В математике сигнатура ( v , p , r ) [ требуется разъяснение ] метрического тензора g (или, что эквивалентно, действительной квадратичной формы, рассматриваемой как действительная симметричная билинейная форма на конечномерном векторном пространстве ) — это число (подсчитанное с кратностью) положительных, отрицательных и нулевых собственных значений действительной симметричной матрицы g ab метрического тензора относительно базиса . В релятивистской физике v традиционно представляет число временных или виртуальных измерений, а p — число пространственных или физических измерений. В качестве альтернативы его можно определить как размерности максимального положительного и нулевого подпространства . По закону инерции Сильвестра эти числа не зависят от выбора базиса и, таким образом, могут использоваться для классификации метрики. Сигнатура часто обозначается парой целых чисел ( v , p ), подразумевающих r = 0, или как явный список знаков собственных значений, таких как (+, −, −, −) или (−, +, +, +) для сигнатур (1, 3, 0) и (3, 1, 0) [ необходимо разъяснение ] соответственно. [1]
Сигнатура называется неопределенной или смешанной , если и v, и p не равны нулю, и вырожденной, если r не равно нулю. Риманова метрика — это метрика с положительно определенной сигнатурой ( v , 0) . Лоренцева метрика — это метрика с сигнатурой ( p , 1) или (1, p ) .
Существует еще одно понятие сигнатуры невырожденного метрического тензора, заданного одним числом s, определяемым как ( v − p ) , где v и p такие же, как указано выше, что эквивалентно приведенному выше определению, когда размерность n = v + p задана или подразумевается. Например, s = 1 − 3 = −2 для (+, −, −, −) и его зеркальное отображение s' = − s = +2 для (−, +, +, +) .
Сигнатура метрического тензора определяется как сигнатура соответствующей квадратичной формы . [2] Это число ( v , p , r ) положительных, отрицательных и нулевых собственных значений любой матрицы (т. е. в любом базисе для базового векторного пространства), представляющей форму, подсчитанное с их алгебраическими кратностями . Обычно требуется r = 0 , что равносильно утверждению, что метрический тензор должен быть невырожденным, т. е. никакой ненулевой вектор не ортогонален всем векторам.
По закону инерции Сильвестра числа ( v , p , r ) не зависят от базиса.
По спектральной теореме симметричная матрица n × n над действительными числами всегда диагонализируема и, следовательно, имеет ровно n действительных собственных значений (подсчитанных с алгебраической кратностью ). Таким образом, v + p = n = dim( V ) .
Согласно закону инерции Сильвестра , сигнатура скалярного произведения (также известного как действительная симметричная билинейная форма) g не зависит от выбора базиса. Более того, для каждой метрики g сигнатуры ( v , p , r ) существует базис такой, что g ab = +1 для a = b = 1, ..., v , g ab = −1 для a = b = v + 1, ..., v + p и g ab = 0 в противном случае. Отсюда следует, что существует изометрия ( V 1 , g 1 ) → ( V 2 , g 2 ) тогда и только тогда, когда сигнатуры g 1 и g 2 равны. Аналогично сигнатура одинакова для двух конгруэнтных матриц и классифицирует матрицу с точностью до конгруэнтности. Эквивалентно, сигнатура постоянна на орбитах общей линейной группы GL( V ) на пространстве симметричных контравариантных тензоров ранга 2 S 2 V ∗ и классифицирует каждую орбиту.
Число v (соответственно p ) является максимальной размерностью векторного подпространства, на котором скалярное произведение g является положительно-определенным (соответственно отрицательно-определенным), а r является размерностью радикала скалярного произведения g или нулевого подпространства симметричной матрицы g ab скалярного произведения . Таким образом, невырожденное скалярное произведение имеет сигнатуру ( v , p , 0) , причем v + p = n . Двойственность особых случаев ( v , p , 0) соответствует двум скалярным собственным значениям, которые могут быть преобразованы друг в друга зеркальным отображением взаимно.
Сигнатура единичной матрицы n × n равна ( n , 0, 0) . Сигнатура диагональной матрицы — это количество положительных, отрицательных и нулевых чисел на ее главной диагонали .
Следующие матрицы имеют одинаковую сигнатуру (1, 1, 0) , поэтому они конгруэнтны из-за закона инерции Сильвестра :
Стандартное скалярное произведение, определенное на , имеет n -мерные сигнатуры ( v , p , r ) , где v + p = n и ранг r = 0 .
В физике пространство Минковского представляет собой пространственно-временное многообразие с основаниями v = 1 и p = 3 и имеет скалярное произведение, определяемое либо матрицей :
которая имеет сигнатуру и известна как превосходство пространства или подобное пространству; или зеркальная сигнатура , известная как виртуальное превосходство или подобное времени с матрицей.
Существует несколько методов вычисления сигнатуры матрицы.
В математике обычным соглашением для любого риманова многообразия является использование положительно определенного метрического тензора (это означает, что после диагонализации все элементы на диагонали становятся положительными).
В теоретической физике пространство -время моделируется псевдоримановым многообразием . Сигнатура подсчитывает, сколько времениподобных или пространственноподобных символов находится в пространстве-времени, в смысле, определенном специальной теорией относительности : как это используется в физике элементарных частиц , метрика имеет собственное значение на времениподобном подпространстве и его зеркальное собственное значение на пространственноподобном подпространстве. В конкретном случае метрики Минковского ,
метрическая сигнатура равна или (+, −, −, −), если ее собственное значение определено в направлении времени, или или (−, +, +, +), если собственное значение определено в трех пространственных направлениях x , y и z . (Иногда используется противоположное соглашение о знаках , но с приведенным здесь s напрямую измеряет собственное время .)
Если метрика регулярна всюду, то сигнатура метрики постоянна. Однако если допустить метрики, которые вырождены или разрывны на некоторых гиперповерхностях, то сигнатура метрики может измениться на этих поверхностях. [3] Такие метрики, изменяющие сигнатуру, возможно, могут иметь приложения в космологии и квантовой гравитации .
