Локальная волатильность

Модель ценообразования опционов

Модель локальной волатильности в математических финансах и финансовой инженерии — это модель ценообразования опционов, которая рассматривает волатильность как функцию как текущего уровня активов, так и времени . Таким образом, это обобщение модели Блэка–Шоулза , где волатильность является константой (т. е. тривиальной функцией и ). Модели локальной волатильности часто сравнивают со стохастическими моделями волатильности , где мгновенная волатильность является не только функцией уровня активов , но также зависит от новой «глобальной» случайности, исходящей от дополнительного случайного компонента. ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}}$

Формулировка

В математических финансах актив S _t , лежащий в основе финансового производного инструмента , обычно предполагается соответствующим стохастическому дифференциальному уравнению вида

${\displaystyle dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma _{t}S_{t}\,dW_{t}}$,

при нейтральной по риску мере, где - мгновенная безрисковая ставка , дающая среднее локальное направление динамике, а - винеровский процесс , представляющий приток случайности в динамику. Амплитуда этой случайности измеряется мгновенной волатильностью . В простейшей модели, то есть модели Блэка-Шоулза , предполагается, что она постоянна или, самое большее, является детерминированной функцией времени; в действительности, реализованная волатильность базового актива фактически меняется со временем и с самим базовым активом. ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$

Когда такая волатильность имеет собственную случайность — часто описываемую другим уравнением, управляемым другим W — модель выше называется моделью стохастической волатильности . А когда такая волатильность является просто функцией текущего уровня базового актива S _t и времени t , мы имеем модель локальной волатильности. Модель локальной волатильности является полезным упрощением модели стохастической волатильности.

Таким образом, «локальная волатильность» — это термин, используемый в количественной финансах для обозначения набора коэффициентов диффузии, которые соответствуют рыночным ценам для всех опционов на данный базовый актив, что дает модель цены актива типа ${\displaystyle \sigma _{t}=\sigma (S_{t},t)}$

${\displaystyle dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma (S_{t},t)S_{t}\,dW_{t}.}$

Эта модель используется для расчета оценок экзотических опционов , которые соответствуют наблюдаемым ценам обычных опционов .

Разработка

Концепция локальной волатильности, полностью соответствующей рынкам опционов, была разработана, когда Бруно Дюпире ^[1] , Эмануэль Дерман и Ирадж Кани ^[2] отметили, что существует уникальный процесс диффузии, соответствующий нейтральным по риску плотностям, полученным из рыночных цен европейских опционов.

Дерман и Кани описали и реализовали функцию локальной волатильности для моделирования мгновенной волатильности. Они использовали эту функцию в каждом узле в биномиальной модели ценообразования опционов . Дерево успешно производило оценки опционов, соответствующие всем рыночным ценам по страйкам и срокам истечения. ^[2] Таким образом, модель Дермана-Кани была сформулирована с дискретным временем и шагами цены акций. (Дерман и Кани создали то, что называется « подразумеваемым биномиальным деревом »; вместе с Нилом Криссом они расширили его до подразумеваемого триномиального дерева . Подразумеваемый процесс подгонки биномиального дерева был численно нестабилен.)

Ключевые уравнения непрерывного времени, используемые в моделях локальной волатильности, были разработаны Бруно Дюпиром ^[1] в 1994 году. Уравнение Дюпиром гласит:

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial T}}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(K,T;S_{0})K^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial K^{2}}}-(r-d)K{\frac {\partial C}{\partial K}}-dC}$

Для вычисления частных производных существует несколько известных параметризаций поверхности подразумеваемой волатильности на основе модели Хестона: Schönbucher, SVI и gSVI. Другие методы включают смесь логнормального распределения и стохастической коллокации. ^[3]

Вывод

Учитывая цену актива, регулируемую нейтральным к риску SDE ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}=(r-d)S_{t}dt+\sigma (t,S_{t})S_{t}dW_{t}}$

Вероятность перехода , условная для удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова (также известному как уравнение Фоккера–Планка ) ${\displaystyle p(t,S_{t})}$ ${\displaystyle S_{0}}$

${\displaystyle p_{t}=-[(r-d)s\,p]_{s}+{\frac {1}{2}}[(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$

где для краткости обозначение обозначает частную производную функции f по x, а где обозначение обозначает частную производную второго порядка функции f по x. Таким образом, — частная производная плотности по t, а, например , — вторая производная по S. p будет обозначать , а внутри интеграла . ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle f_{xx}}$ ${\displaystyle p_{t}}$ ${\displaystyle p(t,S)}$ ${\displaystyle [(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$ ${\displaystyle (\sigma (t,S)S)^{2}p(t,S)}$ ${\displaystyle p(t,S)}$ ${\displaystyle p(t,s)}$

Из-за теоремы о ценообразовании Мартингейла цена опциона колл с указанием срока погашения и страйка равна ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}[(S_{T}-K)^{+}]\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)\,p\,ds\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds-K\,e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\,ds\end{aligned}}}$

Дифференциация цены опциона колл по отношению к ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C_{K}=-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\;ds}$

и заменив в формуле цену опциона колл и переставив условия

${\displaystyle e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds=C-K\,C_{K}}$

Дифференциация цены опциона колл относительно дважды ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C_{KK}=e^{-rT}p}$

Дифференциация цены опциона колл по доходности ${\displaystyle T}$

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)p_{T}ds}$

с использованием прямого уравнения Колмогорова

${\displaystyle C_{T}=-r\,C-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)[(r-d)s\,p]_{s}\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)[(\sigma s)^{2}\,p]_{ss}\,ds}$

интегрируя по частям первый интеграл один раз и второй интеграл дважды

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+(r-d)e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}(\sigma K)^{2}\,p}$

используя формулы, полученные путем дифференциации цены опциона колл по отношению ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{T}&=-r\,C+(r-d)(C-K\,C_{K})+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\\&=-(r-d)K\,C_{K}-d\,C+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\end{aligned}}}$

Параметрические модели локальной волатильности

Подход Дюпира непараметрический. Он требует предварительной интерполяции данных для получения континуума торгуемых цен и выбора типа интерполяции. ^[1] В качестве альтернативы можно сформулировать параметрические модели локальной волатильности. Ниже представлено несколько примеров.

модель Башелье

Модель Башелье была вдохновлена ​​работой Луи Башелье 1900 года. Эту модель, по крайней мере для активов с нулевым дрейфом, например, форвардных цен или форвардных процентных ставок по их форвардной мере, можно рассматривать как модель локальной волатильности.

${\displaystyle dF_{t}=v\,dW_{t}}$.

В модели Башелье коэффициент диффузии является константой , поэтому мы имеем , подразумевая . Поскольку процентные ставки стали отрицательными во многих экономиках, ^[4] модель Башелье стала представлять интерес, поскольку она может моделировать отрицательные форвардные ставки F с помощью своего гауссовского распределения. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \sigma (F_{t},t)F_{t}=v}$ ${\displaystyle \sigma (F_{t},t)=v/F_{t}}$

Модель смещенной диффузии

Эту модель представил Марк Рубинштейн . ^[5] Для цены акций она следует динамике

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma (S_{t}-\beta e^{rt})\,dW_{t}}$

где для простоты мы предполагаем нулевую доходность дивидендов. Модель может быть получена путем замены переменной из стандартной модели Блэка-Шоулза следующим образом. Задав, можно сразу увидеть, что Y следует стандартной модели Блэка-Шоулза ${\displaystyle Y_{t}=S_{t}-\beta e^{rt}}$

${\displaystyle dY_{t}=rY_{t}\,dt+\sigma Y_{t}\,dW_{t}.}$

Поскольку SDE для является геометрическим броуновским движением , оно имеет логнормальное распределение , и учитывая, что модель S также называется смещенной логнормальной моделью, сдвиг в момент времени t равен . Чтобы оценить опцион колл со страйком K на S, просто запишите выплату , где H — новый страйк . Поскольку Y следует модели Блэка-Шоулза, цена опциона становится ценой Блэка-Шоулза с измененным страйком и ее легко получить. Модель создает монотонную кривую улыбки волатильности, рисунок которой убывает для отрицательного . ^[6] Кроме того, для отрицательного , из следует, что актив S может принимать отрицательные значения с положительной вероятностью. Это полезно, например, при моделировании процентных ставок, где отрицательные ставки влияют на несколько экономик. ^[4] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$ ${\displaystyle \beta e^{rt}}$ ${\displaystyle (S_{T}-K)^{+}=(Y_{T}+\beta e^{rT}-K)^{+}=(Y_{T}-H)^{+}}$ ${\displaystyle H=K-\beta e^{rT}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$

Модель CEV

Модель постоянной эластичности дисперсии (CEV) представляет собой модель локальной волатильности, в которой динамика акций, при нейтральной по отношению к риску мере и при условии отсутствия дивидендов,

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=rS_{t}\mathrm {d} t+\sigma S_{t}^{\gamma }\mathrm {d} W_{t},}$

для постоянной процентной ставки r, положительной константы и показателя степени, так что в этом случае ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \gamma \geq 0,}$

${\displaystyle \sigma (S_{t},t)=\sigma S_{t}^{\gamma -1}.}$

Модель иногда классифицируется как модель стохастической волатильности , хотя согласно данному здесь определению, это модель локальной волатильности, поскольку в коэффициенте диффузии нет новой случайности. Эта модель и связанные с ней ссылки подробно показаны на соответствующей странице .

Модель динамики логнормальной смеси

Эта модель была разработана с 1998 по 2021 год в нескольких версиях Дамиано Бриго , Фабио Меркурио и соавторами. Кэрол Александер изучала краткосрочные и долгосрочные эффекты улыбки. ^[7] Отправной точкой является базовая формула Блэка-Шоулза, исходящая из динамики нейтрального риска с постоянной детерминированной волатильностью и с логнормальной функцией плотности вероятности, обозначенной как . В модели Блэка-Шоулза цена европейского опциона, не зависящего от пути, получается путем интеграции выплаты опциона против этой логнормальной плотности при погашении. Основная идея модели динамики логнормальной смеси ^[8] заключается в рассмотрении логнормальных плотностей, как в модели Блэка-Шоулза, но для ряда возможных постоянных детерминированных волатильностей , где мы называем , логнормальной плотностью модели Блэка-Шоулза с волатильностью . При моделировании цены акций Бриго и Меркурио ^[9] строят модель локальной волатильности ${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p_{t,\sigma }^{lognormal}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ ${\displaystyle p_{i,t}=p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma _{mix}(t,S_{t})S_{t}\ dW_{t},}$

где определяется таким образом, что делает распределение риска нейтральным для требуемой смеси логнормальных плотностей , так что плотность результирующей цены акций равна где и . 's — это веса различных плотностей, включенных в смесь. Мгновенная волатильность определяется как ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,S_{t})}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle p_{i,t}}$ ${\displaystyle p_{S_{t}}(y)=:p_{t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}(y)}$ ${\displaystyle \lambda _{i}\in (0,1)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}=1}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle p_{i,t}}$

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {1}{\sum _{j}\lambda _{j}p_{j,t}(y)}}\sum _{i}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}p_{i,t}(y),}$или более подробно

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}\ {\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{i}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{i}^{2}t\right]^{2}\right\}}{\sum _{j=1}^{N}\lambda _{j}{\frac {1}{\sigma _{j}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{j}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{j}^{2}t\right]^{2}\right\}}}}$

для ; для Исходная модель имеет регуляризацию коэффициента диффузии в небольшом начальном интервале времени . ^[9] С этой корректировкой SDE с имеет единственное сильное решение, предельная плотность которого является желаемой смесью Можно далее записать, где и . Это показывает, что является ``взвешенным средним" из ' с весами ${\displaystyle (t,y)>(0,0)}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)=\sigma _{0}}$ ${\displaystyle (t,y)=(0,s_{0}).}$ ${\displaystyle [0,\epsilon ]}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}}$ ${\displaystyle p_{S_{t}}=\sum _{i}\lambda _{i}p_{i,t}.}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)=\sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)\sigma _{i}^{2},}$ ${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)\in (0,1)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)=1}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)={\frac {\lambda _{i}\ p_{i,t}(y)}{\sum _{j}\lambda _{j}\ p_{j,t}(y)}}.}$

Цена опциона в этой модели очень проста для расчета. Если обозначает нейтральное к риску ожидание, по теореме о ценообразовании мартингейла цена колл-опциона на S со страйком K и сроком погашения T задается как , где — соответствующая цена колл в модели Блэка-Шоулза с волатильностью . Цена опциона задается формулой замкнутой формы и является линейной выпуклой комбинацией цен Блэка-Шоулза на колл-опционы с волатильностью, взвешенной по . То же самое справедливо для пут-опционов и всех других простых условных требований. Та же выпуклая комбинация применима также к нескольким грекам опционов , таким как Дельта, Гамма, Ро и Тета. Динамика смеси является гибкой моделью, поскольку можно выбирать количество компонентов в соответствии со сложностью улыбки. Оптимизация параметров и , а также возможного параметра сдвига позволяет воспроизводить большинство рыночных улыбок. Модель успешно использовалась на рынках акций, ^[10] FX, ^[11] и процентных ставок. ^{[6] [12]} ${\displaystyle \mathbb {E} ^{Q}}$ ${\displaystyle V_{mix}^{Call}(K,T)=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}\left\{(S_{T}-K)^{+}\right\}}$ ${\displaystyle =e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}p_{S_{T}}(y)dy=e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,T}(y)dy}$ ${\displaystyle =\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}e^{-rT}\int (y-K)^{+}p_{i,T}(y)dy=\sum _{{i=1}^{N}}{\lambda _{i}}V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$ ${\displaystyle V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

В модели динамики смеси можно показать, что результирующая кривая улыбки волатильности будет иметь минимум для K, равный цене форварда на уровне денег . Этого можно избежать, и улыбка может быть более общей, если объединить идеи динамики смеси и смещенной диффузии, что приведет к смещенной логнормальной динамике смеси. ^[8] ${\displaystyle S_{0}e^{rT}}$

Модель также применялась с волатильностью в компонентах смеси, зависящих от времени, чтобы откалибровать структуру срока улыбки. ^[10] Было изучено расширение модели, в которой различные плотности смеси имеют разные средние значения, ^[12] при сохранении окончательного дрейфа без арбитража в динамике. Дальнейшим расширением было применение к многомерному случаю, в котором была сформулирована многомерная модель, которая согласуется со смесью многомерных логнормальных плотностей, возможно, со сдвигами, и в которой отдельные активы также распределены как смеси, ^[13] согласовывая моделирование улыбки отдельных активов со улыбкой на индексе этих активов. Вторым применением многомерной версии была триангуляция улыбок волатильности валютного рынка. ^[11] Наконец, модель связана с неопределенной моделью волатильности, в которой, грубо говоря, волатильность является случайной величиной, принимающей значения с вероятностями . Технически можно показать, что динамика логнормальной смеси локальной волатильности является марковской проекцией модели неопределенной волатильности. ^[14] ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$

Использовать

Модели локальной волатильности полезны на любом рынке опционов, на котором волатильность базового актива является преимущественно функцией уровня базового актива, например, процентных деривативов. Не зависящие от времени локальные волатильности предположительно несовместимы с динамикой поверхности подразумеваемой волатильности индекса акций, ^[15] но см. Crepey (2004), ^[16], который утверждает, что такие модели обеспечивают наилучшее среднее хеджирование для опционов на индекс акций, и отмечают, что такие модели, как динамика смеси, допускают зависящие от времени локальные волатильности, калибруя также временную структуру улыбки. Модели локальной волатильности также полезны при формулировании моделей стохастической волатильности . ^[17]

Модели локальной волатильности имеют ряд привлекательных особенностей. ^[18] Поскольку единственным источником случайности является цена акций, модели локальной волатильности легко калибровать. Разработано множество методов калибровки для работы с процессами Маккина-Власова, включая наиболее используемый подход частиц и бинов. ^[19] Кроме того, они приводят к полным рынкам, где хеджирование может быть основано только на базовом активе. Как намекалось выше, общий непараметрический подход Дюпира проблематичен, поскольку необходимо произвольно предварительно интерполировать входную подразумеваемую волатильность поверхности перед применением метода. Альтернативные параметрические подходы с богатой и надежной параметризацией, такие как вышеупомянутые послушные смешанные динамические модели локальной волатильности, могут быть альтернативой. Поскольку в моделях локальной волатильности волатильность является детерминированной функцией случайной цены акций, модели локальной волатильности не очень хорошо используются для оценки кликовых опционов или форвардных стартовых опционов , значения которых зависят именно от случайной природы самой волатильности. В таких случаях предпочтительны модели стохастической волатильности .

Ссылки

1. Бруно Дюпир (1994). «Ценообразование с улыбкой». Риск. {{cite journal}}: Cite journal required |journal=( помощь ) "Загрузка медиа отключена" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-09-07 . Получено 2013-06-14 .
2. Derman, E., Iraj Kani (1994). ""Верхом на улыбке". RISK, 7(2) февраль 1994, стр. 139-145, стр. 32-39" (PDF) . Риск. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-10 . Получено 2007-06-01 . {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. ЛеФлох, Фабьен (2019). «Безмодельная стохастическая коллокация для безарбитражной подразумеваемой волатильности: Часть I». Решения по экономике и финансам . 42 (2): 679–714. doi : 10.1007/s10203-019-00238-x . S2CID  126837576.
4. Джакомо Бурро, Пьер Джузеппе Джирибоне, Симоне Лигато, Мартина Мулас и Франческа Куэрчи (2017). Влияние отрицательных процентных ставок на ценообразование опционов: возвращение к основам? Международный журнал финансовой инженерии 4(2), https://doi.org/10.1142/S2424786317500347
5. Рубинштейн, М. (1983). Смещенное диффузионное ценообразование опционов. Журнал финансов, 38(1), 213–217. https://doi.org/10.2307/2327648
6. Brigo, Damiano; Mercurio, Fabio (2006). Модели процентных ставок: теория и практика . Heidelberg: Springer-Verlag.
7. Кэрол Александр (2004). «Нормальная диффузия смеси с неопределенной волатильностью: моделирование краткосрочных и долгосрочных эффектов улыбки». Журнал банковского дела и финансов . 28 (12).
8. Дамиано Бриго и Фабио Меркурио (2001). "Смещенные и смешанные диффузии для аналитически-трактабельных моделей улыбки". Математические финансы - Бакалаврский конгресс 2000. Труды . Springer Verlag.
9. Дамиано Бриго и Фабио Меркурио (2002). «Динамика логнормальной смеси и калибровка улыбок волатильности рынка». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 5 (4). doi :10.1142/S0219024902001511.
10. Brigo, D., Mercurio, F. (2000). Смешанная улыбка. Risk Magazine, сентябрь 2000 г., страницы 123-126
11. Бриго, Д., Пизани, К. и Раписарда, Ф. (2021). Модель динамики многомерной смеси: смещенная динамика и перекос корреляции. Ann Oper Res 299, 1411–1435. https://doi.org/10.1007/s10479-019-03239-6 .
12. Brigo, D, Mercurio, F, Sartorelli, G, Альтернативная динамика цен активов и волатильность улыбка, QUANT FINANC, 2003, том: 3, страницы: 173 - 183
13. Бриго, Д., Раписарда, Ф. и Шриди, А. (2018). Динамика многомерной смеси: последовательные улыбки волатильности отдельных активов и индексов без арбитража. IISE TRANSACTIONS, 50(1), 27-44. doi:10.1080/24725854.2017.1374581
14. Бриго, Д., Меркурио, Ф. и Раписарда, Ф. (2004). Улыбнитесь неопределенности. Журнал Risk, 5, страницы 97–101
15. Дюма, Б., Дж. Флеминг, Р. Э. Уэйли (1998). «Подразумеваемые функции волатильности: эмпирические тесты» (PDF) . Журнал финансов . 53 (6): 2059–2106. doi :10.1111/0022-1082.00083.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
16. Crepey, S (2004). «Дельта-хеджирование Vega Risk». Количественные финансы . 4 (5): 559–579. doi :10.1080/14697680400000038.
17. Gatheral, J. (2006). Поверхность волатильности: Руководство для практиков . Wiley Finance. ISBN 978-0-471-79251-2.
18. Дерман, Э. И. Кани и Дж. З. Зоу (1996). «Локальная поверхность волатильности: раскрытие информации в ценах опционов на индексы». Журнал финансовых аналитиков . (Июль-август 1996 г.).
19. ван дер Вейст, Рул (2017). «Численные решения для модели стохастической локальной волатильности». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )