Четность (математика)

Свойство быть четным или нечетным числом

Палочки Кюизенера : 5 (желтых) нельзя разделить поровну на 2 (красных) любыми 2 палочками того же цвета/длины, в то время как 6 (темно-зеленых) можно разделить поровну на 2 на 3 (лаймово-зеленых).

В математике четность — это свойство целого числа , четное оно или нечетное . Целое число четное, если оно делится на 2 , и нечетное, если нет. ^[1] Например, −4, 0 и 82 — четные числа, а −3, 5, 7 и 21 — нечетные числа.

Приведенное выше определение четности применимо только к целым числам, поэтому его нельзя применять к таким числам, как 1/2 или 4,201. См. раздел «Высшая математика» ниже для некоторых расширений понятия четности на более широкий класс «чисел» или в других более общих условиях.

Чётные и нечётные числа имеют противоположную чётность, например, 22 (чётное число) и 13 (нечётное число) имеют противоположную чётность. В частности, чётность нуля чётная. ^[2] Любые два последовательных целых числа имеют противоположную чётность. Число (т. е. целое число), выраженное в десятичной системе счисления, является чётным или нечётным в зависимости от того, является ли его последняя цифра чётной или нечётной. То есть, если последняя цифра равна 1, 3, 5, 7 или 9, то оно нечётное; в противном случае оно чётное — поскольку последняя цифра любого чётного числа равна 0, 2, 4, 6 или 8. Та же идея будет работать с использованием любого чётного основания. В частности, число, выраженное в двоичной системе счисления, является нечётным, если его последняя цифра равна 1; и оно чётное, если его последняя цифра равна 0. В нечётном основании число является чётным в соответствии с суммой его цифр — оно чётное тогда и только тогда, когда сумма его цифр чётная. ^[3]

Определение

Четное число — это целое число вида , где k — целое число; ^[4] нечетное число — это целое число вида $${\displaystyle x=2k}$$ $${\displaystyle x=2k+1.}$$

Эквивалентное определение состоит в том, что четное число делится на 2, а нечетное — нет: $${\displaystyle 2\ |\ x}$$ $${\displaystyle 2\not |\ x}$$

Множества четных и нечетных чисел можно определить следующим образом: ^[5] $${\displaystyle \{2k:k\in \mathbb {Z} \}}$$ $${\displaystyle \{2k+1:k\in \mathbb {Z} \}}$$

Множество четных чисел является простым идеалом , а фактор-кольцо — полем с двумя элементами . Тогда четность можно определить как единственный гомоморфизм колец из в , где нечетные числа равны 1, а четные числа равны 0. Последствия этого гомоморфизма рассматриваются ниже. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Характеристики

Следующие законы можно проверить, используя свойства делимости . Они являются особым случаем правил в модульной арифметике и обычно используются для проверки вероятности равенства путем проверки четности каждой стороны. Как и в обычной арифметике, умножение и сложение являются коммутативными и ассоциативными в арифметике по модулю 2, а умножение является дистрибутивным относительно сложения. Однако вычитание по модулю 2 идентично сложению, поэтому вычитание также обладает этими свойствами, что неверно для обычной целочисленной арифметики.

Сложение и вычитание

• четный ± четный = четный; ^[1]
• четный ± нечетный = нечетный; ^[1]
• нечетный ± нечетный = четный; ^[1]

Умножение

• четный × четный = четный; ^[1]
• четный × нечетный = четный; ^[1]
• нечетное × нечетное = нечетное; ^[1]

По построению в предыдущем разделе структура ({четный, нечетный}, +, ×) на самом деле является полем с двумя элементами .

Разделение

Деление двух целых чисел не обязательно приводит к целому числу. Например, 1, деленное на 4, равно 1/4, что не является ни четным, ни нечетным, поскольку понятия четности и нечетности применимы только к целым числам. Но когда частное является целым числом, оно будет четным тогда и только тогда, когда делимое имеет больше множителей два, чем делитель. ^[6]

История

Древние греки считали, что 1, монада , не является ни полностью нечетным, ни полностью четным. ^[7] Часть этого мнения сохранилась и в 19 веке: в работе Фридриха Вильгельма Августа Фребеля «Воспитание человека» 1826 года учитель должен наставлять учеников, утверждая, что 1 не является ни четным, ни нечетным, к чему Фребель добавляет философскую последующую мысль:

Здесь хорошо бы сразу обратить внимание ученика на великий далеко идущий закон природы и мысли. Он заключается в том, что между двумя относительно различными вещами или идеями всегда стоит третья, в своего рода равновесии, как будто объединяющая их. Таким образом, здесь между нечетными и четными числами есть одно число (единица), которое не является ни одним из них. Аналогично, по форме, прямой угол находится между острыми и тупыми углами; а в языке полугласные или стремящиеся между немыми и гласными. Вдумчивый учитель и ученик, наученный думать самостоятельно, вряд ли не заметят этот и другие важные законы. ^[8]

Высшая математика

Более высокие измерения и более общие классы чисел

Каждый из белых слонов ограничен полями одинаковой четности; черный конь может прыгать только на поля с чередующейся четностью.

Целочисленные координаты точек в евклидовых пространствах двух или более измерений также имеют четность, обычно определяемую как четность суммы координат. Например, гранецентрированная кубическая решетка и ее многомерные обобщения ( решетки D _n ) состоят из всех целочисленных точек, координаты которых имеют четную сумму. ^[9] Эта особенность также проявляется в шахматах , где четность квадрата указывается его цветом: слоны ограничены перемещением между квадратами одинаковой четности, тогда как кони чередуют четность между ходами. ^[10] Эта форма четности была широко использована для решения проблемы изуродованной шахматной доски : если с шахматной доски убрать два противоположных угловых квадрата, то оставшуюся доску нельзя будет покрыть домино, потому что каждое домино покрывает один квадрат каждой четности, и квадратов одной четности на два больше, чем другой. ^[11]

Четность порядкового числа может быть определена как четная, если число является предельным порядковым числом или предельным порядковым числом плюс конечное четное число, и нечетная в противном случае. ^[12]

Пусть R — коммутативное кольцо , а I — идеал R , индекс которого равен 2. Элементы смежного класса можно назвать четными , а элементы смежного класса — нечетными . Например, пусть R = Z ₍₂₎ — локализация Z в простом идеале (2). Тогда элемент R является четным или нечетным тогда и только тогда, когда его числитель является таковым в Z . ${\displaystyle 0+I}$ ${\displaystyle 1+I}$

Теория чисел

Чётные числа образуют идеал в кольце целых чисел, ^[13] но нечётные числа не образуют — это ясно из того факта, что элемент тождества для сложения, ноль, является элементом только чётных чисел. Целое число является чётным, если оно сравнимо с 0 по модулю этого идеала, другими словами, если оно сравнимо с 0 по модулю 2, и нечётным, если оно сравнимо с 1 по модулю 2.

Все простые числа нечетные, за одним исключением: простое число 2. ^[14] Все известные совершенные числа четные; неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа. ^[15]

Гипотеза Гольдбаха утверждает, что каждое четное целое число, большее 2, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. Современные компьютерные вычисления показали, что эта гипотеза верна для целых чисел по крайней мере до 4 × 10 ¹⁸ , но до сих пор не найдено общего доказательства . ^[16]

Теория групп

Месть Рубика в решенном состоянии

Четность перестановки (как определено в абстрактной алгебре ) — это четность числа транспозиций , на которые может быть разложена перестановка. ^[17] Например, (ABC) в (BCA) четно, потому что это можно сделать, поменяв местами A и B, а затем C и A (две транспозиции). Можно показать, что никакая перестановка не может быть разложена как на четное, так и на нечетное число транспозиций. Следовательно, вышеприведенное определение является подходящим. В кубике Рубика , Мегаминксе и других головоломках на скручивание ходы головоломки допускают только четные перестановки частей головоломки, поэтому четность важна для понимания пространства конфигураций этих головоломок. ^[18]

Теорема Фейта–Томпсона утверждает, что конечная группа всегда разрешима, если ее порядок — нечетное число. Это пример нечетных чисел, играющих роль в продвинутой математической теореме, где метод применения простой гипотезы «нечетного порядка» далеко не очевиден. ^[19]

Анализ

Четность функции описывает, как изменяются ее значения, когда ее аргументы меняются местами с их отрицаниями. Четная функция, например, четная степень переменной, дает тот же результат для любого аргумента, что и для ее отрицания. Нечетная функция, например, нечетная степень переменной, дает для любого аргумента отрицание ее результата, когда задано отрицание этого аргумента. Функция может быть ни нечетной, ни четной, а в случае f ( x ) = 0 — и нечетной, и четной. ^[20] Ряд Тейлора четной функции содержит только члены, показатель степени которых является четным числом, а ряд Тейлора нечетной функции содержит только члены, показатель степени которых является нечетным числом. ^[21]

Комбинаторная теория игр

В комбинаторной теории игр злое число — это число, которое имеет четное число единиц в своем двоичном представлении , а одиозное число — это число, которое имеет нечетное число единиц в своем двоичном представлении; эти числа играют важную роль в стратегии игры Kayles . ^[22] Функция четности отображает число в число единиц в его двоичном представлении по модулю 2 , поэтому ее значение равно нулю для злых чисел и единице для одиозных чисел. Последовательность Туэ-Морса , бесконечная последовательность нулей и единиц, имеет 0 в позиции i, когда i является злым, и 1 в этой позиции, когда i является одиозным. ^[23]

Дополнительные приложения

В теории информации бит четности , добавленный к двоичному числу, обеспечивает простейшую форму кода обнаружения ошибок . Если один бит в результирующем значении изменяется, то он больше не будет иметь правильную четность: изменение бита в исходном числе дает ему четность, отличную от записанной, а изменение бита четности без изменения числа, из которого он был получен, снова дает неправильный результат. Таким образом, все ошибки передачи одного бита могут быть надежно обнаружены. ^[24] Некоторые более сложные коды обнаружения ошибок также основаны на использовании нескольких бит четности для подмножеств битов исходного закодированного значения. ^[25]

В духовых инструментах с цилиндрическим каналом, фактически закрытых с одного конца, таких как кларнет у мундштука, производимые гармоники являются нечетными кратными основной частоты . (В случае цилиндрических труб, открытых с обоих концов, используемых, например, в некоторых органных регистрах, таких как открытый диапазон , гармоники являются четными кратными той же частоты для данной длины канала, но это имеет эффект удвоения основной частоты и производятся все кратные этой основной частоты.) См. гармонический ряд (музыка) . ^[26]

В некоторых странах нумерация домов выбирается таким образом, что дома на одной стороне улицы имеют четные номера, а дома на другой стороне — нечетные номера. ^[27] Аналогично, среди пронумерованных автомагистралей в Соединенных Штатах четные номера в основном обозначают шоссе с востока на запад, а нечетные номера в основном обозначают шоссе с севера на юг. ^{[28] Среди} номеров рейсов авиакомпаний четные номера обычно обозначают рейсы в восточном или северном направлении, а нечетные номера обычно обозначают рейсы в западном или южном направлении. ^[29]

Смотрите также

• Делитель
• Полуцелое число

Ссылки

1. Виджая, А.В.; Родригес, Дора, Выяснение математики, Pearson Education India, стр. 20–21, ISBN 9788131703571.
2. Бона, Миклош (2011), Прогулка по комбинаторике: Введение в перечисление и теорию графов, World Scientific, стр. 178, ISBN 9789814335232.
3. Оуэн, Рут Л. (1992), «Делимость по основаниям» (PDF) , Пентагон: математический журнал для студентов , 51 (2): 17–20, архивировано из оригинала (PDF) 2015-03-17.
4. Бассареар, Том (2010), Математика для учителей начальной школы, Cengage Learning, стр. 198, ISBN 9780840054630.
5. Сайдботэм, Томас Х. (2003), Математика от А до Я: Базовое руководство, John Wiley & Sons, стр. 181, ISBN 9780471461630.
6. Полиа, Джордж ; Тарьян, Роберт Э .; Вудс, Дональд Р. (2009), Заметки о вводной комбинаторике, Springer, стр. 21–22, ISBN 9780817649524.
7. Танкха (2006), Древнегреческая философия: от Фалеса до Горгия, Pearson Education India, стр. 126, ISBN 9788177589399.
8. Фрёбель, Фридрих (1885), «Воспитание человека», перевод Джарвис, Жозефины, Нью-Йорк: A Lovell & Company, стр. 240.
9. Конвей, Дж. Х.; Слоан, NJA (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], том. 290 (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 10, ISBN 978-0-387-98585-5, г-н  1662447.
10. Пандольфини, Брюс (1995), Шахматное мышление: визуальный словарь шахматных ходов, правил, стратегий и концепций, Саймон и Шустер, стр. 273–274, ISBN 9780671795023.
11. Мендельсон, Н. С. (2004), «Tiling with dominoes», The College Mathematics Journal , 35 (2): 115–120, doi :10.2307/4146865, JSTOR  4146865.
12. Брукнер, Эндрю М.; Брукнер, Джудит Б.; Томсон, Брайан С. (1997), Реальный анализ, ClassicalRealAnalysis.com, стр. 37, ISBN 978-0-13-458886-5.
13. Стиллвелл, Джон (2003), Элементы теории чисел, Springer, стр. 199, ISBN 9780387955872.
14. Лиал, Маргарет Л.; Зальцман, Стэнли А.; Хествуд, Диана (2005), Basic College Mathematics (7-е изд.), Addison Wesley, стр. 128, ISBN 9780321257802.
15. Дадли, Андервуд (1992), «Совершенные числа», Mathematical Cranks , MAA Spectrum, Cambridge University Press, стр. 242–244, ISBN 9780883855072.
16. Оливейра и Силва, Томас; Герцог, Зигфрид; Парди, Сильвио (2013), «Эмпирическая проверка гипотезы Гольдбаха и вычисление промежутков между простыми числами до 4·1018» (PDF) , Математика вычислений , 83 (288): 2033–2060, doi : 10.1090/s0025-5718-2013-02787-1. В печати.
17. Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 45, Cambridge University Press, стр. 26–27, ISBN 9780521653787.
18. Джойнер, Дэвид (2008), «13.1.2 Условия четности», Приключения в теории групп: кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки, JHU Press, стр. 252–253, ISBN 9780801897269.
19. Бендер, Хельмут; Глауберман, Джордж (1994), Локальный анализ для теоремы нечетного порядка , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 188, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45716-3, г-н  1311244; Петерфальви, Томас (2000), Теория характеров для теоремы о нечетном порядке , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 272, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64660-4, г-н  1747393.
20. Густафсон, Рой Дэвид; Хьюз, Джеффри Д. (2012), College Algebra (11-е изд.), Cengage Learning, стр. 315, ISBN 9781111990909.
21. Джейн, Р. К.; Айенгар, С. Р. К. (2007), Высшая инженерная математика, Alpha Science Int'l Ltd., стр. 853, ISBN 9781842651858.
22. Гай, Ричард К. (1996), «Беспристрастные игры», Игры без шансов (Беркли, Калифорния, 1994) , Math. Sci. Res. Inst. Publ., т. 29, Кембридж: Cambridge Univ. Press, стр. 61–78, MR  1427957. См. в частности стр. 68.
23. Бернхардт, Крис (2009), «Злые близнецы чередуются с отвратительными близнецами» (PDF) , Mathematics Magazine , 82 (1): 57–62, doi :10.4169/193009809x469084, JSTOR  27643161.
24. Мозер, Стефан М.; Чен, По-Нин (2012), Руководство для студентов по кодированию и теории информации, Cambridge University Press, стр. 19–20, ISBN 9781107015838.
25. Берру, Клод (2011), Коды и турбокоды, Springer, стр. 4, ISBN 9782817800394.
26. Рэндалл, Роберт Х. (2005), Введение в акустику, Довер, стр. 181, ISBN 9780486442518.
27. Кромли, Эллен К.; Маклафферти, Сара Л. (2011), ГИС и общественное здравоохранение (2-е изд.), Guilford Press, стр. 100, ISBN 9781462500628.
28. Свифт, Эрл (2011), Большие дороги: нерассказанная история инженеров, визионеров и первопроходцев, создавших американские супермагистрали, Houghton Mifflin Harcourt, стр. 95, ISBN 9780547549132.
29. Лауэр, Крис (2010), Southwest Airlines, Корпорации, изменившие мир, ABC-CLIO, стр. 90, ISBN 9780313378638.