Метрика Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера

Метрика, основанная на точном решении уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности.

Метрика Фридмана -Леметра-Робертсона-Уокера ( FLRW ; / ˈ f r iː d m ə n l ə ˈ m ɛ t r ə  ... /   ) — метрика , основанная на точном решении уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности . . Метрика описывает однородную , изотропную , расширяющуюся (или иным образом сжимающуюся) вселенную , которая связана путями , но не обязательно просто связана . ^{[1] [2] [3]} Общий вид метрики следует из геометрических свойств однородности и изотропии; Уравнения поля Эйнштейна нужны только для того, чтобы вывести масштабный коэффициент Вселенной как функцию времени. В зависимости от географических или исторических предпочтений группа из четырех ученых — Александра Фридмана , Жоржа Леметра , Говарда П. Робертсона и Артура Джеффри Уокера — по-разному группируется как Фридман , Фридман-Робертсон-Уокер ( FRW ), Робертсон-Уокер ( RW ). или Фридмана-Леметра ( Флорида ). Эту модель иногда называют Стандартной моделью современной космологии , ^[4] хотя такое описание также связано с дальнейшей развитой моделью Lambda-CDM . Модель FLRW была разработана названными авторами независимо в 1920-1930-е годы.

Общая метрика

Метрика FLRW начинается с предположения об однородности и изотропии пространства. Также предполагается, что пространственная составляющая метрики может зависеть от времени. Общая метрика, удовлетворяющая этим условиям, равна

${\displaystyle -c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2},}$

где пробегает трехмерное пространство равномерной кривизны, то есть эллиптическое пространство , евклидово пространство или гиперболическое пространство . Обычно он записывается как функция трех пространственных координат, но для этого существует несколько соглашений, подробно описанных ниже. не зависит от t – вся временная зависимость находится в функции a ( t ), известной как « масштабный коэффициент ». ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$

Полярные координаты уменьшенной окружности

В полярных координатах уменьшенной окружности пространственная метрика имеет вид ^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{where }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.}$

k — константа, представляющая кривизну пространства. Существует два общих соглашения о единицах измерения:

• k может иметь единицы длины ⁻² , и в этом случае r имеет единицы длины, а a ( t ) безразмерен. тогда k — это гауссова кривизна пространства в момент, когда a ( t ) = 1 . r иногда называют уменьшенной длиной окружности , поскольку она равна измеренной длине окружности (при этом значении r ), с центром в начале координат, разделенной на 2 π (как r в координатах Шварцшильда ). Там, где это уместно, в современную космологическую эпоху a ( t ) часто выбирается равным 1, так что оно измеряет сопутствующее расстояние . ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• Альтернативно, k может принадлежать множеству {−1, 0, +1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). Тогда r безразмерен и a ( t ) имеет единицы длины. Когда k = ±1 , a ( t ) — это радиус кривизны пространства, его также можно записать R ( t ).

Недостатком уменьшенных координат окружности является то, что в случае положительной кривизны они охватывают только половину трехмерной сферы - окружности за этой точкой начинают уменьшаться, что приводит к вырождению. (Это не проблема, если пространство эллиптическое , то есть представляет собой трехмерную сферу с идентифицированными противоположными точками.)

Гиперсферические координаты

В гиперсферических координатах или координатах , нормированных по кривизне, координата r пропорциональна радиальному расстоянию; это дает

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}}$

где как раньше и ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Omega } }$

${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}$

Как и раньше, существует два общих соглашения о единицах измерения:

• k может иметь единицы длины ⁻² , и в этом случае r имеет единицы длины, а a ( t ) безразмерен. тогда k — это гауссова кривизна пространства в момент, когда a ( t ) = 1 . Там, где это уместно, в современную космологическую эпоху a ( t ) часто выбирается равным 1, так что оно измеряет сопутствующее расстояние . ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• В качестве альтернативы, как и раньше, k можно считать принадлежащим множеству {−1,0, +1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). Тогда r безразмерен и a ( t ) имеет единицы длины. Когда k = ±1 , a ( t ) — это радиус кривизны пространства, его также можно записать R ( t ). Обратите внимание, что когда k = +1 , r по сути является третьим углом наряду с θ и φ . Вместо  r можно использовать букву χ .

Хотя S обычно определяется кусочно, как указано выше, S является аналитической функцией как от k , так и от  r . Его также можно записать в виде степенного ряда

${\displaystyle S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots }$

или как

${\displaystyle S_{k}(r)=r\;\mathrm {sinc} \,(r{\sqrt {k}}),}$

где sinc — ненормализованная функция sinc , являющаяся одним из мнимых, нулевых или действительных квадратных корней из k . Эти определения справедливы для всех  k . ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$

Декартовы координаты

Когда k = 0, можно написать просто

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

Это можно расширить до k ≠ 0 , определив

${\displaystyle x=r\cos \theta \,,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta \cos \phi \,}$, и

${\displaystyle z=r\sin \theta \sin \phi \,,}$

где r — одна из радиальных координат, определенных выше, но это случается редко.

Кривизна

Декартовы координаты

В плоском пространстве FLRW с использованием декартовых координат сохранившимися компонентами тензора Риччи являются ^[7] ${\displaystyle (k=0)}$

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})}$

а скаляр Риччи равен

${\displaystyle R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).}$

Сферические координаты

В более общем пространстве FLRW, использующем сферические координаты (выше называемые «полярными координатами уменьшенной окружности»), сохранившимися компонентами тензора Риччи являются ^[8]

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},}$

${\displaystyle R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )}$

а скаляр Риччи равен

${\displaystyle R=6\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{c^{2}a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{c^{2}a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).}$

Решения

Уравнения поля Эйнштейна не используются при выводе общего вида метрики: он следует из геометрических свойств однородности и изотропии. Однако для определения временной эволюции требуются уравнения поля Эйнштейна вместе со способом расчета плотности, таким как космологическое уравнение состояния . ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle \rho (t),}$

Эта метрика имеет аналитическое решение уравнений поля Эйнштейна, дающее уравнения Фридмана , когда тензор энергии-импульса аналогичным образом предполагается изотропным и однородным. Полученные уравнения: ^[9] ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {\kappa c^{4}}{3}}\rho }$

${\displaystyle 2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-\kappa c^{2}p.}$

Эти уравнения лежат в основе стандартной космологической модели Большого взрыва , включая текущую модель ΛCDM . ^[10] Поскольку модель FLRW предполагает однородность, некоторые популярные теории ошибочно утверждают, что модель Большого взрыва не может объяснить наблюдаемую комковатость Вселенной. В строго модели FLRW нет скоплений галактик или звезд, поскольку это объекты, гораздо более плотные, чем типичная часть Вселенной. Тем не менее, модель FLRW используется в качестве первого приближения для эволюции реальной комковатой Вселенной, поскольку ее легко вычислить, а модели, рассчитывающие комковатость Вселенной, добавляются к моделям FLRW в качестве расширений. Большинство космологов согласны с тем, что наблюдаемая Вселенная хорошо аппроксимируется моделью, близкой к FLRW , то есть моделью, которая следует метрике FLRW, за исключением первичных флуктуаций плотности . По состоянию на 2003 год ^[update]теоретические последствия различных расширений модели FLRW кажутся хорошо понятными, и цель состоит в том, чтобы привести их в соответствие с наблюдениями COBE и WMAP .

Интерпретация

Приведенная выше пара уравнений эквивалентна следующей паре уравнений

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {\kappa c^{4}}{6}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

где , индекс пространственной кривизны, служащий константой интегрирования для первого уравнения. ${\displaystyle k}$

Первое уравнение может быть получено также из термодинамических соображений и эквивалентно первому закону термодинамики , если предположить, что расширение Вселенной является адиабатическим процессом (который неявно предполагается при выводе метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера).

Второе уравнение утверждает, что и плотность энергии, и давление вызывают уменьшение скорости расширения Вселенной , т. е. оба вызывают замедление расширения Вселенной. Это следствие гравитации , при этом давление играет роль, аналогичную роли плотности энергии (или массы), согласно принципам общей теории относительности . С другой стороны, космологическая постоянная вызывает ускорение расширения Вселенной. ${\displaystyle {\dot {a}}}$

Космологическая постоянная

Космологическую постоянную можно опустить, если сделать следующие замены

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{\kappa c^{2}}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda }{\kappa }}.}$

Следовательно, космологическую константу можно интерпретировать как возникающую из формы энергии, имеющей отрицательное давление, равное по величине ее (положительной) плотности энергии:

${\displaystyle p=-\rho c^{2}\,,}$

которое представляет собой уравнение состояния вакуума с темной энергией .

Попытка обобщить это на

${\displaystyle p=w\rho c^{2}}$

без дальнейших модификаций не будет иметь общей инвариантности .

Фактически, чтобы получить член, вызывающий ускорение расширения Вселенной, достаточно иметь скалярное поле , удовлетворяющее условиям

${\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.}$

Такое поле иногда называют квинтэссенцией .

Ньютоновская интерпретация

Это принадлежит МакКри и Милну ^[11] , хотя иногда ошибочно приписывается Фридману. Уравнения Фридмана эквивалентны этой паре уравнений:

${\displaystyle -a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {\kappa c^{4}a^{3}\rho }{6a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.}$

Первое уравнение говорит, что уменьшение массы, содержащейся в фиксированном кубе (сторона которого на данный момент равна a ), представляет собой количество, которое уходит через стороны из-за расширения Вселенной, плюс массовый эквивалент работы, совершаемой давлением на материал. быть изгнанным. Это сохранение массы-энергии ( первый закон термодинамики ), содержащейся в некоторой части Вселенной.

Второе уравнение говорит, что кинетическая энергия (видимая из начала координат) частицы единичной массы, движущейся с расширением, плюс ее (отрицательная) гравитационная потенциальная энергия (относительно массы, содержащейся в сфере материи ближе к началу координат) равна константе, связанной с кривизной Вселенной. Другими словами, энергия (относительно начала координат) сопутствующей частицы в свободном падении сохраняется. Общая теория относительности просто добавляет связь между пространственной кривизной Вселенной и энергией такой частицы: положительная полная энергия подразумевает отрицательную кривизну, а отрицательная полная энергия подразумевает положительную кривизну.

Предполагается, что член космологической постоянной рассматривается как темная энергия и, таким образом, объединяется с членами плотности и давления.

В эпоху Планка нельзя было пренебрегать квантовыми эффектами. Поэтому они могут вызвать отклонение от уравнений Фридмана.

Имя и история

Советский математик Александр Фридман впервые получил основные результаты модели FLRW в 1922 и 1924 годах. ^{[12] [13]} Хотя престижный физический журнал Zeitschrift für Physik опубликовал его работу, она осталась относительно незамеченной его современниками. Фридман находился в прямом контакте с Альбертом Эйнштейном , который от имени Zeitschrift für Physik выступал в качестве научного рецензента работ Фридмана. В конце концов Эйнштейн признал правильность расчетов Фридмана, но не смог оценить физическое значение предсказаний Фридмана.

Фридман умер в 1925 году. В 1927 году Жорж Леметр , бельгийский священник, астроном и периодический профессор физики в Католическом университете Левена , независимо пришел к результатам, аналогичным результатам Фридмана, и опубликовал их в « Анналах научного общества Брюсселя» (Annales de la Société Scientifique de Bruxelles) ( Анналы Брюссельского научного общества). ^{[14] [15]} На фоне наблюдательных данных о расширении Вселенной, полученных Эдвином Хабблом в конце 1920-х годов, результаты Леметра были замечены, в частности, Артуром Эддингтоном , а в 1930–31 годах статья Леметра была переведена на английский и опубликовано в « Ежемесячных уведомлениях Королевского астрономического общества» .

Говард П. Робертсон из США и Артур Джеффри Уокер из Великобритании продолжили изучение этой проблемы в 1930-е годы. ^{[16] [17] [18] [19]} В 1935 году Робертсон и Уокер строго доказали, что метрика FLRW является единственной в пространстве-времени, которая является пространственно однородной и изотропной (как отмечалось выше, это геометрический результат и не связан в частности, к уравнениям общей теории относительности, которые всегда предполагались Фридманом и Леметром).

Это решение, часто называемое метрикой Робертсона-Уокера, поскольку они доказали его общие свойства, отличается от динамических моделей «Фридмана-Леметра» , которые являются конкретными решениями для a ( t ), которые предполагают, что единственным вкладом в энергию напряжения является холод. материя («пыль»), излучение и космологическая постоянная.

Радиус Вселенной по Эйнштейну

Радиус Вселенной Эйнштейна — это радиус кривизны пространства Вселенной Эйнштейна , давно заброшенной статической модели , которая должна была представлять нашу Вселенную в идеализированной форме. положить

${\displaystyle {\dot {a}}={\ddot {a}}=0}$

в уравнении Фридмана радиус кривизны пространства этой Вселенной (радиус Эйнштейна) равен ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle R_{\text{E}}=c/{\sqrt {4\pi G\rho }},}$

где – скорость света, – гравитационная постоянная Ньютона , – плотность пространства этой вселенной. Числовое значение радиуса Эйнштейна порядка 10 ¹⁰ световых лет , или 10 миллиардов световых лет. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$

Текущее состояние

Нерешенная задача по физике :

Является ли Вселенная однородной и изотропной на достаточно больших масштабах, как утверждает космологический принцип и предполагается всеми моделями, использующими метрику Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера, включая текущую версию ΛCDM, или Вселенная неоднородна или анизотропна? ^{[20] [21] [22]} Является ли диполь реликтового излучения чисто кинематическим или он сигнализирует о возможном нарушении метрики FLRW? ^[20] Даже если космологический принцип верен, действительна ли метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера в поздней Вселенной? ^{[20] [23]}

(еще нерешенные задачи по физике)

Текущая стандартная модель космологии, модель Lambda-CDM , использует метрику FLRW. Объединив данные наблюдений некоторых экспериментов, таких как WMAP и Planck, с теоретическими результатами теоремы Элерса-Герена-Сакса и ее обобщения, ^[24] астрофизики теперь пришли к выводу, что ранняя Вселенная почти однородна и изотропна (при усреднении по очень большому масштабу). ) и, таким образом, почти пространство-время FLRW. При этом попытки подтвердить чисто кинематическую интерпретацию диполя космического микроволнового фона (CMB) посредством исследований радиогалактик ^[25] и квазаров ^[26] показывают разногласия в величине. Если принять эти наблюдения за чистую монету, эти наблюдения противоречат тому, что Вселенная описывается метрикой FLRW. Более того, можно утверждать, что существует максимальное значение постоянной Хаббла в рамках космологии FLRW, допускаемое текущими наблюдениями, км/с/Мпк, и в зависимости от того, как сходятся локальные определения, это может указывать на нарушение метрики FLRW в поздней Вселенной, что требует объяснения, выходящего за рамки метрики FLRW. ^{[27] [20]} ${\displaystyle H_{0}=71\pm 1}$

Рекомендации

1. Более раннюю ссылку см. Робертсон (1935); Робертсон предполагает множественную связность в случае положительной кривизны и говорит, что «мы все еще можем восстановить» простую связность.
2. М. Лачиез-Рей; Ж.-П. Люминет (1995), «Космическая топология», Physics Reports , 254 (3): 135–214, arXiv : gr-qc/9605010 , Bibcode : 1995PhR...254..135L, doi : 10.1016/0370-1573(94 )00085-H, S2CID  119500217
3. СКФ Эллис; Х. ван Эльст (1999). «Космологические модели (лекции Каржеза, 1998 г.)». В Марке Лакьезе-Ре (ред.). Теоретическая и наблюдательная космология . Научная серия НАТО C. Том. 541. стр. 1–116. arXiv : gr-qc/9812046 . Бибкод : 1999ASIC..541....1E. ISBN 978-0792359463.
4. Л. Бергстрём, А. Губар (2006), Космология и астрофизика элементарных частиц (2-е изд.), Sprint , стр. 2006. 61, ISBN 978-3-540-32924-4
5. Уолд, Роберт. Общая теория относительности . п. 116.
6. Кэрролл, Шон. Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . стр. 329–333.
7. Уолд, Роберт. Общая теория относительности . п. 97.
8. «Космология» (PDF) . п. 23.
9. П. Охеда и Х. Росу (2006), «Суперсимметрия баротропных космологий FRW», Международный журнал теоретической физики , 45 (6): 1191–1196, arXiv : gr-qc/0510004 , Bibcode : 2006IJTP...45.1152 Р, номер документа : 10.1007/s10773-006-9123-2, S2CID  119496918
10. Их решения можно найти в Rosu, Haret C.; Манкас, Южная Каролина; Чен, Писин (05 мая 2015 г.). «Баротропные космологии FRW с затуханием Кьеллини в ближайшем времени». Буквы по современной физике А. 30 (20): 1550100. arXiv : 1502.07033 . Бибкод : 2015МПЛА...3050100Р. дои : 10.1142/S021773231550100x. ISSN  0217-7323. S2CID  51948117.
11. МакКри, Вашингтон; Милн, Э.А. (1934). «Ньютоновские вселенные и искривление пространства». Ежеквартальный математический журнал . 5 : 73–80. Бибкод : 1934QJMat...5...73M. doi : 10.1093/qmath/os-5.1.73.
12. Фридман, Александр (1922), «Über die Krümmung des Raumes», Zeitschrift für Physik A , 10 (1): 377–386, Бибкод : 1922ZPhy...10..377F, doi : 10.1007/BF01332580, S2CID  125190902
13. Фридман, Александр (1924), «Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negater Krümmung des Raumes», Zeitschrift für Physik A , 21 (1): 326–332, Бибкод : 1924ZPhy...21..326F, doi : 10.1007 /BF01328280, S2CID  120551579английский пер. в «Общей теории относительности и гравитации», 1999 г., том 31, 31–.
14. Леметр, Жорж (1931), «Расширение Вселенной. Однородная Вселенная постоянной массы и увеличивающегося радиуса с учетом лучевой скорости внегалактических туманностей», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 91 (5): 483– 490, Бибкод : 1931MNRAS..91..483L, doi : 10.1093/mnras/91.5.483 перевод из Лемэтра, Жоржа (1927), «Un univers homogène de Masse Constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiusale des nebuleuses extra-galactiques», Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , A47 : 49–56, Bibcode : 1927ASSB ...47...49л
15. Леметр, Жорж (1933), «L'Univers en Expansion», Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , A53 : 51–85, Бибкод : 1933ASSB...53...51L
16. Робертсон, HP (1935), «Кинематика и мировая структура», Astrophysical Journal , 82 : 284–301, Бибкод : 1935ApJ....82..284R, doi : 10.1086/143681
17. Робертсон, HP (1936), «Кинематика и структура мира II», Astrophysical Journal , 83 : 187–201, Бибкод : 1936ApJ....83..187R, doi : 10.1086/143716
18. Робертсон, HP (1936), «Кинематика и структура мира III», Astrophysical Journal , 83 : 257–271, Бибкод : 1936ApJ....83..257R, doi : 10.1086/143726
19. Уокер, А.Г. (1937), «О теории мировой структуры Милна», Труды Лондонского математического общества , серия 2, 42 (1): 90–127, Бибкод : 1937PLMS...42...90W, doi :10.1112/plms/s2-42.1.90
20. Эльсио Абдалла; Гильермо Франко Абеллан; и другие. (11 марта 2022 г.), «Переплетенная космология: обзор физики элементарных частиц, астрофизики и космологии, связанной с космологическими напряжениями и аномалиями», Журнал High Energy Astroфизики , 34 : 49, arXiv : 2203.06142v1 , Bibcode : 2022JHEAp.. 34...49А, doi :10.1016/j.jheap.2022.04.002, S2CID  247411131
21. Ли Биллингс (15 апреля 2020 г.). «Живем ли мы в однобокой Вселенной?». Научный американец . Проверено 24 марта 2022 г.
22. Мигкас, К.; Шелленбергер, Г.; Райприх, TH; Пако, Ф.; Рамос-Сеха, Мэн; Ловисари, Л. (8 апреля 2020 г.). «Исследование космической изотропии с помощью нового образца рентгеновского скопления галактик с помощью масштабного соотношения LX-T». Астрономия и астрофизика . 636 (апрель 2020 г.): 42. arXiv : 2004.03305 . Бибкод : 2020A&A...636A..15M. дои : 10.1051/0004-6361/201936602. S2CID  215238834 . Проверено 24 марта 2022 г.
23. Кришнан, Четан; Мохаяи, Ройя; Колгайн, Эоин О; Шейх-Джаббари, ММ; Инь, Лу (16 сентября 2021 г.). «Сигнализирует ли напряжение Хаббла о разрушении космологии FLRW?». Классическая и квантовая гравитация . 38 (18): 184001. arXiv : 2105.09790 . Бибкод : 2021CQGra..38r4001K. дои : 10.1088/1361-6382/ac1a81. ISSN  0264-9381. S2CID  234790314.
24. См. стр. 351 и далее. в Хокинге, Стивене В.; Эллис, Джордж Ф.Р. (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09906-6. Оригинальная работа: Элерс Дж., Герен П., Сакс Р.К.: Изотропные решения уравнений Эйнштейна-Лиувилля. Дж. Математика. Физ. 9, 1344 (1968). Обобщение см. в Stoeger, WR; Мартенс, Р; Эллис, Джордж (2007), «Доказательство почти однородности Вселенной: почти теорема Элерса-Герена-Сакса», Astrophys. J. , 39 : 1–5, Бибкод : 1995ApJ...443....1S, doi : 10.1086/175496.
25. См. Siewert et al. за недавнее резюме результатов Зиверт, Тило М.; Шмидт-Рубарт, Матиас; Шварц, Доминик Дж. (2021). «Космический радиодиполь: оценки и частотная зависимость». Астрономия и астрофизика . 653 : А9. arXiv : 2010.08366 . Бибкод : 2021A&A...653A...9S. дои : 10.1051/0004-6361/202039840. S2CID  223953708.
26. Секрет, Натан Дж.; Хаузеггер, Себастьян фон; Рамиз, Мохамед; Мохаяи, Ройя; Саркар, Субир; Колен, Жак (25 февраля 2021 г.). «Проверка космологического принципа с квазарами». Астрофизический журнал . 908 (2): L51. arXiv : 2009.14826 . Бибкод : 2021ApJ...908L..51S. дои : 10.3847/2041-8213/abdd40 . S2CID  222066749.
27. Кришнан, Четан; Мохаяи, Ройя; О Колгейн, Эоин; Шейх-Джаббари, ММ; Инь, Лу (25 мая 2021 г.). «Является ли напряжение Хаббла сигналом о нарушении космологии FLRW?». Классическая и квантовая гравитация . 38 (18): 184001. arXiv : 2105.09790 . Бибкод : 2021CQGra..38r4001K. дои : 10.1088/1361-6382/ac1a81. S2CID  234790314.

дальнейшее чтение

• Норт Дж.Д.: (1965) Мера Вселенной – история современной космологии , Оксфордский университет. Пресса, переиздание Дувра, 1990 г., ISBN 0-486-66517-8. 
• Харрисон, Э.Р. (1967), «Классификация однородных космологических моделей», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 137 : 69–79, Бибкод : 1967MNRAS.137...69H, doi : 10.1093/mnras/137.1.69
• д'Инверно, Рэй (1992), Знакомство с теорией относительности Эйнштейна , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8. (См. главу 23, где представлено особенно четкое и краткое введение в модели FLRW.)