несжимаемый поток

Поток жидкости, при котором плотность остается постоянной

В механике жидкости или, в более общем плане , в механике сплошной среды , несжимаемый поток ( изохорный поток ) относится к потоку , в котором плотность материала каждой порции жидкости — бесконечно малого объема, который движется со скоростью потока , — не зависит от времени. Эквивалентное утверждение, подразумевающее несжимаемый поток, состоит в том, что дивергенция скорости потока равна нулю (см. вывод ниже, который показывает, почему эти условия эквивалентны).

Несжимаемый поток не означает, что сама жидкость несжимаема. В приведенном ниже выводе показано, что при правильных условиях даже течение сжимаемой жидкости можно с хорошим приближением моделировать как поток несжимаемой жидкости.

Вывод

Основное требование к несжимаемому потоку состоит в том, чтобы плотность была постоянной в пределах небольшого объема элемента dV , который движется со скоростью потока u . Математически это ограничение подразумевает, что производная плотности материала (обсуждаемая ниже) должна обращаться в нуль, чтобы обеспечить несжимаемый поток. Прежде чем вводить это ограничение, мы должны применить закон сохранения массы для создания необходимых соотношений. Масса рассчитывается по объемному интегралу плотности : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.}$

Сохранение массы требует, чтобы производная массы по времени внутри контрольного объема была равна потоку массы J через его границы. Математически мы можем представить это ограничение в виде поверхностного интеграла :

${\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

Отрицательный знак в приведенном выше выражении гарантирует, что поток наружу приводит к уменьшению массы по отношению ко времени, используя соглашение, согласно которому вектор площади поверхности направлен наружу. Теперь, используя теорему о дивергенции , мы можем вывести связь между потоком и частной производной плотности по времени:

${\displaystyle {\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},}$

поэтому:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .}$

Частная производная плотности по времени не обязательно обращается в нуль, чтобы обеспечить несжимаемый поток . Когда мы говорим о частной производной плотности по времени, мы имеем в виду эту скорость изменения в контрольном объеме фиксированного положения . Позволяя частной производной плотности по времени быть отличной от нуля, мы не ограничиваемся несжимаемыми жидкостями , поскольку плотность может меняться, наблюдаемая из фиксированного положения, когда жидкость течет через контрольный объем. Этот подход сохраняет общность и не требует, чтобы частная производная плотности по времени обращалась в нуль, показывает, что сжимаемые жидкости все еще могут подвергаться течению несжимаемыми. Нас интересует изменение плотности контрольного объема, движущегося вместе со скоростью потока u . Поток связан со скоростью потока посредством следующей функции:

${\displaystyle {\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.}$

Итак, сохранение массы означает, что:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

Предыдущее соотношение (где мы использовали соответствующее правило произведения ) известно как уравнение непрерывности . Теперь нам нужно следующее соотношение о полной производной плотности (где мы применяем цепное правило ):

${\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

Итак, если мы выберем контрольный объем, который движется с той же скоростью, что и жидкость (т.е. ( dx / dt ,  dy / dt ,  dz / dt ) =  u ), то это выражение упрощается до материальной производной :

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.}$

Итак, используя уравнение неразрывности, полученное выше, мы видим, что:

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.}$

Изменение плотности с течением времени означало бы, что жидкость либо сжималась, либо расширялась (или что масса, содержащаяся в нашем постоянном объеме, dV , изменилась), что мы запретили. Затем мы должны потребовать, чтобы материальная производная плотности обращалась в нуль, и, что эквивалентно (для ненулевой плотности), то же самое должно происходить и с дивергенцией скорости потока:

${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.}$

Итак, начиная с сохранения массы и ограничения, согласно которому плотность внутри движущегося объема жидкости остается постоянной, было показано, что эквивалентным условием, необходимым для несжимаемого потока, является то, что дивергенция скорости потока исчезает.

Связь со сжимаемостью

В некоторых областях мерой несжимаемости потока является изменение плотности в результате изменений давления. Лучше всего это выражается через сжимаемость

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.}$

Если сжимаемость приемлемо мала, поток считается несжимаемым.

Связь с соленоидальным полем

Несжимаемое течение описывается соленоидальным полем скорости потока. Но соленоидальное поле, помимо нулевой дивергенции , также имеет дополнительный смысл наличия ненулевого ротора (т. е. вращательного компонента).

В противном случае, если несжимаемый поток также имеет нулевой ротор, так что он также является безвихревым , то поле скорости потока фактически является лапласовым .

Отличие от материала

Как было определено ранее, несжимаемым (изохорным) течением является поток, в котором

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,}$

Это эквивалентно тому, что

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

т.е. материальная производная плотности равна нулю. Таким образом, если следовать материальному элементу, его массовая плотность остается постоянной. Обратите внимание, что материальная производная состоит из двух членов. Первый член описывает, как плотность материального элемента меняется со временем. Этот термин также известен как нестационарный член . Второе слагаемое описывает изменения плотности при перемещении материального элемента из одной точки в другую. Это термин адвекции (член конвекции для скалярного поля). Для того чтобы поток можно было считать несжимаемым, сумма приращений этих членов должна обращаться в нуль. ${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$

С другой стороны, однородный несжимаемый материал имеет постоянную плотность по всей длине. Для такого материала . Это подразумевает, что ${\displaystyle \rho ={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$и

${\displaystyle \nabla \rho =0}$ независимо .

Из уравнения неразрывности следует, что

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Таким образом, однородные материалы всегда подвергаются несжимаемому течению, но обратное неверно. То есть сжимаемые материалы могут не испытывать сжатия в потоке.

Связанные ограничения потока

В гидродинамике поток считается несжимаемым, если дивергенция скорости потока равна нулю. Однако иногда можно использовать родственные формулировки, в зависимости от моделируемой системы течения. Некоторые версии описаны ниже:

1. Несжимаемый поток : . Это может предполагать либо постоянную плотность (строгая несжимаемость), либо поток переменной плотности. Набор изменяющейся плотности допускает решения, включающие небольшие возмущения в полях плотности , давления и/или температуры, и может учитывать стратификацию давления в области. ${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}}$
2. Неупругое течение : . Неупругое ограничение , используемое в основном в области атмосферных наук , расширяет применимость несжимаемого потока на стратифицированную плотность и/или температуру, а также давление. Это позволяет термодинамическим переменным релаксировать до «атмосферного» базового состояния, наблюдаемого в нижних слоях атмосферы, например, при использовании в области метеорологии. Это условие можно использовать и для различных астрофизических систем. ^[1] ${\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}}$
3. Поток с малым числом Маха , или псевдонесжимаемость : . Ограничение низкого числа Маха можно вывести из уравнений Эйлера для сжимаемости с использованием масштабного анализа безразмерных величин. Ограничение, как и предыдущее в этом разделе, позволяет устранить акустические волны, но также допускает большие возмущения плотности и/или температуры. Предполагается, что поток остается в пределах числа Маха (обычно меньше 0,3), чтобы любое решение, использующее такое ограничение, было действительным. Опять же, в соответствии со всеми несжимаемыми потоками отклонение давления должно быть небольшим по сравнению с базовым состоянием давления. ^[2] ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$

Эти методы делают разные предположения о потоке, но все они учитывают общую форму ограничения для общих функций, зависящих от потока , и . ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Численные приближения

Строгость уравнений течения несжимаемой жидкости означает, что для их решения были разработаны специальные математические методы. Некоторые из этих методов включают в себя:

1. Метод проекции (как приближенный, так и точный)
2. Техника искусственной сжимаемости (приблизительная)
3. Предварительная подготовка к сжатию

Смотрите также

• Принцип Бернулли
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Уравнения Навье – Стокса.

Рекомендации

1. Дюрран, ДР (1989). «Улучшение неупругого приближения» (PDF) . Журнал атмосферных наук . 46 (11): 1453–1461. Бибкод : 1989JAtS...46.1453D. doi :10.1175/1520-0469(1989)046<1453:ITAA>2.0.CO;2. ISSN  1520-0469. ^{[ мертвая ссылка ]}
2. Альмгрен, А.С.; Белл, Дж.Б.; Рендлман, Калифорния; Зингале, М. (2006). «Моделирование сверхновых типа Ia с низким числом Маха. I. Гидродинамика» (PDF) . Астрофизический журнал . 637 (2): 922–936. arXiv : astro-ph/0509892 . Бибкод : 2006ApJ...637..922A. дои : 10.1086/498426. Архивировано из оригинала (PDF) 31 октября 2008 г. Проверено 4 декабря 2008 г.