Квадратное целое число

Корень квадратного многочлена с единичным старшим коэффициентом

В теории чисел квадратичные целые числа являются обобщением обычных целых чисел на квадратичные поля . Квадратичные целые числа являются алгебраическими целыми числами второй степени, то есть решениями уравнений вида

х ² + бх + с = 0

с b и c (обычными) целыми числами. Когда рассматриваются алгебраические целые числа, обычные целые числа часто называются рациональными целыми числами .

Распространенными примерами квадратичных целых чисел являются квадратные корни рациональных целых чисел, таких как √ 2 , и комплексное число i = √ −1 , которое генерирует гауссовы целые числа . Другим распространенным примером является недействительный кубический корень из единицы ⁠−1 + √ −3/2⁠ , который генерирует целые числа Эйзенштейна .

Квадратичные целые числа встречаются в решениях многих диофантовых уравнений , таких как уравнения Пелля , и других вопросах, связанных с целочисленными квадратичными формами . Изучение колец квадратичных целых чисел является базовым для многих вопросов алгебраической теории чисел .

История

Средневековые индийские математики уже открыли умножение квадратных целых чисел одного и того же D , что позволило им решить некоторые случаи уравнения Пелля . ^{[ необходима ссылка ]}

Характеристика, данная в § Явное представление квадратичных целых чисел, была впервые дана Рихардом Дедекиндом в 1871 году. ^{[1] [2]}

Определение

Квадратичное целое число — это алгебраическое целое число второй степени. Более конкретно, это комплексное число , которое решает уравнение вида x ² + bx + c = 0 , с целыми числами b и c . Каждое квадратичное целое число, которое не является целым числом, не является рациональным — а именно, это действительное иррациональное число , если b ² − 4 c > 0 , и недействительное, если b ² − 4 c < 0 — и лежит в однозначно определенном квадратичном поле , расширении, порожденном квадратным корнем уникального бесквадратного целого числа D , которое удовлетворяет условию b ² − 4 c = De ² для некоторого целого числа e . Если D положительно, квадратичное целое число является действительным. Если D < 0 , оно мнимое (то есть комплексное и недействительное). ${\displaystyle x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}})/2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Квадратичные целые числа (включая обычные целые числа), принадлежащие квадратичному полю, образуют область целостности, называемую кольцом целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$

Хотя квадратичные целые числа, принадлежащие данному квадратичному полю, образуют кольцо , множество всех квадратичных целых чисел не является кольцом, поскольку оно не замкнуто относительно сложения или умножения. Например, и являются квадратичными целыми числами, но и не являются, поскольку их минимальные многочлены имеют степень четыре. ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$

Явное представление

Здесь и далее рассматриваемые квадратичные целые числа принадлежат квадратичному полю , где D — целое число, свободное от квадратов. Это не ограничивает общности, поскольку равенство √ a ² D = a √ D (для любого положительного целого числа a ) подразумевает ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),}$  ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).}$

Элемент x является квадратичным целым числом тогда и только тогда, когда существуют два целых числа a и b, такие, что либо ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

${\displaystyle x=a+b{\sqrt {D}},}$

или, если D  − 1 кратно 4

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},}$где a и b оба нечетные

Другими словами, каждое квадратное целое число можно записать как a + ωb  , где a и  b — целые числа, а ω определяется как

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

(поскольку предполагалось, что D не содержит квадратов, этот случай невозможен, поскольку это означало бы, что D делится на квадрат 4). ^[3] ${\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$

Норма и спряжение

Квадратное целое число можно записать ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

а + б √ Д ,

где a и  b — либо оба целые числа, либо, только если D ≡ 1 (mod 4) , обе половины нечетных целых чисел . Норма такого квадратичного целого числа равна

N  ( a + b √ D  ) = a ² − Db ² .

Норма квадратичного целого числа всегда является целым числом. Если D < 0 , норма квадратичного целого числа является квадратом его абсолютного значения как комплексного числа (это неверно, если D > 0 ). Норма является полностью мультипликативной функцией , что означает, что норма произведения квадратичных целых чисел всегда является произведением их норм.

Каждое квадратное целое число a + b √ D имеет сопряженное

${\displaystyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.}$

Квадратное целое число имеет ту же норму, что и его сопряженное число, и эта норма является произведением квадратного целого числа и его сопряженного числа. Сопряжение суммы или произведения квадратичных целых чисел является суммой или произведением (соответственно) сопряженных чисел. Это означает, что сопряжение является автоморфизмом кольца целых чисел – см. § Квадратичные целые кольца ниже. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

Квадратичные целочисленные кольца

Каждое свободное от квадратов целое число (отличное от 0 и 1) D определяет квадратичное кольцо целых чисел , которое является областью целостности, состоящей из алгебраических целых чисел, содержащихся в Это множество Z [ ω ] = { a + ωb  : a , b ∈ Z }, где , если D = 4 k + 1 , и ω = √ D в противном случае. Его часто обозначают , потому что это кольцо целых чисел , которое является целочисленным замыканием Z в Кольцо Z [ ω ] состоит из всех корней всех уравнений x ² + Bx + C = 0 , дискриминант которых B ² − 4 C является произведением D на квадрат целого числа. В частности, √ D принадлежит Z [ ω ] , будучи корнем уравнения x ² − D = 0 , дискриминантом которого является 4 D. ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$  ${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$

Квадратный корень любого целого числа является квадратным целым числом, так как каждое целое число можно записать в виде n = m ² D , где D — свободное от квадратов целое число, а его квадратный корень является корнем из x ² − m ² D = 0 .

Основная теорема арифметики не верна во многих кольцах квадратичных целых чисел. Однако существует уникальная факторизация для идеалов , которая выражается тем фактом, что каждое кольцо алгебраических целых чисел является областью Дедекинда . Будучи простейшими примерами алгебраических целых чисел, квадратичные целые числа обычно являются отправными примерами большинства исследований алгебраической теории чисел . ^[4]

Квадратичные целочисленные кольца делятся на два класса в зависимости от знака D. Если D > 0 , все элементы являются действительными, и кольцо является действительным квадратичным целочисленным кольцом . Если D < 0 , единственными действительными элементами являются обычные целые числа, и кольцо является комплексным квадратичным целочисленным кольцом . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

Для действительных квадратичных целочисленных колец число класса , которое измеряет неудачу уникальной факторизации, указано в OEIS A003649; для мнимого случая они указаны в OEIS A000924.

Единицы

Квадратичное целое число является единицей в кольце целых чисел тогда и только тогда, когда его норма равна 1 или −1 . В первом случае его мультипликативное обратное число является его сопряженным числом. Во втором случае оно является отрицанием своего сопряженного числа. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

Если D < 0 , кольцо целых чисел имеет не более шести единиц. В случае гауссовых целых чисел ( D = −1 ) четыре единицы равны 1, −1, √ −1 , − √ −1 . В случае целых чисел Эйзенштейна ( D = −3 ) шесть единиц равны ±1, ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$±1 ± √ −3/2⁠ . Для всех остальных отрицательных D есть только две единицы: 1 и −1 .

Если D > 0 , кольцо целых чисел имеет бесконечно много единиц, которые равны ±  u ⁱ , где i - произвольное целое число, а u - конкретная единица, называемая фундаментальной единицей . Если задана фундаментальная единица u , то существуют три другие фундаментальные единицы, ее сопряженная и также и Обычно «фундаментальной единицей» называют уникальную единицу, которая имеет абсолютное значение больше 1 (как действительное число). Это уникальная фундаментальная единица, которая может быть записана как a + b √ D , где a и b положительны (целые числа или половины целых чисел). ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle {\overline {u}},}$ ${\displaystyle -u}$ ${\displaystyle -{\overline {u}}.}$

Основные единицы для 10 наименьших положительных бесквадратных чисел D : 1 + √ 2 , 2 + √ 3 , ⁠1 + √ 5/2⁠ ( золотое сечение ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 , ⁠3 + √ 13/2⁠ , 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . Для больших D коэффициентыфундаментальной единицы могут быть очень большими. Например, для D = 19, 31, 43 фундаментальные единицы соответственно равны 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 и 3482 + 531 √ 43 .

Примеры комплексных квадратичных целочисленных колец

Гауссовы целые числа

простые числа Эйзенштейна

При D  < 0 ω — комплексное ( мнимое или иным образом недействительное) число. Поэтому естественно рассматривать квадратичное целочисленное кольцо как множество алгебраических комплексных чисел .

• Классическим примером являются гауссовы целые числа , которые были введены Карлом Гауссом около 1800 года для формулировки его биквадратного закона взаимности. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]}$
• Элементы в называются целыми числами Эйзенштейна . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]}$

Оба кольца, упомянутые выше, являются кольцами целых чисел циклотомических полей Q ( ζ ₄ ) и Q ( ζ ₃ ) соответственно. Напротив, Z [ √ −3 ] даже не является областью Дедекинда .

Оба приведенных выше примера являются кольцами главных идеалов , а также евклидовыми областями для нормы. Это не относится к

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],}$

которая даже не является уникальной факторизационной областью . Это можно показать следующим образом.

В у нас есть ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

Множители 3 и являются неприводимыми , так как все они имеют норму 9, и если бы они не были неприводимыми, они имели бы множитель нормы 3, что невозможно, так как норма элемента, отличного от ±1, равна по крайней мере 4. Таким образом, разложение 9 на неприводимые множители не является единственным. ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$

Идеалы и не являются главными , поскольку простое вычисление показывает, что их произведение является идеалом, порожденным 3, и, если бы они были главными, это означало бы, что 3 не был бы неприводимым . ${\displaystyle \langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle }$ ${\displaystyle \langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle }$

Примеры действительных квадратичных целых колец

Силы золотого сечения

Для D > 0 , ω является положительным иррациональным действительным числом , а соответствующее квадратичное целое кольцо является множеством алгебраических действительных чисел. Решения уравнения Пелля X ² − DY ² = 1 , диофантова уравнения , которое широко изучалось, являются единицами этих колец, для D ≡ 2, 3 (mod 4) .

• Для D = 5 , ω = ⁠1+ √ 5/2⁠ — золотое сечение . Это кольцо изучал Питер Густав Лежен Дирихле . Его единицы имеют вид ± ω ⁿ , где n — произвольное целое число. Это кольцо также возникает из изучения 5-кратной вращательной симметрии на евклидовой плоскости, например, мозаики Пенроуза . ^[6]
• Индийский математик Брахмагупта рассматривал уравнение Пелля X ² − 61 Y ² = 1 , соответствующее кольцу Z [ √ 61 ] . Некоторые результаты были представлены европейскому сообществу Пьером Ферма в 1657 году. ^{[ which? ]}

Главные кольца квадратичных целых чисел

Свойство уникальной факторизации не всегда проверяется для колец квадратичных целых чисел, как показано выше для случая Z [ √ −5 ] . Однако, как и для любой дедекиндовой области , кольцо квадратичных целых чисел является уникальной факторизационной областью тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов . Это происходит тогда и только тогда, когда число классов соответствующего квадратичного поля равно единице.

Полностью определены мнимые кольца квадратичных целых чисел, которые являются кольцами главных идеалов. Они для ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .

Этот результат был впервые выдвинут Гауссом и доказан Куртом Хегнером , хотя доказательство Хегнера не считалось верным, пока Гарольд Старк не дал более позднее доказательство в 1967 году (см. теорему Старка–Хегнера ). Это частный случай знаменитой проблемы числа классов .

Известно много положительных целых чисел D > 0 , для которых кольцо квадратичных целых чисел является кольцом главных идеалов. Однако полный список неизвестен; неизвестно даже, конечно ли число этих колец главных идеалов или нет.

Евклидовы кольца квадратичных целых чисел

Когда кольцо квадратичных целых чисел является областью главных идеалов, интересно узнать, является ли оно евклидовой областью . Эта проблема была полностью решена следующим образом.

Оснащенная нормой как евклидовой функцией , является евклидовой областью для отрицательного D, когда ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11 , ^[7]

и, для положительного D , когда

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (последовательность A048981 в OEIS ).

Не существует другого кольца квадратичных целых чисел, которое было бы евклидовым с нормой как евклидовой функцией. ^[8] Для отрицательного D кольцо квадратичных целых чисел является евклидовым тогда и только тогда, когда норма является для него евклидовой функцией . Из этого следует, что для

Д = −19, −43, −67, −163 ,

четыре соответствующих кольца квадратичных целых чисел являются одними из редких известных примеров областей главных идеалов, которые не являются евклидовыми областями.

С другой стороны, обобщенная гипотеза Римана подразумевает, что кольцо действительных квадратичных целых чисел, являющееся областью главных идеалов, также является евклидовой областью для некоторой евклидовой функции, которая действительно может отличаться от обычной нормы. ^[9] Значения D = 14, 69 были первыми, для которых было доказано, что кольцо квадратичных целых чисел является евклидовым, но не нормированным. ^{[10] [11]}

Примечания

1. Дедекинд 1871, Приложение X, с. 447
2. Бурбаки 1994, стр. 99
3. "Почему квадратичное кольцо целых чисел определено именно таким образом?". math.stackexchange.com . Получено 2016-12-31 .
4. Артин, Гл. 13
5. Даммит и Фут 2004, стр. 229
6. де Брейн 1981
7. Даммит и Фут 2004, стр. 272
8. LeVeque 2002, стр. II:57, 81
9. П. Вайнбергер, О евклидовых кольцах целых алгебраических чисел . В: Аналитическая теория чисел (Сент-Луис, 1972), Proc. Sympos. Pure Math. 24(1973), 321–332.
10. Харпер 2004
11. Кларк 1994

Ссылки

• Артин, М., Алгебра (2-е изд.)
• Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики . Перевод Мелдрума, Джона . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. МР  1290116.
• Кларк, Дэвид А. (1994), «Квадратичное поле, которое является евклидовым, но не нормированным» (PDF) , Manuscripta Mathematica , 83 : 327–330, doi :10.1007/BF02567617, архивировано из оригинала (PDF) 29.01.2015
• де Брейн, Н.Г. (1981), «Алгебраическая теория непериодических разбиений Пенроуза плоскости, I, II» (PDF) , Indagationes Mathematicae , 43 (1): 39–66
• Дедекинд, Рихард (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2-е изд.), Vieweg , получено 5 августа 2009 г.
• Даммит, Д.С.; Фут, Р.М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.)
• Харпер, М. (2004), « является евклидовым », Can. J. Math. 56 , 56 : 55–70, doi :10.4153/CJM-2004-003-9 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]}$
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Темы теории чисел, тома I и II. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42539-9. Збл  1009.11001.

Дальнейшее чтение

• Дж. С. Милн. Алгебраическая теория чисел , версия 3.01, 28 сентября 2008 г. онлайн-лекции