Деформация (механика)

Симметричная тензорная величина деформации, вызванной напряжением в веществе

В механике деформация определяется как относительная деформация по сравнению с конфигурацией исходного положения . Для выражения поля деформации могут быть сделаны различные эквивалентные выборы в зависимости от того , определено ли оно относительно начальной или конечной конфигурации тела, и рассматривается ли метрический тензор или его дуальный тензор.

Деформация имеет размерность отношения длины , с основными единицами СИ метр на метр (м/м). Следовательно, деформации безразмерны и обычно выражаются в виде десятичной дроби или процента . Также используется обозначение частей на миллион или частей на миллиард (иногда называемых «микродеформациями» и «нанодеформациями» соответственно), что соответствует мкм /м и нм /м.

Деформация может быть сформулирована как пространственная производная смещения : где I — тензор тождественности . Смещение тела может быть выражено в виде x = F ( X ) , где X — исходное положение материальных точек тела; смещение имеет единицы длины и не различает движения твердого тела (перемещения и вращения) и деформации (изменения формы и размера) тела. Пространственная производная равномерного перемещения равна нулю, таким образом, деформации измеряют, насколько данное смещение локально отличается от движения твердого тела. ^[1] $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},}$$

В общем случае деформация является тензорной величиной. Физическое понимание деформаций может быть получено путем наблюдения того, что данная деформация может быть разложена на нормальные и сдвиговые компоненты. Величина растяжения или сжатия вдоль материальных линейных элементов или волокон является нормальной деформацией , а величина искажения, связанного со скольжением плоских слоев друг по другу, является сдвиговой деформацией внутри деформируемого тела. ^[2] Это может быть применено путем удлинения, укорочения или изменения объема, или углового искажения. ^[3]

Состояние деформации в материальной точке сплошного тела определяется как совокупность всех изменений длины материальных линий или волокон, нормальная деформация , проходящих через эту точку, а также совокупность всех изменений угла между парами линий, изначально перпендикулярных друг другу, сдвиговая деформация , исходящих из этой точки. Однако достаточно знать нормальную и сдвиговую составляющие деформации на наборе из трех взаимно перпендикулярных направлений.

Если длина материальной линии увеличивается, нормальная деформация называется деформацией растяжения ; в противном случае, если длина материальной линии уменьшается или сжимается, она называется деформацией сжатия .

Режимы деформации

В зависимости от величины деформации или локальной деформации анализ деформации подразделяется на три теории деформации:

• Теория конечных деформаций , также называемая теорией больших деформаций , теорией больших деформаций , имеет дело с деформациями, в которых как вращения, так и деформации являются произвольно большими. В этом случае недеформированные и деформированные конфигурации континуума существенно различаются, и между ними необходимо провести четкое различие. Это обычно имеет место в случае эластомеров , пластически деформирующихся материалов и других жидкостей и биологических мягких тканей .
• Теория бесконечно малых деформаций , также называемая теорией малых деформаций , теорией малых деформаций , теорией малых смещений или теорией малых градиентов смещений , где деформации и вращения малы. В этом случае недеформированные и деформированные конфигурации тела можно считать идентичными. Теория бесконечно малых деформаций используется при анализе деформаций материалов, проявляющих упругое поведение, таких как материалы, используемые в машиностроении и гражданском строительстве, например, бетон и сталь.
• Теория больших смещений или больших вращений , которая предполагает малые деформации, но большие вращения и смещения.

Меры деформации

В каждой из этих теорий деформация определяется по-разному. Инженерная деформация является наиболее распространенным определением, применяемым к материалам, используемым в машиностроении и строительстве, которые подвергаются очень малым деформациям. С другой стороны, для некоторых материалов, например, эластомеров и полимеров, подвергающихся большим деформациям, инженерное определение деформации неприменимо, например, типичные инженерные деформации больше 1%; ^[4] поэтому требуются другие, более сложные определения деформации, такие как растяжение , логарифмическая деформация , деформация Грина и деформация Альманси .

Инженерная деформация

Инженерная деформация , также известная как деформация Коши , выражается как отношение полной деформации к исходному размеру материального тела, к которому прилагаются силы. В случае линейного элемента материала или волокна, нагруженного в осевом направлении, его удлинение приводит к инженерной нормальной деформации или инженерной деформации растяжения e , которая равна относительному удлинению или изменению длины Δ L на единицу исходной длины L линейного элемента или волокон (в метрах на метр). Нормальная деформация положительна, если волокна материала растянуты, и отрицательна, если они сжаты. Таким образом, мы имеем , где e — инженерная нормальная деформация , L — исходная длина волокна, а l — конечная длина волокна. $${\displaystyle e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}$$

Истинная деформация сдвига определяется как изменение угла (в радианах) между двумя элементами линии материала, изначально перпендикулярными друг другу в недеформированной или исходной конфигурации. Инженерная деформация сдвига определяется как тангенс этого угла и равна длине деформации в ее максимуме, деленной на перпендикулярную длину в плоскости приложения силы, что иногда упрощает расчет.

Коэффициент растяжения

Коэффициент растяжения или коэффициент удлинения (символ λ) является альтернативной мерой, относящейся к растягивающей или нормальной деформации элемента дифференциальной линии, нагруженного в осевом направлении. Он определяется как отношение конечной длины l к начальной длине L материальной линии. $${\displaystyle \lambda ={\frac {l}{L}}}$$

Коэффициент удлинения λ связан с инженерной деформацией e следующим образом: Это уравнение подразумевает, что когда нормальная деформация равна нулю, т.е. деформация отсутствует, коэффициент удлинения равен единице. $${\displaystyle e=\lambda -1}$$

Коэффициент растяжения используется при анализе материалов, которые демонстрируют большие деформации, таких как эластомеры , которые могут выдерживать коэффициенты растяжения 3 или 4, прежде чем они разрушаются. С другой стороны, традиционные конструкционные материалы, такие как бетон или сталь, разрушаются при гораздо меньших коэффициентах растяжения.

Логарифмическая деформация

Логарифмическая деформация ε , также называемая истинной деформацией или деформацией Генки . ^[5] При рассмотрении инкрементной деформации (Людвик) логарифмическая деформация получается путем интегрирования этой инкрементной деформации: где e — инженерная деформация. Логарифмическая деформация обеспечивает правильную меру конечной деформации, когда деформация происходит в серии инкрементов, принимая во внимание влияние пути деформации. ^[2] $${\displaystyle \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}}$$

Зеленый штамм

Зеленый штамм определяется как: $${\displaystyle \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}$$

Штамм Альманси

Деформация Эйлера-Альманси определяется как $${\displaystyle \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$$

Тензор деформации

(Бесконечно малый) тензор деформации (символ ) определяется в Международной системе величин (ISQ), более конкретно в ISO 80000-4 (Механика), как «тензорная величина, представляющая деформацию вещества, вызванную напряжением. Тензор деформации симметричен и имеет три линейных компонента деформации и три компонента деформации сдвига (декартовых)». ^[6] ISO 80000-4 далее определяет линейную деформацию как «частное изменения длины объекта и его длины», а деформацию сдвига как «частное параллельного смещения двух поверхностей слоя и толщины слоя». ^[6] Таким образом, деформации классифицируются как нормальные или сдвиговые . Нормальная деформация перпендикулярна грани элемента, а деформация сдвига параллельна ей. Эти определения согласуются с определениями нормального напряжения и напряжения сдвига . ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

Тогда тензор деформации можно выразить через нормальную и сдвиговую составляющие следующим образом: $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

Геометрическая установка

Двумерная геометрическая деформация бесконечно малого материального элемента

Рассмотрим двумерный, бесконечно малый, прямоугольный материальный элемент с размерами dx × dy , который после деформации принимает форму ромба . Деформация описывается полем смещения u . Из геометрии смежной фигуры имеем и Для очень малых градиентов смещения квадраты производной и пренебрежимо малы и мы имеем $${\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle u_{x}}$ $${\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

Нормальная деформация

Для изотропного материала, подчиняющегося закону Гука , нормальное напряжение вызовет нормальную деформацию. Нормальные деформации вызывают расширения .

Нормальная деформация в направлении x прямоугольного элемента определяется как Аналогично нормальная деформация в направлениях y и z становится $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

Деформация сдвига

Инженерная деформация сдвига ( γ _xy ) определяется как изменение угла между линиями AC и AB . Следовательно, $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

Из геометрии рисунка имеем Для малых градиентов смещения имеем Для малых вращений, т. е. α и β ≪ 1, имеем tan α ≈ α , tan β ≈ β . Следовательно, таким образом Поменяв местами x и y и u _x и u _y , можно показать, что γ _xy = γ _yx . $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}$$ $${\displaystyle \alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

Аналогично для плоскостей yz и xz имеем $${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Объемная деформация

Объемная деформация, также называемая объемной деформацией, представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате расширения или сжатия ; это первый инвариант деформации или след тензора: Фактически, если мы рассмотрим куб с длиной ребра a , то после деформации (изменения углов не изменяют объем) он представляет собой квазикуб с размерами и V ₀ = a ³ , поэтому , поскольку мы рассматриваем малые деформации, то формула имеет вид. $${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$ ${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$ $${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$

В случае чистого сдвига мы видим, что объем не изменяется.

Метрический тензор

Поле деформации, связанное со смещением, определяется в любой точке изменением длины касательных векторов , представляющих скорости произвольно параметризованных кривых, проходящих через эту точку. Основной геометрический результат, полученный Фреше , фон Нейманом и Жорданом , гласит, что если длины касательных векторов удовлетворяют аксиомам нормы и закону параллелограмма , то длина вектора является квадратным корнем значения квадратичной формы , связанной с формулой поляризации с положительно определенным билинейным отображением , называемым метрическим тензором .

Смотрите также

• Меры по снятию стресса
• Скорость деформации
• Тензор деформации

Ссылки

1. Люблинер, Якоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренное издание). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-03-31.
2. Rees, David (2006). Основы инженерной пластичности: Введение в инженерные и производственные приложения. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-8025-3. Архивировано из оригинала 2017-12-22.
3. "Земля".Энциклопедия Британника из DVD-диска Encyclopaedia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite .[2009].
4. Риз, Дэвид (2006). Основы инженерной пластичности: Введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. стр. 41. ISBN 0-7506-8025-3. Архивировано из оригинала 2017-12-22.
5. Хенки, Х. (1928). «Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei Ideal Elastischen Stoffen». Zeitschrift für technische Physik . 9 : 215–220.
6. "ISO 80000-4:2019". ISO . 2013-08-20 . Получено 2023-08-28 .