В математике некоммутативное кольцо — это кольцо , умножение которого некоммутативно ; то есть существуют a и b в кольце, такие, что ab и ba различны. Эквивалентно, некоммутативное кольцо — это кольцо, которое не является коммутативным кольцом .
Некоммутативная алгебра — раздел теории колец, посвящённый изучению свойств некоммутативных колец, включая свойства, применимые также к коммутативным кольцам.
Иногда термин некоммутативное кольцо используется вместо кольца для обозначения неопределенного кольца, которое не обязательно является коммутативным, и, следовательно, может быть коммутативным. Как правило, это делается для того, чтобы подчеркнуть, что изучаемые свойства не ограничиваются коммутативными кольцами, поскольку во многих контекстах кольцо используется как сокращение для коммутативного кольца .
Хотя некоторые авторы не предполагают, что кольца обладают мультипликативной идентичностью, в данной статье мы делаем такое предположение, если не указано иное.
Некоторые примеры некоммутативных колец:
Некоторые примеры колец, которые обычно не являются коммутативными (но могут быть коммутативными в простых случаях):
Начиная с делений колец, возникших из геометрии, изучение некоммутативных колец превратилось в крупную область современной алгебры. Теория и описание некоммутативных колец были расширены и уточнены в 19 и 20 веках многочисленными авторами. Неполный список таких авторов включает Э. Артина , Ричарда Брауэра , П. М. Кона , У. Р. Гамильтона , И. Н. Херштейна , Н. Якобсона , К. Мориту , Э. Нётера , О. Оре , Дж. Веддерберна и других.
Поскольку некоммутативные кольца, представляющие научный интерес, сложнее коммутативных колец, их структура, свойства и поведение изучены хуже. Была проделана большая работа по успешному обобщению некоторых результатов из коммутативных колец на некоммутативные кольца. Основное различие между кольцами, которые являются и не являются коммутативными, заключается в необходимости отдельно рассматривать правые идеалы и левые идеалы . Теоретики некоммутативных колец обычно налагают условие на один из этих типов идеалов, не требуя его выполнения для противоположной стороны. Для коммутативных колец различие левое-правое не существует.
Течение, также называемое телом, — это кольцо , в котором деление возможно. В частности, это ненулевое кольцо [2] , в котором каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативную инверсию , т. е. элемент x с a · x = x · a = 1. Другими словами, кольцо является делением тогда и только тогда, когда его группа единиц является множеством всех ненулевых элементов.
Тела отличаются от полей только тем, что их умножение не обязано быть коммутативным . Однако по малой теореме Веддерберна все конечные тела являются коммутативными и, следовательно, конечными полями . Исторически тела иногда назывались полями, в то время как поля назывались «коммутативными полями».
Модуль над ( не обязательно коммутативным) кольцом с единицей называется полупростым (или вполне приводимым), если он является прямой суммой простых ( неприводимых) подмодулей.
Кольцо называется (лево)-полупростым, если оно полупросто как левый модуль над собой. Удивительно, но лево-полупростое кольцо также является право-полупростым и наоборот. Поэтому различие лево/право необязательно.
Полупримитивное кольцо или полупростое кольцо Джекобсона или J-полупростое кольцо — это кольцо, радикал Джекобсона которого равен нулю. Это тип кольца более общий, чем полупростое кольцо , но где простые модули все еще предоставляют достаточно информации о кольце. Кольца, такие как кольцо целых чисел, являются полупримитивными, а артиново полупримитивное кольцо — это просто полупростое кольцо . Полупримитивные кольца можно понимать как подпрямые произведения примитивных колец , которые описываются теоремой плотности Джекобсона .
Простое кольцо — это ненулевое кольцо , не имеющее двустороннего идеала , кроме нулевого идеала и самого себя. Простое кольцо всегда можно рассматривать как простую алгебру . Кольца, простые как кольца, но не как модули, существуют: полное матричное кольцо над полем не имеет нетривиальных идеалов (поскольку любой идеал M( n , R ) имеет вид M( n , I ) с I — идеалом R ), но имеет нетривиальные левые идеалы (а именно, наборы матриц, которые имеют некоторые фиксированные нулевые столбцы).
Согласно теореме Артина–Веддерберна , каждое простое кольцо, которое является артиновым слева или справа, является кольцом матриц над телом . В частности, единственными простыми кольцами, которые являются конечномерным векторным пространством над действительными числами, являются кольца матриц либо над действительными числами, либо над комплексными числами , либо над кватернионами .
Любое фактор кольца по максимальному идеалу является простым кольцом. В частности, поле является простым кольцом. Кольцо R является простым тогда и только тогда, когда его противоположное кольцо R o является простым.
Примером простого кольца, не являющегося матричным кольцом над телом, является алгебра Вейля .
Малая теорема Веддерберна утверждает, что каждая конечная область является полем . Другими словами, для конечных колец нет различия между областями, делениями и полями.
Теорема Артина–Цорна обобщает теорему на альтернативные кольца : каждое конечное простое альтернативное кольцо является полем. [3]
Теорема Артина–Веддерберна — это теорема классификации для полупростых колец и полупростых алгебр . Теорема утверждает, что (артиново) [4] полупростое кольцо R изоморфно произведению конечного числа матричных колец размера n i на n i над телом D i для некоторых целых чисел n i , оба из которых определены однозначно с точностью до перестановки индекса i . В частности, любое простое левое или правое артиново кольцо изоморфно матричному кольцу размера n на n над телом D , где и n , и D определены однозначно. [5]
Как прямое следствие, теорема Артина–Веддерберна подразумевает, что каждое простое кольцо, конечномерное над телом (простой алгеброй), является матричным кольцом . Это изначальный результат Джозефа Веддерберна . Эмиль Артин позднее обобщил его на случай артиновых колец.
Теорема плотности Джекобсона — это теорема о простых модулях над кольцом R. [6 ]
Теорему можно применить, чтобы показать, что любое примитивное кольцо можно рассматривать как «плотное» подкольцо кольца линейных преобразований векторного пространства. [7] [8] Эта теорема впервые появилась в литературе в 1945 году в знаменитой статье «Структурная теория простых колец без предположений конечности» Натана Якобсона . [9] Это можно рассматривать как своего рода обобщение заключения теоремы Артина-Веддерберна о структуре простых артиновых колец .
Более формально теорему можно сформулировать следующим образом:
Пусть J( R ) — радикал Джекобсона кольца R . Если U — правый модуль над кольцом R , а I — правый идеал в R , то определим U · I как множество всех (конечных) сумм элементов вида u · i , где · — просто действие R на U . Обязательно U · I — подмодуль U .
Если V — максимальный подмодуль U , то U / V является простым . Поэтому U · J( R ) обязательно является подмножеством V по определению J( R ) и тому факту, что U / V является простым. [11] Таким образом, если U содержит по крайней мере один (собственный) максимальный подмодуль, U · J( R ) является собственным подмодулем U . Однако это не обязательно выполняется для произвольных модулей U над R , поскольку U не обязательно содержит никаких максимальных подмодулей. [12] Естественно, если U — нётеров модуль, это выполняется. Если R — нётеров, а U конечно порожден , то U — нётеров модуль над R , и заключение выполняется. [13] Несколько примечательно то, что более слабое предположение, а именно, что U конечно порожден как R -модуль (и никакого предположения конечности на R ), достаточно, чтобы гарантировать заключение. Это по сути утверждение леммы Накаямы. [14]
Точнее, происходит следующее.
Версия леммы справедлива для правых модулей над некоммутативными унитарными кольцами R. Полученная теорема иногда известна как теорема Джекобсона–Адзумаи . [15]
Локализация — это систематический метод добавления мультипликативных обратных к кольцу и обычно применяется к коммутативным кольцам. Для данного кольца R и подмножества S требуется построить некоторое кольцо R * и гомоморфизм колец из R в R *, такой, что образ S состоит из единиц (обратимых элементов) в R *. Далее требуется, чтобы R * было «наилучшим возможным» или «наиболее общим» способом сделать это — в обычной манере это должно быть выражено универсальным свойством . Локализация R по S обычно обозначается как S −1 R ; однако в некоторых важных особых случаях используются другие обозначения. Если S — множество ненулевых элементов области целостности , то локализация является полем дробей и, таким образом, обычно обозначается как Frac( R ).
Локализовать некоммутативные кольца сложнее; локализация не существует для каждого набора S перспективных единиц. Одним из условий, гарантирующих существование локализации, является условие Оре .
Один случай для некоммутативных колец, где локализация имеет явный интерес, — это кольца дифференциальных операторов. Например, она интерпретируется как присоединение формального обратного D −1 к оператору дифференцирования D . Это делается во многих контекстах в методах для дифференциальных уравнений . Сейчас об этом существует большая математическая теория, называемая микролокализацией , связанная с многочисленными другими ветвями. Микро- тег связан со связями с теорией Фурье , в частности.
Эквивалентность Мориты — это отношение, определенное между кольцами , которое сохраняет многие свойства теории колец. Оно названо в честь японского математика Кийти Мориты , который определил эквивалентность и похожее понятие дуальности в 1958 году.
Два кольца R и S (ассоциативные, с 1) называются ( Морита ) эквивалентными , если существует эквивалентность категории (левых) модулей над R , R-Mod и категории (левых) модулей над S , S-Mod . Можно показать, что категории левых модулей R-Mod и S-Mod эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны категории правых модулей Mod-R и Mod-S . Далее можно показать, что любой функтор из R-Mod в S-Mod , который дает эквивалентность, автоматически аддитивен .
Группа Брауэра поля K — это абелева группа , элементами которой являются классы эквивалентности Мориты центральных простых алгебр конечного ранга над K , а сложение индуцируется тензорным произведением алгебр. Она возникла из попыток классифицировать алгебры с делением над полем и названа в честь алгебраиста Ричарда Брауэра . Группа также может быть определена в терминах когомологий Галуа . В более общем смысле группа Брауэра схемы определяется в терминах алгебр Адзумая .
Условие Оре — это условие, введенное Эйстейном Оре в связи с вопросом о расширении за пределы коммутативных колец конструкции поля дробей или, в более общем смысле, локализации кольца . Правое условие Оре для мультипликативного подмножества S кольца R состоит в том, что для a ∈ R и s ∈ S пересечение aS ∩ sR ≠ ∅ . [16] Область , удовлетворяющая правому условию Оре, называется правой областью Оре . Левый случай определяется аналогично.
В математике теорема Голди является основным структурным результатом в теории колец , доказанным Альфредом Голди в 1950-х годах. То, что сейчас называется правым кольцом Голди , — это кольцо R , которое имеет конечную равномерную размерность (также называемую «конечным рангом» ) как правый модуль над собой и удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых аннуляторах подмножеств R.
Теорема Голди утверждает, что полупервичные правые кольца Голди — это в точности те, которые имеют полупростое артиново правое классическое кольцо частных . Структура этого кольца частных тогда полностью определяется теоремой Артина–Веддерберна .
В частности, теорема Голди применима к полупервичным правым нётеровым кольцам , поскольку по определению правые нётеровы кольца имеют условие возрастающей цепи на всех правых идеалах. Этого достаточно, чтобы гарантировать, что право-нётерово кольцо является правым Голди. Обратное не выполняется: каждая правая область Оре является правой областью Голди, и, следовательно, таковой является каждая коммутативная целостная область .
Следствием теоремы Голди, опять же принадлежащей Голди, является то, что каждое полупервичное кольцо главных правых идеалов изоморфно конечной прямой сумме первичных колец главных правых идеалов. Каждое первичное кольцо главных правых идеалов изоморфно кольцу матриц над правым доменом Оре.
![{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\langle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}\rangle /(\theta _{i}\theta _{j}+\theta _{j}\theta _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113e16379b13e010e4533d0c7172aed8c26d3710)