Многообразие Калаби – Яу

Риманово многообразие с SU(n)-голономией

Двумерный срез шестимерного многообразия квинтики Калаби – Яу.

В алгебраической и дифференциальной геометрии многообразие Калаби -Яу , также известное как пространство Калаби-Яу , представляет собой особый тип многообразия , который обладает такими свойствами, как плоскостность Риччи , что дает приложения в теоретической физике . В частности, в теории суперструн иногда предполагают , что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби-Яу, что привело к идее зеркальной симметрии . Их название было придумано Канделасом и др. (1985), после Эухенио Калаби  (1954, 1957), который первым предположил, что такие поверхности могут существовать, и Шинг-Тунг Яу  (1978), который доказал гипотезу Калаби .

Многообразия Калаби–Яу — это комплексные многообразия , которые являются обобщениями поверхностей K3 любого числа комплексных измерений (т. е. любого четного числа действительных измерений ). Первоначально они были определены как компактные кэлеровы многообразия с исчезающим первым классом Черна и Риччи-плоской метрикой, хотя иногда используется множество других подобных, но неэквивалентных определений.

Определения

Мотивационное определение, данное Шинг-Тунг Яу, представляет собой компактное кэлерово многообразие с исчезающим первым классом Черна, которое также является плоским по Риччи. ^[1]

Существует множество других определений многообразия Калаби – Яу, используемых разными авторами, некоторые из которых неэквивалентны. В этом разделе суммированы некоторые из наиболее распространенных определений и отношений между ними.

-складку Калаби–Яу или многообразие Калаби–Яу (комплексной) размерности иногда определяют как компактное -мерное кэлерово многообразие , удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• Канонический расслоение тривиально . ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$имеет голоморфную -форму, никуда не исчезающую. ${\displaystyle n}$
• Структурную группу касательного расслоения можно свести от унитарной группы к специальной унитарной группе . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle SU(n)}$
• ${\displaystyle M}$имеет метрику Кэлера с глобальной голономией , содержащуюся в . ${\displaystyle SU(n)}$

Эти условия означают, что первый целочисленный класс Чженя обращается в нуль. Тем не менее, обратное неверно. Простейшими примерами, когда это происходит, являются гиперэллиптические поверхности , конечные факторы комплексного тора комплексной размерности 2, которые имеют нулевой первый целочисленный класс Чженя, но нетривиальное каноническое расслоение. ${\displaystyle c_{1}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Для компактного -мерного кэлерова многообразия следующие условия эквивалентны друг другу, но слабее приведенных выше условий, хотя иногда их используют в качестве определения многообразия Калаби–Яу: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$имеет исчезающий первый реальный класс Черна.
• ${\displaystyle M}$имеет кэлерову метрику с исчезающей кривизной Риччи.
• ${\displaystyle M}$имеет метрику Кэлера с локальной голономией , содержащейся в . ${\displaystyle SU(n)}$
• Положительная степень канонического расслоения тривиальна . ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$имеет конечное накрытие, имеющее тривиальное каноническое расслоение.
• ${\displaystyle M}$имеет конечное накрытие, являющееся произведением тора и односвязного многообразия с тривиальным каноническим расслоением.

Если компактное кэлерово многообразие односвязно, то слабое определение, приведенное выше, эквивалентно более сильному определению. Поверхности Энриквеса дают примеры комплексных многообразий, которые имеют Риччи-плоские метрики, но их канонические расслоения нетривиальны, поэтому они являются многообразиями Калаби – Яу согласно второму, но не первому определению, приведенному выше. С другой стороны, их двойные накрытия являются многообразиями Калаби–Яу для обоих определений (фактически это поверхности типа К3).

Безусловно, самая сложная часть доказательства эквивалентности между различными вышеперечисленными свойствами — это доказательство существования риччи-плоских метрик. Это следует из доказательства Яу гипотезы Калаби , из которого следует, что компактное кэлерово многообразие с исчезающим первым вещественным классом Черна имеет кэлерову метрику в том же классе с нулевой кривизной Риччи. (Класс кэлеровой метрики — это класс когомологий ассоциированной с ней 2-формы.) Калаби показал, что такая метрика уникальна.

Иногда используется множество других неэквивалентных определений многообразий Калаби – Яу, которые отличаются (среди прочего) следующими способами:

• Первый класс Чженя может исчезнуть как целочисленный класс или как вещественный класс.
• Большинство определений утверждают, что многообразия Калаби–Яу компактны, но некоторые допускают их некомпактность. При обобщении на некомпактные многообразия разница должна асимптотически исчезать. Здесь – кэлерова форма, связанная с кэлеровой метрикой, . ^[2] ${\displaystyle (\Omega \wedge {\bar {\Omega }}-\omega ^{n}/n!)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$
• Некоторые определения накладывают ограничения на фундаментальную группу многообразия Калаби – Яу, например, требуют, чтобы она была конечной или тривиальной. Любое многообразие Калаби–Яу имеет конечное накрытие, являющееся произведением тора и односвязного многообразия Калаби–Яу.
• Некоторые определения требуют, чтобы голономия была точно равна, а не ее подгруппе, что означает, что числа Ходжа равны нулю для . Абелевы поверхности имеют плоскую метрику Риччи с голономией, строго меньшей (фактически тривиальной), поэтому не являются многообразиями Калаби – Яу согласно таким определениям. ${\displaystyle SU(n)}$ ${\displaystyle h^{i,0}}$ ${\displaystyle 0<i<\dim(M)}$ ${\displaystyle SU(2)}$
• Большинство определений предполагают, что многообразие Калаби – Яу имеет риманову метрику, но некоторые рассматривают их как комплексные многообразия без метрики.
• Большинство определений предполагают, что многообразие неособо, но некоторые допускают умеренные особенности. Хотя класс Черна не может быть четко определен для сингулярных многообразий Калаби–Яу, каноническое расслоение и канонический класс все же могут быть определены, если все особенности являются горенштейновыми , и поэтому могут использоваться для расширения определения гладкого многообразия Калаби–Яу до возможно, единственное многообразие Калаби – Яу.

Примеры

Фундаментальный факт заключается в том, что любое гладкое алгебраическое многообразие , вложенное в проективное пространство, является кэлеровым многообразием, поскольку существует естественная метрика Фубини–Студи на проективном пространстве, которую можно ограничить до алгебраического многообразия. По определению, если ω — кэлерова метрика на алгебраическом многообразии X и каноническое расслоение K _X тривиально, то X — Калаби–Яу. Более того, существует единственная кэлерова метрика ω на X такая, что [ ω ₀ ] = [ ω ] ∈  H ² ( X , R ), факт, выдвинутый Эудженио Калаби и доказанный Шинг-Тунгом Яу (см. гипотезу Калаби ).

Алгебраические кривые Калаби–Яу

В одном комплексном измерении единственными компактными примерами являются торы , которые образуют однопараметрическое семейство. Риччи-плоская метрика на торе на самом деле является плоской метрикой , так что голономия — это тривиальная группа SU(1). Одномерное многообразие Калаби–Яу — комплексная эллиптическая кривая , в частности, алгебраическая .

Алгебраические поверхности CY

В двух комплексных измерениях поверхности К3 представляют собой единственные компактные односвязные многообразия Калаби–Яу. Они могут быть построены как поверхности квартики в , такие как комплексное алгебраическое многообразие, определяемое исчезающим локусом ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$для ${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]\in \mathbb {P} ^{3}}$

Другие примеры можно построить как эллиптические расслоения, ^[3] как факторы абелевых поверхностей, ^[4] или как полные пересечения .

Неодносвязные примеры дают абелевы поверхности , которые представляют собой действительные четыре тора, снабженные сложной структурой многообразия. Поверхности Энриквеса и гиперэллиптические поверхности имеют первый класс Чженя, который обращается в нуль как элемент вещественной группы когомологий, но не как элемент целой группы когомологий, поэтому теорема Яу о существовании риччи-плоской метрики по-прежнему применима к ним, но они иногда не считаются многообразиями Калаби–Яу. Абелевы поверхности иногда исключаются из классификации Калаби–Яу, поскольку их голономия (снова тривиальная группа) является собственной подгруппой SU (2), а не изоморфна SU (2). Однако подмножество поверхности Энриквеса не полностью соответствует подгруппе SU(2) в ландшафте теории струн . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{4}}$

CY тройной

В трех комплексных измерениях классификация возможных многообразий Калаби–Яу является открытой проблемой, хотя Яу подозревает, что существует конечное число семейств (хотя и гораздо большее, чем его оценка, сделанная 20 лет назад). В свою очередь, Майлз Рид также высказал гипотезу, что число топологических типов трехмерных многообразий Калаби–Яу бесконечно и что все они могут непрерывно преобразовываться (посредством определенных мягких сингуляризаций, таких как конифолды ) один в другой - во многом как Римановы поверхности могут. ^[5] Одним из примеров трехмерного многообразия Калаби–Яу является неособое трехмерное многообразие пятой степени в CP 4 , которое представляет собой алгебраическое многообразие, состоящее из всех нулей однородного многочлена пятой степени в однородных координатах CP ⁴ . Другой пример — гладкая модель квинтики Барта–Ньето . Некоторые дискретные факторы квинтики по различным действиям Z ₅ также являются Калаби–Яу и получили большое внимание в литературе. Один из них связан с исходной квинтикой зеркальной симметрией .

Для каждого натурального числа n нулевое множество в однородных координатах комплексного проективного пространства CP ^{n +1} неособого однородного полинома степени n  + 2 от n  + 2 переменных является компактным n -многообразием Калаби–Яу. Случай n  = 1 описывает эллиптическую кривую, а при n  = 2 получается поверхность К3.

В более общем смысле многообразия/орбифолды Калаби–Яу можно найти как взвешенные полные пересечения во взвешенном проективном пространстве . Основным инструментом нахождения таких пространств является формула присоединения .

Все гиперкэлеровы многообразия являются многообразиями Калаби–Яу.

Построен из алгебраических кривых

Для алгебраической кривой квазипроективное трехмерное многообразие Калаби-Яу может быть построено ^[6] как тотальное пространство, где . Для канонической проекции мы можем найти относительное касательное расслоение, используя относительную касательную последовательность ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V={\text{Tot}}({\mathcal {L}}_{1}\oplus {\mathcal {L}}_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}\otimes {\mathcal {L}}_{2}\cong \omega _{C}}$ ${\displaystyle p:V\to C}$ ${\displaystyle T_{V/C}}$ ${\displaystyle p^{*}({\mathcal {L}}_{1}\oplus {\mathcal {L}}_{2})}$

${\displaystyle 0\to T_{V/C}\to T_{V}\to p^{*}T_{C}\to 0}$

и наблюдаем единственные касательные векторы в слое, которых нет в прообразе канонически связанных со слоями векторного расслоения. Используя это, мы можем использовать относительную котангенс последовательность ${\displaystyle p^{*}T_{C}}$

${\displaystyle 0\to p^{*}\Omega _{C}\to \Omega _{V}\to \Omega _{V/C}\to 0}$

вместе со свойствами клиновых степеней, которые

${\displaystyle \omega _{V}=\bigwedge ^{3}\Omega _{V}\cong f^{*}\omega _{C}\otimes \bigwedge ^{2}\Omega _{V/C}}$

и придавая тривиальность . ${\displaystyle \Omega _{V/C}\cong {\mathcal {L}}_{1}^{*}\oplus {\mathcal {L}}_{2}^{*}}$ ${\displaystyle \omega _{V}}$

Построен из алгебраических поверхностей

Используя тот же аргумент, что и для кривых, все пространство канонического пучка алгебраической поверхности образует трехмерное многообразие Калаби-Яу. Простой пример — проективное пространство. ${\displaystyle {\text{Tot}}(\omega _{S})}$ ${\displaystyle \omega _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Tot}}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(-3))}$

Приложения в теории суперструн

Многообразия Калаби–Яу играют важную роль в теории суперструн . По сути, многообразия Калаби-Яу представляют собой формы, которые удовлетворяют требованию пространства для шести «невидимых» пространственных измерений теории струн, которые могут быть меньше наших наблюдаемых в настоящее время длин, поскольку они еще не обнаружены. Популярная альтернатива, известная как большие дополнительные измерения , которая часто встречается в моделях мира бран , заключается в том, что Калаби–Яу велико, но мы ограничены небольшим подмножеством, на котором оно пересекает D-брану . В настоящее время исследуются дальнейшие расширения в более высокие измерения с дополнительными ответвлениями для общей теории относительности .

В наиболее традиционных моделях суперструн предполагается, что десять предполагаемых измерений в теории струн представляют собой четыре известных нам измерения, несущих некое расслоение с размерностью волокна шесть. Компактификация на n -складках Калаби–Яу важна, поскольку она оставляет часть исходной суперсимметрии ненарушенной. Точнее, в отсутствие потоков компактификация в трехмерном многообразии Калаби–Яу (действительная размерность 6) оставляет одну четверть исходной суперсимметрии ненарушенной, если голономия представляет собой полную SU(3).

В более общем смысле, безпоточная компактификация на n -многообразии с голономией SU( n ) оставляет 2 ^{1− n} исходной суперсимметрии ненарушенной, что соответствует 2 ^{6− n} суперзарядам в компактификации супергравитации типа II или 2 ^{5− n} суперзарядам. в компактификации типа I. Когда включены потоки, условие суперсимметрии вместо этого означает, что многообразие компактификации является обобщенным Калаби – Яу - понятие, введенное Хитчином (2003). Эти модели известны как компактификации потока .

Компактификации F-теории на различных четырехмерных многообразиях Калаби – Яу предоставляют физикам метод нахождения большого количества классических решений в так называемом ландшафте теории струн .

С каждой дыркой в ​​пространстве Калаби–Яу связана группа низкоэнергетических колебательных моделей струн. Поскольку теория струн утверждает, что наши знакомые элементарные частицы соответствуют низкоэнергетическим колебаниям струн, наличие нескольких дырок приводит к тому, что струнные структуры распадаются на несколько групп или семейств . Хотя следующее утверждение было упрощено, оно передает логику аргумента: если Калаби-Яу имеет три дырки, то экспериментально будут наблюдаться три семейства колебательных паттернов и, следовательно, три семейства частиц.

Логично, что, поскольку струны колеблются во всех измерениях, форма скрученных струн будет влиять на их колебания и, следовательно, на свойства наблюдаемых элементарных частиц. Например, Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен показали, что массы частиц зависят от способа пересечения различных дырок в модели Калаби-Яу. Другими словами, Строминджер и Виттен обнаружили, что положение дырок относительно друг друга и вещества пространства Калаби–Яу определенным образом влияет на массы частиц. Это справедливо для всех свойств частиц. ^[7]

Алгебра Калаби-Яу

Алгебра Калаби –Яу была введена Виктором Гинзбургом для переноса геометрии многообразия Калаби–Яу в некоммутативную алгебраическую геометрию . ^{[8] [9]}

Смотрите также

• Квинтик тройной
• Коллектор G2

Рекомендации

Коллектор Калаби Яу был предметом статьи, написанной в соавторстве с Шелдоном Купером в телесериале «Молодой Шелдон».

Цитаты

1. Яу и Надис (2010).
2. Тиан и Яу (1991).
3. Пропп, Орон Ю. (22 мая 2019 г.). «Построение явных спектров К3». п. 4. arXiv : 1810.08953 [math.AT].
4. Шимик, Маркус (12 февраля 2020 г.). «Спектры К3». Бюллетень Лондонского математического общества . 42 : 137–148. arXiv : 2002.04879 . дои : 10.1112/blms/bdp106. S2CID  1070427.
5. Рид, Майлз (1987). «Пространство модулей трехмерных многообразий с K  = 0, тем не менее, может быть неприводимым». Математические Аннален . 278 (1–4): 329–334. дои : 10.1007/bf01458074. S2CID  120390363.
6. Сзендрой, Балаж (27 апреля 2016 г.). «Когомологическая теория Дональдсона-Томаса». arXiv : 1503.07349 [math.AG].
7. «Форма свернутых измерений» . Архивировано из оригинала 13 сентября 2006 года.
8. Гинзбург, Виктор (2007). «Алгебры Калаби-Яу». arXiv : math/0612139 .
9. Шедлер, Трэвис (2019). «Деформации алгебр в некоммутативной геометрии». arXiv : 1212.0914 [math.RA].

Цитируемые работы

• Калаби, Эухенио (1954), «Пространство кэлеровой метрики», Proc. Интерн. Конгресс математики. Амстердам , том. 2, стр. 206–207, заархивировано из оригинала 17 июля 2011 г.
• Калаби, Эухенио (1957), «О кэлеровых многообразиях с исчезающим каноническим классом», в Фоксе, Ральф Х .; Спенсер, Дональд С .; Такер, Альберт В. (ред.), Алгебраическая геометрия и топология. Симпозиум в честь С. Лефшеца, Princeton Mathematical Series, vol. 12, Princeton University Press , стр. 78–89, ISBN. 9780691079073, МР  0085583
• Канделас, Филип; Горовиц, Гэри; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985), «Вакуумные конфигурации для суперструн», Nuclear Physics B , 258 : 46–74, Bibcode : 1985NuPhB.258...46C, doi : 10.1016/0550-3213(85)90602-9, заархивировано из оригинал от 20 декабря 2012 г.
• Хитчин, Найджел (2003), «Обобщенные многообразия Калаби – Яу», The Quarterly Journal of Mathematics , 54 (3): 281–308, arXiv : math.DG/0209099 , CiteSeerX  10.1.1.237.8935 , doi : 10.1093/qmath /hag025, MR  2013140
• Тиан, Банда; Яу, Шинг-Тунг (1991), «Полные кэлеровы многообразия с нулевой кривизной Риччи, II», Инвент. Математика. , 106 (1): 27–60, Bibcode : 1991InMat.106...27T, doi : 10.1007/BF01243902, S2CID  122638262
• Яу, Шинг Тунг (1978), «О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I», Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339–411, doi : 10.1002/cpa .3160310304, МР  0480350
• Яу, Шинг-Тунг (2009a), «Обзор многообразий Калаби – Яу», Геометрия, анализ и алгебраическая геометрия: сорок лет журнала «Дифференциальная геометрия» , Обзоры по дифференциальной геометрии, том. 13, Сомервилл, Массачусетс: Int. Пресс, стр. 277–318, doi : 10.4310/SDG.2008.v13.n1.a9 , MR  2537089
• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010), Форма внутреннего пространства , Basic Books, ISBN 978-0-465-02023-2

дальнейшее чтение

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-15279-8, OCLC  13793300
• Бини; Яконо (2016), Классы диффеоморфизма многообразий Калаби – Яу (PDF) , arXiv : 1612.04311 , Bibcode : 2016arXiv161204311B
• Чан, Ят-Минг (2004), Десингуляризация трехмерных многообразий Калаби-Яу с конической особенностью , arXiv : math/0410260 , Bibcode : 2004math.....10260C
• Грин, Брайан (1997), Теория струн на многообразиях Калаби – Яу, Поля, струны и двойственность (Боулдер, Колорадо, 1996), Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Sci. Publ., стр. 543–726, arXiv : hep-th/9702155v1 , Bibcode : 1997hep.th....2155G, MR  1479700
• Гросс, М.; Хайбрехтс, Д.; Джойс, Доминик (2003), Многообразия Калаби-Яу и связанные с ними геометрии , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-19004-9 , ISBN 978-3-540-44059-8, МР  1963559, OCLC  50695398
• Он, Ян-Ху (2021), Пейзаж Калаби-Яу: от геометрии к физике и машинному обучению , Швейцария: Springer International Publishing, ISBN 978-3-030-77562-9
• Хюбш, Тристан (1994), Многообразия Калаби – Яу: бестиарий для физиков, Сингапур, Нью-Йорк: World Scientific , ISBN 978-981-02-1927-7, OCLC  34989218, заархивировано из оригинала 13 января 2010 г. , получено 4 февраля 2009 г.
• Джойс, Доминик (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850601-0, OCLC  43864470
• Тиан, Банда; Яу, Шинг-Тунг (1990), «Полные кэлеровы многообразия с нулевой кривизной Риччи, I», J. Amer. Математика. Соц. , 3 (3): 579–609, номер документа : 10.2307/1990928, JSTOR  1990928.
• Яу, ST (2009b), «Многообразие Калаби – Яу», Scholarpedia , 4 (8): 6524, Bibcode : 2009SchpJ...4.6524Y, doi : 10.4249/scholarpedia.6524(аналогично (Яу 2009а))

Внешние ссылки

• Домашняя страница Калаби-Яу представляет собой интерактивный справочник, описывающий множество примеров и классов многообразий Калаби-Яу, а также физические теории, в которых они появляются.
• Видео о вращающемся пространстве Калаби-Яу.
• Пространство Калаби-Яу, автор Эндрю Дж. Хэнсон, с дополнительным вкладом Джеффа Брайанта, Демонстрационный проект Wolfram .
• Вайсштейн, Эрик В. «Пространство Калаби-Яу». Математический мир .

Статьи для начинающих

• Обзор эллиптических расслоений Калаби-Яу.
• Лекции о пейзаже Калаби-Яу
• Расслоения в трехмерных многообразиях CICY - ( полное пересечение Калаби-Яу)