многообразие Эйнштейна

Риманово многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна

В дифференциальной геометрии и математической физике многообразие Эйнштейна — это риманово или псевдориманово дифференцируемое многообразие , тензор Риччи которого пропорционален метрике . Они названы в честь Альберта Эйнштейна, потому что это условие эквивалентно утверждению, что метрика является решением уравнений вакуумного поля Эйнштейна (с космологической постоянной ), хотя и размерность, и сигнатура метрики могут быть произвольными, таким образом, не ограничиваясь лоренцевыми многообразиями (включая четырехмерные лоренцевы многообразия, обычно изучаемые в общей теории относительности ). Многообразия Эйнштейна в четырех евклидовых измерениях изучаются как гравитационные инстантоны .

Если M — базовое n -мерное многообразие , а g — его метрический тензор , то условие Эйнштейна означает, что

${\displaystyle \mathrm {Ric} =kg}$

для некоторой константы k , где Ric обозначает тензор Риччи для g . Многообразия Эйнштейна с k = 0 называются многообразиями Риччи-плоскими .

Условие Эйнштейна и уравнение Эйнштейна

В локальных координатах условие, что ( M , g ) является многообразием Эйнштейна, просто записывается как

${\displaystyle R_{ab}=kg_{ab}.}$

Взяв след обеих сторон, мы обнаруживаем, что константа пропорциональности k для многообразий Эйнштейна связана со скалярной кривизной R соотношением

${\displaystyle R=nk,}$

где n — размерность M.

В общей теории относительности уравнение Эйнштейна с космологической постоянной Λ имеет вид

${\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R+g_{ab}\Lambda =\kappa T_{ab},}$

где κ — гравитационная постоянная Эйнштейна . ^[1] Тензор энергии-импульса T _ab определяет содержание материи и энергии в пространстве-времени. В вакууме (область пространства-времени, лишенная материи) T _ab = 0 , и уравнение Эйнштейна можно переписать в виде (предполагая, что n > 2 ):

${\displaystyle R_{ab}={\frac {2\Lambda }{n-2}}\,g_{ab}.}$

Следовательно, вакуумные решения уравнения Эйнштейна представляют собой (лоренцевы) многообразия Эйнштейна с k , пропорциональным космологической постоянной.

Примеры

Простые примеры многообразий Эйнштейна включают в себя:

• Все двумерные многообразия допускают метрики Эйнштейна. Фактически, в этом измерении метрика является эйнштейновой тогда и только тогда, когда она имеет постоянную гауссову кривизну. Классическая теорема об униформизации для римановых поверхностей гарантирует, что такая метрика существует в каждом конформном классе на любом двумерном многообразии.
• Любое многообразие с постоянной секционной кривизной является многообразием Эйнштейна, в частности:
  • Евклидово пространство , которое является плоским, является простым примером Риччи-плоского, отсюда и метрика Эйнштейна.
  • N - сфера , , с круглой метрикой — это сфера Эйнштейна с . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle k=n-1}$
  • Гиперболическое пространство с канонической метрикой — это пространство Эйнштейна с . ${\displaystyle k=-(n-1)}$
• Комплексное проективное пространство , , с метрикой Фубини–Штуди , имеет ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle k=n+1.}$
• Многообразия Калаби–Яу допускают метрику Эйнштейна, которая также является кэлеровой , с константой Эйнштейна . Такие метрики не являются уникальными, а скорее входят в семейства; в каждом классе кэлера есть метрика Калаби–Яу, и метрика также зависит от выбора комплексной структуры. Например, существует 60-параметрическое семейство таких метрик на K3 , 57 параметров которого порождают метрики Эйнштейна, которые не связаны изометриями или перемасштабированиями. ${\displaystyle k=0}$
• Метрики Кэлера–Эйнштейна существуют на множестве компактных комплексных многообразий благодаря результатам существования Шинг-Тунг Яу и более позднему исследованию K-устойчивости, особенно в случае многообразий Фано .
• Геометрия Эйнштейна –Вейля является обобщением многообразия Эйнштейна для связности Вейля конформного класса, а не для связности Леви-Чивиты метрики.

Одним из необходимых условий для замкнутых , ориентированных , 4-многообразий , чтобы быть эйнштейновскими, является удовлетворение неравенству Хитчина–Торпа . Однако это необходимое условие очень далеко от достаточного, поскольку Лебрен, Самбусетти и другие обнаружили дополнительные препятствия.

Приложения

Четырехмерные римановы многообразия Эйнштейна также важны в математической физике как гравитационные инстантоны в квантовых теориях гравитации . Термин «гравитационный инстантон» обычно используется ограниченно 4-многообразиями Эйнштейна, тензор Вейля которых является самодуальным, и обычно предполагается, что метрика асимптотически соответствует стандартной метрике евклидова 4-пространства (и, следовательно, являются полными , но некомпактными ). В дифференциальной геометрии самодуальные 4-многообразия Эйнштейна также известны как (4-мерные) гиперкэлеровы многообразия в случае Риччи-плоскости и кватернионные кэлеровы многообразия в противном случае.

Многомерные лоренцевы многообразия Эйнштейна используются в современных теориях гравитации, таких как теория струн , М-теория и супергравитация . Гиперкэлеровы и кватернионные кэлеровы многообразия (которые являются особыми видами многообразий Эйнштейна) также имеют приложения в физике в качестве целевых пространств для нелинейных σ-моделей с суперсимметрией .

Компактные многообразия Эйнштейна были тщательно изучены в дифференциальной геометрии, и известно много примеров, хотя их построение часто является сложной задачей. Компактные риччи-плоские многообразия особенно трудно найти: в монографии на эту тему, написанной псевдонимом Артуром Бессом , читателям предлагается обед в звездном ресторане в обмен на новый пример. ^[2]

Смотрите также

• Вектор Эйнштейна–Эрмитова расслоения

Примечания и ссылки

1. κ не следует путать с k .
2. Бесс (1987, стр. 18)

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Классика математики. Берлин: Springer. ISBN 3-540-74120-8.