Кольцо целых чисел

В математике кольцо целых чисел поля алгебраических чисел — это кольцо всех целых алгебраических чисел, содержащихся в поле алгебраических чисел . ^[1] Целое алгебраическое число является корнем монического многочлена с целыми коэффициентами : . ^[2] Это кольцо часто обозначается или . Поскольку любое целое число принадлежит и является целым элементом кольца , кольцо всегда является подкольцом . $K$ $K$ $x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}$ $O_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $K$ $\mathbb {Z}$ $O_{K}$

Кольцо целых чисел — это простейшее возможное кольцо целых чисел. ^[а] А именно, где находится поле рациональных чисел . ^[3] И действительно, в алгебраической теории чисел из- за этого элементы часто называют «рациональными целыми числами». $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$

Следующий простейший пример — кольцо гауссовых целых чисел , состоящее из комплексных чисел , действительная и мнимая части которых являются целыми числами. Это кольцо целых чисел в числовом поле гауссовских рациональных чисел , состоящее из комплексных чисел, действительная и мнимая части которых являются рациональными числами. Как и целые рациональные числа, это евклидова область . $\mathbb {Z} [i]$ $\mathbb {Q} (i)$ $\mathbb {Z} [i]$

Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел — это единственный максимальный порядок в поле. Это всегда домен Дедекинда . ^[4]

Характеристики

Кольцо целых чисел $O K$ является конечно-порожденным $Z$ - модулем . Действительно, это свободный $Z$ $-$ модуль и, следовательно, он имеет $целочисленный$ базис , то есть базис $b 1, ..., b n \in OK Q$ - векторного пространства $K$ такой, что каждый элемент $x$ в $OK$ может быть уникально представлен как

x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},

с $я € Z$ . $_$ $[$ 5 ^] Ранг n OK $как$ свободного $Z$ $-модуля$ равен степени K $над$ $Q$ .

Примеры

Вычислительный инструмент

Полезным инструментом для вычисления целого замыкания кольца целых чисел в алгебраическом поле $K / Q$ является дискриминант . Если $K$ имеет степень $n$ над $Q$ и образует базис $K$ над $Q$ , установите . Тогда – подмодуль $Z$ -модуля , натянутый на . ^[6]^стр.³³ Фактически, если $d$ не содержит квадратов, то образует интегральный базис для . ^[6]^стр.³⁵ $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in {\mathcal {O}}_{K}$ $d=\Delta _{K/\mathbb {Q} }(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $\alpha _{1}/d,\ldots ,\alpha _{n}/d$ $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ ${\mathcal {O}}_{K}$

Циклотомные расширения

Если $p$ — простое число , $ζ$ — корень $p$ -й степени из единицы и $K = Q (ζ)$ — соответствующее круговое поле , то интегральный базис $O K = Z [ζ]$ задается формулой $(1, ζ, ζ 2, ..., ζ п -2)$ . ^[7]

Квадратичные расширения

Если — целое число без квадратов и соответствующее квадратичное поле , то — кольцо целых квадратичных чисел и его целочисленный базис определяется формулой $(1, (1 +$ $\sqrt$ $d$ $)/2)$ , если $d$ $\equiv 1 ($ $mod$ $4),$ и формулой $(1,$ $\sqrt$ $d$ $)$ , если $d$ $\equiv 2, 3 (mod 4)$ . ^[8] Это можно найти, вычислив минимальный полином произвольного элемента, где . $d$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $a+b{\sqrt {d}}\in \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ $a,b\in \mathbf {Q}$

Мультипликативная структура

В кольце целых чисел каждый элемент имеет факторизацию на неприводимые элементы , но кольцо не обязательно должно обладать свойством однозначной факторизации : например, в кольце целых чисел $Z [\sqrt -5]$ элемент 6 имеет две существенно разные факторизации. на неприводимые: ^[4]^[9]

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).

Кольцо целых чисел всегда является дедекиндовой областью и поэтому имеет уникальную факторизацию идеалов в простые идеалы . ^[10]

Единицы кольца целых чисел $OK$ $—$ конечно порожденная абелева группа по теореме Дирихле о единицах . Круглая подгруппа состоит из корней из единицы $K$ . Набор образующих без кручения называется набором фундаментальных единиц . ^[11]

Обобщение

Кольцо целых чисел неархимедова локального поля $F$ определяется как множество всех элементов $F$ с абсолютным значением $\leq 1$ ; это кольцо из-за сильного неравенства треугольника. ^[12] Если $F$ является пополнением поля алгебраических чисел, его кольцо целых чисел является пополнением кольца целых чисел последнего. Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел можно охарактеризовать как элементы, которые являются целыми числами в каждом неархимедовом пополнении. ^[3]

Например, целые $p$ -адические числа $Z p$ представляют собой кольцо целых $p$ -адических чисел $Q p$ .

Смотрите также

Минимальный полином (теория поля)
Интегральное замыкание - дает метод расчета интегральных замыканий.

Примечания

^ Кольцо целых чисел без указания поля относится к кольцу «обычных» целых чисел, прототипу объекта для всех этих колец. Это следствие неоднозначности слова «целое число» в абстрактной алгебре. $\mathbb {Z}$

Цитаты

^ Алака и Уильямс 2003, с. 110, Защита. 6.1.2-3.
^ Алака и Уильямс 2003, с. 74, Защита. 4.1.1-2.
^ аб Кассельс 1986, стр. 192.
^ аб Самуэль 1972, с. 49.
^ Кассельс (1986) с. 193
^ Аб Бейкер. «Алгебраическая теория чисел» (PDF) . стр. 33–35.
^ Самуэль 1972, с. 43.
^ Самуэль 1972, с. 35.
^ Артин, Майкл (2011). Алгебра . Прентис Холл. п. 360. ИСБН 978-0-13-241377-0.
^ Самуэль 1972, с. 50.
^ Сэмюэл 1972, стр. 59–62.
^ Кассельс 1986, с. 41.