Липшицева непрерывность

Сильная форма равномерной непрерывности

Для непрерывной по Липшицу функции существует двойной конус (белый), начало координат которого можно перемещать по графику так, чтобы весь график всегда оставался вне двойного конуса.

В математическом анализе непрерывность Липшица , названная в честь немецкого математика Рудольфа Липшица , является сильной формой равномерной непрерывности функций . Интуитивно понятно, что липшицева непрерывная функция ограничена в скорости своего изменения: существует такое вещественное число, что для каждой пары точек на графике этой функции абсолютное значение наклона соединяющей их линии не превышает это действительное число; наименьшая такая граница называется константой Липшица функции (и связана с модулем равномерной непрерывности ). Например, каждая функция, определенная на интервале и имеющая ограниченную первую производную, является липшицевой. ^[1]

В теории дифференциальных уравнений липшицева непрерывность является центральным условием теоремы Пикара–Линделефа , гарантирующим существование и единственность решения начальной задачи . Особый тип липшицевой непрерывности, называемый сжатием , используется в банаховой теореме о неподвижной точке . ^[2]

Имеем следующую цепочку строгих включений для функций на замкнутом и ограниченном нетривиальном интервале вещественной прямой:

Непрерывно дифференцируемая ⊂ Липшицева непрерывная ⊂ - Гельдеровая непрерывная , ${\displaystyle \alpha }$

где . У нас также есть ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

Липшицева непрерывная ⊂ абсолютно непрерывная ⊂ равномерно непрерывная .

Определения

Для двух метрических пространств ( X , d _X ) и ( Y , d _Y ), где d _X обозначает метрику на множестве X , а d _Y — метрику на множестве Y , функция f  : X → Y называется липшицевой, если существует действительная константа K ≥ 0 такая, что для всех x ₁ и x ₂ в X ,

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^[3]

Любой такой K называется константой Липшица для функции f, а f также может называться K-липшицем . Наименьшую константу иногда называют (лучшей) константой Липшица ^[4] функции f или расширения или дилатации ^{[5] : p. 9, Определение 1.4.1} [ 6 ^{] [7]} f . Если K = 1, функция называется коротким отображением , а если 0 ≤ K < 1 и f отображает метрическое пространство в себя, функция называется сжатием .

В частности, вещественная функция f  : R → R называется липшицевой, если существует положительная вещественная константа K такая, что для всех вещественных x ₁ и x ₂

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.}$

В этом случае Y — это множество действительных чисел R со стандартной метрикой d _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ − y ₂ |, и X является подмножеством R .

В общем случае неравенство (тривиально) выполняется, если x ₁ = x ₂ . В противном случае можно эквивалентным образом определить функцию как липшицеву непрерывную тогда и только тогда, когда существует константа K ≥ 0 такая, что для всех x ₁ ≠ x ₂

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

Для вещественных функций нескольких действительных переменных это справедливо тогда и только тогда, когда абсолютное значение наклонов всех секущих линий ограничено K . Множество линий наклона К , проходящих через точку на графике функции, образует круговой конус, и функция липшицева тогда и только тогда, когда график функции всюду полностью лежит вне этого конуса (см. рисунок).

Функция называется локально липшицевой, если для каждого x из X существует окрестность U точки x такая , что f, ограниченная U , является липшицевой. Эквивалентно, если X — локально компактное метрическое пространство, то f локально липшицево тогда и только тогда, когда оно липшицево непрерывно на каждом компактном подмножестве X . В пространствах, не являющихся локально компактными, это необходимое, но не достаточное условие.

В более общем смысле, функция f , определенная на X , называется непрерывной по Гельдеру или удовлетворяет условию Гёльдера порядка α > 0 на X , если существует константа M ≥ 0 такая, что

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha }}$

для всех x и y в X . Иногда условие Гёльдера порядка α называют также равномерным условием Липшица порядка α > 0.

Для действительного числа K ≥ 1, если

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ for all }}x_{1},x_{2}\in X,}$

тогда f называется K -билипшицевым (также пишется K -билипшицевым ). Мы говорим, что f билипшицева или билипшицева, имея в виду , что такой K существует . Билипшицево отображение инъективно и фактически является гомеоморфизмом своего образа. Билипшицева функция — это то же самое, что инъективная липшицева функция, обратная функция которой также является липшицевой.

Примеры

Липшицевы непрерывные функции, всюду дифференцируемые

• Функция , определенная для всех действительных чисел, является непрерывной по Липшицу с константой Липшица K  = 1, поскольку она всюду дифференцируема , а абсолютное значение производной ограничено сверху единицей. Первое свойство указано ниже в разделе «Свойства». ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$
• Аналогично, функция синуса является непрерывной по Липшицу, поскольку ее производная, функция косинуса, ограничена сверху единицей по абсолютному значению.

Липшицевы непрерывные функции, не всюду дифференцируемые

• Функция , определенная на вещественных числах, является непрерывной по Липшицу с постоянной Липшица, равной 1, согласно неравенству обратного треугольника . В более общем смысле, норма векторного пространства является липшицевой относительно соответствующей метрики, с константой Липшица, равной 1. ${\displaystyle f(x)=|x|}$

Липшицевы непрерывные функции, всюду дифференцируемые, но не непрерывно дифференцируемые.

• Функция , производная которой существует, но имеет существенный разрыв при . ${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$ ${\displaystyle x=0}$

Непрерывные функции, которые не являются (глобально) липшицевыми.

• Функция f ( x ) =  √ x, определенная на [0, 1], не является липшицевой. Эта функция становится бесконечно крутой, когда x приближается к 0, поскольку ее производная становится бесконечной. Однако он равномерно непрерывен ^[8] и непрерывен по Гёльдеру класса C ^{0, α} при α ⩽ 1/2, а также абсолютно непрерывен на [0, 1] (оба из которых предполагают первое).

Дифференцируемые функции, которые не являются (локально) липшицевыми

• Функция f , определенная формулами f (0) = 0 и f ( x ) =  x ^3/2 sin(1/ x ) для 0 < x ≤ 1, дает пример функции, которая дифференцируема на компактном множестве, но не является локально липшицевой. потому что его производная функция не ограничена. См. также первое свойство ниже.

Аналитические функции, которые не являются (глобально) липшицевыми.

• Показательная функция становится сколь угодно крутой при x → ∞ и, следовательно, не является глобально липшицевой, несмотря на то, что является аналитической функцией .
• Функция f ( x ) =  x ² с областью определения всех действительных чисел не является липшицевой непрерывной. Эта функция становится сколь угодно крутой, когда x приближается к бесконечности. Однако оно локально липшицево.

Характеристики

• Всюду дифференцируемая функция g  :  R  →  R является липшицевой (с K  = sup | g ′( x )|) тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную первую производную ; одно направление следует из теоремы о среднем значении . В частности, любая непрерывно дифференцируемая функция является локально липшицевой, поскольку непрерывные функции локально ограничены, поэтому ее градиент также локально ограничен.
• Липшицева функция g  :  R  →  R абсолютно непрерывна и , следовательно, дифференцируема почти всюду , то есть дифференцируема в каждой точке вне множества нулевой меры Лебега . Его производная по существу ограничена по величине константой Липшица, и при a  < b разность g ( b ) −  g ( a ) равна интегралу от производной g ' на интервале [ a ,  b ].
  • И наоборот, если f  : I  → R абсолютно непрерывна и, следовательно, дифференцируема почти всюду и удовлетворяет | ж ' ( Икс ) | ⩽ K для почти всех x в I , то f непрерывна по Липшицу с константой Липшица не более K.
  • В более общем смысле, теорема Радемахера распространяет результат о дифференцируемости на липшицевы отображения между евклидовыми ^{пространствами} : липшицево отображение f  :  U  →  Rm , где U — открытое множество в Rn , почти ^всюду дифференцируемо . Более того, если K — лучшая константа Липшица функции f , то всякий раз, когда существует полная производная Df . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \|Df(x)\|\leq K}$
• Для дифференцируемого отображения Липшица неравенство справедливо для лучшей константы Липшица . Если область выпуклая, то на самом деле . ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]} ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}\leq K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}=K}$
• Предположим, что { f _n } — последовательность липшицевых непрерывных отображений между двумя метрическими пространствами и что все f _n имеют константу Липшица, ограниченную некоторым K . Если fn сходится к отображению f равномерно , то _f также является липшицевым, причем константа Липшица ограничена тем же K. В частности, это означает, что множество вещественных функций на компактном метрическом пространстве с определенной оценкой константы Липшица является замкнутым и выпуклым подмножеством банахова пространства непрерывных функций. Однако этот результат не справедлив для последовательностей, в которых функции могут иметь неограниченные константы Липшица. Фактически, пространство всех липшицевых функций на компактном метрическом пространстве является подалгеброй банахова пространства непрерывных функций и, следовательно, плотно в нем, что является элементарным следствием теоремы Стоуна – Вейерштрасса (или как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса , поскольку каждый многочлен локально липшицев непрерывен).
• Всякое липшицево непрерывное отображение равномерно непрерывно и, следовательно, тем более непрерывно . В более общем смысле, набор функций с ограниченной константой Липшица образует равнонепрерывное множество. Из теоремы Арзела –Асколи следует, что если { f _n } — равномерно ограниченная последовательность функций с ограниченной константой Липшица, то у нее есть сходящаяся подпоследовательность. По результату предыдущего абзаца предельная функция также является липшицевой, с такой же оценкой для константы Липшица. В частности, множество всех вещественнозначных липшицевых функций на компактном метрическом пространстве X , имеющих константу Липшица ⩽  K   , является локально компактным выпуклым подмножеством банахова пространства C ( X ).
• Для семейства липшицевых функций f _α с общей константой функция (и ) также является липшицевой непрерывной с той же константой Липшица при условии, что она принимает конечное значение хотя бы в точке. ${\displaystyle \sup _{\alpha }f_{\alpha }}$ ${\displaystyle \inf _{\alpha }f_{\alpha }}$
• Если U — подмножество метрического пространства M и f  : U  → R — липшицева непрерывная функция, всегда существуют липшицевы непрерывные отображения M  → R , которые расширяют f и имеют ту же константу Липшица, что и f (см. также теорему Киршбрауна ). Расширение предоставляется

${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},}$

где k — константа Липшица для f на U.

Липшицевы многообразия

Липшицева структура на топологическом многообразии определяется с помощью атласа карт , карты переходов которых являются билипшицевыми; это возможно, поскольку билипшицевы отображения образуют псевдогруппу . Такая структура позволяет определять локально липшицевы отображения между такими многообразиями аналогично тому, как определяются гладкие отображения между гладкими многообразиями : если M и N — липшицевы многообразия, то функция является локально липшицевой тогда и только тогда, когда для каждой пары координатных карт и , где U и V — открытые множества в соответствующих евклидовых пространствах, композиция ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle \phi :U\to M}$ ${\displaystyle \psi :V\to N}$

$${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to V}$$

MN. ^[9]

Эта структура является промежуточной между структурой кусочно-линейного многообразия и топологическим многообразием : структура PL порождает уникальную липшицеву структуру. ^[10] Хотя липшицевы многообразия тесно связаны с топологическими многообразиями, теорема Радемахера позволяет проводить анализ, что дает различные приложения. ^[9]

Односторонний Липшиц

Пусть F ( x ) — полунепрерывная сверху функция от x , и что F ( x ) — замкнутое выпуклое множество для всех x . Тогда F односторонне липшицева ^[11] , если

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

для некоторого C и для всех x ₁ и x ₂ .

Возможно, что функция F может иметь очень большую константу Липшица, но умеренную или даже отрицательную одностороннюю константу Липшица. Например, функция

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}}$

имеет константу Липшица K = 50 и одностороннюю константу Липшица C = 0. Примером, который является односторонним, но не липшицевым, является F ( x ) = e ^{− x} , с C = 0.

Смотрите также

• Картирование сжатия  — функция, уменьшающая расстояние между всеми точками.
• Преемственность Дини
• Модуль непрерывности
• Квази-изометрия
• Лемма Джонсона-Линденштрауса . Для любого целого числа n ≥0, любого конечного подмножества X ⊆ Rn и любого действительного числа 0<ε<1 существует (1+ε ⁾ -билипшицева функция, где ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},}$ ${\displaystyle d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .}$

Рекомендации

1. Сохраб, Х.Х. (2003). Базовый реальный анализ. Том. 231. Биркхойзер. п. 142. ИСБН 0-8176-4211-0.
2. Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2001). Элементарный реальный анализ. Прентис-Холл. п. 623.
3. Searcoid, Mícheál Ó (2006), «Функции Липшица», Метрические пространства , серия Springer по математике для студентов, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84628-369-7
4. Беньямини, Йоав; Линденштраусс, Йорам (2000). Геометрический нелинейный функциональный анализ . Американское математическое общество. п. 11. ISBN 0-8218-0835-4.
5. Бураго, Дмитрий; Бураго, Юрий; Иванов, Сергей (2001). Курс метрической геометрии . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2129-6.
6. Махру, Омар А; Шалчи, Заид; Хаммонд, Кристофер Дж (2014). «'Расширение' и 'расширение': тенденции в использовании по обе стороны Атлантики». Британский журнал офтальмологии . 98 (6): 845–846. doi : 10.1136/bjophthalmol-2014-304986. ПМИД  24568871.
7. Громов, Михаил (1999). «Количественная теория гомотопии». В Росси, Хьюго (ред.). Перспективы математики: приглашенные доклады по случаю 250-летия Принстонского университета, 17–21 марта 1996 г., Принстонский университет . Американское математическое общество. п. 46. ​​ИСБН 0-8218-0975-Х.
8. Роббин, Джоэл В., Непрерывность и равномерная непрерывность (PDF)
9. Розенберг, Джонатан (1988). «Приложения анализа на липшицевых многообразиях». Миниконференции по гармоническому анализу и операторным алгебрам (Канберра, 1987) . Канберра: Австралийский национальный университет . стр. 269–283. МР 954004
10. «Топология многообразий», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
11. Дончев, Цанко; Фархи, Эльза (1998). «Устойчивость и эйлерова аппроксимация односторонних липшицевых дифференциальных включений». SIAM Journal по контролю и оптимизации . 36 (2): 780–796. дои : 10.1137/S0363012995293694.