Соотношение энергии и импульса

Релятивистское уравнение, связывающее полную энергию с инвариантной массой и импульсом

В физике соотношение энергии-импульса или релятивистское дисперсионное соотношение — это релятивистское уравнение, связывающее полную энергию (которую также называют релятивистской энергией ) с инвариантной массой (которую также называют массой покоя) и импульсом . Это расширение эквивалентности массы-энергии для тел или систем с ненулевым импульсом.

Его можно сформулировать так:

Это уравнение справедливо для тела или системы , например, одной или нескольких частиц , с полной энергией E , инвариантной массой m ₀ и импульсом величины p ; постоянная c — скорость света . Оно предполагает случай специальной теории относительности плоского пространства-времени ^{[1] [2] [3]} и то, что частицы свободны. Полная энергия — это сумма энергии покоя и релятивистской кинетической энергии : Инвариантная масса — это масса, измеренная в системе отсчета центра импульса . Для тел или систем с нулевым импульсом оно упрощается до уравнения масса–энергия , где полная энергия в этом случае равна энергии покоя. ${\displaystyle E_{0}=m_{0}{\textrm {c}}^{2}}$ $${\displaystyle E_{K}=E-E_{0}={\sqrt {(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}}}-m_{0}c^{2}}$$ ${\displaystyle E_{0}=m_{0}{\textrm {c}}^{2}}$

Модель моря Дирака , которая использовалась для предсказания существования антиматерии , тесно связана с соотношением энергии и импульса.

Подключение кЭ=мс2

Треугольник Эйнштейна

Соотношение энергии и импульса согласуется с известным соотношением массы и энергии в обеих его интерпретациях: E = mc ² связывает полную энергию E с (полной) релятивистской массой m (альтернативно обозначаемой m _rel или m _tot ), тогда как E ₀ = m ₀ c ² связывает энергию покоя E ₀ с (инвариантной) массой покоя m ₀ .

В отличие от любого из этих уравнений, уравнение энергии-импульса ( 1 ) связывает полную энергию с массой покоя m _0. Все три уравнения справедливы одновременно.

Особые случаи

1. Если тело является безмассовой частицей ( m ₀ = 0 ), то ( 1 ) сводится к E = pc . Для фотонов это соотношение, открытое в классическом электромагнетизме 19 века , между лучистым импульсом (вызывающим давление излучения ) и лучистой энергией .
2. Если скорость тела v намного меньше c , то ( 1 ) сводится к E = ⁠1/2⁠ m ₀ v ² + m ₀ c ² ; то есть полная энергия тела — это просто его классическая кинетическая энергия ( ⁠1/2⁠ m ₀ v ² ) плюс его энергия покоя.
3. Если тело находится в состоянии покоя ( v = 0 ), т.е. в системе отсчета центра импульса ( p = 0 ), то E = E ₀ и m = m ₀ ; таким образом, соотношение энергии и импульса и обе формы соотношения массы и энергии (упомянутые выше) становятся одинаковыми.

Более общая форма соотношения ( 1 ) справедлива для общей теории относительности .

Инвариантная масса (или масса покоя) является инвариантом для всех систем отсчета (отсюда и название), не только в инерциальных системах в плоском пространстве-времени, но и в ускоренных системах, движущихся через искривленное пространство-время (см. ниже). Однако полная энергия частицы E и ее релятивистский импульс p зависят от системы; относительное движение между двумя системами заставляет наблюдателей в этих системах измерять разные значения энергии и импульса частицы; одна система измеряет E и p , в то время как другая система измеряет E ′ и p ′ , где E ′ ≠ E и p ′ ≠ p , если только нет относительного движения между наблюдателями, в этом случае каждый наблюдатель измеряет одну и ту же энергию и импульс. Хотя в плоском пространстве-времени у нас все еще есть:

${\displaystyle {E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

Величины E , p , E ′ , p ′ связаны преобразованием Лоренца . Это соотношение позволяет обойти преобразования Лоренца при определении только величин энергии и импульсов, приравнивая соотношения в разных системах отсчета. Опять же, в плоском пространстве-времени это переводится как;

${\displaystyle {E}^{2}-\left(pc\right)^{2}={E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

Поскольку m ₀ не меняется от системы к системе, соотношение энергии и импульса используется в релятивистской механике и расчетах физики элементарных частиц , поскольку энергия и импульс заданы в системе покоя частицы (то есть E ′ и p ′, как это мог бы сделать наблюдатель, движущийся вместе с частицей) и измерены в лабораторной системе (то есть E и p, как это определяют физики, изучающие элементарные частицы, в лаборатории, а не как они движутся вместе с частицами).

В релятивистской квантовой механике это основа построения релятивистских волновых уравнений , поскольку если релятивистское волновое уравнение, описывающее частицу, согласуется с этим уравнением – оно согласуется с релятивистской механикой, и является лоренц-инвариантным . В релятивистской квантовой теории поля это применимо ко всем частицам и полям. ^[4]

Происхождение и вывод уравнения

Соотношение энергии и импульса восходит к статье Макса Планка ^[5], опубликованной в 1906 году. Оно было использовано Уолтером Гордоном в 1926 году, а затем Полем Дираком в 1928 году в форме , где V — количество потенциальной энергии. ^{[6] [7]} ${\textstyle E={\sqrt {c^{2}p^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}}}+V}$

Уравнение можно вывести несколькими способами, два самых простых из которых включают в себя:

1. Из релятивистской динамики массивной частицы,
2. Оценивая норму четырех-импульса системы. Этот метод применим как к массивным, так и к безмассовым частицам и может быть распространен на многочастичные системы с относительно небольшими усилиями (см. § Многочастичные системы ниже).

Эвристический подход для массивных частиц

_Для массивного объекта, движущегося с трехскоростью u = ( ux , u _y , uz ₎ с величиной | u | = u в лабораторной системе отсчета : ^[1]

${\displaystyle E=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}c^{2}}$

— полная энергия движущегося объекта в лабораторной системе отсчета,

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}\mathbf {u} }$

— трехмерный релятивистский импульс объекта в лабораторной системе отсчета с величиной | p | = p . Релятивистская энергия E и импульс p включают фактор Лоренца, определяемый как:

${\displaystyle \gamma _{(\mathbf {u} )}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}}$

Некоторые авторы используют релятивистскую массу, определяемую следующим образом:

${\displaystyle m=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}}$

хотя масса покоя m ₀ имеет более фундаментальное значение и будет использоваться в этой статье в первую очередь вместо релятивистской массы m .

Возведение в квадрат 3-импульса дает:

${\displaystyle p^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} ={\frac {m_{0}^{2}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}={\frac {m_{0}^{2}u^{2}}{1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}$

^{затем ,} решая относительно u2 и подставляя в фактор Лоренца, получаем его альтернативную форму в терминах 3-импульса и массы, а не 3-скорости:

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}$

Подставляя эту форму фактора Лоренца в уравнение энергии, получаем:

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}$

с последующей перестановкой это дает ( 1 ). Устранение фактора Лоренца также устраняет неявную зависимость скорости частицы в ( 1 ), а также любые выводы о «релятивистской массе» массивной частицы. Этот подход не является общим, поскольку безмассовые частицы не рассматриваются. Наивная установка m ₀ = 0 будет означать, что E = 0 и p = 0 , и никакое соотношение энергии-импульса не может быть выведено, что неверно.

Норма четырехимпульса

Энергия и импульс объекта, измеренные в двух инерциальных системах отсчета в пространстве энергии-импульса — желтая рамка измеряет E и p , а синяя рамка измеряет E ′ и p ′ . Зеленая стрелка — это четырехимпульс P объекта с длиной, пропорциональной его массе покоя m ₀ . Зеленая рамка — это система центра импульса для объекта с энергией, равной энергии покоя. Гиперболы показывают, что преобразование Лоренца из одной системы в другую является гиперболическим вращением , а Φ и Φ + η — это быстроты синей и зеленой систем соответственно.

Специальная теория относительности

В пространстве Минковского энергия (деленная на c ) и импульс являются двумя компонентами четырехвектора Минковского , а именно четырехимпульса ; ^[8]

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,,}$

(это контравариантные компоненты).

Внутреннее произведение Минковского ⟨ , ⟩ этого вектора на самого себя дает квадрат нормы этого вектора, он пропорционален квадрату массы покоя m тела:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,}$

Лоренц - инвариантная величина, и, следовательно, независимая от системы отсчета . Используя метрику Минковского η с метрической сигнатурой (− + + +) , скалярное произведение равно

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=-\left(m_{0}c\right)^{2}\,,}$

и

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =P^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }P^{\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}&p_{x}&p_{y}&p_{z}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}\,,}$

так

${\displaystyle -\left(m_{0}c\right)^{2}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}}$

или, в натуральных единицах, где c = 1,

${\displaystyle |\mathbf {P} |^{2}+(m_{0})^{2}=0}$.

Общая теория относительности

В общей теории относительности 4-импульс представляет собой 4-вектор, определенный в локальной системе координат, хотя по определению скалярное произведение аналогично определению в специальной теории относительности,

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,}$

в котором метрика Минковского η заменяется метрическим тензорным полем g :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }\,,}$

решено из уравнений поля Эйнштейна . Тогда: ^[9]

${\displaystyle P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.}$

Выполнение суммирования по индексам с последующим сбором «времениподобных», «пространственно-времениподобных» и «пространственно-подобных» членов дает:

${\displaystyle \underbrace {g_{00}{\left(P^{0}\right)}^{2}} _{\text{time-like}}+2\underbrace {g_{0i}P^{0}P^{i}} _{\text{spacetime-like}}+\underbrace {g_{ij}P^{i}P^{j}} _{\text{space-like}}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.}$

где множитель 2 возникает, поскольку метрика является симметричным тензором , и используется соглашение о латинских индексах i , j, принимающих пространственно-подобные значения 1, 2, 3. Поскольку каждый компонент метрики в целом имеет пространственную и временную зависимость, это значительно сложнее формулы, приведенной в начале, для получения дополнительной информации см. метрический тензор (общая теория относительности) .

Единицы энергии, массы и импульса

В натуральных единицах , где c = 1 , уравнение энергии-импульса сводится к

${\displaystyle E^{2}=p^{2}+m_{0}^{2}\,.}$

В физике элементарных частиц энергия обычно задаётся в единицах электрон-вольт (эВ), импульс в единицах эВ· с ⁻¹ , а масса в единицах эВ· с ⁻² . В электромагнетизме , и из-за релятивистской инвариантности, полезно иметь электрическое поле E и магнитное поле B в одной и той же единице ( Гаусс ), используя систему единиц СГС (Гаусса) , где энергия задаётся в единицах эрг , масса в граммах (г), а импульс в г·см·с ⁻¹ .

Энергия также может быть теоретически выражена в единицах граммов, хотя на практике требуется большое количество энергии, чтобы быть эквивалентной массе в этом диапазоне. Например, первая атомная бомба выделила около 1 грамма тепла , а самые большие термоядерные бомбы вырабатывали килограмм или более тепла. Энергии термоядерных бомб обычно указываются в десятках килотонн и мегатонн, ссылаясь на энергию, высвобождаемую при взрыве такого количества тринитротолуола (ТНТ).

Особые случаи

Система отсчета центра импульса (одна частица)

Для тела в системе покоя импульс равен нулю, поэтому уравнение упрощается до

${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2}\,,}$

где m ₀ — масса покоя тела.

Безмассовые частицы

Если объект не имеет массы, как в случае фотона , то уравнение сводится к

${\displaystyle E=pc\,.}$

Это полезное упрощение. Его можно переписать другими способами, используя соотношения де Бройля :

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}=\hbar ck\,.}$

если даны длина волны λ или волновое число k .

Принцип соответствия

Переписываем соотношение для массивных частиц как:

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,,}$

и разложение в степенной ряд по биномиальной теореме (или ряд Тейлора ):

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{4}+\cdots \right]\,,}$

в пределе, когда u ≪ c , мы имеем γ ( u ) ≈ 1 , поэтому импульс имеет классическую форму p ≈ m ₀ u , тогда в первом порядке по ( ⁠п/м ₀ с⁠ )²
(т.е. сохранить термин ( ⁠п/м ₀ с⁠ )^{2 н}
для n = 1 и пренебрегаем всеми членами для n ≥ 2 ) имеем

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m_{0}u}{m_{0}c}}\right)^{2}\right]\,,}$

или

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}u^{2}\,,}$

где второй член — классическая кинетическая энергия , а первый — энергия покоя частицы. Это приближение недействительно для безмассовых частиц, поскольку расширение требовало деления импульса на массу. Кстати, в классической механике нет безмассовых частиц.

Многочастичные системы

Сложение четырех импульсов

В случае многих частиц с релятивистскими импульсами p _n и энергией E _n , где n = 1, 2, ... (вплоть до общего числа частиц) просто маркирует частицы, измеренные в конкретной системе отсчета, причем четыре импульса в этой системе отсчета могут быть сложены;

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {P} _{n}=\sum _{n}\left({\frac {E_{n}}{c}},\mathbf {p} _{n}\right)=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}},\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\,,}$

и затем взять норму; чтобы получить соотношение для многочастичной системы:

${\displaystyle \left|\left(\sum _{n}\mathbf {P} _{n}\right)\right|^{2}=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}}\right)^{2}-\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c\right)^{2}\,,}$

где M ₀ — инвариантная масса всей системы, и она не равна сумме масс покоя частиц, если только все частицы не находятся в состоянии покоя (см. массу в специальной теории относительности для более подробной информации). Подстановка и перестановка дает обобщение ( 1 );

Энергии и импульсы в уравнении зависят от системы отсчета, тогда как M ₀ не зависит от системы отсчета.

Центр импульса кадра

В системе центра импульса (системе отсчета центра импульса) по определению имеем:

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {p} _{n}={\boldsymbol {0}}\,,}$

с выводом из ( 2 ), что инвариантная масса также является массой-энергией центра импульса (ЦИМ), за исключением ^{фактора} c2 :

${\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\Rightarrow \sum _{n}E_{\mathrm {COM} \,n}=E_{\mathrm {COM} }=M_{0}c^{2}\,,}$

и это справедливо для всех систем, поскольку M ₀ не зависит от системы отсчета. Энергии E _{COM n} находятся в системе отсчета COM, а не в лабораторной системе отсчета. Однако многие знакомые связанные системы имеют лабораторную систему отсчета в качестве системы отсчета COM, поскольку сама система не находится в движении, и поэтому все импульсы сокращаются до нуля. Примером может служить простой объект (где колебательные импульсы атомов сокращаются) или контейнер с газом, когда контейнер находится в состоянии покоя. В таких системах все энергии системы измеряются как масса. Например, тепло в объекте на весах или сумма кинетических энергий в контейнере с газом на весах — все это измеряется весами как масса системы.

Массы покоя и инвариантная масса

Либо энергии, либо импульсы частиц, измеренные в некоторой системе отсчета, можно исключить, используя соотношение энергии и импульса для каждой частицы:

${\displaystyle E_{n}^{2}-\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}=\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}\,,}$

позволяя M ₀ быть выраженным через энергии и массы покоя, или импульсы и массы покоя. В конкретной системе отсчета квадраты сумм могут быть переписаны как суммы квадратов (и произведений):

${\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}E_{n}\right)\left(\sum _{k}E_{k}\right)=\sum _{n,k}E_{n}E_{k}=2\sum _{n<k}E_{n}E_{k}+\sum _{n}E_{n}^{2}\,,}$

${\displaystyle \left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\cdot \left(\sum _{k}\mathbf {p} _{k}\right)=\sum _{n,k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=2\sum _{n<k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}+\sum _{n}\mathbf {p} _{n}^{2}\,,}$

поэтому, подставляя суммы, мы можем ввести их массы покоя m _n в ( 2 ):

${\displaystyle \sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}+2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

Энергии можно устранить следующим образом:

${\displaystyle E_{n}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}+\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad E_{k}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{k}c\right)^{2}+\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,}$

Аналогично импульсы можно исключить:

${\displaystyle \mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=\left|\mathbf {p} _{n}\right|\left|\mathbf {p} _{k}\right|\cos \theta _{nk}\,,\quad |\mathbf {p} _{n}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{n}^{2}-\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad |\mathbf {p} _{k}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{k}^{2}-\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,}$

где θ _nk — угол между векторами импульса p _n и p _k .

Перестановка:

${\displaystyle \left(M_{0}c^{2}\right)^{2}-\sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}=2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)\,.}$

Поскольку инвариантная масса системы и массы покоя каждой частицы не зависят от системы отсчета, правая часть также является инвариантом (даже если все энергии и импульсы измеряются в определенной системе отсчета).

Волны материи

Используя соотношения де Бройля для энергии и импульса волн материи ,

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

где ω — угловая частота , а k — волновой вектор с величиной | k | = k , равной волновому числу , соотношение энергии и импульса можно выразить через волновые величины:

${\displaystyle \left(\hbar \omega \right)^{2}=\left(c\hbar k\right)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,,}$

и убираем все путем деления на ( ħc ) ² :

Это также можно вывести из величины четырехволнового вектора

${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)\,,}$

аналогично четырехимпульсу, описанному выше.

Поскольку приведенная постоянная Планка ħ и скорость света c появляются и загромождают это уравнение, именно здесь естественные единицы особенно полезны. Нормируя их так, чтобы ħ = c = 1 , мы имеем:

${\displaystyle \omega ^{2}=k^{2}+m_{0}^{2}\,.}$

Тахион и экзотическая материя

Скорость брадиона с релятивистским соотношением энергии и импульса

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

никогда не может превышать c . Напротив, оно всегда больше c для тахиона, уравнение энергии-импульса которого ^[10]

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}-m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

Напротив, гипотетическая экзотическая материя имеет отрицательную массу ^[11] , а уравнение энергии-импульса имеет вид

${\displaystyle E^{2}=-p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

Смотрите также

• Эквивалентность массы и энергии
• Четырех-импульс
• Масса в специальной теории относительности

Ссылки

1. Kleppner, Daniel ; Robert J. Kolenkow (2010) [1973]. Введение в механику . Cambridge University Press. стр. 499–500. ISBN 978-0-521-19821-9.
2. JR Forshaw; AG Smith (2009). Динамика и теория относительности . Wiley. С. 149, 249. ISBN 978-0-470-01460-8.
3. D. McMahon (2006). Относительность . Демистификация. McGraw Hill (США). стр. 20. ISBN 0-07-145545-0.
4. D. McMahon (2008). Квантовая теория поля . Демистификация. Mc Graw Hill (США). стр. 11, 88. ISBN 978-0-07-154382-8.
5. Планк, Макс (1906). «Принципы относительности и основные принципы механики». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 8 (7): 136–141.
6. Гордон, Вальтер (1926). «Эффект Комптона согласно теории Шредингера». Z. Phys . 40 : 117–133. doi :10.1007/BF01390840. S2CID  122254400.
7. Дирак, Поль (1928). «Квантовая теория электрона». Proc. R. Soc. Lond. A. 117 ( 778): 610–624. Bibcode :1928RSPSA.117..610D. doi : 10.1098/rspa.1928.0023 .
8. JR Forshaw; AG Smith (2009). Динамика и теория относительности . Wiley. С. 258–259. ISBN 978-0-470-01460-8.
9. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 201, 649, 1188. ISBN 0-7167-0344-0.
10. Г. Файнберг (1967). «Возможность частиц, движущихся быстрее света». Physical Review . 159 (5): 1089–1105. Bibcode : 1967PhRv..159.1089F. doi : 10.1103/PhysRev.159.1089.
11. ZYWang (2016). «Современная теория электромагнитных метаматериалов». Плазмоника . 11 (2): 503–508. doi :10.1007/s11468-015-0071-7. S2CID  122346519.

• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаума . McGraw-Hill. стр. 704–705. ISBN 978-0-07-025734-4.
• G. Woan (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Cambridge University Press. стр. 65. ISBN 978-0-521-57507-2.
• CB Parker (1994). McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics (2-е изд.). McGraw-Hill. стр. 1192, 1193. ISBN 0-07-051400-3.
• RG Lerner ; GL Trigg (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). VHC Publishers. стр. 1052. ISBN 0-89573-752-3.