Линейность

Свойства математических отношений

В математике термин «линейный» используется в двух различных смыслах для двух различных свойств:

• линейность функции ( или отображения );
• линейность многочлена .

Примером линейной функции является функция, определяемая как , которая отображает вещественную прямую в прямую в евклидовой плоскости R ² , проходящую через начало координат. Примером линейного полинома от переменных и является ${\displaystyle f(x)=(ax,bx)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle aX+bY+cZ+d.}$

Линейность отображения тесно связана с пропорциональностью . Примерами в физике являются линейная зависимость напряжения и тока в электрическом проводнике ( закон Ома ) и зависимость массы от веса . Напротив, более сложные зависимости, такие как между скоростью и кинетической энергией , являются нелинейными .

Обобщённо для функций в более чем одном измерении линейность означает свойство функции быть совместимой со сложением и масштабированием , также известное как принцип суперпозиции .

Линейность многочлена означает, что его степень меньше двух. Использование этого термина для многочленов происходит из того факта, что график многочлена от одной переменной представляет собой прямую линию . В термине « линейное уравнение » это слово относится к линейности вовлеченных многочленов.

Поскольку функция, такая как , определяется линейным полиномом в своем аргументе, ее иногда также называют «линейной функцией», а связь между аргументом и значением функции может называться «линейной связью». Это может сбивать с толку, но обычно предполагаемое значение будет ясно из контекста. ${\displaystyle f(x)=ax+b}$

Слово «линейный» происходит от латинского linearis , «относящийся к линии или напоминающий ее».

В математике

Линейные карты

В математике линейное отображение или линейная функция f ( x ) — это функция, которая удовлетворяет двум свойствам: ^[1]

• Аддитивность : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .
• Однородность степени 1: f (α x ) = α f ( x ) для всех α.

Эти свойства известны как принцип суперпозиции . В этом определении x не обязательно является действительным числом , но может быть элементом любого векторного пространства . Более специальное определение линейной функции , не совпадающее с определением линейного отображения, используется в элементарной математике (см. ниже).

Аддитивность сама по себе подразумевает однородность для рационального числа α, поскольку подразумевает для любого натурального числа n по математической индукции , а затем подразумевает . Плотность рациональных чисел в действительных числах подразумевает, что любая аддитивная непрерывная функция однородна для любого действительного числа α и, следовательно, является линейной. ${\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}$ ${\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}$

Понятие линейности можно распространить на линейные операторы . Важные примеры линейных операторов включают производную , рассматриваемую как дифференциальный оператор , и другие операторы, построенные из нее, такие как del и Лапласиан . Когда дифференциальное уравнение может быть выражено в линейной форме, его, как правило, можно решить, разбив уравнение на более мелкие части, решив каждую из этих частей и суммируя решения.

Линейные многочлены

В другом использовании, отличном от приведенного выше определения, многочлен степени 1 называется линейным, поскольку график функции этой формы представляет собой прямую линию. ^[2]

Простой пример линейного уравнения для действительных чисел выглядит следующим образом:

${\displaystyle y=mx+b\ }$

где m часто называют наклоном или градиентом , а b — точкой пересечения графика функции с осью Y.

Обратите внимание, что это использование термина линейный не то же самое, что в разделе выше, потому что линейные многочлены над действительными числами в общем случае не удовлетворяют ни аддитивности, ни однородности. Фактически, они удовлетворяют этому, если и только если постоянный член – b в примере – равен 0. Если b ≠ 0 , функция называется аффинной функцией (см. в большей общности аффинное преобразование ).

Линейная алгебра — раздел математики, изучающий системы линейных уравнений.

Булевы функции

Диаграмма Хассе линейной булевой функции

В булевой алгебре линейная функция — это функция , для которой существуют такие, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$, где ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}$

Обратите внимание, что если , то указанная выше функция считается аффинной в линейной алгебре (т.е. не линейной). ${\displaystyle a_{0}=1}$

Булева функция является линейной, если для таблицы истинности функции выполняется одно из следующих условий :

1. В каждой строке, в которой истинностное значение функции равно T , аргументам назначено нечетное количество T, а в каждой строке, в которой функция равна F, аргументам назначено четное количество T. В частности, f (F, F, ..., F) = F , и эти функции соответствуют линейным отображениям в булевом векторном пространстве.
2. В каждой строке, в которой значение функции равно T, есть четное число T, назначенных аргументам функции; и в каждой строке, в которой истинностное значение функции равно F, есть нечетное число T, назначенных аргументам. В этом случае f (F, F, ..., F) = T .

Другой способ выразить это — сказать, что каждая переменная либо всегда влияет на истинное значение операции, либо никогда не влияет.

Отрицание , логическое двуусловное утверждение , исключающее или , тавтология и противоречие являются линейными функциями.

Физика

В физике линейность является свойством дифференциальных уравнений, управляющих многими системами ; например, уравнения Максвелла или уравнение диффузии . ^[3]

Линейность однородного дифференциального уравнения означает, что если две функции f и g являются решениями уравнения, то любая линейная комбинация af + bg также является решением.

В приборостроении линейность означает, что заданное изменение входной переменной дает такое же изменение на выходе измерительного прибора: это крайне желательно в научной работе. В целом, приборы близки к линейным в определенном диапазоне и наиболее полезны в этом диапазоне. Напротив, человеческие чувства крайне нелинейны: например, мозг полностью игнорирует входящий свет, если только он не превышает определенного абсолютного порогового числа фотонов.

Линейное движение следует по прямолинейной траектории.

Электроника

В электронике линейная рабочая область устройства, например транзистора , находится там, где выходная зависимая переменная (например, ток коллектора транзистора ) прямо пропорциональна входной зависимой переменной (например, ток базы). Это гарантирует, что аналоговый выход является точным представлением входа, как правило, с более высокой амплитудой (усиленным). Типичным примером линейного оборудования является высококачественный аудиоусилитель , который должен усиливать сигнал, не изменяя его форму. Другими являются линейные фильтры и линейные усилители в целом.

В большинстве научных и технологических , в отличие от математических, приложений что-то может быть описано как линейное, если характеристика приблизительно, но не точно, представляет собой прямую линию; и линейность может быть действительна только в пределах определенной рабочей области — например, высококачественный усилитель может искажать слабый сигнал, но достаточно мало, чтобы быть приемлемым (приемлемая, но неидеальная линейность); и может искажать очень сильно, если входной сигнал превышает определенное значение. ^[4]

Интегральная линейность

Для электронного устройства (или другого физического устройства), которое преобразует одну величину в другую величину, Бертрам С. Колтс пишет: ^{[5] [6]}

Существует три основных определения интегральной линейности в общем использовании: независимая линейность, линейность с нулевой базой и терминальная, или конечная, линейность. В каждом случае линейность определяет, насколько хорошо фактическая производительность устройства в указанном рабочем диапазоне приближается к прямой линии. Линейность обычно измеряется в терминах отклонения или нелинейности от идеальной прямой линии и обычно выражается в процентах от полной шкалы или в ppm (частях на миллион) от полной шкалы. Как правило, прямая линия получается путем выполнения подгонки данных методом наименьших квадратов. Три определения различаются способом, которым прямая линия располагается относительно фактической производительности устройства. Кроме того, все три из этих определений игнорируют любые ошибки усиления или смещения, которые могут присутствовать в фактических характеристиках производительности устройства.

Смотрите также

• Линейный привод
• Линейный элемент
• Линейный фут
• Линейная система
• Линейное программирование
• Линейное дифференциальное уравнение
• Билинейный
• Многолинейный
• Линейный двигатель
• Линейная интерполяция

Ссылки

1. Эдвардс, Гарольд М. (1995). Линейная алгебра. Springer. стр. 78. ISBN 9780817637316.
2. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентали , 6-е изд., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8 , Раздел 1.2 
3. Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения с частными производными (PDF) , Graduate Studies in Mathematics , т. 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR  2597943, архив (PDF) из оригинала 2022-10-09
4. Уитакер, Джерри С. (2002). Справочник по системам передачи радиочастот. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.
5. Kolts, Bertram S. (2005). "Понимание линейности и монотонности" (PDF) . analogZONE. Архивировано из оригинала (PDF) 4 февраля 2012 г. . Получено 24 сентября 2014 г. .
6. Kolts, Bertram S. (2005). «Понимание линейности и монотонности». Foreign Electronic Measurement Technology . 24 (5): 30–31 . Получено 25 сентября 2014 г.

Внешние ссылки

• Словарное определение линейности в Викисловаре