stringtranslate.com

Линейная карта

В математике , а точнее в линейной алгебре , линейное отображение (также называемое линейным отображением , линейным преобразованием , гомоморфизмом векторного пространства или в некоторых контекстах линейной функцией ) — это отображение между двумя векторными пространствами , которое сохраняет операции сложения векторов и скалярного умножения . Те же названия и то же определение используются также для более общего случая модулей над кольцом ; см. Гомоморфизм модулей .

Если линейное отображение является биекцией , то оно называетсялинейный изоморфизм . В случае, когда, линейное отображение называетсялинейным эндоморфизмом. Иногда терминЛинейный оператор относится к этому случаю,[1]но термин «линейный оператор» может иметь разные значения для разных соглашений: например, его можно использовать, чтобы подчеркнуть, чтоиявляютсядействительнымивекторными пространствами (не обязательно с),[ необходима ссылка ]или его можно использовать, чтобы подчеркнуть, чтоявляетсяфункциональным пространством, что является общим соглашением вфункциональном анализе.[2]Иногда термин линейная функция имеет то же значение, что илинейное отображение, в то время как ванализеэто не так.

Линейное отображение из в всегда отображает начало координат в начало координат . Более того, оно отображает линейные подпространства в на линейные подпространства в (возможно, меньшей размерности ); [3] например, оно отображает плоскость , проходящую через начало координат в , либо в плоскость, проходящую через начало координат в , либо в прямую, проходящую через начало координат в , либо просто в начало координат в . Линейные отображения часто можно представить в виде матриц , и простые примеры включают линейные преобразования вращения и отражения .

На языке теории категорий линейные отображения являются морфизмами векторных пространств и образуют категорию, эквивалентную категории матриц .

Определение и первые последствия

Пусть и — векторные пространства над одним и тем же полем . Функция называется линейным отображением , если для любых двух векторов и любого скаляра выполняются следующие два условия:

Таким образом, говорят, что линейное отображение сохраняет операции . Другими словами, не имеет значения, применяется ли линейное отображение до (правые стороны приведенных выше примеров) или после (левые стороны примеров) операций сложения и скалярного умножения.

В силу ассоциативности операции сложения, обозначаемой как +, для любых векторов и скаляров выполняется следующее равенство: [4] [5] Таким образом, линейное отображение — это отображение, сохраняющее линейные комбинации .

Обозначая нулевые элементы векторных пространств и через и соответственно, получаем, что Пусть и в уравнении однородности степени 1:

Линейное отображение , рассматриваемое как одномерное векторное пространство над собой, называется линейным функционалом . [6]

Эти утверждения обобщаются на любой левый модуль над кольцом без изменений и на любой правый модуль при обращении скалярного умножения.

Примеры

Линейные расширения

Часто линейная карта строится путем ее определения на подмножестве векторного пространства, а затемрасширяющийся по линейности долинейной оболочкиобласти. Предположим,что иявляются векторными пространствами, аявляетсяфункцией,определенной на некотором подмножестве Тогдалинейное расширение до ,еслионо существует, является линейным отображением,определенным на, котороерасширяет[примечание 1](имея в виду, чтодля всех) и принимает свои значения из области значений[9] Когда подмножествоявляется векторным подпространством ,то (-значное) линейное расширениедо всехгарантированно существует, если (и только если)является линейным отображением.[9]В частности, еслиимеет линейное расширение до, то оно имеет линейное расширение до всех

Отображение может быть расширено до линейного отображения тогда и только тогда, когда является целым числом, являются скалярами и являются векторами, такими что тогда обязательно [10] Если линейное расширение существует, то линейное расширение является единственным и выполняется для всех и , как указано выше. [10] Если является линейно независимым, то каждая функция в любом векторном пространстве имеет линейное расширение до (линейного) отображения (обратное также верно).

Например, если и тогда задание и может быть линейно расширено с линейно независимого набора векторов до линейного отображения на Уникальным линейным расширением является отображение, которое отправляет в

Каждый (скалярнозначный) линейный функционал, определенный на векторном подпространстве действительного или комплексного векторного пространства, имеет линейное расширение на все Действительно , теорема Хана–Банаха о доминируемом расширении даже гарантирует, что когда этот линейный функционал доминируется некоторой заданной полунормой (что означает, что справедливо для всех в области ), то существует линейное расширение на , которое также доминируется

Матрицы

Если и являются конечномерными векторными пространствами и для каждого векторного пространства определен базис , то каждое линейное отображение из в может быть представлено матрицей . [ 11] Это полезно, поскольку позволяет выполнять конкретные вычисления. Матрицы дают примеры линейных отображений: если является вещественной матрицей, то описывает линейное отображение (см. Евклидово пространство ).

Пусть будет базисом для . Тогда каждый вектор однозначно определяется коэффициентами в поле :

Если — линейное отображение,

что подразумевает, что функция f полностью определяется векторами . Теперь пусть будет базисом для . Тогда мы можем представить каждый вектор как

Таким образом, функция полностью определяется значениями . Если мы поместим эти значения в матрицу , то мы можем удобно использовать ее для вычисления векторного вывода для любого вектора в . Чтобы получить , каждый столбец из является вектором, соответствующим , как определено выше. Чтобы определить это более четко, для некоторого столбца , соответствующего отображению , где является матрицей из . Другими словами, каждый столбец имеет соответствующий вектор , координаты которого являются элементами столбца . Одна линейная карта может быть представлена ​​многими матрицами. Это происходит потому, что значения элементов матрицы зависят от выбранных оснований.

Матрицы линейного преобразования можно представить визуально:

  1. Матрица для относительно :
  2. Матрица для относительно :
  3. Матрица перехода от к :
  4. Матрица перехода от к :
Связь между матрицами в линейном преобразовании

Таким образом, начиная с нижнего левого угла и ища нижний правый угол , можно было бы умножить слева — то есть, . Эквивалентным методом был бы «более длинный» метод, идущий по часовой стрелке от той же точки, так что умножается слева на , или .

Примеры в двух измерениях

В двумерном пространстве R2 линейные отображения описываются матрицами 2 × 2. Вот несколько примеров :

Если линейная карта состоит только из поворота, отражения и/или равномерного масштабирования, то линейная карта является конформным линейным преобразованием .

Вектор пространства линейных отображений

Композиция линейных отображений линейна: если и линейны, то линейна и их композиция . Из этого следует, что класс всех векторных пространств над заданным полем K вместе с K -линейными отображениями как морфизмами образует категорию .

Обратное линейному отображению, если оно определено, снова является линейным отображением .

Если и линейны, то линейна и их поточечная сумма , которая определяется как .

Если является линейным и является элементом основного поля , то отображение , определяемое , также является линейным.

Таким образом, множество линейных отображений из в себя образует векторное пространство над , [12] иногда обозначаемое . [13] Более того, в случае, когда , это векторное пространство, обозначаемое , является ассоциативной алгеброй относительно композиции отображений , поскольку композиция двух линейных отображений снова является линейным отображением, а композиция отображений всегда ассоциативна. Этот случай более подробно обсуждается ниже.

Снова учитывая конечномерный случай, если были выбраны базисы, то композиция линейных отображений соответствует умножению матриц , сложение линейных отображений соответствует сложению матриц , а умножение линейных отображений на скаляры соответствует умножению матриц на скаляры.

Эндоморфизмы и автоморфизмы

Линейное преобразование является эндоморфизмом ; множество всех таких эндоморфизмов вместе с сложением, композицией и скалярным умножением, как определено выше, образует ассоциативную алгебру с единичным элементом над полем (и, в частности, кольцом ). Мультипликативный единичный элемент этой алгебры является тождественным отображением .

Эндоморфизм , который также является изоморфизмом , называется автоморфизмом . Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, а множество всех автоморфизмов образует группу , группа автоморфизмов которой обозначается через или . Поскольку автоморфизмы — это в точности те эндоморфизмы , которые обладают обратными относительно композиции, — это группа единиц в кольце .

Если имеет конечную размерность , то изоморфна ассоциативной алгебре всех матриц с элементами из . Группа автоморфизмов изоморфна полной линейной группе всех обратимых матриц с элементами из .

Ядро, образ и теорема о ранге–нуле

Если линейно, мы определяем ядро ​​и изображение или диапазон с помощью

является подпространством и является подпространством . Следующая формула размерности известна как теорема ранга–ничтожности : [14]

Число также называется рангом и записывается как , или иногда, ; [15] [16] число называется нулем и записывается как или . [ 15] [16] Если и являются конечномерными, были выбраны основания и представлены матрицей , то ранг и нуль равны рангу и нулю матрицы соответственно.

Козерог

Более тонким инвариантом линейного преобразования является ко- ядро , которое определяется как

Это двойственное понятие к ядру: так же, как ядро ​​является подпространством домена , соядро является факторпространством цели . Формально , имеется точная последовательность

Их можно интерпретировать следующим образом: дано линейное уравнение f ( v ) = w для решения,

Размерность соядра и размерность образа (ранг) в сумме дают размерность целевого пространства. Для конечных размерностей это означает, что размерность факторпространства W / f ( V ) равна размерности целевого пространства за вычетом размерности образа.

В качестве простого примера рассмотрим отображение f : R 2R 2 , заданное как f ( x , y ) = (0, y ). Тогда для того, чтобы уравнение f ( x , y ) = ( a , b ) имело решение, мы должны иметь a = 0 (одно ограничение), и в этом случае пространство решений равно ( x , b ) или, что эквивалентно, (0, b ) + ( x , 0), (одна степень свободы). Ядро может быть выражено как подпространство ( x , 0) < V : значение x является свободой в решении – в то время как коядро может быть выражено через отображение WR , : задан вектор ( a , b ), значение a является препятствием к существованию решения.

Пример, иллюстрирующий бесконечномерный случай, дает отображение f : R R , где b 1 = 0 и b n + 1 = a n для n > 0. Его образ состоит из всех последовательностей с первым элементом 0, и, таким образом, его коядро состоит из классов последовательностей с идентичным первым элементом. Таким образом, в то время как его ядро ​​имеет размерность 0 (оно отображает только нулевую последовательность в нулевую последовательность), его коядро имеет размерность 1. Поскольку область определения и целевое пространство одинаковы, ранг и размерность ядра складываются в ту же сумму , что и ранг и размерность коядра ( ), но в бесконечномерном случае нельзя сделать вывод, что ядро ​​и коядро эндоморфизма имеют одинаковую размерность (0 ≠ 1). Обратная ситуация получается для отображения h : R R , где c n = a n + 1 . Его образом является все целевое пространство, и, следовательно, его соядро имеет размерность 0, но поскольку оно отображает все последовательности, в которых только первый элемент не равен нулю, в нулевую последовательность, его ядро ​​имеет размерность 1.

Индекс

Для линейного оператора с конечномерным ядром и соядром можно определить индекс как: а именно, степени свободы за вычетом числа ограничений.

Для преобразования между конечномерными векторными пространствами это просто разность dim( V ) − dim( W ) по рангу–нулевости. Это дает указание на то, сколько решений или сколько ограничений имеется: если отображение из большего пространства в меньшее, отображение может быть на и, таким образом, будет иметь степени свободы даже без ограничений. И наоборот, если отображение из меньшего пространства в большее, отображение не может быть на и, таким образом, будет иметь ограничения даже без степеней свободы.

Индекс оператора — это в точности эйлерова характеристика 2-членного комплекса 0 → VW → 0. В теории операторов индекс фредгольмовых операторов является объектом изучения, а основным результатом является теорема Атьи–Зингера об индексе . [17]

Алгебраические классификации линейных преобразований

Ни одна классификация линейных отображений не может быть исчерпывающей. Следующий неполный список перечисляет некоторые важные классификации, которые не требуют никакой дополнительной структуры в векторном пространстве.

Пусть V и W обозначают векторные пространства над полем F , а T : VW — линейное отображение.

Мономорфизм

Говорят, что T является инъективным или мономорфизмом, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

  1. T является взаимно-однозначным как отображение множеств .
  2. кер Т = {0 В }
  3. dim(ker T ) = 0
  4. T является моническим или левосократимым, то есть для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : UV и S : UV уравнение TR = TS влечет R = S.
  5. T является левообратимым , то есть существует линейное отображение S : WV такое, что ST является тождественным отображением на V .

Эпиморфизм

Говорят, что T является сюръективным или эпиморфным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

  1. T рассматривается как карта множеств.
  2. коксование T = {0 W }
  3. T является эпическим или сократимым справа, то есть для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : WU и S : WU уравнение RT = ST влечет R = S.
  4. T является обратимым справа , то есть существует линейное отображение S : WV такое, что TS является тождественным отображением на W .

Изоморфизм

Говорят, что T является изоморфизмом , если он является как обратимым слева, так и обратим справа. Это эквивалентно тому, что T является как взаимно-однозначным, так и на ( биекция множеств) или также тому, что T является как эпическим, так и моническим, и, таким образом, является биморфизмом .

Если T : VV — эндоморфизм, то:

Изменение основы

Дано линейное отображение, которое является эндоморфизмом , матрица которого есть A , в базисе B пространства оно преобразует векторные координаты [u] как [v] = A [u]. Поскольку векторы изменяются с инверсией B (векторные координаты контравариантны ), его обратное преобразование есть [v] = B [v'].

Подставляя это в первое выражение, получаем

Следовательно, матрица в новом базисе имеет вид A′ = B −1 AB , где B — матрица данного базиса.

Поэтому линейные отображения называются 1-ко-1-контравариантными объектами или тензорами типа (1, 1) .

Непрерывность

Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами , например, нормированными пространствами , может быть непрерывным . Если его область определения и область определения совпадают, то оно будет непрерывным линейным оператором . Линейный оператор в нормированном линейном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен , например, когда область определения конечномерна. [18] Бесконечномерная область может иметь разрывные линейные операторы .

Примером неограниченного, а значит, разрывного линейного преобразования является дифференцирование на пространстве гладких функций, снабженном супремум-нормой (функция с малыми значениями может иметь производную с большими значениями, в то время как производная 0 равна 0). Для конкретного примера, sin( nx )/ n сходится к 0, но ее производная cos( nx ) не сходится, поэтому дифференцирование не является непрерывным в 0 (и, согласно вариации этого аргумента, оно не является непрерывным нигде).

Приложения

Конкретное применение линейных отображений — геометрические преобразования , например, те, которые выполняются в компьютерной графике , где перемещение, вращение и масштабирование 2D- или 3D-объектов выполняется с использованием матрицы преобразования . Линейные отображения также используются в качестве механизма описания изменений: например, в исчислении соответствуют производным; или в теории относительности используются в качестве устройства для отслеживания локальных преобразований систем отсчета.

Другое применение этих преобразований — оптимизация компилятором кода вложенных циклов и распараллеливание методов компиляции .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "Линейные преобразования V в V часто называются линейными операторами на V ." Рудин 1976, стр. 207
  2. ^ Пусть V и W — два действительных векторных пространства. Отображение a из V в W называется «линейным отображением» или «линейным преобразованием» или «линейным оператором» [...] из V в W , если для всех , для всех и всех действительных λ . Бронштейн и Семендяев 2004, стр. 316

  3. ^ Рудин 1991, стр. 14
    Вот некоторые свойства линейных отображений, доказательства которых настолько просты, что мы их опускаем; предполагается, что и :
    1. Если A является подпространством (или выпуклым множеством , или сбалансированным множеством ), то же самое верно и для
    2. Если B — подпространство (или выпуклое множество, или сбалансированное множество), то же самое верно и для
    3. В частности, множество: является подпространством X , называемым нулевым пространством .
  4. ^ Рудин 1991, стр. 14. Предположим теперь, что X и Y — векторные пространства над одним и тем же скалярным полем . Отображение называется линейным, если для всех и всех скаляров и . Обратите внимание, что часто пишут , а не , когда линейно.
  5. ^ Рудин 1976, стр. 206. Отображение A векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным преобразованием , если: для всех и всех скаляров c . Обратите внимание, что часто пишут вместо , если A линейно.
  6. ^ Рудин 1991, стр. 14. Линейные отображения X на его скалярное поле называются линейными функционалами .
  7. ^ "терминология - Что означает 'linear' в линейной алгебре?". Mathematics Stack Exchange . Получено 2021-02-17 .
  8. ^ Вилански 2013, стр. 21–26.
  9. ^ ab Kubrusly 2001, стр. 57.
  10. ^ аб Шехтер 1996, стр. 277–280.
  11. ^ Рудин 1976, стр. 210 Предположим, что и являются базисами векторных пространств X и Y соответственно. Тогда каждый определяет набор чисел, такой что Удобно представлять эти числа в прямоугольном массиве из m строк и n столбцов, называемом матрицей m на n : Заметим, что координаты вектора (относительно базиса ) появляются в j столбце . Векторы поэтому иногда называют векторами -столбцами . С этой терминологией диапазон A охватывается векторами-столбцами .
  12. ^ Акслер (2015) стр. 52, § 3.3
  13. ^ Ту (2011), стр. 19, § 3.1
  14. ^ Хорн и Джонсон 2013, 0.2.3 Векторные пространства, связанные с матричным или линейным преобразованием, стр. 6
  15. ^ аб Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 52, § 2.5.1
  16. ^ аб Халмош (1974) с. 90, § 50
  17. ^ Нистор, Виктор (2001) [1994], «Теория индексов», Энциклопедия математики , EMS Press: «Главный вопрос в теории индекса — предоставить формулы индекса для классов фредгольмовых операторов... Теория индекса стала самостоятельным предметом только после того, как М. Ф. Атья и И. Зингер опубликовали свои теоремы об индексе»
  18. ^ Рудин 1991, стр. 15 1.18 Теорема Пусть — линейный функционал на топологическом векторном пространстве X . Предположим для некоторого . Тогда каждое из следующих четырех свойств влечет остальные три:
    1. является непрерывным
    2. Нулевое пространство закрыто.
    3. не плотно в X.
    4. ограничено в некоторой окрестности V нуля.
  1. ^ Говорят, что одна карта расширяет другую карту, если когда определено в точке , то также и

Библиография