Комплексный кобордизм

В математике комплексный кобордизм — это обобщенная теория когомологий, связанная с кобордизмом многообразий . Его спектр обозначается MU. Это исключительно мощная теория когомологий , но ее может быть довольно сложно вычислить, поэтому часто вместо ее непосредственного использования используют несколько более слабые теории , полученные из нее, такие как когомологии Брауна–Петерсона или K-теория Моравы , которые вычислить проще.

Обобщенные теории гомологии и когомологии комплексных кобордизмов были введены Майклом Атья  (1961) с использованием спектра Тома .

Спектр комплексного кобордизма

Комплексный бордизм пространства — это, грубо говоря, группа классов бордизмов многообразий над с комплексной линейной структурой на стабильном нормальном расслоении . Комплексный бордизм — это обобщенная теория гомологии , соответствующая спектру MU, который можно явно описать в терминах пространств Тома следующим образом. ${\displaystyle MU^{*}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Пространство является пространством Тома универсального -плоскостного расслоения над классифицирующим пространством унитарной группы . Естественное включение из в индуцирует отображение из двойной подвески в . Вместе эти отображения дают спектр ; а именно, это гомотопический копредел . ${\displaystyle MU(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle BU(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle U(n+1)}$ ${\displaystyle \Sigma ^{2}MU(n)}$ ${\displaystyle MU(n+1)}$ ${\displaystyle MU}$ ${\displaystyle MU(n)}$

Примеры: — спектр сферы. — десуспензия . ${\displaystyle MU(0)}$ ${\displaystyle MU(1)}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$

Теорема о нильпотентности утверждает, что для любого кольцевого спектра ядро ​​состоит из нильпотентных элементов. ^[1] Из теоремы следует, в частности, что если — спектр сферы, то для любого каждый элемент из нильпотентен (теорема Горо Нисиды ). (Доказательство: если находится в , то — кручение, но его образ в , кольце Лазара , не может быть кручением, поскольку — многочленное кольцо. Таким образом, должно находиться в ядре.) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \pi _{n}\mathbb {S} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi _{n}S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}(\mathbb {S} )\simeq L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$

Формальные групповые законы

Джон Милнор  (1960) и Сергей Новиков  (1960, 1962) показали, что кольцо коэффициентов (равное комплексному кобордизму точки или, что эквивалентно, кольцу классов кобордизмов стабильно комплексных многообразий) является кольцом многочленов от бесконечного числа образующих положительных четных степеней. ${\displaystyle \pi _{*}(\operatorname {MU} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )}$

Запишем для бесконечномерного комплексного проективного пространства , которое является классифицирующим пространством для комплексных линейных расслоений, так что тензорное произведение линейных расслоений индуцирует отображение Комплексная ориентация на ассоциативном коммутативном кольцевом спектре E — это элемент x, в ограничении на которого равно 1, если последнее кольцо отождествляется с кольцом коэффициентов E . Спектр E с таким элементом x называется комплексным ориентированным кольцевым спектром . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mu :\mathbb {CP} ^{\infty }\times \mathbb {CP} ^{\infty }\to \mathbb {CP} ^{\infty }.}$ ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$ ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {CP} ^{1})}$

Если E — комплексный ориентированный кольцевой спектр, то

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x]]}$

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })\times E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]}$

и является формальным групповым законом над кольцом . ${\displaystyle \mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]}$ ${\displaystyle E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)}$

Комплексный кобордизм имеет естественную комплексную ориентацию. Дэниел Квиллен  (1969) показал, что существует естественный изоморфизм из его кольца коэффициентов в универсальное кольцо Лазара , превращая формальный групповой закон комплексного кобордизма в универсальный формальный групповой закон. Другими словами, для любого формального группового закона F над любым коммутативным кольцом R существует единственный кольцевой гомоморфизм из MU ^* (точка) в R такой, что F является обратным образом формального группового закона комплексного кобордизма.

Когомологии Брауна–Петерсона

Комплексный кобордизм над рациональными числами может быть сведен к обычным когомологиям над рациональными числами, поэтому основной интерес представляет кручение комплексного кобордизма. Часто проще изучать кручение по одному простому числу за раз, локализуя MU на простом числе p ; грубо говоря, это означает, что уничтожается кручение, простое к p . Локализация MU _p MU на простом числе p расщепляется как сумма подвесок более простой теории когомологий, называемой когомологиями Брауна–Петерсона , впервые описанной Брауном и Петерсоном (1966). На практике часто проводят вычисления с когомологиями Брауна–Петерсона, а не с комплексным кобордизмом. Знание когомологий Брауна–Петерсона пространства для всех простых чисел p примерно эквивалентно знанию его комплексного кобордизма.

Классы Коннера–Флойда

Кольцо изоморфно кольцу формального степенного ряда , где элементы cf называются классами Коннера–Флойда. Они являются аналогами классов Черна для комплексных кобордизмов. Они были введены Коннером и Флойдом (1966). ${\displaystyle \operatorname {MU} ^{*}(BU)}$ ${\displaystyle \operatorname {MU} ^{*}({\text{point}})[[cf_{1},cf_{2},\ldots ]]}$

Аналогично изоморфно кольцу многочленов ${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}(BU)}$ ${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}({\text{point}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]}$

Операции когомологии

Алгебра Хопфа MU _* (MU) изоморфна алгебре многочленов R[b ₁ , b ₂ , ...], где R — приведенное кольцо бордизмов 0-сферы.

Копроизведение определяется как

${\displaystyle \psi (b_{k})=\sum _{i+j=k}(b)_{2i}^{j+1}\otimes b_{j}}$

где обозначение () _{2 i} означает взять часть степени 2 i . Это можно интерпретировать следующим образом. Карта

${\displaystyle x\to x+b_{1}x^{2}+b_{2}x^{3}+\cdots }$

является непрерывным автоморфизмом кольца формальных степенных рядов по x , а копроизведение MU _* (MU) дает композицию двух таких автоморфизмов.

Смотрите также

• Спектральная последовательность Адамса–Новикова
• Список теорий когомологий
• Алгебраический кобордизм

Примечания

1. Лури, Якоб (27 апреля 2010 г.), «Теорема о нильпотентности (лекция 25)» (PDF) , 252x примечания , Гарвардский университет

Ссылки

• Адамс, Дж. Франк (1974), Стабильная гомотопия и обобщенная гомология, Издательство Чикагского университета , ISBN 978-0-226-00524-9
• Атья, Майкл Фрэнсис (1961), «Бордизм и кобордизм», Proc. Cambridge Philos. Soc. , 57 (2): 200–208, Bibcode : 1961PCPS...57..200A, doi : 10.1017/S0305004100035064, MR  0126856, S2CID  122937421
• Браун, Эдгар Х. младший ; Петерсон, Франклин П. (1966), «Спектр, когомологии которого являются алгеброй приведенных p ^-х степеней», Топология , 5 (2): 149–154, doi : 10.1016/0040-9383(66)90015-2 , MR  0192494 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
• Коннер, Пьер Э.; Флойд , Эдвин Э. (1966), Связь кобордизма с К-теориями , Lecture Notes in Mathematics, т. 28, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0071091, ISBN 978-3-540-03610-4, МР  0216511
• Милнор, Джон (1960), «О кольце кобордизмов и комплексном аналоге, часть I», American Journal of Mathematics , 82 (3): 505–521, doi :10.2307/2372970, JSTOR  2372970 ${\displaystyle \Omega _{*}}$
• Морава, Джек (2007). «Комплексный кобордизм и алгебраическая топология». arXiv : 0707.3216 [math.HO].
• Новиков, Сергей П. (1960), «Некоторые вопросы топологии многообразий, связанные с теорией пространств Тома», Докл. АН СССР , 1 : 717–720. Перевод «О некоторых задачах топологии многообразий, границ с теорией территории Тома», Доклады Академии Наук СССР , 132 (5): 1031–1034, МР  0121815, Збл  0094.35902.
• Новиков, Сергей П. (1962), «Гомотопические свойства комплексов Тома», Матем. сб. , Новая серия, 57 : 407–442, MR  0157381
• Куиллен, Дэниел (1969), «О формальных групповых законах теории неориентированных и комплексных кобордизмов», Бюллетень Американского математического общества , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12401-8 , MR  0253350.
• Равенель, Дуглас К. (1980), «Комплексный кобордизм и его приложения к теории гомотопий», Труды Международного конгресса математиков (Хельсинки, 1978) , т. 1, Хельсинки: Acad. Sci. Fennica, стр. 491–496, ISBN 978-951-41-0352-0, МР  0562646
• Равенель, Дуглас К. (1988), «Теория комплексных кобордизмов для теоретиков чисел», Эллиптические кривые и модулярные формы в алгебраической топологии , Lecture Notes in Mathematics, т. 1326, Берлин / Гейдельберг: Springer, стр. 123–133, doi :10.1007/BFb0078042, ISBN 978-3-540-19490-3, ISSN  1617-9692
• Равенель, Дуглас К. (2003), Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, МР  0860042
• Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], «Кобордизм», Энциклопедия математики , EMS Press
• Стонг, Роберт Э. (1968), Заметки о теории кобордизма , Princeton University Press
• Том, Рене (1954), «Quelques proprietés globales des variétés différentiables», Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi : 10.1007/BF02566923, MR  0061823, S2CID  120243638

Внешние ссылки

• Комплексный бордизм в атласе многообразия
• теория когомологий кобордизма в n Lab