Распределение Леви

В теории вероятностей и статистике распределение Леви , названное в честь Поля Леви , представляет собой непрерывное распределение вероятностей для неотрицательной случайной величины . В спектроскопии это распределение с частотой в качестве зависимой переменной известно как профиль Ван-дер-Ваальса . ^{[примечание 1]} Это частный случай обратного гамма-распределения . Это стабильный дистрибутив .

Определение

Функция плотности вероятности распределения Леви по области равна ${\displaystyle x\geq \mu }$

${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}$

где параметр местоположения и параметр масштаба . Кумулятивная функция распределения равна ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle F(x;\mu ,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right)}$

где — дополнительная функция ошибок , а — функция Лапласа ( CDF стандартного нормального распределения ). Параметр сдвига имеет эффект смещения кривой вправо на величину и изменения поддержки на интервал [ , ). Как и все стабильные распределения , распределение Леви имеет стандартную форму f(x;0,1), которая обладает следующим свойством: ${\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy\,}$

где y определяется как

${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}\,}$

Характеристическая функция распределения Леви определяется выражением

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$

Обратите внимание, что характеристическую функцию также можно записать в той же форме, что и для устойчивого распределения с и : ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~{\textrm {sign}}(t))}.}$

Полагая , n- й момент несмещенного распределения Леви формально определяется как: ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx}$

который расходится для всех так, что целых моментов распределения Леви не существует (только некоторые дробные моменты). ${\displaystyle n\geq 0.5}$

Производящая функция момента будет формально определена следующим образом:

${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx}$

однако он расходится и, следовательно, не определен на интервале вокруг нуля, поэтому производящая функция момента не определена как таковая . ${\displaystyle t>0}$

Как и все стабильные распределения , кроме нормального распределения , крыло функции плотности вероятности демонстрирует поведение тяжелого хвоста, спадающего по степенному закону:

${\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}{\frac {1}{x^{3/2}}}}$   как   ${\displaystyle x\to \infty ,}$

что показывает, что Леви не только с толстыми хвостами , но и с толстыми хвостами . Это проиллюстрировано на диаграмме ниже, на которой функции плотности вероятности для различных значений c представлены на логарифмическом графике . ${\displaystyle \mu =0}$

Функция плотности вероятности для распределения Леви на логарифмическом графике

Стандартное распределение Леви удовлетворяет условию устойчивости .

${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X}$,

где – независимые стандартные переменные Леви с . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$

Связанные дистрибутивы

• Если тогда ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$ ${\displaystyle kX+b\,\sim \,{\textrm {Levy}}(k\mu +b,kc)}$
• Если тогда ( обратное гамма-распределение ) Здесь распределение Леви является частным случаем распределения Пирсона типа V. ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}$ ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$
  
• Если ( нормальное распределение ), то ${\displaystyle \,Y\,\sim \,{\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle {(Y-\mu )}^{-2}\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,1/\sigma ^{2})}$
• Если тогда ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Normal}}(\mu ,{\tfrac {1}{\sqrt {\sigma }}})}$ ${\displaystyle {(X-\mu )}^{-2}\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,\sigma )}$
• Если тогда ( Стабильное распределение ) ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$ ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Stable}}(1/2,1,c,\mu )}$
• Если тогда ( Масштабированное распределение обратного хи-квадрата ) ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}$ ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Scale-inv-}}\chi ^{2}(1,c)}$
• Если тогда ( Свернутое нормальное распределение ) ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$ ${\displaystyle {(X-\mu )}^{-{\tfrac {1}{2}}}\sim \,{\textrm {FoldedNormal}}(0,1/{\sqrt {c}})}$

Генерация случайной выборки

Случайные выборки из распределения Леви могут быть сгенерированы с помощью выборки с обратным преобразованием . Учитывая случайную величину U , взятую из равномерного распределения на единичном интервале (0, 1), переменная X, заданная формулой ^[1]

${\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi ^{-1}(1-U/2))^{2}}}+\mu }$

является распределенным по Леви с местоположением и масштабом . Вот кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$

Приложения

• Частота геомагнитных инверсий, по-видимому, подчиняется распределению Леви.
• Время попадания броуновского движения в одну точку на расстоянии от начальной точки имеет распределение Леви с . (Для броуновского движения со сносом это время может следовать обратному распределению Гаусса , пределом которого является распределение Леви.) ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c=\alpha ^{2}}$
• Длина пути, пройденного фотоном в мутной среде, соответствует распределению Леви. ^[2]
• Процесс Коши можно определить как броуновское движение, подчиненное процессу, связанному с распределением Леви. ^[3]

Сноски

1. «Профиль Ван дер Ваальса» появляется со строчной буквой «ван» почти во всех источниках, таких как: Статистическая механика поверхности жидкости Клайва Энтони Крокстона, 1980, публикация Wiley-Interscience, ISBN  0-471-27663-4 , ISBN 978-0-471-27663-0 , [1]; и в Журнале технической физики , том 36, Instytut Podstawowych Issueów Techniki (Polska Akademia Nauk), издательство: Państwowe Wydawn. Наукове., 1995, [2] 

Примечания

1. Как получить функцию для случайной выборки из распределения Леви: http://www.math.uah.edu/stat/special/Levy.html
2. Роджерс, Джеффри Л. (2008). «Многолучевой анализ отражения мутной среды». Журнал Оптического общества Америки А. 25 (11): 2879–2883. Бибкод : 2008JOSAA..25.2879R. дои : 10.1364/josaa.25.002879. ПМИД  18978870.
3. Эпплбаум, Д. «Лекции по процессам Леви и стохастическому исчислению, Брауншвейг; Лекция 2: Процессы Леви» (PDF) . Университет Шеффилда. стр. 37–53.

Рекомендации

• «Информация о стабильных дистрибутивах» . Проверено 5 сентября 2021 г.- Введение Джона П. Нолана в устойчивые распределения, некоторые статьи по стабильным законам и бесплатную программу для расчета стабильных плотностей, кумулятивных функций распределения, квантилей, параметров оценки и т. д. См. особенно «Введение в стабильные распределения», глава 1.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Распределение Леви». Математический мир .