и известны как квадратичные поверхности . Их квадратные уравнения имеют вид

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0,}$

где действительные числа, и по крайней мере одно из A , B и C не равно нулю. ${\displaystyle A,B,\ldots ,J}$

Квадрикические поверхности классифицируются и называются по их форме, которая соответствует орбитам при аффинных преобразованиях . То есть, если аффинное преобразование отображает квадрику на другую, они принадлежат к одному классу, имеют одно и то же имя и множество свойств.

Теорема о главной оси показывает, что для любой (возможно, приводимой) квадрики подходящая замена декартовых координат или, что то же самое, евклидово преобразование позволяет привести уравнению квадрики к уникальной простой форме, в которой сразу виден класс квадрики. Эта форма называется нормальной формой уравнения, поскольку две квадрики имеют одинаковую нормальную форму тогда и только тогда, когда существует евклидово преобразование, переводящее одну квадрику в другую. Нормальные формы следующие:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{1}{z^{2} \over c^{2}}+\varepsilon _{2}=0,}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{3}=0}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{4}=0,}$

${\displaystyle z={x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{5}{y^{2} \over b^{2}},}$

где равны 1, –1 или 0, за исключением того, что принимает только значение 0 или 1. ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}}$

Каждая из этих 17 нормальных форм ^[2] соответствует одной орбите при аффинных преобразованиях. В трех случаях вещественных точек нет: ( мнимый эллипсоид ), ( мнимый эллиптический цилиндр ) и (пара комплексно-сопряженных параллельных плоскостей, приводимая квадрика). В одном случае, воображаемом конусе , имеется единственная точка ( ). Если есть линия (фактически две комплексно-сопряженные пересекающиеся плоскости). Ибо у одного есть две пересекающиеся плоскости (приводимая квадрика). Ибо у одного есть двойной самолет. Ибо у одного есть две параллельные плоскости (приводимая квадрика). ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=0,\varepsilon _{2}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=1,\varepsilon _{2}=0}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=-1,}$

Таким образом, среди 17 нормальных форм есть девять истинных квадрик: конус, три цилиндра (часто называемые вырожденными квадриками) и пять невырожденных квадрик ( элллипсоид , параболоид и гиперболоид ), которые подробно описаны в следующих таблицах. Восемь оставшихся квадрик — это воображаемый эллипсоид (без вещественной точки), воображаемый цилиндр (без вещественной точки), воображаемый конус (одна действительная точка) и приводимые квадрики, которые разложены в двух плоскостях; Таких разложенных квадрик пять, в зависимости от того, различны они или нет, параллельны или нет, вещественны или комплексно сопряжены.

Когда два или более параметров канонического уравнения равны, получается квадрика вращения , которая остается инвариантной при вращении вокруг оси (или бесконечного числа осей, в случае сферы).

Определение и основные свойства

Аффинная квадрика — это множество нулей многочлена второй степени. Если не указано иное, предполагается, что полином имеет действительные коэффициенты, а нули — это точки в евклидовом пространстве . Однако большинство свойств остаются верными, когда коэффициенты принадлежат любому полю , а точки принадлежат аффинному пространству . Как обычно в алгебраической геометрии , часто бывает полезно рассматривать точки над алгебраически замкнутым полем , содержащим полиномиальные коэффициенты, обычно комплексные числа , когда коэффициенты действительны.

Многие свойства становится легче сформулировать (и доказать) путем расширения квадрики до проективного пространства посредством проективного завершения , состоящего из добавления точек на бесконечности . Технически, если

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

является многочленом второй степени, определяющим аффинную квадрику, то его проективное пополнение определяется путем усреднения p в

${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})=X_{0}^{2}\,p\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}$

(это полином, поскольку степень p равна двум). Точками проективного пополнения являются точки проективного пространства, проективные координаты которых являются нулями P .

Итак, проективная квадрика — это множество нулей в проективном пространстве однородного многочлена второй степени.

Поскольку описанный выше процесс гомогенизации можно обратить вспять, установив X ₀ = 1 :

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

часто полезно не отличать аффинную квадрику от ее проективного пополнения и говорить об аффинном уравнении или проективном уравнении квадрики. Однако это не полная эквивалентность; обычно это случай, который будет включать точки с , которые также не являются решениями, поскольку эти точки в проективном пространстве соответствуют точкам «на бесконечности» в аффинном пространстве. ${\displaystyle P(\mathbf {X} )=0}$ ${\displaystyle X_{0}=0}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$

Уравнение

Квадрика в аффинном пространстве размерности n — это множество нулей многочлена степени 2. То есть это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

где многочлен p имеет вид

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i,0}+a_{0,i})x_{i}+a_{0,0}\,,}$

для матрицы с и от 0 до . Обычно предполагается , что характеристика поля коэффициентов не равна двум ; эквивалентно . Когда характеристика поля коэффициентов равна двум, обычно предполагается, что ; эквивалентно верхний треугольный . ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$ ${\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle a_{i,j}=0}$ ${\displaystyle j<i}$ ${\displaystyle A}$

Уравнение можно сократить, так как матричное уравнение

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} =0\,,}$

с

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}\,.}$

Уравнение проективного пополнения практически идентично:

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {X} =0,}$

с

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$

Эти уравнения определяют квадрику как алгебраическую гиперповерхность размерности n – 1 и степени два в пространстве размерности n .

Квадрика называется невырожденной, если матрица обратима . ${\displaystyle A}$

Невырожденная квадрика неособа в том смысле, что ее проективное пополнение не имеет особой точки (цилиндр неособ в аффинном пространстве, но является вырожденной квадрикой, имеющей особую точку на бесконечности).

Особыми точками вырожденной квадрики являются точки, проективные координаты которых принадлежат нулевому пространству матрицы A .

Квадрика приводима тогда и только тогда, когда ранг A равен единице (случай двойной гиперплоскости) или двум (случай двух гиперплоскостей).

Нормальная форма проективных квадрик

В реальном проективном пространстве , согласно закону инерции Сильвестра , неособая квадратичная форма P ( X ) может быть приведена в нормальную форму

${\displaystyle P(X)=\pm X_{0}^{2}\pm X_{1}^{2}\pm \cdots \pm X_{D+1}^{2}}$

с помощью подходящего проективного преобразования (нормальные формы сингулярных квадрик могут иметь как нули, так и ±1 в качестве коэффициентов). Для двумерных поверхностей (размерность D  = 2) в трехмерном пространстве существует ровно три невырожденных случая:

${\displaystyle P(X)={\begin{cases}X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}-X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\end{cases}}}$

Первый случай — пустое множество.

Второй случай порождает эллипсоид, эллиптический параболоид или двухлистный гиперболоид в зависимости от того, разрезает ли выбранная плоскость на бесконечности квадрику в пустом множестве, в точке или в невырожденной конике соответственно. Все они имеют положительную гауссову кривизну .

Третий случай порождает гиперболический параболоид или однолистный гиперболоид в зависимости от того, разрезает ли плоскость на бесконечности две прямые или невырожденную конику соответственно. Это двулинейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны.

Вырожденная форма

${\displaystyle X_{0}^{2}-X_{1}^{2}-X_{2}^{2}=0.\,}$

генерирует эллиптический цилиндр, параболический цилиндр, гиперболический цилиндр или конус, в зависимости от того, пересекает ли плоскость на бесконечности его точку, прямую, две прямые или невырожденную конику соответственно. Это однолинейчатые поверхности нулевой гауссовой кривизны.

Мы видим, что проективные преобразования не смешивают гауссовы кривизны разных знаков. Это справедливо для поверхностей общего назначения. ^[3]

В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики становятся неотличимы друг от друга.

Рациональная параметризация

Для неособой точки А квадрики прямая, проходящая через А , либо касается квадрики, либо пересекает квадрику ровно в одной другой точке (как обычно, прямая, содержащаяся в квадрике, считается касательной, так как она содержится в касательной гиперплоскости ). Это означает, что прямые, проходящие через А и не касающиеся квадрики, находятся во взаимно однозначном соответствии с точками квадрики, не принадлежащими касательной гиперплоскости в точке А. Выражение точек квадрики через направление соответствующей прямой дает параметрические уравнения следующего вида.

В случае конических сечений (квадричных кривых) эта паметризация устанавливает биекцию между проективным коническим сечением и проективной прямой ; эта биекция является изоморфизмом алгебраических кривых . В более высоких размерностях параметризация определяет бирациональное отображение , которое представляет собой биекцию между плотными открытыми подмножествами квадрики и проективным пространством той же размерности (рассматриваемая топология является обычной в случае вещественной или комплексной квадрики, или топология Зарисского во всех случаях). Точки квадрики, не входящие в образ этой биекции, являются точками пересечения квадрики и ее касательной гиперплоскости в точке A.

В аффинном случае параметризация представляет собой рациональную параметризацию вида

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{f_{0}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n,}$

где – координаты точки квадрики, – параметры, – многочлены степени не выше двух. ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}}$

В проективном случае параметризация имеет вид

${\displaystyle X_{i}=F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})\quad {\text{for }}i=0,\ldots ,n,}$

где – проективные координаты точки квадрики, – параметры, – однородные многочлены второй степени. ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$ ${\displaystyle F_{0},\ldots ,F_{n}}$

От одной параметризации к другой можно перейти, поставив и ${\displaystyle x_{i}=X_{i}/X_{0},}$ ${\displaystyle t_{i}=T_{i}/T_{n}\,:}$

${\displaystyle F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})=T_{n}^{2}\,f_{i}\!{\left({\frac {T_{1}}{T_{n}}},\ldots ,{\frac {T_{n-1}}{T_{n}}}\right)}.}$

Для вычисления параметризации и доказательства того, что степени соответствуют заявленным, в аффинном случае можно поступить следующим образом. Аналогично можно поступить и в проективном случае.

Пусть q - квадратичный многочлен, определяющий квадрику, и - координатный вектор данной точки квадрики (итак, Пусть - координатный вектор точки квадрики, подлежащей параметризации, и - вектор, определяющий направление, используемое для параметризация (направления, последняя координата которых равна нулю, здесь не учитываются; это означает, что некоторые точки аффинной квадрики не параметризуются; часто говорят, что они параметризуются точками, находящимися на бесконечности в пространстве параметров). пересечение квадрики и проходящей через нее направляющей являются точками такими, что ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots a_{n})}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} )=0).}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},\ldots ,t_{n-1},1)}$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$

${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$

при некотором значении скаляра Это уравнение второй степени, за исключением значений таких, что прямая касается квадрики (в этом случае степень равна единице, если прямая не входит в квадрику, или уравнение становится иначе). Коэффициенты и имеют соответственно степень не выше одной и второй. Поскольку постоянный коэффициент равен, уравнение становится линейным в результате деления на, а его единственным решением является частное многочлена степени не выше одной на многочлен степени не выше двух. Подстановка этого решения в выражение единицы дает искомую параметризацию в виде дробей полиномов степени не выше двух. ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle 0=0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} .}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} )=0,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$

Пример: круг и сферы.

Рассмотрим квадрику уравнения

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}-1=0.}$

Ибо это единичный круг ; ибо это единичная сфера ; в более высоком измерении это единичная гиперсфера . ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle n=3}$

Точка принадлежит квадрике (выбор этой точки среди других подобных точек — лишь вопрос удобства). Итак, уравнение предыдущего раздела принимает вид ${\displaystyle \mathbf {a} =(0,\ldots ,0,-1)}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$

${\displaystyle (\lambda t_{1}^{2})+\cdots +(\lambda t_{n-1})^{2}+(1-\lambda )^{2}-1=0.}$

Расширяя квадраты, упрощая постоянные члены, деля и решая в одном, получаем ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.}$

Подставив это в выражение последней координаты и упростив его, получим параметрическое уравнение ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2t_{1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\\vdots \\x_{n-1}={\frac {2t_{n-1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\x_{n}={\frac {1-t_{1}^{2}-\cdots -t_{n-1}^{2}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.\end{cases}}}$

Путем гомогенизации получаем проективную параметризацию

${\displaystyle {\begin{cases}X_{0}=T_{1}^{2}+\cdots +T_{n}^{2}\\X_{1}=2T_{1}T_{n}\\\vdots \\X_{n-1}=2T_{n-1}T_{n}\\X_{n}=T_{n}^{2}-T_{1}^{2}-\cdots -T_{n-1}^{2}.\end{cases}}}$

Непосредственная проверка показывает, что это вызывает биекцию между точками квадрики, такими что, и точками, такими, что в проективном пространстве параметров. С другой стороны, все значения такие, что и дают точку ${\displaystyle X_{n}\neq -X_{0}}$ ${\displaystyle T_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle (T_{1},\ldots ,T_{n})}$ ${\displaystyle T_{n}=0}$ ${\displaystyle T_{1}^{2}+\cdots +T_{n-1}^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle A.}$

В случае конических сечений ( ) существует ровно одна точка с и существует биекция между окружностью и проективной прямой. ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle T_{n}=0.}$

Ибо существует много точек с и, следовательно, много значений параметров для точки. С другой стороны, другие точки квадрики, для которых (и, следовательно , ) не могут быть получены ни при каком значении параметров. Эти точки являются точками пересечения квадрики и ее касательной плоскости при . В данном конкретном случае эти точки имеют невещественные комплексные координаты, но достаточно изменить один знак в уравнении квадрики для получения вещественных точек, которые не получаются при результирующая параметризация. ${\displaystyle n>2,}$ ${\displaystyle T_{n}=0,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X_{n}=-X_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}=-1}$ ${\displaystyle A.}$

Рациональные точки

Квадрика определяется над полем , если коэффициенты ее уравнения принадлежат множеству. Когда это поле рациональных чисел , можно предположить, что коэффициенты являются целыми числами , путем очистки знаменателей . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Точка квадрики, определенной над полем, называется рациональной , если ее координаты принадлежат. Рациональная точка над полем действительных чисел называется вещественной точкой. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Рациональная точка над называется просто рациональной точкой . Очистив знаменатели, можно предположить и вообще предполагается, что проективные координаты рациональной точки (в квадрике, определенной над ) являются целыми числами. Кроме того, очищая знаменатели коэффициентов, обычно предполагается, что все коэффициенты уравнения квадрики и полиномы, встречающиеся при параметризации, являются целыми числами. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Таким образом, нахождение рациональных точек проективной квадрики равносильно решению диофантова уравнения .

Учитывая рациональную точку A над квадрикой над полем F , параметризация, описанная в предыдущем разделе, обеспечивает рациональные точки, когда параметры находятся в F , и, наоборот, каждая рациональная точка квадрики может быть получена из параметров в F , если точка не находится в касательной гиперплоскости в точке A.

Отсюда следует, что если квадрика имеет рациональную точку, у нее есть много других рациональных точек (бесконечно много, если F бесконечно), и эти точки могут быть сгенерированы алгоритмически, как только будет известна одна из них.

Как сказано выше, в случае проективных квадрик, определенных над параметризацией, принимает вид ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle X_{i}=F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})\quad {\text{for }}i=0,\ldots ,n,}$

где – однородные многочлены второй степени с целыми коэффициентами. Из-за однородности можно рассматривать только параметры, которые являются взаимно простыми целыми числами. Если – уравнение квадрики, то решение этого уравнения называется примитивным , если его компоненты являются взаимно простыми целыми числами. Примитивные решения находятся во взаимно однозначном соответствии с рациональными точками квадрики ( с точностью до смены знака всех компонент решения). Непримитивные целочисленные решения получаются путем умножения примитивных решений на произвольные целые числа; поэтому они не заслуживают специального изучения. Однако взаимно простые параметры могут давать непримитивные решения, и, возможно, придется разделить на наибольший общий делитель , чтобы получить соответствующее примитивное решение. ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle Q(X_{0},\ldots ,X_{n})=0}$

Пифагоровы тройки

Это хорошо иллюстрируют пифагоровы тройки . Тройка Пифагора — это тройка натуральных чисел такая, что тройка Пифагора является примитивной , если они взаимно просты или, что то же самое, если любая из трех пар и взаимно проста. ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle (b,c)}$ ${\displaystyle (a,c)}$

Выбор вышеуказанного метода обеспечивает параметризацию ${\displaystyle A=(-1,0,1),}$

${\displaystyle {\begin{cases}a=m^{2}-n^{2}\\b=2mn\\c=m^{2}+m^{2}\end{cases}}}$

для квадрики уравнения (названия переменных и параметров меняются с приведенных выше на те, которые распространены при рассмотрении пифагоровых троек). ${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$

Если m и n — взаимно простые целые числа, такие, что полученная тройка является тройкой Пифагора. Если один из m и n четный, а другой нечетный, полученная тройка является примитивной; в противном случае m и n оба нечетны, и путем деления на 2 получается примитивная тройка. ${\displaystyle m>n>0,}$

Таким образом, примитивные пифагоровы тройки с четностью получаются как ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2},}$

с m и n взаимно простыми целыми числами, один из которых четный и (это формула Евклида ). Примитивные пифагоровы тройки с нечетными получаются как ${\displaystyle m>n>0}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad b=mn,\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}},}$

с m и n взаимно простыми нечетными целыми числами такими, что ${\displaystyle m>n>0.}$

Поскольку замена a и b превращает одну пифагорову тройку в другую пифагорову тройку, только одного из двух случаев достаточно для создания всех примитивных пифагоровых троек.

Проективные квадрики над полями

Определение проективной квадрики в вещественном проективном пространстве (см. выше) можно формально адаптировать, определив проективную квадрику в n -мерном проективном пространстве над полем . Чтобы не иметь дело с координатами, проективная квадрика обычно определяется, начиная с квадратичной формы в векторном пространстве. ^[4]

Квадратичная форма

Пусть – поле и векторное пространство над . Отображение из в такое, что ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

(Q1) для любых и . ${\displaystyle \;q(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{2}q({\vec {x}})\;}$ ${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$

(Q2) — билинейная форма . ${\displaystyle \;f({\vec {x}},{\vec {y}}):=q({\vec {x}}+{\vec {y}})-q({\vec {x}})-q({\vec {y}})\;}$

называется квадратичной формой . Билинейная форма симметрична . ${\displaystyle f}$

В случае билинейной формы есть , т.е. и взаимно определяются единственным образом. В случае (это означает: ) билинейная форма обладает свойством , т.е. является симплектической . ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=2q({\vec {x}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle q}$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle 1+1=0}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$ ${\displaystyle f}$

Ибо и ( является основанием ) имеет привычный вид ${\displaystyle V=K^{n}\ }$ ${\displaystyle \ {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad }$ ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \ q}$

${\displaystyle q({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}\ {\text{ with }}\ a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})\ {\text{ for }}\ i\neq k\ {\text{ and }}\ a_{ii}:=q({\vec {e}}_{i})\ }$и

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}(x_{i}y_{k}+x_{k}y_{i})}$.

Например:

${\displaystyle n=3,\quad q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},\quad f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$

n -мерное проективное пространство над полем

Пусть будет поле, , ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle V_{n+1}}$ an ( n + 1) — размерное векторное пространство над полем ${\displaystyle K,}$

${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle }$одномерное подпространство, порожденное ${\displaystyle {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V_{n+1}}$ ,

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \mid {\vec {x}}\in V_{n+1}\},\ }$набор точек ,

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{{\text{2-dimensional subspaces of }}V_{n+1}\},\ }$набор линий .

${\displaystyle P_{n}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}})\ }$— n -мерное проективное пространство над . ${\displaystyle K}$

Множество точек, содержащихся в -мерном подпространстве, является -мерным подпространством . Двумерное подпространство — это плоскость . ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle V_{n+1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$

В случае -мерного подпространства называется гиперплоскостью . ${\displaystyle \;n>3\;}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Проективная квадрика

Квадратичная форма в векторном пространстве определяет квадрику в соответствующем проективном пространстве как набор точек таких, что . То есть, ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V_{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle q({\vec {x}})=0}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid q({\vec {x}})=0\}.}$

Примеры в .: ${\displaystyle P_{2}(K)}$
(E1): Ибо получается коника . (E2): Ибо получается пара строк с уравнениями и , соответственно. Они пересекаются в точке ; ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ ${\displaystyle x_{1}=0}$ ${\displaystyle x_{2}=0}$ ${\displaystyle \langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle }$

Для рассуждений ниже предполагается, что . ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\neq \emptyset }$

Полярное пространство

Для точки набор ${\displaystyle P=\langle {\vec {p}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle P^{\perp }:=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\}}$

называется полярным пространством ( относительно ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$

Если для любого , то получается . ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle P^{\perp }={\mathcal {P}}}$

Если хотя бы для одного уравнение является нетривиальным линейным уравнением, определяющим гиперплоскость. Следовательно ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})\neq 0\;}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$

${\displaystyle P^{\perp }}$является либо гиперплоскостью , либо . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Пересечение с линией

Для пересечения произвольной прямой с квадрикой могут иметь место следующие случаи: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

а) и называется внешней линией ${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=\emptyset \;}$ ${\displaystyle g}$

б) и называется прямой в квадрике ${\displaystyle g\subset {\mathcal {Q}}\;}$ ${\displaystyle g}$

в) и называется касательной ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1\;}$ ${\displaystyle g}$

г) и называется секущей линией . ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2\;}$ ${\displaystyle g}$

Доказательство: Позвольте быть прямой, которая пересекается в точке и является второй точкой на . Из одного получается I) В случае, когда уравнение выполняется и оно справедливо для любого . Следовательно, либо для любого , либо для любого , что доказывает б) и б'). II) В случае получения одного и уравнение имеет ровно одно решение . Отсюда: , что доказывает в). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \;U=\langle {\vec {u}}\rangle \;}$ ${\displaystyle \;V=\langle {\vec {v}}\rangle \;}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \;q({\vec {u}})=0\;}$
${\displaystyle q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q(x{\vec {u}})+q({\vec {v}})+f(x{\vec {u}},{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})\;.}$
${\displaystyle g\subset U^{\perp }}$ ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})=0}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})\;}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})\neq 0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$
${\displaystyle g\not \subset U^{\perp }}$ ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})\neq 0}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})=0\;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$

Кроме того, доказательство показывает:

Прямая, проходящая через точку, является касательной тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle g\subset P^{\perp }}$

f -радикал, q -радикал

В классических случаях или существует только один радикал, поскольку и и тесно связаны. В случае, когда квадрика не определяется (см. выше), приходится иметь дело с двумя радикалами: ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle f}$

а) является проективным подпространством. называется f -радикалом квадрики . ${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{P\in {\mathcal {P}}\mid P^{\perp }={\mathcal {P}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

б) называется сингулярным радикалом или -радикалом . ${\displaystyle {\mathcal {S}}:={\mathcal {R}}\cap {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

в) В случае наличия . ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}}$

Квадрика называется невырожденной, если . ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\emptyset }$

Примеры ${\displaystyle P_{2}(K)}$ (см. выше):
(E1): Для (конической) билинейная форма: В случае полярных пространств никогда не бывает . Следовательно . В случае билинейной формы сводится к и . Следовательно, в этом случае f -радикал является общей точкой всех касательных, так называемым узлом . В обоих случаях квадрика (коника) невырождена . (E2): Для (пары линий) билинейная форма — это точка пересечения. В этом примере квадрика вырождена . ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}=\emptyset }$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle \notin {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\neq {\mathcal {S}}=\emptyset \;.}$
${\displaystyle S=\emptyset }$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle ={\mathcal {S}}\;,}$

Симметрии

Квадрика — достаточно однородный объект:

Для любой точки существует инволютивная центральная коллинеация с центром и . ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}\;}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sigma _{P}({\mathcal {Q}})={\mathcal {Q}}}$

Доказательство: Благодаря полярности пространство является гиперплоскостью. ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle P^{\perp }}$

Линейное отображение

${\displaystyle \varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{q({\vec {p}})}}{\vec {p}}}$

вызывает инволюционную центральную коллинеацию с осью и центром , которая оставляет инвариант. В случае отображение создает знакомую форму с и для любого . ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P^{\perp }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \;\varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-2{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{f({\vec {p}},{\vec {p}})}}{\vec {p}}\;}$ ${\displaystyle \;\varphi ({\vec {p}})=-{\vec {p}}}$ ${\displaystyle \;\varphi ({\vec {x}})={\vec {x}}\;}$ ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in P^{\perp }}$

Примечание:

а) Внешняя линия, касательная или секущая отображается инволюцией на внешнюю, касательную и секущую линии соответственно. ${\displaystyle \sigma _{P}}$

б) точечно фиксируется . ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$

q -подпространства и индекс квадрики

Подпространство называется -подпространством , если ${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\;}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\subset {\mathcal {Q}}\;}$

Например: точки на сфере или линии на гиперболоиде (см. ниже).

Любые два максимальных -подпространства имеют одинаковую размерность . ^[5] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$

Пусть – размерность максимальных -подпространств тогда ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Целое число называется индексом . ${\displaystyle \;i:=m+1\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Теорема: (БЮКЕНХАУТ) ^[6]

Для индекса невырожденной квадрики верно следующее : ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$

${\displaystyle i\leq {\frac {n+1}{2}}}$.

Пусть – невырожденная квадрика в , и ее индекс. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{n}(K),n\geq 2}$ ${\displaystyle i}$

В случае квадрики называется сферой (или овалом -коникой, если ). ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle n=2}$

В случае квадрики называется гиперболоидом (однолистным). ${\displaystyle i=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Примеры:

а) Квадрика по форме невырождена с индексом 1. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{2}(K)}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$

б) Если полином неприводим над квадратичной формой, то возникает невырожденная квадрика в индекса 1 (сфера). Например: неприводимо над (но не над  !). ${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+a_{0}\xi +b_{0}\;}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}^{2}+a_{0}x_{1}x_{2}+b_{0}x_{2}^{2}-x_{3}x_{4}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{3}(K)}$ ${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+1\;}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

в) В квадратичной форме порождает гиперболоид . ${\displaystyle P_{3}(K)}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\;}$

Обобщение квадрик: квадратичные множества

Формально определение квадрик распространять на пространства над настоящими телами (теловыми кольцами) неразумно. Потому что можно было бы получить секущие, несущие более двух точек квадрики, которая совершенно отличается от обычных квадрик. ^{[7] [8] [9]} Причиной является следующее утверждение.

Тело коммутативно тогда и только тогда, когда любое уравнение имеет не более двух решений. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{2}+ax+b=0,\ a,b\in K}$

Существуют обобщения квадрик: квадратичные множества . ^[10] Квадратичное множество — это множество точек проективного пространства с теми же геометрическими свойствами, что и квадрика: каждая прямая пересекает квадратичное множество не более чем в двух точках или содержится в этом множестве.

Смотрите также

• Клейн квадрика
• Вращение осей
• Суперквадрики
• Перевод осей

Рекомендации

1. Квадрики Сильвио Леви в «Геометрических формулах и фактах», выдержки из 30-го издания стандартных математических таблиц и формул CRC , CRC Press , из Центра геометрии Университета Миннесоты.
2. Стюарт Венит и Уэйн Бишоп, Элементарная линейная алгебра (четвертое издание) , International Thompson Publishing, 1996.
3. С. Лазебник и Дж. Понсе, «Локальная проективная форма гладких поверхностей и их контуры» (PDF) ., Предложение 1
4. Бойтельспехер/Розенбаум стр.158
5. Бойтельпахер/Розенбаум, стр.139.
6. Ф. Букенхаут: Квадратичные ансамбли Espace Projective , Math. Тейчр. 110 (1969), с. 306-318.
7. Р. Арци : Коника в плоскостях Муфанг ${\displaystyle y=x^{2}}$ , Aequat.Mathem. 6 (1971), с. 31-35
8. Э. Берц: Кегельшнитте в Desarguesschen Ebenen , Math. Цайтшр. 78 (1962), с. 55-8
9. внешняя ссылка Э. Хартманн: Геометрия плоского круга , с. 123
10. Бойтельспехер/Розенбаум: стр. 135

Библиография

• М. Аден: Геометрия , Springer, Берлин, 2002, ISBN 978-3-540-43498-6 , с. 200. 
• М. Бергер: Сборники задач по математике , ISSN 0941-3502, Springer New York, стр. 79–84.
• А. Бойтельспехер, У. Розенбаум: Проективная геометрия , Vieweg + Teubner, Брауншвейг, 1992, ISBN 3-528-07241-5 , стр. 159. 
• П. Дембовский: Конечные геометрии , Springer, 1968, ISBN 978-3-540-61786-0 , стр. 43. 
• Исковских, В.А. (2001) [1994], «Квадрик», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Квадрик». Математический мир .

Внешние ссылки

• Интерактивные Java 3D-модели всех квадратичных поверхностей
• Конспект лекций «Геометрия плоского круга. Введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского», с. 117