В геометрии треугольная призма или тригональная призма [1] — это призма с двумя треугольными основаниями. Если края соединяются с вершинами каждого треугольника и перпендикулярны основанию, то это правильная треугольная призма . Прямая треугольная призма может быть как полуправильной , так и однородной .
Треугольную призму можно использовать при построении другого многогранника. Примерами являются некоторые тела Джонсона , усеченная правая треугольная призма и многогранник Шёнхардта .
Треугольная призма имеет 6 вершин, 9 ребер и 5 граней. Каждая призма имеет две конгруэнтные грани, называемые основаниями , а основания треугольной призмы представляют собой треугольники . Треугольник имеет 3 вершины, каждая из которых соединяется с вершиной другого треугольника, образуя еще 3 ребра. Эти ребра образуют 3 параллелограмма , как и другие грани. [2] Если края призмы перпендикулярны основанию, боковые грани представляют собой прямоугольники , и призма называется прямой треугольной призмой . [3] Эту призму также можно рассматривать как частный случай клина . [4]
Если основание равностороннее , а боковые грани квадратные , то правая треугольная призма полуправильная . Полуправильная призма означает, что количество ребер ее многоугольного основания равно количеству ее квадратных граней. [5] В более общем смысле треугольная призма является однородной . Это означает, что треугольная призма имеет правильные грани и изогональную симметрию в вершинах. [6] Трехмерной группой симметрии прямой треугольной призмы является группа диэдра D 3 h порядка 12: внешний вид не изменится, если треугольную призму повернуть на одну и две трети полного угла вокруг своей оси симметрии, пройдя через основание центра и отражается в горизонтальной плоскости. Двойственный многогранник треугольной призмы представляет собой треугольную бипирамиду . Треугольная бипирамида имеет ту же симметрию, что и треугольная призма. [1] Двугранный угол между двумя соседними квадратными гранями — это внутренний угол равностороннего треугольника π /3 = 60° , а угол между квадратом и треугольником — π /2 = 90° . [7]
Объем любой призмы равен произведению площади основания и расстояния между двумя основаниями. [8] В случае треугольной призмы ее основанием является треугольник, поэтому ее объем можно рассчитать, умножив площадь треугольника на длину призмы:
Треугольную призму можно представить в виде графа призмы Π 3 . В более общем смысле граф призмы Π n представляет собой n - стороннюю призму. [11]
Помимо треугольной бипирамиды как ее двойственного многогранника, с треугольной призмой связаны многие другие многогранники. Тело Джонсона — это выпуклый многогранник с правильными гранями, и в это определение иногда опускают однородные многогранники, такие как архимедовы тела , каталонские тела , призмы и антипризмы . [12] Существует 6 тел Джонсона, конструкция которых включает треугольную призму: вытянутая треугольная пирамида , вытянутая треугольная бипирамида , гиробифастигий , увеличенная треугольная призма , двуувеличенная треугольная призма и триувеличенная треугольная призма . Вытянутая треугольная пирамида и гировытянутая треугольная пирамида построены путем прикрепления тетраэдра к основанию треугольной призмы. Увеличенная треугольная призма, двуувеличенная треугольная призма и триувеличенная треугольная призма построены путем прикрепления равносторонних квадратных пирамид к квадратной грани призмы. Гиробифастигиум состоит из соединения двух треугольных призм вдоль одной из его квадратных граней. [13]
Усеченная треугольная призма — это треугольная призма, построенная путем усечения ее части под косым углом. В результате два основания не параллельны, и каждая высота имеет разную длину края. Если ребра, соединяющие основания, перпендикулярны одному из ее оснований, призма называется усеченной прямоугольной призмой . Учитывая, что A — площадь основания треугольной призмы и три высоты h 1 , h 2 и h 3 , ее объем можно определить по следующей формуле: [14]
Многогранник Шенхардта — еще один многогранник, построенный из треугольной призмы с равносторонними треугольными основаниями. Таким образом, одно из ее оснований вращается вокруг центральной линии призмы и разбивает квадратные грани на косые многоугольники . Каждую квадратную грань можно повторно триангулировать с помощью двух треугольников, чтобы сформировать невыпуклый двугранный угол. [15] В результате многогранник Шенхардта не может быть триангулирован путем разбиения на тетраэдры. Дело также в том, что у многогранника Шенхардта нет внутренних диагоналей. [16] Она названа в честь немецкого математика Эриха Шенхардта , который описал ее в 1928 году, хотя подобная структура была продемонстрирована художником Карлисом Йохансонсом в 1921 году. [17]
Имеется 4 однородных соединения треугольных призм. Они представляют собой соединение четырех треугольных призм , соединение восьми треугольных призм , соединение десяти треугольных призм , соединение двадцати треугольных призм . [18]
Существует 9 однородных сот, включающих ячейки треугольной призмы:
Треугольная призма стоит первой в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник является вершинной фигурой предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все правильные многогранные грани, содержащие все симплексы и ортоплексы ( равносторонние треугольники и квадраты в случае треугольной призмы). В обозначениях Кокстера треугольной призме присвоен символ −1 21 .
Треугольная призма существует как ячейки ряда четырехмерных однородных 4-многогранников , в том числе:
