Правильное ускорение

Путешественник в пространстве-времени для путешествия туда и обратно с постоянным ускорением.

В теории относительности собственное ускорение ^[1] — это физическое ускорение (т. е. измеримое ускорение, измеряемое акселерометром ) , испытываемое объектом. Таким образом, это ускорение относительно свободно падающего или инерционного наблюдателя, который на мгновение находится в состоянии покоя относительно измеряемого объекта. Следовательно, гравитация не вызывает собственного ускорения, поскольку одна и та же сила тяжести одинаково действует на инерциального наблюдателя. Как следствие, все инерциальные наблюдатели всегда имеют собственное ускорение, равное нулю.

Собственное ускорение контрастирует с координатным ускорением , которое зависит от выбора систем координат и, следовательно, от выбора наблюдателей (см. Трехускорение в специальной теории относительности ).

В стандартных инерциальных координатах специальной теории относительности для однонаправленного движения собственное ускорение — это скорость изменения собственной скорости по отношению к координатному времени .

В инерциальной системе отсчета, в которой объект на мгновение находится в покое, 3-вектор собственного ускорения в сочетании с нулевым временным компонентом дает четырехкратное ускорение объекта , что делает величину собственного ускорения Лоренц-инвариантной . Таким образом, концепция полезна: (i) с ускоренными системами координат , (ii) на релятивистских скоростях и (iii) в искривленном пространстве-времени .

В ускоряющейся ракете после запуска или даже в ракете, стоящей на стартовой площадке, правильное ускорение — это ускорение, ощущаемое пассажирами, и которое описывается как сила перегрузки (которая является не силой, а скорее ускорением; см. статью для дальнейшего обсуждения) доставляется только автомобилем. ^[2] «Ускорение силы тяжести» (включенное в «силу тяжести») никогда и ни при каких обстоятельствах не способствует правильному ускорению, и, таким образом, правильное ускорение, ощущаемое наблюдателями, стоящими на земле, обусловлено механической силой со стороны земли . не из-за «силы» или «ускорения» гравитации. Если земля удалена и наблюдателю разрешено свободное падение, наблюдатель испытает координатное ускорение, но не будет собственного ускорения и, следовательно, не будет перегрузки. Как правило, объекты, находящиеся в состоянии инерционного движения, также называемого свободным падением или баллистическим путем (включая объекты на орбите), не испытывают должного ускорения (не считая небольших приливных ускорений для инерционных путей в гравитационных полях). Это состояние также известно как « невесомость » («нулевая гравитация») или «свободное падение», и оно вызывает ощущение невесомости .

Собственное ускорение сводится к координатному ускорению в инерциальной системе координат в плоском пространстве-времени (т.е. при отсутствии гравитации), при условии, что величина собственной скорости объекта ^[3] (импульс на единицу массы) много меньше скорости света c . Только в таких ситуациях координатное ускорение полностью ощущается как перегрузка (т.е. собственное ускорение, также определяемое как такое, которое создает измеримый вес).

В ситуациях, когда гравитация отсутствует, но выбранная система координат не инерциальна, а ускоряется вместе с наблюдателем (например, ускоренная система отсчета ускоряющейся ракеты или система координат, закрепленная на объектах в центрифуге), тогда перегрузки и соответствующие собственные ускорения, ощущаемые наблюдателями в этих системах координат, вызваны механическими силами, которые сопротивляются их весу в таких системах. Этот вес, в свою очередь, создается фиктивными силами или «силами инерции», которые появляются во всех таких ускоренных системах координат, подобно весу, создаваемому «силой гравитации» в системах, где объекты неподвижны в пространстве относительно к гравитирующему телу (как на поверхности Земли).

Полная (механическая) сила, которая рассчитывается для того, чтобы вызвать собственное ускорение массы, покоящейся в системе координат, имеющей собственное ускорение, согласно закону Ньютона $F = m a$ , называется собственной силой . Как видно выше, собственная сила равна противодействующей силе реакции, которая измеряется как «рабочий вес» объекта (т.е. его вес, измеренный устройством, подобным пружинным весам, в вакууме, в системе координат объекта). Таким образом, собственная сила, действующая на объект, всегда равна и противоположна его измеренному весу.

Примеры

Держась за карусель, которая вращается с постоянной угловой скоростью, наблюдатель испытывает собственное ускорение радиально внутрь ( центростремительное ) из-за взаимодействия между поручнем и рукой наблюдателя. Это отменяет радиально направленное наружу геометрическое ускорение , связанное с их вращающейся системой координат . Это внешнее ускорение (с точки зрения вращающейся рамки) станет координатным ускорением, когда они отпустят его, заставив их улететь по траектории с нулевым собственным ускорением ( геодезической ). Неускоренные наблюдатели, конечно, в своей системе координат просто видят, что их равные собственные и координатные ускорения исчезают, когда они отпускают.

Точно так же, стоя на невращающейся планете (и на Земле для практических целей), наблюдатели испытывают собственное ускорение вверх из-за нормальной силы , действующей на подошву их обуви со стороны Земли. При этом отменяется геометрическое ускорение вниз за счет выбора системы координат (так называемая оболочка-рамка ^[4] ). Это нисходящее ускорение становится координатным, если они случайно сойдут со скалы на траекторию с нулевым собственным ускорением (геодезическую или дождевую).

Геометрические ускорения (из-за члена связи в ковариантной производной системы координат ниже) действуют на каждый грамм нашего существа , тогда как собственные ускорения обычно вызываются внешней силой. Вводные курсы физики часто рассматривают нисходящее (геометрическое) ускорение силы тяжести как силу, пропорциональную массе . Это, наряду со старательным избеганием неускоренных кадров, позволяет им относиться к правильному и координированному ускорению как к одному и тому же.

Даже в этом случае, если объект сохраняет постоянное собственное ускорение от состояния покоя в течение длительного периода в плоском пространстве-времени, наблюдатели в системе покоя увидят, что координатное ускорение объекта уменьшается по мере того, как его координатная скорость приближается к скорости света. Тем не менее, скорость увеличения собственной скорости объекта остается постоянной.

Таким образом, различие между собственным ускорением и координатным ускорением ^[5] позволяет отслеживать опыт ускоренных путешественников с различных неньютоновских точек зрения. Эти перспективы включают в себя перспективы ускоренных систем координат (например, карусели), высоких скоростей (где собственное и координатное время различаются) и искривленного пространства-времени (например, связанного с гравитацией на Земле).

Классические приложения

На малых скоростях в инерциальных системах координат ньютоновской физики собственное ускорение просто равно координатному ускорению a = d ²x /d t ² . Однако, как говорилось выше, оно отличается от координатного ускорения, если кто-то решает (вопреки совету Ньютона) описывать мир с точки зрения ускоренной системы координат, например, автомобиля, ускоряющегося из состояния покоя, или камня, вращающегося в рогатке. Если кто-то решит признать, что гравитация вызвана искривлением пространства-времени (см. ниже), собственное ускорение будет отличаться от координатного ускорения в гравитационном поле .

Например, объект, подвергнутый физическому или собственному ускорению a _o , будет виден наблюдателями в системе координат, подвергающейся постоянному ускорению a _кадра , чтобы иметь координатное ускорение:

{\vec {a}}_{\text{acc}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\vec {a}}_{\text{frame}} .

Аналогично, объект, подвергающийся физическому или собственному ускорению a _o , будет виден наблюдателям в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью $ω$ и имеющей координатное ускорение:

{\vec {a}}_{\text{rot}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\vec {\omega }}\times ({\vec { \omega }}\times {\vec {r}})-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{\text{rot}}-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}.

r

v rot

В каждом из этих случаев физическое или собственное ускорение отличается от координатного ускорения, поскольку на последнее может влиять выбор системы координат, а также физические силы, действующие на объект. Те компоненты координатного ускорения, которые не вызваны физическими силами (такими как прямой контакт или электростатическое притяжение), часто приписывают (как в приведенном выше примере Ньютона) силам, которые: (i) действуют на каждый грамм объекта, (ii) вызывают массирование. независимые ускорения и (iii) не существуют со всех точек зрения. К таким геометрическим (или несобственным) силам относятся силы Кориолиса , силы Эйлера , силы перегрузки , центробежные силы и (как мы увидим ниже) силы тяжести .

Если смотреть с плоского среза пространства-времени

Динамика собственной системы отсчета в (1+1)D пространстве-времени.

Отношения собственного ускорения с координатным ускорением в заданном срезе плоского пространства-времени следуют ^[6] из метрического уравнения плоского пространства Минковского ( $c d τ) 2 = (c d t) 2 - (d x) 2$ . Здесь единая система отсчета мерок и синхронизированных часов определяет положение на карте x и время t на карте соответственно, часы движущегося объекта определяют собственное время τ , а буква «d», предшествующая координате, означает бесконечно малое изменение. Эти отношения позволяют решать различные проблемы «любой скорости проектирования», хотя и только с точки зрения наблюдателя, чья расширенная рамка карты определяет одновременность.

Ускорение в (1+1)D

Этот график показывает, как космический корабль, способный развивать ускорение в 1 g (10 м/с ² или около 1,0 светового года в год в квадрате) в течение 100 лет, может обеспечить путешествие практически в любую точку видимой Вселенной и обратно за всю жизнь.

В однонаправленном случае, т.е. когда ускорение объекта параллельно или антипараллельно его скорости в пространственно-временном срезе наблюдателя, собственное ускорение α и координатное ускорение a связаны ^[7] через коэффициент Лоренца $γ$ соотношением $α = γ 3 a$ . Следовательно, изменение собственной скорости w=dx/dτ является интегралом собственного ускорения по времени отображения t, т.е. $Δ w = α Δ t$ для постоянного $α$ . На низких скоростях это сводится к хорошо известному соотношению между координатной скоростью и координатным ускорением, умноженным на время отображения, т.е. Δ v = a Δ t .

Для постоянного однонаправленного собственного ускорения аналогичные зависимости существуют между быстротой η и затраченным собственным временем Δ τ , а также между фактором Лоренца γ и пройденным расстоянием Δ x . Чтобы быть конкретным:

\alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t}} = c {\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau }} = c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x}},

\eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}} \right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right).

Эти уравнения описывают некоторые последствия ускоренного движения на высокой скорости. Например, представьте себе космический корабль, который может ускорять своих пассажиров со скоростью «1 g» (10 м/с ² или около 1,0 светового года в квадрате) на полпути к месту назначения, а затем замедлять их со скоростью «1 g» на оставшейся половине, так чтобы обеспечить земную искусственную гравитацию из точки А в точку Б в кратчайшие сроки. ^[8]^[9] Для расстояния по карте Δ x _AB первое уравнение, приведенное выше, предсказывает коэффициент Лоренца в средней точке (вверх от ее единичного значения покоя) $γ Mid = 1 + α (Δ x AB /2)/c 2$ . Следовательно, время прохождения туда и обратно на часах путешественника будет $Δ τ = 4(c / α) cosh -1 (γ Mid)$ , в течение которого время, затраченное на часы карты, будет $Δ t = 4(c / α) sinh[cosh -1 (γ середина)]$ .

Этот воображаемый космический корабль мог бы совершать полеты к Проксиме Центавра туда и обратно продолжительностью около 7,1 лет (около 12 лет по земным часам), путешествия туда и обратно к центральной черной дыре Млечного Пути продолжительностью около 40 лет (прошло около 54 000 лет по земным часам) и Путешествие туда и обратно к Галактике Андромеды продолжительностью около 57 лет (более 5 миллионов лет по земным часам). К сожалению, поддерживать ускорение в 1 g в течение многих лет легче сказать, чем сделать, о чем свидетельствует максимальное соотношение полезной нагрузки к стартовой массе, показанное на рисунке справа.

В искривленном пространстве-времени

На языке общей теории относительности компоненты четырехвектора ускорения объекта A (величина которого является собственным ускорением) связаны с элементами четырехскорости через ковариантную производную D по собственному времени $τ$ :

A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }} = {\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^ {\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

Здесь U — четырехскоростная скорость объекта , а Γ представляет 64 коэффициента связи системы координат или символы Кристоффеля . Обратите внимание, что греческие индексы принимают четыре возможных значения, а именно 0 для оси времени и 1–3 для осей пространственных координат, и что повторяющиеся индексы используются для обозначения суммирования по всем значениям этого индекса. Траектории с нулевым собственным ускорением называются геодезическими .

Левая часть этого набора из четырех уравнений (по одному для времяподобных и трех пространственноподобных значений индекса λ) представляет собой 3-вектор собственного ускорения объекта в сочетании с нулевой временной составляющей, как видно с точки зрения ссылки. или бухгалтерская система координат, в которой объект покоится. Первый член в правой части указывает скорость, с которой изменяются времяподобные (энергия/ mc ) и пространственные (импульс/ m ) компоненты четырехскоростной U объекта в единицу времени τ на путевых часах.

Давайте найдем первый член справа, поскольку на низких скоростях его пространственноподобные компоненты представляют координатное ускорение. В более общем смысле, когда этот первый член обращается в ноль, координатное ускорение объекта обращается в ноль. Это дает

{\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}=A^{\lambda }-\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu } U^{\nu }.

Таким образом, как показано на примере первых двух анимаций выше, координатное ускорение обращается в ноль всякий раз, когда правильное ускорение точно отменяется термином соединения (или геометрическим ускорением ) в крайнем правом углу. ^[10] Внимание: этот член может представлять собой сумму до шестнадцати отдельных членов, зависящих от скорости и положения, поскольку повторяющиеся индексы μ и ν по соглашению суммируются по всем парам их четырех разрешенных значений.

Сила и эквивалентность

Вышеприведенное уравнение также предлагает некоторый взгляд на силы и принцип эквивалентности . Рассмотрим локальные координаты бухгалтера ^[4] в качестве метрики (например, локальную тетраду Лоренца ^[5], подобную той, о которой предоставляют информацию глобальные системы позиционирования ) для описания времени в секундах и пространства в единицах расстояния вдоль перпендикулярных осей. Если мы умножим приведенное выше уравнение на массу покоя движущегося объекта m и разделим на коэффициент Лоренца γ = d t /d τ , пространственноподобные компоненты выразят скорость изменения импульса этого объекта с точки зрения координат, используемых для описания метрики. .

Это, в свою очередь, можно разбить на части из-за собственных и геометрических составляющих ускорения и силы. Если мы дополнительно умножим времяподобную составляющую на скорость света c и определим координатную скорость как $v = d x /d t$ , мы также получим выражение для скорости изменения энергии:

{\frac {dE}{dt}}={\vec {v}}\cdot {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}

(времяподобное) и (пространственноподобное).

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum {\vec {f_{o}}}+\sum {\vec {f_{g}}}=m({\vec {a_{o}}}+{\vec {a_{g}}})

Здесь a _o — ускорение, вызванное собственными силами, а a _g — это по умолчанию геометрическое ускорение, которое мы видим приложенным к объекту из-за выбора нашей системы координат. На низких скоростях эти ускорения объединяются, чтобы создать координатное ускорение, подобное $a = d 2 x /d t 2$ , тогда как для однонаправленного движения на любой скорости величина a _o равна величине собственного ускорения α , как в разделе выше, где α = γ ³a , когда ag _равно нулю. В целом выражение этих ускорений и сил может быть сложным.

Тем не менее, если мы используем эту разбивку для описания термина коэффициента связи (Γ), приведенного выше, в терминах геометрических сил, то движение объектов с точки зрения любой системы координат (по крайней мере, на низких скоростях) можно рассматривать как локально ньютоновское. . Это уже обычная практика, например, в отношении центробежной силы и гравитации. Таким образом, принцип эквивалентности расширяет локальную полезность законов Ньютона на ускоренные системы координат и за их пределы.

Жители поверхности планеты

Для наблюдателей с низкой скоростью, находящихся на фиксированном радиусе от центра сферической планеты или звезды, координатное ускорение _{оболочки}приблизительно связано с собственным ускорением a _o следующим образом:

{\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\sqrt {\frac {r}{r-r_{s}}}}{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {r}}

где радиус Шварцшильда

r s = 2 GM / c 2

a _o,

С другой стороны, при $r ≫ r s$ необходима направленная вверх собственная сила, равная всего лишь $GMm / r 2$ , чтобы предотвратить ускорение вниз. На поверхности Земли это будет:

{\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{o}-g{\hat {r}}

g

^2,

{\hat {r}}

Четырехвекторные выводы

Уравнения пространства-времени этого раздела позволяют учесть все отклонения между собственным и координатным ускорением за один расчет. Например, давайте посчитаем символы Кристоффеля : ^[11]

\left({\begin{array}{llll}\left\{\Gamma _{tt}^{t},\Gamma _{tr}^{t},\Gamma _{t\theta }^{t},\Gamma _{t\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{t},\Gamma _{rr}^{t},\Gamma _{r\theta }^{t},\Gamma _{r\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{t},\Gamma _{\theta r}^{t},\Gamma _{\theta \theta }^{t},\Gamma _{\theta \phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{t},\Gamma _{\phi r}^{t},\Gamma _{\phi \theta }^{t},\Gamma _{\phi \phi }^{t}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{r},\Gamma _{tr}^{r},\Gamma _{t\theta }^{r},\Gamma _{t\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{r},\Gamma _{rr}^{r},\Gamma _{r\theta }^{r},\Gamma _{r\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{r},\Gamma _{\theta r}^{r},\Gamma _{\theta \theta }^{r},\Gamma _{\theta \phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{r},\Gamma _{\phi r}^{r},\Gamma _{\phi \theta }^{r},\Gamma _{\phi \phi }^{r}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\theta },\Gamma _{tr}^{\theta },\Gamma _{t\theta }^{\theta },\Gamma _{t\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\theta },\Gamma _{rr}^{\theta },\Gamma _{r\theta }^{\theta },\Gamma _{r\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\theta },\Gamma _{\theta r}^{\theta },\Gamma _{\theta \theta }^{\theta },\Gamma _{\theta \phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\theta },\Gamma _{\phi r}^{\theta },\Gamma _{\phi \theta }^{\theta },\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\phi },\Gamma _{tr}^{\phi },\Gamma _{t\theta }^{\phi },\Gamma _{t\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\phi },\Gamma _{rr}^{\phi },\Gamma _{r\theta }^{\phi },\Gamma _{r\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\phi },\Gamma _{\theta r}^{\phi },\Gamma _{\theta \theta }^{\phi },\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\phi },\Gamma _{\phi r}^{\phi },\Gamma _{\phi \theta }^{\phi },\Gamma _{\phi \phi }^{\phi }\right\}\end{array}}\right)

для метрики Шварцшильда

(c d τ) 2 знак равно (1- r s / r)(c d t) 2 - (1/(1- r s / r))d r 2 - r 2 d θ 2 - (р sin θ) 2 d φ 2

r _sрадиус ШварцшильдаGMc ²

\left({\begin{array}{llll}\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0\right\}&\left\{{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{{\frac {r_{s}c^{2}(r-r_{s})}{2r^{3}}},0,0,0\right\}&\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r_{s}-r)}},0,0\right\}&\{0,0,r_{s}-r,0\}&\left\{0,0,0,(r_{s}-r)\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot(\theta )\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).

Отсюда вы можете получить правильное ускорение каркаса оболочки, установив координатное ускорение равным нулю и, таким образом, потребовав, чтобы правильное ускорение компенсировало геометрическое ускорение неподвижного объекта, т.е. Это пока не решает проблему, поскольку координаты Шварцшильда в искривленном пространстве-времени являются координатами бухгалтера ^[4] , а не локального наблюдателя. Однако величина вышеупомянутого 4-вектора собственного ускорения, а именно , является именно тем, что мы хотим, т.е. собственным ускорением, инвариантным к системе отсчета вверх, необходимым для противодействия нисходящему геометрическому ускорению, ощущаемому обитателями поверхности планеты. $A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,GM/r^{2},0,0\}$ ${\textstyle \alpha ={\sqrt {1/(1-r_{s}/r)}}GM/r^{2}}$

Особым случаем приведенного выше набора символов Кристоффеля является набор сферических координат плоского пространства , полученный путем установки r _s или M выше нуля:

\left({\begin{array}{llll}\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,-r,0\}&\left\{0,0,0,-r\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot \theta \}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).

Отсюда мы можем получить, например, собственное ускорение центри лепестка , необходимое для компенсации центробежного геометрического ускорения объекта, движущегося с постоянной угловой скоростью $ω = d φ /d τ$ на экваторе, где $θ = π /2$ . Формирование той же 4-векторной суммы, что и выше, для случая $d θ /d τ$ и $d r /d τ$ нуля, не дает ничего, кроме классического ускорения для вращательного движения, указанного выше, т.е. так, что $a$ $o$ $=$ $ω$ $2$ $r$ . Эффекты Кориолиса также заключаются в этих коэффициентах связи и аналогичным образом возникают только из геометрии системы координат. $A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,-r(d\phi /d\tau )^{2},0,0\}$

Смотрите также

Ускорение : изменение скорости
Собственная скорость : импульс на массу в специальной теории относительности; составленный из пространственноподобных компонент 4-скоростного
Собственная система отсчета (плоское пространство-время) : ускоренная система отсчета в специальной теории относительности (пространство Минковского).
Фиктивная сила : одно название для массы, умноженной на геометрическое ускорение.
Четырехвекторность : явная связь между пространством и временем.
Кинематика : для изучения способов изменения положения со временем.
Равномерное ускорение : фиксированное ускорение координат.

Сноски

^ Эдвин Ф. Тейлор и Джон Арчибальд Уиллер (1966, только 1-е изд.) Физика пространства-времени (WH Freeman, Сан-Франциско) ISBN 0-7167-0336-X , Глава 1. Упражнение 51, страницы 97–98: «Парадокс часов III» (pdf) Архивировано 21 июля 2017 г. в Wayback Machine ).
^ Теория относительности Вольфганга Риндлера, стр. 71.
^ Фрэнсис В. Сирс и Роберт В. Бреме (1968) Введение в теорию относительности (Аддисон-Уэсли, Нью-Йорк) LCCN 680019344, раздел 7-3
^ abc Эдвин Ф. Тейлор и Джон Арчибальд Уиллер (2000) Исследование черных дыр (Аддисон Уэсли Лонгман, Нью-Йорк) ISBN 0-201-38423-X
^ аб ср. К.В. Миснер, К.С. Торн и Дж.А. Уилер (1973) Гравитация (WH Freeman, Нью-Йорк) ISBN 978-0-7167-0344-0 , раздел 1.6
^ П. Фраундорф (1996) «Подход с одной картой и двумя часами к преподаванию теории относительности в вводной физике» ( arXiv : Physics/9611011)
^ А. Джон Маллинкродт (1999) Что происходит, когда a*t>c? Архивировано 30 июня 2012 г. в archive.today (Летнее собрание AAPT, Сан-Антонио, Техас).
^ Э. Эриксен и О. Грён (1990) Релятивистская динамика в равномерно ускоренных системах отсчета с применением к парадоксу часов, Eur. Дж. Физ. 39 :39–44
^ К. Лагут и Э. Даву (1995) Межзвездный путешественник, Am. Дж. Физ. 63 : 221–227
^ см. Р. Дж. Кук (2004) Физическое время и физическое пространство в общей теории относительности, Am. Дж. Физ. 72 : 214–219
^ Хартл, Джеймс Б. (2003). Гравитация: введение в общую теорию относительности Эйнштейна. Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8662-9 .

Внешние ссылки

Выдержки из первого издания «Физики пространства-времени» и других ресурсов, опубликованных Эдвином Ф. Тейлором.
Страница книги Джеймса Хартла о гравитации, включающая программы Mathematica для расчета символов Кристоффеля.
Заметки и программы Эндрю Гамильтона для работы с местными тетрадами в Университете Колорадо, Боулдер.