В математике бинарная операция является коммутативной , если изменение порядка операндов не меняет результат. Это фундаментальное свойство многих бинарных операций, и от него зависят многие математические доказательства . Возможно, наиболее известное как арифметическое свойство, например «3 + 4 = 4 + 3» или «2 × 5 = 5 × 2» , это свойство также можно использовать в более сложных настройках. Имя необходимо, поскольку существуют операции, такие как деление и вычитание , которые его не имеют (например, «3 − 5 ≠ 5 − 3» ); такие операции не являются коммутативными и поэтому называются некоммутативными операциями . В течение многих лет неявно предполагалась идея о том, что простые операции, такие как умножение и сложение чисел, являются коммутативными. Таким образом, это свойство не было названо до 19 века, когда математика начала формализоваться. [1] [2] Аналогичное свойство существует для бинарных отношений ; бинарное отношение называется симметричным, если оно применяется независимо от порядка его операндов; например, равенство симметрично, поскольку два равных математических объекта равны независимо от их порядка. [3]
Бинарная операция над множеством S называется коммутативной, если [4] [5] Другими словами, операция является коммутативной, если каждые два элемента коммутативны. Операция, не удовлетворяющая указанному выше свойству, называется некоммутативной .
Говорят, что x коммутирует с y или что x и y коммутируют относительно if. То есть определенная пара элементов может коммутировать, даже если операция (строго) некоммутативна.
Деление некоммутативно, так как .
Вычитание некоммутативно, так как . Однако его точнее классифицируют как антикоммутативный , поскольку .
Возведение в степень некоммутативно, так как . Это свойство приводит к двум различным «обратным» операциям возведения в степень (а именно, операции n -го корня и операции логарифма ), что отличается от умножения. [6]
Некоторые функции истинности некоммутативны, поскольку таблицы истинности для функций меняются при изменении порядка операндов. Например, таблицы истинности для (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) и (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) имеют вид
Функциональная композиция линейных функций от действительных чисел к действительным числам почти всегда некоммутативна. Например, пусть и . Тогда и Это также применимо в более общем плане к линейным и аффинным преобразованиям векторного пространства в себя (см. ниже матричное представление).
Матричное умножение квадратных матриц почти всегда некоммутативно, например:
Векторное произведение (или перекрестное произведение ) двух векторов в трех измерениях является антикоммутативным ; т. е. б × а = -( а × б ).
Записи о неявном использовании свойства коммутативности восходят к древним временам. Египтяне использовали коммутативное свойство умножения для упрощения вычислительных продуктов . [7] [8] Известно, что Евклид в своей книге «Начала» предположил коммутативное свойство умножения . [9] Формальное использование свойства коммутативности возникло в конце 18 и начале 19 веков, когда математики начали работать над теорией функций. Сегодня свойство коммутативности является хорошо известным и основным свойством, используемым в большинстве разделов математики.
Первое зарегистрированное использование термина «коммутативный» было в мемуарах Франсуа Сервуа в 1814 году, [1] [10] , в которых слово «коммутативный» использовалось при описании функций, обладающих тем, что сейчас называется коммутативным свойством. Коммутативный — это женская форма французского прилагательного commutatif , которое происходит от французского существительного commutation и французского глагола commuter , означающего «обменивать» или «переключаться», родственного слову « commute» . Затем этот термин появился на английском языке в 1838 году [2] в статье Дункана Грегори , озаглавленной «О реальной природе символической алгебры», опубликованной в 1840 году в «Трудах Королевского общества Эдинбурга» . [11]
В истинностно-функциональной логике высказываний коммутация [12] [13] или коммутативность [14] относятся к двум действительным правилам замены . Правила позволяют транспонировать пропозициональные переменные внутри логических выражений в логических доказательствах . Правила таковы: и где « » — металогический символ , обозначающий «можно заменить в доказательстве на».
Коммутативность — это свойство некоторых логических связок истинностной функциональной логики высказываний . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что коммутативность является свойством определенных связок. Ниже приведены истиннофункциональные тавтологии .
В теории групп и множеств многие алгебраические структуры называются коммутативными, когда определенные операнды удовлетворяют свойству коммутативности. В высших разделах математики, таких как анализ и линейная алгебра, в доказательствах часто используется (или неявно предполагается) коммутативность хорошо известных операций (таких как сложение и умножение действительных и комплексных чисел). [15] [16] [17]
Ассоциативное свойство тесно связано с коммутативным свойством. Ассоциативное свойство выражения, содержащего два или более вхождений одного и того же оператора, гласит, что порядок выполнения операций не влияет на конечный результат, пока порядок членов не меняется. Напротив, свойство коммутативности гласит, что порядок членов не влияет на конечный результат.
Большинство встречающихся на практике коммутативных операций также являются ассоциативными. Однако коммутативность не означает ассоциативности. Контрпримером является функция , которая явно коммутативна (перестановка x и y не влияет на результат), но не ассоциативна (поскольку, например, но ). Больше таких примеров можно найти в коммутативных неассоциативных магмах . Более того, ассоциативность также не подразумевает коммутативности - например, умножение кватернионов или матриц всегда ассоциативно, но не всегда коммутативно.
Некоторые формы симметрии могут быть напрямую связаны с коммутативностью. Когда коммутативная операция записывается в виде бинарной функции , то эта функция называется симметричной функцией , а ее график в трехмерном пространстве симметричен относительно плоскости . Например, если функция f определена как then , это симметричная функция.
Для отношений симметричное отношение аналогично коммутативной операции: если отношение R симметрично, то .
В квантовой механике , сформулированной Шредингером , физические переменные представлены линейными операторами , такими как (что означает умножение на ) и . Эти два оператора не коммутируют, как можно увидеть, рассмотрев влияние их композиций и (также называемых произведениями операторов) на одномерную волновую функцию :
Согласно принципу неопределенности Гейзенберга , если два оператора, представляющие пару переменных , не коммутируют, то эта пара переменных является взаимодополняющей , что означает, что их нельзя одновременно измерить или точно узнать. Например, положение и линейный импульс в -направлении частицы представляются операторами и соответственно (где – приведенная постоянная Планка ). Это тот же пример, за исключением константы , поэтому операторы снова не коммутируют, и физический смысл состоит в том, что положение и линейный импульс в данном направлении дополняют друг друга.