В музыке класс высоты тона ( pc или pc ) — это набор всех высот , отстоящих друг от друга на целое число октав ; например, класс высоты C состоит из C во всех октавах. «Класс высоты звука C обозначает все возможные C в любой октавной позиции». [1] Важным для теории музыкальных множеств является то, что класс высоты звука — это «все высоты звука, связанные друг с другом октавой, энгармонической эквивалентностью или тем и другим». [2] Таким образом, используя научное обозначение высоты звука , класс высоты звука «C» представляет собой набор
Хотя формального верхнего или нижнего предела этой последовательности не существует, человеку слышны лишь некоторые из этих тонов. Класс высоты важен, потому что восприятие высоты звука человеком является периодическим : высоты, принадлежащие к одному и тому же классу высоты, воспринимаются как имеющие одинаковое качество или цвет, свойство, называемое « октавной эквивалентностью ».
Психологи называют качество звука его «цветностью». [3] Цветность — это атрибут высоты тона (в отличие от высоты тона ), точно так же, как оттенок — атрибут цвета . Класс высоты тона — это набор всех тонов, имеющих одну и ту же цветность, точно так же, как «набор всех белых вещей» — это совокупность всех белых объектов. [4]
В стандартном западном равнотемпераменте разные варианты написания могут относиться к одному и тому же звучащему объекту: B ♯ 3 , C 4 и D.
4, все относятся к одному и тому же тону, следовательно, имеют одну и ту же цветность и, следовательно, принадлежат к одному и тому же классу тонов. Это явление называется энгармонической эквивалентностью .
Чтобы избежать проблемы энгармонического написания, теоретики обычно представляют классы высоты звука, используя числа, начинающиеся с нуля, при этом каждое последующее большее целое число представляет класс высоты звука, который был бы на полутон выше предыдущего, если бы все они были реализованы как фактические высоты звука в одном и том же языке. октава. Поскольку высота звука, связанная с октавами, принадлежит к одному и тому же классу, при достижении октавы числа снова начинаются с нуля. Эта циклическая система называется модульной арифметикой , и, в обычном случае хроматических двенадцатитоновых гамм, нумерация классов высоты тона равна «по модулю 12» (в литературе по теории музыки обычно обозначается сокращением «mod 12»), то есть каждый двенадцатый член идентичен. Можно сопоставить основную частоту звука f (измеренную в герцах ) с действительным числом p, используя уравнение
Это создает линейное пространство высоты тона , в котором октавы имеют размер 12, полутона (расстояние между соседними клавишами на клавиатуре фортепиано) имеют размер 1, а средней C (C 4 ) присваивается номер 0 (таким образом, высота звука на фортепиано равна — от 39 до +48). Действительно, преобразование высоты звука в действительные числа, определенное таким образом, составляет основу стандарта настройки MIDI , который использует действительные числа от 0 до 127 для представления высоты звука от C -1 до G9 ( таким образом, среднее C равно 60). Чтобы представить классы высоты звука , нам нужно идентифицировать или «склеить» все высоты звука, принадлежащие одному и тому же классу высоты звука, то есть все числа p и p + 12. В результате получается циклическая группа частных , которую теоретики музыки называют пространством классов высоты звука , а математики называют R. /12 З . Точки в этом пространстве можно пометить действительными числами в диапазоне 0 ≤ x <12. Эти числа представляют собой числовые альтернативы буквенным названиям элементарной теории музыки:
( четверть тона диеза), 3 = D ♯ /E ♭ ,и так далее. В этой системе классы высоты звука, представленные целыми числами, представляют собой классы двенадцатитоновой равной темперации (при условии стандартного концерта А).
В музыке целочисленная запись представляет собой перевод классов высоты тона или классов интервалов в целые числа . [5] Таким образом, если C = 0, то C ♯ = 1 ... A ♯ = 10, B = 11, причем в некоторых источниках «10» и «11» заменены на «t» и «e», [5] A и B в других [6] (например, двенадцатеричная система счисления, в которой также используются «t» и «e» или A и B для «10» и «11»). Это позволяет максимально экономно представить информацию о посттональных материалах. [5]
В целочисленной модели высоты звука все классы высоты звука и интервалы между классами высоты звука обозначаются числами от 0 до 11. Она не используется для обозначения музыки для исполнения, но является обычным аналитическим и композиционным инструментом при работе с хроматической музыкой, включая двенадцать тональная , серийная или иная атональная музыка.
Классы высоты звука можно обозначить таким способом, присвоив какой-либо ноте номер 0 и назначив последовательные целые числа последовательным полутонам ; поэтому, если 0 — это C натуральный, 1 — это C ♯ , 2 — это D ♮ и так далее до 11, что соответствует B ♮ . C выше это не 12, а снова 0 (12 - 12 = 0). Таким образом, арифметический модуль 12 используется для представления октавной эквивалентности . Одним из преимуществ этой системы является то, что она игнорирует «написание» нот (B ♯ , C ♮ и Dвсе 0) в соответствии с их диатонической функциональностью .
У целочисленной записи есть несколько недостатков. Во-первых, теоретики традиционно использовали одни и те же целые числа для обозначения элементов разных систем настройки. Таким образом, цифры 0, 1, 2, ... 5 используются для обозначения классов высоты звука в 6-тоновой равнотемперированной тональности. Это означает, что значение данного целого числа меняется в зависимости от базовой системы настройки: «1» может относиться к C ♯ в 12-тональной равной темперации, но D в 6-тоновой равнотемперированной.
Кроме того, одни и те же числа используются для обозначения высоты звука и интервалов . Например, число 4 служит одновременно меткой класса высоты звука E (если C = 0) и меткой расстояния между классами высоты звука D и F ♯ . (Во многом таким же образом термин «10 градусов» может обозначать как температуру, так и расстояние между двумя температурами.) Только одно из этих обозначений чувствительно к (произвольному) выбору шагового класса 0. Например, если кто-то делает другой выбор относительно того, какой класс шага будет помечен как 0, тогда класс шага E больше не будет обозначаться как «4». Однако расстоянию между D и F ♯ все равно будет присвоено число 4. И это, и вопрос в абзаце непосредственно выше можно рассматривать как недостатки (хотя математически элемент «4» не следует путать с функцией «+» 4").
Описанная выше система достаточно гибка, чтобы описать любой класс высоты звука в любой системе настройки: например, можно использовать цифры {0, 2,4, 4,8, 7,2, 9,6} для обозначения пятитоновой шкалы, которая равномерно делит октаву. Однако в некоторых случаях удобно использовать альтернативные системы маркировки. Например, используя просто интонацию , мы можем выражать высоту звука через положительные рациональные числа .п/д , выражается ссылкой на 1 (часто пишется « 1/1 "), который представляет собой фиксированный шаг. Если a и b - два положительных рациональных числа, они принадлежат к одному и тому же классу шага тогда и только тогда, когда
для некоторого целого числа n . Следовательно, мы можем представить классы высоты звука в этой системе с помощью отношений п/д где ни p , ни q не делятся на 2, то есть как отношения нечетных целых чисел. В качестве альтернативы мы можем представить только классы высоты интонации, сократив до октавы, 1 ≤ .п/д < 2.
Также очень часто классы высоты тона обозначаются со ссылкой на некоторый масштаб . Например, можно обозначить классы высоты звука n -тоновой равной темперации, используя целые числа от 0 до n - 1. Практически таким же образом можно обозначить классы высоты звука гаммы до мажор: C–D–E–F– G – A – B, используя цифры от 0 до 6. Эта система имеет два преимущества перед описанной выше системой непрерывной маркировки. Во-первых, это исключает любые предположения о том, что в двенадцатикратном делении октавы есть что-то естественное. Во-вторых, он избегает вселенных основного класса с громоздкими десятичными расширениями, если рассматривать их относительно 12; например, в непрерывной системе 19 классов одинаковой темперации обозначаются 0,63158..., 1,26316... и т. д. Обозначение этих классов тона {0, 1, 2, 3..., 18} упрощает арифметика, используемая при манипуляциях с наборами тональных классов.
Недостаток системы, основанной на гаммах, заключается в том, что она присваивает бесконечное количество различных названий аккордам, которые звучат одинаково. Например, в двенадцатитоновом равнотемперированном трезвучии до мажор обозначается {0, 4, 7}. В двадцатичетырёхтоновой равнотемперации это же трезвучие обозначается {0, 8, 14}. Более того, система, основанная на ладах, по-видимому, предполагает, что разные системы настройки используют шаги одного и того же размера («1»), но имеют октавы разного размера («12» в 12-тоновой равнотемперированной системе, «19» в 19-тоновой системе). равная темперация и т. д.), тогда как на самом деле верно обратное: разные системы настройки делят одну и ту же октаву на шаги разного размера.
В общем, часто бывает полезнее использовать традиционную систему целых чисел, когда работаешь в рамках одного темперамента; когда сравнивают аккорды разных темпераментов, непрерывная система может быть более полезной.
