Исчисление Джонса

Система описания оптической поляризации

В оптике поляризованный свет можно описать с помощью исчисления Джонса ^[1] , изобретенного Р. К. Джонсом в 1941 году. Поляризованный свет представлен вектором Джонса , а линейные оптические элементы представлены матрицами Джонса . Когда свет пересекает оптический элемент, результирующая поляризация выходящего света определяется путем произведения матрицы Джонса оптического элемента и вектора Джонса падающего света. Обратите внимание, что исчисление Джонса применимо только к свету, который уже полностью поляризован. Свет, который является случайно поляризованным, частично поляризованным или некогерентным, должен рассматриваться с использованием исчисления Мюллера .

Вектор Джонса

Вектор Джонса описывает поляризацию света в свободном пространстве или другой однородной изотропной неослабляющей среде, где свет можно правильно описать как поперечные волны . Предположим, что монохроматическая плоская волна света распространяется в положительном направлении z с угловой частотой ω и волновым вектором k = (0,0, k ), где волновое число k = ω / c . Тогда электрические и магнитные поля E и H ортогональны k в каждой точке; оба они лежат в плоскости, «поперечной» направлению движения. Кроме того, H определяется из E поворотом на 90 градусов и фиксированным множителем, зависящим от волнового сопротивления среды. Поэтому поляризацию света можно определить, изучая E. Комплексная амплитуда E записывается

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}.}$

Обратите внимание, что физическое поле E является действительной частью этого вектора; комплексный множитель предоставляет информацию о фазе. Вот воображаемая единица с . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Вектор Джонса

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.}$

Таким образом, вектор Джонса представляет собой амплитуду и фазу электрического поля в направлениях x и y .

Сумма квадратов абсолютных значений двух компонент векторов Джонса пропорциональна интенсивности света. Для упрощения обычно его нормализуют до 1 в начальной точке расчета. Также принято ограничивать первый компонент векторов Джонса действительным числом . При этом игнорируется общая информация о фазе, которая потребуется для расчета помех другим лучам.

Обратите внимание, что все векторы и матрицы Джонса в этой статье используют соглашение, согласно которому фаза световой волны задается формулой , соглашение, используемое Хехтом. Согласно этому соглашению, увеличение (или ) указывает на запаздывание (задержку) фазы, а уменьшение указывает на опережение фазы. Например, компонент векторов Джонса ( ) указывает на задержку (или 90 градусов) по сравнению с 1 ( ). Коллетт использует противоположное определение фазы ( ). Кроме того, Колле и Джонс придерживаются разных соглашений в определении направленности круговой поляризации. Конвенция Джонса называется: «С точки зрения получателя», а конвенция Коллетта называется: «С точки зрения источника». Читателю следует с осторожностью относиться к выбору соглашения при просмотре ссылок по исчислению Джонса. ${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \phi _{y}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle =e^{i\pi /2}}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle =e^{0}}$ ${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$

В следующей таблице приведены 6 распространенных примеров нормализованных векторов Джонса.

Общий вектор, указывающий на любое место поверхности, записывается как кет . При использовании сферы Пуанкаре (также известной как сфера Блоха ) базисные кеты ( и ) должны быть сопоставлены противоположным ( антиподальным ) парам кетов, перечисленных выше. Например, можно присвоить = и = . Эти назначения произвольны. Противостоящие пары – это ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |H\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |V\rangle }$

• ${\displaystyle |H\rangle }$и ${\displaystyle |V\rangle }$
• ${\displaystyle |D\rangle }$и ${\displaystyle |A\rangle }$
• ${\displaystyle |R\rangle }$и ${\displaystyle |L\rangle }$

Поляризация любой точки, не равной или не находящейся на проходящей через нее окружности, называется эллиптической поляризацией . ${\displaystyle |R\rangle }$ ${\displaystyle |L\rangle }$ ${\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }$

Матрицы Джонса

Матрицы Джонса — это операторы, которые действуют на векторы Джонса, определенные выше. Эти матрицы реализуются различными оптическими элементами, такими как линзы, светоделители, зеркала и т. д. Каждая матрица представляет собой проекцию на одномерное комплексное подпространство векторов Джонса. В следующей таблице приведены примеры матриц Джонса для поляризаторов:

Фазовые замедлители

Фазовый замедлитель — это оптический элемент, который создает разность фаз между двумя ортогональными компонентами поляризации монохроматического поляризованного луча света. ^[3] Математически использование кетов для представления векторов Джонса означает, что действие фазового замедлителя заключается в преобразовании света с поляризацией.

${\displaystyle |P\rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle }$

к

${\displaystyle |P'\rangle =c_{1}{\rm {e}}^{i\eta /2}|1\rangle +c_{2}{\rm {e}}^{-i\eta /2}|2\rangle }$

где – ортогональные составляющие поляризации (т.е. ), определяемые физической природой фазозамедлителя. В общем, ортогональными компонентами могут быть любые два базисных вектора. Например, действие кругового фазозамедлителя таково, что ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1|2\rangle =0}$

${\displaystyle |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\qquad {\text{ and }}\qquad |2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$

Однако в обсуждении и на практике чаще встречаются линейные фазозамедлители, для которых используются линейные поляризации. Фактически, иногда термин «фазовый замедлитель» используется конкретно для обозначения линейных фазовых замедлителей. ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$

Линейные фазовые замедлители обычно изготавливаются из двулучепреломляющих одноосных кристаллов, таких как кальцит , MgF ₂ или кварц . Пластины, изготовленные из этих материалов, для этой цели называются волновыми . Одноосные кристаллы имеют одну кристаллическую ось, которая отличается от двух других кристаллических осей (т. е. n _i ≠ n _j = n _k ). Эта уникальная ось называется необыкновенной осью, а также оптической осью . Оптическая ось может быть быстрой или медленной осью кристалла в зависимости от имеющегося кристалла. Свет распространяется с более высокой фазовой скоростью вдоль оси с наименьшим показателем преломления , и эта ось называется быстрой осью. Точно так же ось с наибольшим показателем преломления называется медленной осью, поскольку фазовая скорость света вдоль этой оси наименьшая. «Отрицательные» одноосные кристаллы (например, кальцит CaCO ₃ , сапфир Al ₂ O ₃ ) имеют n _e < n _o , поэтому для этих кристаллов необыкновенная ось (оптическая ось) является быстрой осью, тогда как для «положительных» одноосных кристаллов (например, , кварц SiO ₂ , фторид магния MgF ₂ , рутил TiO ₂ ), n _e > n _o и, следовательно, необыкновенная ось (оптическая ось) является медленной осью. Существуют и другие коммерчески доступные линейные фазовые замедлители, которые используются в более специализированных приложениях. Ромбики Френеля — одна из таких альтернатив.

Любой линейный фазовый замедлитель, быстрая ось которого определяется как ось x или y, имеет нулевые недиагональные члены и, следовательно, может быть удобно выражен как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{i\phi _{x}}&0\\0&{\rm {e}}^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}}$

где и – сдвиги фаз электрических полей по направлениям и соответственно. В соглашении о фазах определите относительную фазу между двумя волнами как . Тогда положительное значение (т.е. > ) означает, что оно не достигнет того же значения, что и раньше, т.е. ведет . Аналогично, если , то приводит . ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \phi _{y}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \phi _{y}}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle \epsilon <0}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E_{x}}$

Например, если быстрая ось четвертьволновой пластинки горизонтальна, то фазовая скорость в горизонтальном направлении опережает вертикальное направление, т. е. опережает . Таким образом, что для четвертьволновой пластинки дает . ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}}$ ${\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}$

В противоположном соглашении определите относительную фазу как . Тогда означает, что оно не достигнет того же значения, что и в более позднее время, т.е. ведет . ${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$

Матрица Джонса для произвольного материала с двойным лучепреломлением является наиболее общей формой преобразования поляризации в исчислении Джонса; он может представлять любое преобразование поляризации. Чтобы убедиться в этом, можно показать

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos(\eta /2)-i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )&-\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )\\\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )&\cos(\eta /2)+i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Приведенная выше матрица представляет собой общую параметризацию элементов SU(2) с использованием соглашения

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~}$

где черта означает комплексное сопряжение .

Наконец, учитывая, что множество унитарных преобразований можно выразить как ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \left\{{\rm {e}}^{i\gamma }{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,\ \ \gamma \in [0,2\pi ]\right\}}$

становится ясно, что матрица Джонса для произвольного двулучепреломляющего материала представляет собой любое унитарное преобразование, вплоть до фазового множителя . Следовательно, при соответствующем выборе , и можно найти преобразование между любыми двумя векторами Джонса с точностью до фазового множителя . Однако в исчислении Джонса такие фазовые факторы не меняют представленную поляризацию вектора Джонса, поэтому либо считаются произвольными, либо налагаются ad hoc, чтобы соответствовать определенному соглашению. ${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$

Специальные выражения для фазовых замедлителей можно получить, взяв подходящие значения параметров в общем выражении для двулучепреломляющего материала. ^[7] В общем выражении:

• Относительное запаздывание фазы, вызванное между быстрой осью и медленной осью, определяется выражением ${\displaystyle \eta =\phi _{y}-\phi _{x}}$
• ${\displaystyle \theta }$— ориентация быстрой оси относительно оси x.
• ${\displaystyle \phi }$это округлость.

Обратите внимание, что для линейных замедлителей = 0, а для кольцевых замедлителей = ± /2, = /4. Обычно для эллиптических замедлителей принимает значения от - /2 до /2. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Элементы с осевым поворотом

Предположим, что оптический элемент имеет свою оптическую ось ^{[ необходимо пояснение ]} перпендикулярно вектору поверхности для плоскости падения ^{[ необходимо пояснение ]} и повернут вокруг этого поверхностного вектора на угол θ/2 (т. е. на главную плоскость , через которую проходит оптическая ось). , ^{[ необходимы пояснения ]} составляет угол θ/2 по отношению к плоскости поляризации электрического поля ^{[ необходимы пояснения ]} падающей TE-волны). Напомним, что полуволновая пластинка поворачивает поляризацию на угол, вдвое превышающий угол между падающей поляризацией и оптической осью (главной плоскостью). Следовательно, матрица Джонса для состояния повернутой поляризации M( θ ) равна

${\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}$

где ${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

Это согласуется с выражением для полуволновой пластинки в таблице выше. Эти вращения идентичны преобразованию унитарного светоделителя в оптической физике, определяемому формулой

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}}$

где коэффициенты со штрихом и без штриха представляют собой лучи, падающие с противоположных сторон светоделителя. Отраженная и прошедшая компоненты приобретают фазу θ _r и θ _t соответственно. Требования к допустимому представлению элемента: ^[8]

${\displaystyle \theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi }$

и ${\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.}$

Оба эти представления представляют собой унитарные матрицы, соответствующие этим требованиям; и, как таковые, оба действительны.

Произвольно повернутые элементы

Это потребует трехмерной матрицы вращения . См. работу Рассела А. Чипмана и Гарам Юна, проделанную над этим вопросом. ^{[9] [10] [11] [12] [13]}

Смотрите также

• поляризация
• Параметры рассеяния
• Параметры Стокса
• Исчисление Мюллера
• Поляризация фотонов

Примечания

1. Префактор появляется только в том случае, если фазовые задержки определяются симметричным образом; то есть, . Это сделано у Хехта ^[4] , но не у Фаулза. ^[2] В последней ссылке матрицы Джонса для четвертьволновой пластинки не имеют префактора. ${\displaystyle {\rm {e}}^{i\pi /4}}$ ${\displaystyle \phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4}$

Рекомендации

1. "Исчисление Джонса". сайт шпиона . Проверено 7 августа 2022 г.
2. Фаулз, Г. (1989). Введение в современную оптику (2-е изд.). Дувр. п. 35. ISBN 9780486659572.
3. PS Теокарис; Э. Гдутос (1979). Матричная теория фотоупругости. Серия Спрингера по оптическим наукам. Том. 11 (1-е изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-540-35789-6. ISBN 978-3-662-15807-4.
4. Юджин Хехт (2001). Оптика (4-е изд.). п. 378. ИСБН 978-0805385663.
5. "Исчисление Джонса". сайт шпиона . Проверено 29 апреля 2023 г.
6. Джеральд, А.; Берч, Дж. М. (1975). Введение в матричные методы в оптике (1-е изд.). Джон Уайли и сыновья . п. 212. ИСБН 978-0471296850.
7. Гилл, Хосе Хорхе; Бернабеу, Эусебио (1987). «Получение параметров поляризации и замедления недеполяризующей оптической системы из полярного разложения ее матрицы Мюллера». Оптик . 76 (2): 67–71. ISSN  0030-4026.
8. Оу, З.Ы.; Мандель, Л. (1989). «Вывод соотношений взаимности для светоделителя из энергетического баланса». Являюсь. Дж. Физ . 57 (1): 66. Бибкод : 1989AmJPh..57...66O. дои : 10.1119/1.15873.
9. Чипман, РА; Лам, WST; Янг, Г. (2018). Поляризованный свет и оптические системы. Оптические науки и применение света. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4987-0057-3. Проверено 20 января 2023 г.
10. Чипман, Рассел А. (1995). «Механика трассировки поляризационных лучей». Опция англ . 34 (6): 1636–1645. Бибкод : 1995OptEn..34.1636C. дои : 10.1117/12.202061.
11. Юн, Гарам; Крэбтри, Карлтон; Чипман, Рассел А. (2011). «Трехмерное поляризационное исчисление трассировки лучей I: определение и ослабление». Прикладная оптика . 50 (18): 2855–2865. Бибкод : 2011ApOpt..50.2855Y. дои : 10.1364/AO.50.002855. ПМИД  21691348.
12. Юн, Гарам; Макклейн, Стивен С.; Чипман, Рассел А. (2011). «Трехмерное поляризационное исчисление трассировки лучей II: замедление». Прикладная оптика . 50 (18): 2866–2874. Бибкод : 2011ApOpt..50.2866Y. дои : 10.1364/AO.50.002866. ПМИД  21691349.
13. Юн, Гарам (2011). Трассировка поляризационных лучей (кандидатская диссертация). Университет Аризоны. hdl : 10150/202979.

дальнейшее чтение

• Э. Коллетт, Полевое руководство по поляризации , SPIE Field Guides vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6 . 
• Д. Гольдштейн и Э. Коллетт, Поляризованный свет , 2-е изд., CRC Press (2003). ISBN 0-8247-4053-X . 
• Э. Хехт, Оптика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли (1987). ISBN 0-201-11609-X . 
• Фрэнк Л. Педротти, С. Дж. Лено С. Педротти, Введение в оптику , 2-е изд., Прентис Холл (1993). ISBN 0-13-501545-6 
• А. Джеральд и Дж. М. Берч, Введение в матричные методы в оптике , 1-е изд., John Wiley & Sons (1975). ISBN 0-471-29685-6 
• Джонс, Р. Кларк (1941). «Новое исчисление для лечения оптических систем, I. Описание и обсуждение исчисления». Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 488–493. дои : 10.1364/JOSA.31.000488.
• Гурвиц, Генри; Джонс, Р. Кларк (1941). «Новое исчисление для оптических систем, II. Доказательство трех общих теорем эквивалентности». Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 493–499. дои : 10.1364/JOSA.31.000493.
• Джонс, Р. Кларк (1941). «Новое исчисление для лечения оптических систем, III Теория оптической активности Зонке». Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 500–503. дои : 10.1364/JOSA.31.000500.
• Джонс, Р. Кларк (1942). «Новое исчисление для лечения оптических систем, IV». Журнал Оптического общества Америки . 32 (8): 486–493. дои : 10.1364/JOSA.32.000486.
• Фимат, Ал. (1971). «Матричное представление оптических инструментов Джонса. I: светоделители». Прикладная оптика . 10 (11): 2499–2505. Бибкод : 1971ApOpt..10.2499F. дои : 10.1364/AO.10.002499. ПМИД  20111363.
• Фимат, Ал. (1971). «Матричное представление оптических инструментов Джонса. 2: Интерферометры Фурье (спектрометры и спектрополяриметры)». Прикладная оптика . 10 (12): 2711–2716. Бибкод : 1971ApOpt..10.2711F. дои : 10.1364/AO.10.002711. ПМИД  20111418.
• Фимат, Ал. (1972). «Эффекты поляризации в Фурье-спектроскопии. I: Представление матрицы когерентности». Прикладная оптика . 11 (1): 160–173. Бибкод : 1972ApOpt..11..160F. дои : 10.1364/AO.11.000160. ПМИД  20111472.
• Гилл, Хосе Хорхе; Бернабеу, Эусебио (1987). «Получение параметров поляризации и замедления недеполяризующей оптической системы из полярного разложения ее матрицы Мюллера». Оптик . 76 : 67–71.
• Бросо, Кристиан; Гивенс, Кларк Р.; Костинский, Александр Б. (1993). «Обобщенное условие следа на матрице поляризации Мюллера-Джонса». Журнал Оптического общества Америки А. 10 (10): 2248–2251. Бибкод : 1993JOSAA..10.2248B. дои : 10.1364/JOSAA.10.002248.
• Макгуайр, Джеймс П.; Чипман, Рассел А. (1994). «Поляризационные аберрации. 1. Вращательно-симметричные оптические системы». Прикладная оптика . 33 (22): 5080–5100. Бибкод : 1994ApOpt..33.5080M. дои : 10.1364/AO.33.005080. PMID  20935891. S2CID  3805982.
• Пистони, Натале К. (1995). «Упрощенный подход к исчислению Джонса при отслеживании оптических цепей». Прикладная оптика . 34 (34): 7870–7876. Бибкод : 1995ApOpt..34.7870P. дои : 10.1364/AO.34.007870. ПМИД  21068881.
• Морено, Игнасио; Изуэль, Мария Дж .; Кампос, Хуан; Варгас, Астисио (2004). «Матричная обработка Джонса для поляризационной оптики Фурье». Журнал современной оптики . 51 (14): 2031–2038. Бибкод : 2004JMOp...51.2031M. дои : 10.1080/09500340408232511. hdl : 10533/175322 . S2CID  120169144.
• Морено, Иван (2004). «Матрица Джонса для призм вращения изображения». Прикладная оптика . 43 (17): 3373–3381. Бибкод : 2004ApOpt..43.3373M. дои : 10.1364/AO.43.003373. PMID  15219016. S2CID  24268298.
• Уильям Шерклифф (1966) Поляризованный свет: производство и использование , глава 8 Исчисление Мюллера и исчисление Джонса, стр. 109, издательство Гарвардского университета .

Внешние ссылки

• Исчисление Джонса, написанное Э. Коллеттом на Optipedia