Момент инерции

Скалярная мера инерции вращения относительно фиксированной оси вращения

Канатоходцы используют момент инерции длинного стержня для равновесия при ходьбе по канату. Сэмюэл Диксон переправляется через реку Ниагара в 1890 году.

Для улучшения маневренности боевые самолеты сконструированы таким образом, чтобы минимизировать моменты инерции, в то время как гражданские самолеты часто этого не делают.

Момент инерции , также известный как момент инерции массы , угловая масса , второй момент массы или, точнее, инерция вращения твердого тела , представляет собой величину, которая определяет крутящий момент , необходимый для желаемого углового ускорения вокруг оси вращения. , подобно тому, как масса определяет силу , необходимую для желаемого ускорения . Это зависит от распределения массы тела и выбранной оси: большие моменты требуют большего крутящего момента для изменения скорости вращения тела на заданную величину.

Это обширное (аддитивное) свойство: для точечной массы момент инерции равен произведению массы на квадрат перпендикулярного расстояния к оси вращения. Момент инерции жесткой составной системы представляет собой сумму моментов инерции составляющих ее подсистем (все взятых вокруг одной оси). Его самое простое определение — это второй момент массы по отношению к расстоянию от оси .

Для тел, вынужденных вращаться в плоскости, имеет значение только их момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости , скалярная величина. Для тел, свободно вращающихся в трех измерениях, их моменты могут быть описаны симметричной матрицей 3х3 с набором взаимно перпендикулярных главных осей, для которых эта матрица является диагональной , а крутящие моменты вокруг осей действуют независимо друг от друга.

В машиностроении просто «инерция» часто используется для обозначения « инерционной массы » или «момента инерции». ^[1]

Введение

Когда тело может вращаться вокруг оси, необходимо приложить крутящий момент , чтобы изменить его угловой момент . Величина крутящего момента, необходимая для того, чтобы вызвать любое заданное угловое ускорение (скорость изменения угловой скорости ), пропорциональна моменту инерции тела. Моменты инерции могут быть выражены в единицах килограмм-метр в квадрате (кг·м ² ) в единицах СИ и фунт-фут-секунда в квадрате (фунт-сила-фут·с ² ) в британских или американских единицах.

Момент инерции играет роль во вращательной кинетике, которую масса (инерция) играет в линейной кинетике — оба характеризуют сопротивление тела изменениям в его движении. Момент инерции зависит от того, как распределена масса вокруг оси вращения, и будет меняться в зависимости от выбранной оси. Для точечной массы момент инерции относительно некоторой оси определяется выражением , где – расстояние точки от оси, – масса. Для расширенного твердого тела момент инерции — это просто сумма всех маленьких частей массы, умноженная на квадрат их расстояний от оси вращения. Для протяженного тела правильной формы и однородной плотности это суммирование иногда дает простое выражение, зависящее от размеров, формы и общей массы объекта. ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$

В 1673 году Христиан Гюйгенс ввел этот параметр в своем исследовании колебаний тела, подвешенного на шарнире, известном как составной маятник . ^[2] Термин « момент инерции» («импульс инерции» на латыни ) был введен Леонардом Эйлером в его книге «Теория движения тела твердого тела» в 1765 году, ^{[2] [3]} и включен во второй закон Эйлера .

Собственная частота колебаний составного маятника получается из отношения момента силы тяжести, приложенного к массе маятника, к сопротивлению ускорению, определяемому моментом инерции. Сравнение этой собственной частоты с частотой простого маятника, состоящего из одной точки массы, дает математическую формулировку момента инерции протяженного тела. ^{[4] [5]}

Момент инерции также появляется в импульсе , кинетической энергии и в законах движения Ньютона твердого тела как физический параметр, объединяющий его форму и массу. Существует интересная разница в том, как момент инерции проявляется в плоском и пространственном движении. Плоское движение имеет единственный скаляр, который определяет момент инерции, в то время как для пространственного движения те же вычисления дают матрицу моментов инерции 3 × 3, называемую матрицей инерции или тензором инерции. ^{[6] [7]}

Момент инерции вращающегося маховика используется в машине для противодействия изменениям приложенного крутящего момента и сглаживания его крутящего момента. Момент инерции самолета относительно его продольной, горизонтальной и вертикальной осей определяет, как рулевые силы на управляющих поверхностях его крыльев, рулей высоты и рулей направления влияют на движения самолета при крене, тангаже и рыскании.

Определение

Момент инерции определяется как произведение массы сечения на квадрат расстояния между базовой осью и центроидом сечения .

Вращающиеся фигуристы могут уменьшить момент инерции, вытягивая руки, что позволяет им вращаться быстрее за счет сохранения углового момента .

Видео эксперимента с вращающимся стулом, иллюстрирующее момент инерции. Когда вращающийся профессор тянет руки, его момент инерции уменьшается; для сохранения углового момента его угловая скорость увеличивается.

Момент инерции I также определяется как отношение чистого углового момента L системы к ее угловой скорости ω вокруг главной оси, ^{[8] [9]} , то есть

я знак равно L ω . {\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}.}

Если угловой момент системы постоянен, то по мере уменьшения момента инерции угловая скорость должна увеличиваться. Это происходит, когда вращающиеся фигуристы вытягивают вытянутые руки или дайверы сгибают тело в группировку во время прыжка, чтобы вращаться быстрее. ^{[8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]}

Если форма тела не изменяется, то его момент инерции выступает в законе движения Ньютона как отношение приложенного к телу момента τ к угловому ускорению α вокруг главной оси, т. е.

τ знак равно я α . {\displaystyle \tau =I\alpha.}

Для простого маятника это определение дает формулу для момента инерции I через массу m маятника и его расстояние r от точки поворота как:

$${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

Таким образом, момент инерции маятника зависит как от массы тела m , так и от его геометрии или формы, определяемой расстоянием r до оси вращения.

Эта простая формула обобщает определение момента инерции тела произвольной формы как сумму всех элементарных точечных масс dm , каждая из которых умножается на квадрат ее перпендикулярного расстояния r до оси k . Таким образом, момент инерции произвольного объекта зависит от пространственного распределения его массы.

В общем, для объекта массы m эффективный радиус k может быть определен в зависимости от конкретной оси вращения с таким значением, при котором его момент инерции вокруг оси равен

$${\displaystyle I=mk^{2},}$$

kрадиус вращения

Примеры

Простой маятник

Математически момент инерции простого маятника представляет собой отношение крутящего момента силы тяжести вокруг оси маятника к его угловому ускорению вокруг этой точки поворота. Для простого маятника это произведение массы частицы на квадрат ее расстояния до оси вращения, т. е. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

Это можно показать следующим образом: Сила тяжести, действующая на массу простого маятника, создает крутящий момент вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения маятника. Здесь – вектор расстояния от оси крутящего момента до центра масс маятника, – результирующая сила, действующая на массу. С этим крутящим моментом связано угловое ускорение струны и массы вокруг этой оси. Поскольку масса ограничена окружностью, тангенциальное ускорение массы равно . Поскольку уравнение крутящего момента принимает вид: ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

где – единичный вектор, перпендикулярный плоскости маятника. (Предпоследний шаг использует векторное тройное расширение произведения с перпендикулярностью и .) Величина — это момент инерции этой единой массы вокруг точки поворота. ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle I=mr^{2}}$

Величина также фигурирует в угловом моменте простого маятника, который рассчитывается по скорости массы маятника вокруг оси вращения, где – угловая скорость массы вокруг точки поворота. Этот угловой момент определяется выражением ${\displaystyle I=mr^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

Аналогичным образом, кинетическая энергия массы маятника определяется скоростью маятника вокруг оси вращения, что дает

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}$$

Это показывает, что количество — это то, как масса сочетается с формой тела, определяя инерцию вращения. Момент инерции тела произвольной формы представляет собой сумму значений всех элементов массы тела. ${\displaystyle I=mr^{2}}$ ${\displaystyle mr^{2}}$

Сложные маятники

Маятники, используемые в гравиметрическом аппарате Менденхолла, из научного журнала 1897 года. Портативный гравиметр, разработанный в 1890 году Томасом К. Менденхоллом, обеспечил наиболее точные относительные измерения местного гравитационного поля Земли.

Сложный маятник — это тело, образованное из совокупности частиц непрерывной формы, которое жестко вращается вокруг оси. Его момент инерции представляет собой сумму моментов инерции каждой из частиц, из которых он состоит. ^{[15] [16] : 395–396  [17] : 51–53} Собственная частота ( ) составного маятника зависит от его момента инерции, , ${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$ ${\displaystyle I_{P}}$

$${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$

^{[18] : 516–517.} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$

Таким образом, чтобы определить момент инерции тела, просто подвесьте его за удобную точку поворота так, чтобы оно свободно качалось в плоскости, перпендикулярной направлению искомого момента инерции, затем измерьте его собственную частоту или период колебаний ( ) , чтобы получить ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},}$$

${\displaystyle t}$

Центр колебаний

Простой маятник, имеющий ту же собственную частоту, что и составной маятник, определяет длину от оси вращения до точки, называемой центром колебаний составного маятника. Эта точка также соответствует центру удара . Длина определяется по формуле ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$

$${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {I_{P}}{mr}}.}$$

Секундный маятник , который обеспечивает «тикание» и «так» напольных часов, качается из стороны в сторону за одну секунду. Это период в две секунды или собственная частота маятника. В этом случае расстояние до центра колебаний можно вычислить как ${\displaystyle \pi \ \mathrm {rad/s} }$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .}$$

Обратите внимание, что расстояние до центра колебаний секундного маятника должно быть отрегулировано с учетом различных значений местного ускорения силы тяжести. Маятник Катера представляет собой составной маятник, который использует это свойство для измерения местного ускорения силы тяжести и называется гравиметром .

Измерение момента инерции

Момент инерции сложной системы, такой как транспортное средство или самолет, вокруг ее вертикальной оси можно измерить, подвешивая систему в трех точках, образуя трехфилярный маятник . Трифилярный маятник представляет собой платформу, поддерживаемую тремя проводами, предназначенную для вращения при кручении вокруг своей вертикальной центроидальной оси. ^[19] Период колебаний трифилярного маятника определяет момент инерции системы. ^[20]

Момент инерции площади

Момент инерции площади также известен как второй момент площади . Эти расчеты обычно используются в гражданском строительстве для расчета конструкций балок и колонн. Площади поперечного сечения рассчитаны для вертикального момента по оси X и горизонтального момента по оси Y. Высота ( h ) и ширина ( b ) являются линейными мерами, за исключением кругов, которые фактически являются производными полуширины, ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{yy}}$
${\displaystyle r}$

Момент площадей сечения, рассчитанный таким образом [21]

1. Квадрат: ${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {b^{4}}{12}}}$
   
2. Прямоугольные: и; ${\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{12}}}$ ${\displaystyle I_{yy}={\frac {hb^{3}}{12}}}$
   
3. Треугольный: ${\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{36}}}$
   
4. Циркуляр: ${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}{\pi }r^{4}={\frac {1}{64}}{\pi }d^{4}}$

Движение в фиксированной плоскости

Точечная масса

Четыре объекта с одинаковыми массами и радиусами мчатся по плоскости, катясь без скольжения.

Сзади вперед:

•  сферическая оболочка,
•  твердая сфера,
•  цилиндрическое кольцо и
•  твердый цилиндр.

Время достижения каждым объектом финишной линии зависит от его момента инерции. ( версия ОГВ )

Момент инерции относительно оси тела вычисляется путем суммирования для каждой частицы тела, где – расстояние по перпендикуляру к указанной оси. Чтобы увидеть, как возникает момент инерции при изучении движения протяженного тела, удобно рассмотреть жесткую совокупность точечных масс. (Это уравнение можно использовать для осей, которые не являются главными осями, при условии, что оно не полностью описывает момент инерции. ^[22] ). ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle r}$

Рассмотрим кинетическую энергию совокупности масс , находящихся на расстоянии от точки поворота , которая является ближайшей точкой на оси вращения. Это сумма кинетической энергии отдельных масс, ^{[18] : 516–517  [23] : 1084–1085  [23] : 1296–1300} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

Это показывает, что момент инерции тела есть сумма каждого из слагаемых , то есть ${\displaystyle mr^{2}}$

$${\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

Таким образом, момент инерции – это физическое свойство, объединяющее массу и распределение частиц вокруг оси вращения. Обратите внимание, что вращение одного и того же тела вокруг разных осей дает разные моменты инерции.

Момент инерции сплошного тела, вращающегося вокруг заданной оси, рассчитывается аналогично, за исключением бесконечного числа точечных частиц. Таким образом, пределы суммирования снимаются, и сумма записывается следующим образом:

$${\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$$

Другое выражение заменяет суммирование интегралом ,

$${\displaystyle I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV}$$

Здесь функция дает плотность массы в каждой точке , представляет собой вектор, перпендикулярный оси вращения и простирающийся от точки на оси вращения до точки в твердом теле, а интегрирование оценивается по объему тела . Момент инерции плоской поверхности аналогичен, плотность массы заменяется плотностью ее площади с интегралом, вычисляемым по ее площади. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$

Примечание о втором моменте площади : момент инерции тела, движущегося в плоскости, и второй момент площади поперечного сечения балки часто путают. Момент инерции тела с формой поперечного сечения — это второй момент этой площади относительно -оси, перпендикулярной сечению, взвешенный по его плотности. Его также называют полярным моментом площади и он представляет собой сумму вторых моментов относительно осей - и - . ^[24] Напряжения в балке рассчитываются с использованием второго момента площади поперечного сечения вокруг -оси или -оси в зависимости от нагрузки. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Примеры

Момент инерции составного маятника , состоящего из тонкого диска, установленного на конце тонкого стержня, колеблющегося вокруг оси на другом конце стержня, начинается с расчета момента инерции тонкого стержня и тонкого диска. относительно своих центров масс. ^[23]

• Момент инерции тонкого стержня постоянного сечения и плотности , длины вокруг перпендикулярной оси, проходящей через его центр масс, определяется интегрированием. ^{[23] : 1301} Совместите ось - со стержнем и найдите начало координат центра масс в центре стержня, затем ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle x}$
  $${\displaystyle I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},}$$
  где масса стержня. ${\displaystyle m=\rho s\ell }$
• Момент инерции тонкого диска постоянной толщины , радиуса и плотности относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его грани (параллельной оси вращательной симметрии ), определяется путем интегрирования. ^{[23] : 1301  [ не удалось выполнить проверку ]} Совместите ось - с осью диска и определите элемент объема как , затем ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dV=sr\,dr\,d\theta }$
  $${\displaystyle I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =2\pi \rho s{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {1}{2}}mR^{2},}$$
  где его масса. ${\displaystyle m=\pi R^{2}\rho s}$
• Момент инерции составного маятника теперь получается путем сложения момента инерции стержня и диска вокруг точки поворота как: ${\displaystyle P}$
  $${\displaystyle I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},}$$
  где длина маятника. Обратите внимание, что теорема о параллельности оси используется для смещения момента инерции от центра масс к точке поворота маятника. ${\displaystyle L}$

Список формул моментов инерции для стандартных форм тел позволяет получить момент инерции сложного тела как совокупности тел более простой формы. Теорема о параллельности оси используется для смещения опорной точки отдельных тел к опорной точке сборки.

В качестве еще одного примера рассмотрим момент инерции твердого шара постоянной плотности относительно оси, проходящей через его центр масс. Это определяется суммированием моментов инерции тонких дисков, способных образовать сферу, центры которой расположены вдоль выбранной для рассмотрения оси. Если поверхность шара определяется уравнением ^{[23] : 1301}

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}$$

тогда квадрат радиуса диска в сечении по оси - равен ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.}$$

Следовательно, момент инерции шара есть сумма моментов инерции дисков по оси - , ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C,{\text{ball}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left[R^{4}z-{\tfrac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\tfrac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\[1ex]&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\[1ex]&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}}$$

${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$

Жесткое тело

Цилиндры с более высоким моментом инерции скатываются по склону с меньшим ускорением, поскольку большая часть их потенциальной энергии должна быть преобразована в кинетическую энергию вращения.

Если механическая система вынуждена двигаться параллельно неподвижной плоскости, то вращение тела в системе происходит вокруг оси, параллельной этой плоскости. При этом момент инерции массы в этой системе представляет собой скаляр, известный как полярный момент инерции . Определение полярного момента инерции можно получить, рассматривая импульс, кинетическую энергию и законы Ньютона для плоского движения жесткой системы частиц. ^{[15] [18] [25] [26]} ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

Если система частиц собрана в твердое тело, то импульс системы можно записать через положения относительно опорной точки и абсолютные скорости : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

При плоском движении вектор угловой скорости направлен вдоль единичного вектора , перпендикулярного плоскости движения. Введем единичные векторы от опорной точки до точки и единичный вектор , так ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}$$

Это определяет вектор относительного положения и вектор скорости жесткой системы частиц, движущихся в плоскости.

Примечание о векторном произведении : когда тело движется параллельно базовой плоскости, траектории всех точек тела лежат в плоскостях, параллельных этой базовой плоскости. Это означает, что любое вращение, которому подвергается тело, должно происходить вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Плоское движение часто представляется проецированным на эту плоскость земли, так что ось вращения выглядит как точка. В этом случае угловая скорость и угловое ускорение тела являются скалярами и тот факт, что они являются векторами вдоль оси вращения, игнорируется. Обычно это предпочтительнее для введения в тему. Но в случае момента инерции комбинация массы и геометрии выигрывает от геометрических свойств векторного произведения. По этой причине в этом разделе, посвященном плоскому движению, угловая скорость и ускорения тела представляют собой векторы, перпендикулярные плоскости земли, а операции векторного произведения такие же, как и для изучения пространственного движения твердого тела.

Угловой момент

Вектор момента импульса плоского движения жесткой системы частиц определяется выражением ^{[15] [18]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

Используйте центр масс в качестве ориентира, чтобы ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}}$$

и определим момент инерции относительно центра масс как ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

$${\displaystyle I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},}$$

тогда уравнение для углового момента упрощается до ^{[23] : 1028}

$${\displaystyle \mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .}$$

Момент инерции относительно оси, перпендикулярной движению твердой системы и проходящей через центр масс, известен как полярный момент инерции . В частности, это второй момент массы относительно ортогонального расстояния от оси (или полюса). ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

При заданной величине углового момента уменьшение момента инерции приводит к увеличению угловой скорости. Фигуристы могут изменить момент инерции, потянув руки. Таким образом, угловая скорость, достигаемая фигуристом с вытянутыми руками, приводит к большей угловой скорости, когда руки втянуты, из-за уменьшенного момента инерции. Однако фигурист не является твердым телом.

Кинетическая энергия

В этих роторных ножницах 1906 года момент инерции двух маховиков используется для накопления кинетической энергии, которая при высвобождении используется для резки металлической заготовки (Международная технологическая библиотека, 1906 г.).

Кинетическая энергия жесткой системы частиц, движущихся в плоскости, определяется выражением ^{[15] [18]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

Пусть точкой отсчета будет центр масс системы, чтобы второй член стал равным нулю, и введите момент инерции , чтобы кинетическая энергия была равна ^{[23] : 1084.} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .}$$

Момент инерции – это полярный момент инерции тела. ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

Законы Ньютона

Трактор John Deere 1920-х годов со спицевым маховиком на двигателе. Большой момент инерции маховика сглаживает работу трактора.

Законы Ньютона для жесткой системы частиц можно записать через результирующую силу и крутящий момент в контрольной точке , чтобы получить ^{[15] [18]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

Кинематика твердого тела дает формулу ускорения частицы через положение и ускорение опорной частицы , а также вектор угловой скорости и вектор углового ускорения твердой системы частиц как: ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .}$$

Для систем, которые ограничены плоскостным движением, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены перпендикулярно плоскости движения, что упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения можно упростить, введя единичные векторы от опорной точки до точки и единичные векторы , так ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

Это дает результирующий крутящий момент системы как

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

где и – единичный вектор, перпендикулярный плоскости для всех частиц . ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle P_{i}}$

Используйте центр масс в качестве контрольной точки и определите момент инерции относительно центра масс , тогда уравнение для результирующего крутящего момента упрощается до ^{[23] : 1029.} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .}$$

Движение в пространстве твердого тела и матрица инерции

Скалярные моменты инерции появляются как элементы матрицы, когда система частиц собирается в твердое тело, которое движется в трехмерном пространстве. Эта матрица инерции появляется при расчете углового момента, кинетической энергии и результирующего крутящего момента жесткой системы частиц. ^{[4] [5] [6] [7] [27]}

Пусть система частиц расположена в координатах со скоростями относительно фиксированной системы отсчета. Для (возможно, движущейся) контрольной точки относительные положения равны ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }$$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Угловой момент

Обратите внимание, что векторное произведение может быть эквивалентно записано как умножение матрицы путем объединения первого операнда и оператора в кососимметричную матрицу, построенную из компонентов : ${\displaystyle \left[\mathbf {b} \right]}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Матрица инерции строится с учетом углового момента с опорной точкой тела, выбранной в качестве центра масс : ^{[4] [7]} ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}}$$

центра масс ${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$ ${\displaystyle =\mathbf {C} }$

Затем кососимметричная матрица, полученная из вектора относительного положения , может использоваться для определения: ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$

${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},}$$

${\displaystyle \mathbf {C} }$

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия жесткой системы частиц может быть сформулирована через центр масс и матрицу моментов инерции масс системы. Пусть система частиц расположена в координатах со скоростями , тогда кинетическая энергия равна ^{[4] [7]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),}$$

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$

Это уравнение расширяется и дает три члена

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).}$$

Поскольку центр масс определяется как , второй член в этом уравнении равен нулю. Введем кососимметричную матрицу , чтобы кинетическая энергия стала равна ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}}$$

Таким образом, кинетическая энергия жесткой системы частиц определяется выражением

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.}$$

${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ ${\displaystyle M}$

Результирующий крутящий момент

Матрица инерции возникает при применении второго закона Ньютона к жесткому скоплению частиц. Результирующий крутящий момент в этой системе составляет ^{[4] [7]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$

а ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.}$$

Используйте центр масс в качестве контрольной точки и введите кососимметричную матрицу для представления векторного произведения , чтобы получить ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]}$ ${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}$$

В расчете используется тождество

$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,}$$

тождества Якобивекторного произведения

Доказательство

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\\end{aligned}}}$$

В последнем утверждении т.к. либо покоится, либо движется с постоянной скоростью, но не ускоряется, либо начало неподвижной (мировой) системы координат помещается в центр масс . Распределив векторное произведение на сумму, получим ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }=0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\end{aligned}}}$$

Затем для последнего члена используется следующее тождество Якоби :

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})\end{aligned}}}$$

Тогда результат применения тождества Якоби можно продолжить следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}}$$

Окончательный результат затем можно заменить основным доказательством следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что для любого вектора справедливо следующее: ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}}$$

Наконец, результат используется для завершения основного доказательства следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$$

Таким образом, результирующий момент на жесткой системе частиц определяется выражением

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$

${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$

Теорема о параллельной оси

Матрица инерции тела зависит от выбора точки отсчета. Существует полезная связь между матрицей инерции относительно центра масс и матрицей инерции относительно другой точки . Это соотношение называется теоремой о параллельности осей. ^{[4] [7]} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Рассмотрим матрицу инерции , полученную для жесткой системы частиц, измеренную относительно опорной точки , определяемую выражением ${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.}$$

Пусть – центр масс жесткой системы, тогда ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,}$$

${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.}$$

Распределите по векторному произведению, чтобы получить

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.}$$

Первое слагаемое представляет собой матрицу инерции относительно центра масс. Второе и третье члены равны нулю по определению центра масс . И последнее слагаемое — это полная масса системы, умноженная на квадрат кососимметричной матрицы, построенной из . ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle [\mathbf {d} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$

Результатом является теорема о параллельной оси:

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},}$$

${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Обратите внимание на знак минус : при использовании кососимметричной матрицы векторов положения относительно опорной точки матрица инерции каждой частицы имеет форму , аналогичную той, которая появляется при плоском движении. Однако, чтобы это работало правильно, необходим знак минус. При желании этот знак минуса можно включить в член , используя свойство косой симметрии . ${\displaystyle -m\left[\mathbf {r} \right]^{2}}$ ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]}$ ${\displaystyle [\mathbf {r} ]}$

Скалярный момент инерции в плоскости

Скалярный момент инерции тела относительно заданной оси, направление которой задается единичным вектором и проходит через тело в точке, выглядит следующим образом: ^[7] ${\displaystyle I_{L}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,}$$

${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }$

Это получается следующим образом. Пусть жесткая совокупность частиц , имеет координаты . Выберите в качестве контрольной точки и вычислите момент инерции вокруг линии L, определяемой единичным вектором, проходящим через контрольную точку , . Вектор перпендикуляра от этой линии к частице получается путем удаления компонента, который проецируется на . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},}$$

${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle L}$

Чтобы связать этот скалярный момент инерции с матрицей инерции тела, введем кососимметричную матрицу такую, что , тогда имеем тождество ${\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]}$ ${\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y} }$

$${\displaystyle -\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},}$$

${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

Квадрат величины перпендикулярного вектора равен

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}}$$

В упрощении этого уравнения используется тождество тройного скалярного произведения

$${\displaystyle \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),}$$

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}}$$

Таким образом, момент инерции вокруг линии, проходящей по направлению, получается из расчета ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Это показывает, что матрицу инерции можно использовать для расчета момента инерции тела вокруг любой заданной оси вращения тела.

Тензор инерции

Для одного и того же объекта разные оси вращения будут иметь разные моменты инерции относительно этих осей. В общем, моменты инерции не равны, если объект не симметричен относительно всех осей. Тензор момента инерции — удобный способ суммировать все моменты инерции объекта одной величиной. Его можно рассчитать относительно любой точки пространства, хотя для практических целей чаще всего используется центр масс.

Определение

Для твердого объекта точечных масс тензор момента инерции определяется выражением ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{k}}$

$${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}.}$$

Его компоненты определяются как

$${\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)}$$

где

• ${\displaystyle i}$, равен 1, 2 или 3 для , , и , соответственно, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)}$- вектор массы точки из точки, вокруг которой рассчитывается тензор, и ${\displaystyle m_{k}}$
• ${\displaystyle \delta _{ij}}$это дельта Кронекера .

Заметим, что по определению – симметричный тензор . ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Диагональные элементы более кратко записываются как

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}}$$

в то время как недиагональные элементы, также называемые продуктами инерции ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}}$$

Здесь обозначается момент инерции вокруг оси -, когда объекты вращаются вокруг оси X, обозначается момент инерции вокруг оси -, когда объекты вращаются вокруг оси -, и так далее. ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{xy}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Эти величины можно обобщить на объект с распределенной массой, описываемой функцией плотности массы, аналогично скалярному моменту инерции. Тогда у человека есть

$${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,}$$

где — их внешнее произведение , E _{3 —} единичная матрица 3×3 , а V — область пространства, полностью содержащая объект. ${\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }$

В качестве альтернативы это также можно записать в терминах оператора углового момента : ${\displaystyle [\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{\textsf {T}}[\mathbf {r} ]\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,dV}$$

Тензор инерции можно использовать так же, как матрицу инерции, для вычисления скалярного момента инерции относительно произвольной оси в направлении ${\displaystyle \mathbf {n} }$

$${\displaystyle I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,}$$

где скалярное произведение берется с соответствующими элементами в составных тензорах. Продукт инерционного члена, такой как получается путем вычисления ${\displaystyle I_{12}}$

$${\displaystyle I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Компоненты тензоров второй степени можно собрать в матрицу. Для тензора инерции эта матрица имеет вид:

$${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\[1.8ex]I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\[1.8ex]I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.}$$

В механике твердого тела обычно используются обозначения, которые явно идентифицируют оси , и -, такие как и , для компонентов тензора инерции. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{xy}}$

Альтернативное соглашение по инерции

Существуют некоторые приложения CAD и CAE, такие как SolidWorks, Unigraphics NX/Siemens NX и MSC Adams, которые используют альтернативное соглашение для продуктов инерции. Согласно этому соглашению, знак минус удаляется из произведения формул инерции и вместо этого вставляется в матрицу инерции:

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\\[3pt]\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\[1.8ex]-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\[1.8ex]-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Определить соглашение инерции (метод главных осей)

Если у вас есть данные инерции, но вы не знаете, какое соглашение об инерции использовалось, можно определить, есть ли у вас также главные оси. При использовании метода главных осей матрицы инерции составляются на основе следующих двух предположений: ${\displaystyle (I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})}$

1. Было использовано стандартное соглашение по инерции . ${\displaystyle (I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})}$
2. Было использовано соглашение об альтернативной инерции . ${\displaystyle (I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})}$

Затем вычисляются собственные векторы для двух матриц. Матрица, собственные векторы которой параллельны главным осям, соответствует использованному соглашению об инерции.

Вывод компонент тензора

Расстояние частицы при от оси вращения, проходящей через начало координат в направлении, равно , где – единичный вектор. Момент инерции на оси равен ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \left|\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

$${\displaystyle I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).}$$

Перепишите уравнение, используя транспонирование матрицы :

$${\displaystyle I=m\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right)=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {\hat {n}} ,}$$

где E _{3 —} единичная матрица 3×3 .

Это приводит к тензорной формуле для момента инерции

$${\displaystyle I=m{\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\[0.5ex]-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\[0.5ex]-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\[0.7ex]n_{2}\\[0.7ex]n_{3}\end{bmatrix}}.}$$

Для нескольких частиц нам нужно только вспомнить, что момент инерции аддитивен, чтобы увидеть, что эта формула верна.

Тензор инерции перевода

Пусть – тензор инерции тела, рассчитанный в его центре масс , – вектор смещения тела. Тензор инерции перемещенного тела относительно исходного центра масс определяется выражением: ${\displaystyle \mathbf {I} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]}$$

E ₃внешнее произведение ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \otimes }$

Тензор инерции вращения

Позвольте быть матрицей , представляющей вращение тела. Тензор инерции вращающегося тела определяется выражением: ^[28] ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}}$$

Матрица инерции в разных системах отсчета

Использование матрицы инерции во втором законе Ньютона предполагает, что ее компоненты вычисляются относительно осей, параллельных инерциальной системе отсчета, а не относительно системы отсчета, закрепленной на теле. ^{[7] [25]} Это означает, что по мере движения тела компоненты матрицы инерции изменяются со временем. Напротив, компоненты матрицы инерции, измеренные в фиксированной системе отсчета, постоянны.

Каркас кузова

Обозначим матрицу инерции корпуса кузова относительно центра масс , а ориентацию корпуса корпуса относительно инерционной системы координат определим матрицей вращения так, что ${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,}$$

${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.}$$

Обратите внимание, что оно меняется по мере движения тела, но остается постоянным. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}}$

Главные оси

Матрица инерции, измеренная в корпусе тела, представляет собой постоянную вещественную симметричную матрицу. Действительная симметричная матрица имеет собственное разложение на произведение матрицы вращения и диагональной матрицы , определяемое выражением ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.}$$

Столбцы матрицы вращения определяют направления главных осей тела, а константы , , и называются главными моментами инерции . Этот результат был впервые показан Дж. Дж. Сильвестром (1852 г.) и представляет собой форму закона инерции Сильвестра . ^{[29] [30]} Главную ось с наибольшим моментом инерции иногда называют осью фигуры или осью фигуры . ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

Игрушечный волчок является примером вращающегося твердого тела, а слово волчок используется в названиях типов твердых тел. Когда все главные моменты инерции различны, главные оси, проходящие через центр масс, определяются однозначно, и твердое тело называется асимметричным волчком . Если два главных момента одинаковы, твердое тело называется симметричным волчком , и для двух соответствующих главных осей нет однозначного выбора. Если все три главных момента одинаковы, твердое тело называется сферическим верхом (хотя оно не обязательно должно быть сферическим), и любую ось можно считать главной осью, что означает, что момент инерции одинаков относительно любой оси.

Главные оси часто совпадают с осями симметрии объекта. Если твердое тело имеет ось симметрии порядка , то есть оно симметрично при вращении на 360° / м вокруг данной оси, эта ось является главной осью. При твердое тело представляет собой симметричный волчок. Если твердое тело имеет хотя бы две оси симметрии, не параллельные и не перпендикулярные друг другу, то это сферическая вершина, например, куб или любое другое платоново тело . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m>2}$

Движение транспортных средств часто описывается с помощью рыскания, тангажа и крена , которые обычно примерно соответствуют вращениям вокруг трех главных осей. Если автомобиль имеет двустороннюю симметрию, то одна из главных осей будет точно соответствовать поперечной (тангажной) оси.

Практическим примером этого математического явления является рутинная автомобильная задача по балансировке шины , которая по сути означает регулировку распределения массы автомобильного колеса таким образом, чтобы его главная ось инерции была совмещена с осью, чтобы колесо не раскачивалось.

Вращающиеся молекулы также классифицируются как асимметричные, симметричные или сферические волчки, причем структура их вращательных спектров различна для каждого типа.

Эллипсоид

Эллипсоид с полуглавными диаметрами, обозначенными , и . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Матрица момента инерции в координатах тела-рамы представляет собой квадратичную форму, которая определяет поверхность тела, называемую эллипсоидом Пуансо . ^[31] Пусть – матрица инерции относительно центра масс, совмещенная с главными осями, тогда поверхность ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$

$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,}$$

$${\displaystyle I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,}$$

эллипсоид

$${\displaystyle \left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,}$$

$${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.}$$

Пусть точка на этом эллипсоиде определяется ее величиной и направлением , где – единичный вектор. Тогда представленное выше соотношение между матрицей инерции и скалярным моментом инерции вокруг оси в направлении дает ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|\mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {n} }}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\|\mathbf {x} \|^{2}I_{\mathbf {n} }=1.}$$

Таким образом, величина точки в направлении эллипсоида инерции равна ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.}$$

Смотрите также

• Центральный момент
• Список моментов инерции
• Плоская пластинка
• Энергия вращения
• Коэффициент момента инерции

Рекомендации

1. Эскюдье, Марсель; Аткинс, Тони (2019). Машиностроительный словарь (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. doi : 10.1093/acref/9780198832102.001.0001. ISBN 978-0-19-883210-2.
2. Мах, Эрнст (1919). Наука механика. стр. 173–187 . Проверено 21 ноября 2014 г.
3. Эйлер, Леонард (1765). Теория движения твердых или твердых тел: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata [Теория движения твердых или твердых тел: установлена ​​на основе основных принципов наших знаний и подходит для всех движений, которые может возникнуть в таких органах.] (на латыни). Росток и Грайфсвальд (Германия): А. Ф. Рёзе. п. 166. ИСБН 978-1-4297-4281-8.Со страницы 166: «Определение 7. 422. Импульс инерции тела относительно eujuspiam axis est summa omnium Productorum, quae oriuntur, si Singula Corporis Elementa per Squareta Distanceiarum Suarum Ab Ax Multiplicentur». (Определение 7.422. Момент инерции тела относительно какой-либо оси есть сумма всех произведений, которые возникают, если отдельные элементы тела умножить на квадраты их расстояний от оси.)
4. Мэрион, JB; Торнтон, Северная Каролина (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Томсон. ISBN 0-03-097302-3.
5. Саймон, КР (1971). Механика (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7.
6. Тененбаум, РА (2004). Основы прикладной динамики . Спрингер. ISBN 0-387-00887-Х.
7. Кейн, TR; Левинсон, Д.А. (1985). Динамика, теория и приложения . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
8. Винн, Уилл (2010). Введение в понятную физику: Том I - Механика. АвторДом. п. 10.10. ISBN 978-1449063337.
9. Фуллертон, Дэн (2011). С отличием: Основы физики. Глупая компания Beagle Productions. стр. 142–143. ISBN 978-0983563334.
10. Вольфрам, Стивен (2014). «Вращающаяся фигуристка». Демонстрационный проект Wolfram . Математика, Inc. Проверено 30 сентября 2014 г.
11. Хокин, Сэмюэл (2014). «Фигурное катание». Физика повседневных вещей . Проверено 30 сентября 2014 г.
12. Брейтаупт, Джим (2000). Новое понимание физики для продвинутого уровня. Нельсон Томас. п. 64. ИСБН 0748743146.
13. Кроуэлл, Бенджамин (2003). Законы сохранения . Свет и Материя. стр. 107. ISBN 0970467028. Сохранение углового момента фигуристом.
14. Типлер, Пол А. (1999). Физика для ученых и инженеров, Том. 1: Механика, колебания и волны, термодинамика. Макмиллан. п. 304. ИСБН 1572594918.
15. Пол, Бертон (июнь 1979 г.). Кинематика и динамика плоских машин . Прентис Холл. ISBN 978-0135160626.
16. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2005). Основы физики (7-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471216438.
17. Французский, AP (1971). Вибрации и волны . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 9780748744473.
18. Уикер, Джон Дж.; Пеннок, Гордон Р.; Шигли, Джозеф Э. (2010). Теория машин и механизмов (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195371239.
19. К. Коуч и Дж. Мэйес, Трифилярный маятник для МВД, Happresearch.com, 2016.
20. Грейси, Уильям, Экспериментальное определение моментов инерции самолетов с помощью упрощенного метода составного маятника, Техническая записка NACA № 1629, 1948 г.
21. Морроу, HW; Кокернак, Роберт (2011). Статика и сопротивление материалов (7-е изд.). Нью-Джерси: Прентис Холл. стр. 192–196. ISBN 978-0135034521.
22. В этой ситуации этот момент инерции описывает только то, как крутящий момент, приложенный вдоль этой оси, вызывает вращение вокруг этой оси. Но крутящие моменты, не выровненные вдоль главной оси, также будут вызывать вращения вокруг других осей.
23. Фердинанд П. Бир; Э. Рассел Джонстон-младший; Филип Дж. Корнуэлл (2010). Векторная механика для инженеров: Динамика (9-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0077295493.
24. Уолтер Д. Пилки, Анализ и проектирование упругих балок: вычислительные методы, Джон Уайли, 2002.
25. Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9.
26. Л.Д. Ландау и Э.М. Лифшиц, Механика, Том 1. 2-е изд., Pergamon Press, 1969.
27. Л.В. Цай, Анализ роботов: механика последовательных и параллельных манипуляторов, Джон-Уайли, Нью-Йорк, 1999.
28. Дэвид, Барафф. «Физическое моделирование — моделирование твердого тела» (PDF) . Пиксар Графические технологии .
29. Сильвестр, Джей-Джей (1852). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен с помощью вещественных ортогональных замен можно привести к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF) . Философский журнал . 4-я серия. 4 (23): 138–142. дои : 10.1080/14786445208647087 . Проверено 27 июня 2008 г.
30. Норман, CW (1986). Бакалавриат по алгебре . Издательство Оксфордского университета . стр. 360–361. ISBN 0-19-853248-2.
31. Мейсон, Мэтью Т. (2001). Механика робототехнических манипуляций. МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-13396-8. Проверено 21 ноября 2014 г.

Внешние ссылки

• Угловой момент и вращение твердого тела в двух и трех измерениях.
• Конспект лекций по вращению твердого тела и моментам инерции.
• Тензор момента инерции
• Вводный урок о моменте инерции: удержание вертикального столба от падения (моделирование на Java)
• Учебное пособие по поиску моментов инерции с задачами и решениями для различных основных фигур.
• Замечания по механике манипуляций: тензор угловой инерции

• Простой в использовании и бесплатный онлайн-калькулятор момента инерции