Кинетическая энергия

Энергия движущегося физического тела

Эмили дю Шатле (1706–1749) была первой, кто опубликовал соотношение для кинетической энергии . Это означает, что объект с удвоенной скоростью ударяет в четыре раза сильнее. (Портрет Мориса Квентина де Латура .) ${\displaystyle E_{\text{kin}}\propto mv^{2}}$

В физике кинетическая энергия объекта — это форма энергии , которой он обладает вследствие своего движения . ^[1]

В классической механике кинетическая энергия невращающегося объекта массой m , движущегося со скоростью v, равна . ^[2] ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Кинетическая энергия объекта равна работе , силе ( F ), умноженной на перемещение ( s ), необходимой для достижения его заявленной скорости . Получив эту энергию во время ускорения , масса сохраняет эту кинетическую энергию, если только ее скорость не изменится. Такое же количество работы выполняется объектом при замедлении от текущей скорости до состояния покоя . ^[2]

Единицей измерения кинетической энергии в системе СИ является джоуль , а английской единицей измерения кинетической энергии — фут-фунт .

В релятивистской механике является хорошим приближением кинетической энергии только в том случае, когда v намного меньше скорости света . ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

История и этимология

Прилагательное «кинетический» имеет корни в греческом слове κίνησις kinesis , что означает «движение». Дихотомия между кинетической энергией и потенциальной энергией восходит к концепциям Аристотеля о действительности и потенциальности . ^[3]

Принцип классической механики , что E ∝ mv ^2, был впервые разработан Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли , которые описали кинетическую энергию как живую силу , vis viva . ^{[4] : 227} Виллем Гравезанд из Нидерландов предоставил экспериментальные доказательства этой связи в 1722 году. Сбрасывая грузы с разной высоты в кусок глины, Виллем Гравезанд определил, что глубина их проникновения пропорциональна квадрату их скорости удара. Эмили дю Шатле осознала значение эксперимента и опубликовала объяснение. ^[5]

Термины «кинетическая энергия» и «работа» в их нынешнем научном значении относятся к середине 19 века. Раннее понимание этих идей можно приписать Гаспару-Гюставу Кориолису , который в 1829 году опубликовал статью под названием « Du Calcul de l'Effet des Machines», в которой изложил математику кинетической энергии. Уильяму Томсону , позже лорду Кельвину, приписывают создание термина «кинетическая энергия» около 1849–1851 годов. ^{[6] [7]} Ранкин , который ввел термин «потенциальная энергия» в 1853 году и фразу «действительная энергия» в дополнение к нему, ^[8] позже цитирует Уильяма Томсона и Питера Тейта , которые заменили слово «действительный» на «кинетический». ^[9]

Обзор

Энергия существует во многих формах, включая химическую энергию , тепловую энергию , электромагнитное излучение , гравитационную энергию , электрическую энергию , упругую энергию , ядерную энергию и энергию покоя . Их можно разделить на два основных класса: потенциальная энергия и кинетическая энергия. Кинетическая энергия — это энергия движения объекта. Кинетическая энергия может передаваться между объектами и преобразовываться в другие виды энергии. ^[10]

Кинетическую энергию можно лучше всего понять на примерах, которые демонстрируют, как она преобразуется в другие формы энергии и из них. Например, велосипедист использует химическую энергию, получаемую из пищи, чтобы разогнать велосипед до выбранной скорости. На ровной поверхности эта скорость может поддерживаться без дополнительной работы, за исключением преодоления сопротивления воздуха и трения . Химическая энергия преобразуется в кинетическую энергию, энергию движения, но этот процесс не является полностью эффективным и производит тепло внутри велосипедиста.

Кинетическая энергия движущегося велосипедиста и велосипеда может быть преобразована в другие формы. Например, велосипедист может столкнуться с холмом, достаточно высоким, чтобы подняться на него по инерции, так что велосипед полностью остановится наверху. Кинетическая энергия теперь в значительной степени преобразована в гравитационную потенциальную энергию, которая может быть высвобождена при свободном движении вниз по другой стороне холма. Поскольку велосипед потерял часть своей энергии на трение, он никогда не восстановит всю свою скорость без дополнительного вращения педалей. Энергия не уничтожается; она только была преобразована в другую форму трением. В качестве альтернативы велосипедист может подключить динамо-машину к одному из колес и вырабатывать немного электроэнергии на спуске. Велосипед будет двигаться медленнее у подножия холма, чем без генератора, потому что часть энергии была перенаправлена ​​в электрическую энергию. Другая возможность для велосипедиста — применить тормоза, и в этом случае кинетическая энергия будет рассеиваться через трение в виде тепла .

Как и любая физическая величина, которая является функцией скорости, кинетическая энергия объекта зависит от соотношения между объектом и системой отсчета наблюдателя . Таким образом, кинетическая энергия объекта не является инвариантом .

Космические аппараты используют химическую энергию для запуска и получают значительную кинетическую энергию для достижения орбитальной скорости . На полностью круговой орбите эта кинетическая энергия остается постоянной, поскольку в околоземном пространстве трение почти отсутствует. Однако это становится очевидным при входе в атмосферу, когда часть кинетической энергии преобразуется в тепло. Если орбита эллиптическая или гиперболическая , то на протяжении всей орбиты происходит обмен кинетической и потенциальной энергией ; кинетическая энергия является наибольшей, а потенциальная энергия — наименьшей при максимальном приближении к Земле или другому массивному телу, в то время как потенциальная энергия является наибольшей, а кинетическая энергия — наименьшей на максимальном расстоянии. Однако, не принимая во внимание потери или приобретения, сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной.

Кинетическая энергия может передаваться от одного объекта к другому. В игре в бильярд игрок накладывает кинетическую энергию на биток, ударяя по нему кием. Если биток сталкивается с другим шаром, он резко замедляется, а шар, по которому он ударился, ускоряется, поскольку кинетическая энергия передается ему. Столкновения в бильярде являются фактически упругими столкновениями , при которых кинетическая энергия сохраняется. При неупругих столкновениях кинетическая энергия рассеивается в различных формах энергии, таких как тепло, звук и энергия связи (разрушение связанных структур).

Маховики были разработаны как метод хранения энергии . Это иллюстрирует, что кинетическая энергия также сохраняется во вращательном движении.

Существует несколько математических описаний кинетической энергии, которые описывают ее в соответствующей физической ситуации. Для объектов и процессов в обычном человеческом опыте формула ⁠1/2⁠ mv ^2, заданная классической механикой, подходит. Однако, если скорость объекта сравнима со скоростью света, релятивистские эффекты становятся существенными, и используется релятивистская формула. Если объект находится в атомном или субатомном масштабе , квантово-механические эффекты существенны, и необходимо использовать квантово-механическую модель.

Кинетическая энергия для нерелятивистской скорости

Обработка кинетической энергии зависит от относительной скорости объектов по сравнению с фиксированной скоростью света . Скорости, непосредственно ощущаемые людьми , нерелятивистские ; более высокие скорости требуют теории относительности .

Кинетическая энергия твердых тел

В классической механике кинетическая энергия точечного объекта (объекта настолько малого, что его массу можно считать находящейся в одной точке) или невращающегося твердого тела зависит от массы тела, а также от его скорости . Кинетическая энергия равна 1/2 произведения массы на квадрат скорости. В виде формулы:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

где — масса, а — скорость (величина скорости) тела. В единицах СИ масса измеряется в килограммах , скорость — в метрах в секунду , а результирующая кинетическая энергия — в джоулях . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

Например, можно рассчитать кинетическую энергию массы 80 кг (около 180 фунтов), движущейся со скоростью 18 метров в секунду (около 40 миль в час или 65 км/ч), как

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}\cdot 80\,{\text{kg}}\cdot \left(18\,{\text{m/s}}\right)^{2}=12,960\,{\text{J}}=12.96\,{\text{kJ}}}$

Когда человек бросает мяч, он совершает работу , чтобы придать ему скорость, когда он вылетает из руки. Движущийся мяч затем может удариться о что-то и толкнуть это, совершая работу над тем, во что он ударяется. Кинетическая энергия движущегося объекта равна работе, необходимой для приведения его из состояния покоя к этой скорости, или работе, которую объект может совершить, находясь в состоянии покоя: чистая сила × смещение = кинетическая энергия , т. е.

${\displaystyle Fs={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Поскольку кинетическая энергия увеличивается пропорционально квадрату скорости, объект, удваивающий свою скорость, имеет в четыре раза больше кинетической энергии. Например, автомобилю, движущемуся в два раза быстрее другого, требуется в четыре раза большее расстояние для остановки, предполагая постоянную силу торможения. В результате этого учетверения требуется в четыре раза больше работы, чтобы удвоить скорость.

Кинетическая энергия объекта связана с его импульсом уравнением:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

где:

• ${\displaystyle p}$это импульс
• ${\displaystyle m}$масса тела

Для поступательной кинетической энергии, то есть кинетической энергии, связанной с прямолинейным движением , твердого тела с постоянной массой , центр масс которого движется по прямой со скоростью , как показано выше, равна ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle E_{\text{t}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

где:

• ${\displaystyle m}$это масса тела
• ${\displaystyle v}$— скорость центра масс тела.

Кинетическая энергия любого объекта зависит от системы отсчета, в которой она измеряется. Однако полная энергия изолированной системы, то есть такой, в которой энергия не может ни войти, ни выйти, не изменяется со временем в системе отсчета, в которой она измеряется. Таким образом, химическая энергия, преобразованная в кинетическую энергию ракетным двигателем, делится по-разному между ракетным кораблем и его выхлопным потоком в зависимости от выбранной системы отсчета. Это называется эффектом Оберта . Но полная энергия системы, включая кинетическую энергию, химическую энергию топлива, тепло и т. д., сохраняется со временем, независимо от выбора системы отсчета. Однако разные наблюдатели, движущиеся с разными системами отсчета, не будут соглашаться во мнении о значении этой сохраненной энергии.

Кинетическая энергия таких систем зависит от выбора системы отсчета: система отсчета, которая дает минимальное значение этой энергии, является системой центра импульса , т. е. системой отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю. Эта минимальная кинетическая энергия вносит вклад в инвариантную массу системы в целом.

Вывод

Без векторного исчисления

Работа W, совершаемая силой F над телом на расстоянии s, параллельном F, равна

${\displaystyle W=F\cdot s}$.

Используя второй закон Ньютона

${\displaystyle F=ma}$

где m — масса, а a — ускорение объекта и

${\displaystyle s={\frac {at^{2}}{2}}}$

расстояние, пройденное ускоренным объектом за время t , находим по скорости v объекта ${\displaystyle v=at}$

${\displaystyle W=ma{\frac {at^{2}}{2}}={\frac {m(at)^{2}}{2}}={\frac {mv^{2}}{2}}.}$

С векторным исчислением

Работа, совершаемая при ускорении частицы массой m за бесконечно малый промежуток времени dt, определяется скалярным произведением силы F и бесконечно малого смещения d x

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )\,,}$

где мы предположили соотношение p  =  m  v и справедливость Второго закона Ньютона . (Однако см. также вывод специальной теории относительности ниже.)

Применяя правило произведения, мы видим, что:

${\displaystyle d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )=(d\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot (d\mathbf {v} )=2(\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} ).}$

Следовательно (предполагая постоянную массу, так что dm = 0), имеем,

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )={\frac {m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right).}$

Поскольку это полный дифференциал (то есть он зависит только от конечного состояния, а не от того, как частица туда попала), мы можем его проинтегрировать и назвать результат кинетической энергией:

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int _{v_{1}}^{v_{2}}\mathbf {p} d\mathbf {v} =\int _{v_{1}}^{v_{2}}m\mathbf {v} d\mathbf {v} ={mv^{2} \over 2}{\bigg \vert }_{v_{1}}^{v_{2}}={1 \over 2}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}$

Это уравнение утверждает, что кинетическая энергия ( E _k ) равна интегралу скалярного произведения импульса ( p ) тела и бесконечно малого изменения скорости ( v ) тела. Предполагается, что тело изначально не имеет кинетической энергии, когда оно находится в состоянии покоя (неподвижно) .

Вращающиеся тела

Если твердое тело Q вращается вокруг любой линии, проходящей через центр масс, то оно обладает вращательной кинетической энергией ( ), которая представляет собой просто сумму кинетических энергий его движущихся частей и, таким образом, определяется по формуле: ${\displaystyle E_{\text{r}}\,}$

${\displaystyle E_{\text{r}}=\int _{Q}{\frac {v^{2}dm}{2}}=\int _{Q}{\frac {(r\omega )^{2}dm}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int _{Q}{r^{2}}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}I={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

где:

• ω — угловая скорость тела
• r — расстояние любой массы dm от этой линии
• ${\displaystyle I}$— момент инерции тела , равный . ${\textstyle \int _{Q}{r^{2}}dm}$

(В этом уравнении момент инерции должен быть взят относительно оси, проходящей через центр масс, а вращение, измеряемое ω, должно происходить вокруг этой оси; существуют более общие уравнения для систем, в которых объект подвержен колебаниям из-за своей эксцентричной формы).

Кинетическая энергия систем

Система тел может иметь внутреннюю кинетическую энергию из-за относительного движения тел в системе. Например, в Солнечной системе планеты и планетоиды вращаются вокруг Солнца. В баке с газом молекулы движутся во всех направлениях. Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий тел, которые она содержит.

Макроскопическое тело, которое неподвижно (т.е. система отсчета выбрана так, чтобы соответствовать центру импульса тела ), может иметь различные виды внутренней энергии на молекулярном или атомном уровне, которые можно рассматривать как кинетическую энергию, обусловленную молекулярным перемещением, вращением и вибрацией, перемещением и вращением электронов и ядерным вращением. Все они вносят вклад в массу тела, как предусмотрено специальной теорией относительности. При обсуждении движений макроскопического тела обычно упоминается кинетическая энергия только макроскопического движения. Однако все внутренние энергии всех типов вносят вклад в массу тела, инерцию и полную энергию.

Динамика жидкости

В гидродинамике кинетическая энергия на единицу объема в каждой точке поля потока несжимаемой жидкости называется динамическим давлением в этой точке. ^[11]

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Разделим на V, единицу объема:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E_{\text{k}}}{V}}&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{V}}v^{2}\\q&={\frac {1}{2}}\rho v^{2}\end{aligned}}}$

где — динамическое давление, а ρ — плотность несжимаемой жидкости. ${\displaystyle q}$

Система отсчета

Скорость и, следовательно, кинетическая энергия отдельного объекта зависят от системы отсчета (относительны): они могут принимать любое неотрицательное значение, выбирая подходящую инерциальную систему отсчета . Например, пуля, пролетающая мимо наблюдателя, имеет кинетическую энергию в системе отсчета этого наблюдателя. Та же пуля неподвижна для наблюдателя, движущегося с той же скоростью, что и пуля, и поэтому имеет нулевую кинетическую энергию. ^[12] Напротив, полная кинетическая энергия системы объектов не может быть сведена к нулю подходящим выбором инерциальной системы отсчета, если только все объекты не имеют одинаковую скорость. В любом другом случае полная кинетическая энергия имеет ненулевой минимум, поскольку нельзя выбрать инерциальную систему отсчета, в которой все объекты были бы неподвижны. Эта минимальная кинетическая энергия вносит вклад в инвариантную массу системы , которая не зависит от системы отсчета.

Полная кинетическая энергия системы зависит от инерциальной системы отсчета : она представляет собой сумму полной кинетической энергии в системе с центром импульса и кинетической энергии, которую имела бы полная масса, если бы она была сосредоточена в центре масс .

Это можно просто показать: пусть — относительная скорость центра масс системы отсчета i в системе отсчета k . Поскольку ${\displaystyle \textstyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle v^{2}=\left(v_{i}+V\right)^{2}=\left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)=\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} =v_{i}^{2}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +V^{2},}$

Затем,

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int {\frac {v^{2}}{2}}dm=\int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm+\mathbf {V} \cdot \int \mathbf {v} _{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm.}$

Однако пусть кинетическая энергия в системе центра масс будет просто полным импульсом, который по определению равен нулю в системе центра масс, и пусть полная масса: . Подставляя, получаем: ^[13] ${\textstyle \int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm=E_{i}}$ ${\textstyle \int \mathbf {v} _{i}dm}$ ${\textstyle \int dm=M}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}.}$

Таким образом, кинетическая энергия системы минимальна в системах отсчета центра импульса, т. е. в системах отсчета, в которых центр масс неподвижен (либо система отсчета центра масс , либо любая другая система отсчета центра импульса ). В любой другой системе отсчета имеется дополнительная кинетическая энергия, соответствующая полной массе, движущейся со скоростью центра масс. Кинетическая энергия системы в системе отсчета центра импульса является величиной, которая инвариантна (все наблюдатели видят ее одинаковой).

Ротация в системах

Иногда удобно разделить полную кинетическую энергию тела на сумму поступательной кинетической энергии центра масс тела и энергии вращения вокруг центра масс ( вращательной энергии ):

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{\text{t}}+E_{\text{r}}}$

где:

• E _k — полная кинетическая энергия
• E _t — поступательная кинетическая энергия
• E _r — вращательная энергия или угловая кинетическая энергия в системе покоя

Таким образом, кинетическая энергия теннисного мяча в полете представляет собой кинетическую энергию, обусловленную его вращением, плюс кинетическую энергию, обусловленную его поступательным движением.

Релятивистская кинетическая энергия

Если скорость тела составляет значительную часть скорости света , необходимо использовать релятивистскую механику для расчета его кинетической энергии. В теории относительности полная энергия определяется соотношением энергии и импульса :

$${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

Здесь мы используем релятивистское выражение для линейного импульса: , где . с массой (покоя) объекта , скоростью, а c — скоростью света в вакууме. Тогда кинетическая энергия — это полная релятивистская энергия за вычетом энергии покоя : ${\displaystyle p=m\gamma v}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle E_{K}=E-m_{0}c^{2}={\sqrt {(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}}}-m_{0}c^{2}}$$

На низких скоростях квадратный корень можно разложить, и энергия покоя выпадет, что даст ньютоновскую кинетическую энергию.

Логарифм релятивистской кинетической энергии против логарифма релятивистского импульса для многих объектов совершенно разных масштабов. Пересечения линий объекта с нижней осью приближаются к энергии покоя. При низкой кинетической энергии наклон линий объекта отражает ньютоновскую механику. По мере приближения линий наклон изгибается на барьере скорости света. ${\displaystyle c}$

Вывод

Начнем с выражения для линейного импульса , где . Интегрирование по частям дает ${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d\left(v^{2}\right)}$

С , ${\displaystyle \gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$— постоянная интегрирования для неопределенного интеграла .

Упрощая выражение получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\right)-E_{0}\\&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}-v^{2}\right)-E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$находится путем наблюдения, что когда и , давая ${\displaystyle \mathbf {v} =0,\ \gamma =1}$ ${\displaystyle E_{\text{k}}=0}$

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$

в результате чего получается формула

${\displaystyle E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-mc^{2}=(\gamma -1)mc^{2}}$

Эта формула показывает, что работа, затраченная на ускорение объекта из состояния покоя, стремится к бесконечности, когда скорость приближается к скорости света. Таким образом, невозможно ускорить объект через эту границу.

Математический побочный продукт этого расчета — формула эквивалентности массы и энергии : тело в состоянии покоя должно иметь запас энергии

${\displaystyle E_{\text{rest}}=E_{0}=mc^{2}}$

При низкой скорости ( v ≪ c ) релятивистская кинетическая энергия хорошо аппроксимируется классической кинетической энергией. Это делается с помощью биномиального приближения или взятия первых двух членов разложения Тейлора для обратного квадратного корня:

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Таким образом, полную энергию можно разложить на энергию массы покоя и нерелятивистскую кинетическую энергию на низких скоростях. ${\displaystyle E_{k}}$

Когда объекты движутся со скоростью, намного меньшей скорости света (например, в повседневных явлениях на Земле), преобладают первые два члена ряда. Следующий член в приближении ряда Тейлора

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}}$

мала для малых скоростей. Например, для скорости 10 км/с (22 000 миль/ч) поправка к нерелятивистской кинетической энергии составляет 0,0417 Дж/кг (при нерелятивистской кинетической энергии 50 МДж/кг), а для скорости 100 км/с она составляет 417 Дж/кг (при нерелятивистской кинетической энергии 5 ГДж/кг).

Релятивистское соотношение между кинетической энергией и импульсом определяется выражением

${\displaystyle E_{\text{k}}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}$

Это также можно разложить в ряд Тейлора , первый член которого представляет собой простое выражение из механики Ньютона: ^[14]

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.}$

Это говорит о том, что формулы для энергии и импульса не являются специальными и аксиоматическими, а представляют собой концепции, вытекающие из эквивалентности массы и энергии и принципов относительности.

Общая теория относительности

Используя соглашение, что

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\,u^{\alpha }\,u^{\beta }\,=\,-c^{2}}$

где четырехскорость частицы равна

${\displaystyle u^{\alpha }\,=\,{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$

и — собственное время частицы, в общей теории относительности также существует выражение для кинетической энергии частицы . ${\displaystyle \tau }$

Если частица имеет импульс

${\displaystyle p_{\beta }\,=\,m\,g_{\beta \alpha }\,u^{\alpha }}$

когда она проходит мимо наблюдателя с четырехскоростью u _obs , то выражение для полной энергии наблюдаемой частицы (измеренной в локальной инерциальной системе отсчета) равно

${\displaystyle E\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }}$

а кинетическую энергию можно выразить как полную энергию за вычетом энергии покоя:

${\displaystyle E_{k}\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }\,-\,m\,c^{2}\,.}$

Рассмотрим случай диагональной и пространственно изотропной метрики ( g _tt , g _ss , g _ss , g _ss ). Так как

${\displaystyle u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=v^{\alpha }u^{t}}$

где v ^α — обычная скорость, измеренная относительно системы координат, получаем

${\displaystyle -c^{2}=g_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=g_{tt}\left(u^{t}\right)^{2}+g_{ss}v^{2}\left(u^{t}\right)^{2}\,.}$

Решение для u ^t дает

${\displaystyle u^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}\,.}$

Таким образом, для неподвижного наблюдателя ( v = 0)

${\displaystyle u_{\text{obs}}^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}}}}}$

и таким образом кинетическая энергия принимает вид

${\displaystyle E_{\text{k}}=-mg_{tt}u^{t}u_{\text{obs}}^{t}-mc^{2}=mc^{2}{\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-mc^{2}\,.}$

Вынося за скобки энергию покоя, получаем:

${\displaystyle E_{\text{k}}=mc^{2}\left({\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-1\right)\,.}$

Это выражение сводится к специальному релятивистскому случаю для метрики плоского пространства, где

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-c^{2}\\g_{ss}&=1\,.\end{aligned}}}$

В ньютоновском приближении общей теории относительности

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-\left(c^{2}+2\Phi \right)\\g_{ss}&=1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\end{aligned}}}$

где Φ — ньютоновский гравитационный потенциал . Это означает, что часы идут медленнее, а измерительные стержни короче вблизи массивных тел.

Кинетическая энергия в квантовой механике

В квантовой механике наблюдаемые величины, такие как кинетическая энергия, представлены в виде операторов . Для одной частицы с массой m оператор кинетической энергии появляется как член в гамильтониане и определяется в терминах более фундаментального оператора импульса . Оператор кинетической энергии в нерелятивистском случае можно записать как ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}.}$

Обратите внимание, что это можно получить, заменив на в классическом выражении для кинетической энергии через импульс , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}.}$

В картине Шредингера принимает вид , где производная берется по координатам положения и, следовательно, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$

${\displaystyle {\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}.}$

Ожидаемое значение кинетической энергии электрона , для системы из N электронов, описываемой волновой функцией, представляет собой сумму ожидаемых значений оператора одного электрона: ${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$

${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle =\left\langle \psi \left\vert \sum _{i=1}^{N}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \psi \left\vert \nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle }$

где — масса электрона, — оператор Лапласа, действующий на координаты i- ^го электрона, а суммирование производится по всем электронам. ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \nabla _{i}^{2}}$

Формализм функционала плотности квантовой механики требует знания только электронной плотности , т.е. формально не требует знания волновой функции. При заданной электронной плотности точный функционал кинетической энергии N-электронов неизвестен; однако для конкретного случая 1-электронной системы кинетическая энергия может быть записана как ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r}$

где известен как функционал кинетической энергии фон Вайцзеккера . ${\displaystyle T[\rho ]}$

Смотрите также

• Энергетический портал

• Скорость убегания
• фут-фунт
• Джоуль
• Кинетический энергетический пенетратор
• Кинетическая энергия на единицу массы снарядов
• Кинетический снаряд
• Теорема о параллельных осях
• Потенциальная энергия
• Отдача

Примечания

1. Джейн, Махеш С. (2009). Учебник инженерной физики (часть I). PHI Learning Pvt. стр. 9. ISBN 978-81-203-3862-3. Архивировано из оригинала 2020-08-04 . Получено 2018-06-21 ., Глава 1, стр. 9 Архивировано 04.08.2020 в Wayback Machine
2. Резник, Роберт и Холлидей, Дэвид (1960) Физика , Раздел 7-5, Wiley International Edition
3. Бреннер, Джозеф (2008). Логика в реальности (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 93. ISBN 978-1-4020-8375-4. Архивировано из оригинала 2020-01-25 . Получено 2016-02-01 .Выдержка из страницы 93 Архивировано 04.08.2020 на Wayback Machine
4. Фезер, Норман (1959). Введение в физику массы, длины и времени – Твердый переплет . Издательство Эдинбургского университета.
5. Джудит П. Зинссер (2007). Эмили дю Шатле: смелый гений Просвещения . Penguin. ISBN 978-0-14-311268-6.
6. Кросби Смит, М. Нортон Уайз (1989-10-26). Энергия и Империя: Биографическое исследование лорда Кельвина . Cambridge University Press. стр. 866. ISBN 0-521-26173-2.
7. Джон Теодор Мерц (1912). История европейской мысли в девятнадцатом веке . Blackwood. стр. 139. ISBN 0-8446-2579-5.
8. Уильям Джон Маккуорн Рэнкин (1853). «Об общем законе превращения энергии». Труды Философского общества Глазго . 3 (5).
9. "... оставалось лишь квалифицировать существительное "энергия" соответствующими прилагательными, чтобы различать энергию активности и энергию конфигурации. Хорошо известная пара антитетических прилагательных, "действительная" и "потенциальная", по-видимому, как раз подходит для этой цели. ... Сэр Уильям Томсон и профессор Тейт недавно заменили слово "действительная" на слово "кинетическая". Уильям Джон Маккуорн Ранкин (1867). "О фразе "потенциальная энергия" и об определениях физических величин". Труды Философского общества Глазго . VI (III).
10. Goel, VK (2007). Fundamentals Of Physics Xi (иллюстрированное издание). Tata McGraw-Hill Education. стр. 12.30. ISBN 978-0-07-062060-5. Архивировано из оригинала 2020-08-03 . Получено 2020-07-07 .Выдержка из страницы 12.30 Архивировано 2020-07-07 на Wayback Machine
11. AM Kuethe и JD Schetzer (1959) Основы аэродинамики , 2-е издание, стр.53. ISBN Джона Уайли и сыновей 0-471-50952-3 
12. Сирс, Фрэнсис Уэстон; Бреме, Роберт У. (1968). Введение в теорию относительности . Эддисон-Уэсли. стр. 127., Фрагмент страницы 127 Архивировано 04.08.2020 на Wayback Machine
13. Заметки по физике – Кинетическая энергия в системе отсчета центра масс Архивировано 11 июня 2007 г. на Wayback Machine . Duke .edu. Доступ 24 ноября 2007 г.
14. Фицпатрик, Ричард (20 июля 2010 г.). «Тонкая структура водорода». Квантовая механика . Архивировано из оригинала 25 августа 2016 г. Получено 20 августа 2016 г.

Ссылки

• Класс физики (2000). "Кинетическая энергия" . Получено 19 июля 2015 г.
• Факультет математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс (2000). "Биография Гаспара-Гюстава де Кориолиса (1792–1843)" . Получено 2006-03-03 .
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика (5-е изд.). WH Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.
• Типлер, Пол; Ллевеллин, Ральф (2002). Современная физика (4-е изд.). WH Freeman. ISBN 0-7167-4345-0.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Кинетическая энергия на Wikimedia Commons