Закон обратных квадратов

Физический закон

S представляет собой источник света, а r представляет собой измеренные точки. Линии представляют поток, исходящий от источников и потоков. Общее количество линий потока зависит от силы источника света и постоянно с увеличением расстояния, где большая плотность линий потока (линий на единицу площади) означает более сильное энергетическое поле. Плотность линий потока обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника, поскольку площадь поверхности сферы увеличивается с квадратом радиуса. Таким образом, интенсивность поля обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

В науке закон обратных квадратов — это любой научный закон, утверждающий, что наблюдаемая «интенсивность» указанной физической величины обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника этой физической величины. Фундаментальную причину этого можно понять как геометрическое разбавление, соответствующее точечному источнику излучения в трехмерном пространстве.

Энергия радара увеличивается как во время передачи сигнала, так и во время отражения , поэтому обратный квадрат для обоих путей означает, что радар будет получать энергию в соответствии с обратной четвертой степенью дальности.

Чтобы предотвратить рассеивание энергии при распространении сигнала, можно использовать определенные методы, например, волновод , который действует как канал для воды, или как ствол оружия, ограничивающий расширение горячего газа в одном измерении , чтобы предотвратить потерю передачи энергии пуле .

Формула

В математической нотации закон обратных квадратов может быть выражен как интенсивность (I), изменяющаяся как функция расстояния (d) от некоторого центра. Интенсивность пропорциональна (см. ∝ ) обратной величине квадрата расстояния, таким образом: $${\displaystyle {\text{intensity}}\ \propto \ {\frac {1}{{\text{distance}}^{2}}}\,}$$

Математически это также можно выразить так: $${\displaystyle {\frac {{\text{intensity}}_{1}}{{\text{intensity}}_{2}}}={\frac {{\text{distance}}_{2}^{2}}{{\text{distance}}_{1}^{2}}}}$$

или как формулировка постоянной величины: $${\displaystyle {\text{intensity}}_{1}\times {\text{distance}}_{1}^{2}={\text{intensity}}_{2}\times {\text{distance}}_{2}^{2}}$$

Дивергенция векторного поля , которое является результатом радиальных полей закона обратных квадратов относительно одного или нескольких источников, пропорциональна силе локальных источников, и, следовательно, нулевых внешних источников. Закон всемирного тяготения Ньютона следует закону обратных квадратов, как и эффекты электрических , световых , звуковых и радиационных явлений.

Оправдание

Закон обратных квадратов обычно применяется, когда некоторая сила, энергия или другая сохраняющаяся величина равномерно излучается наружу из точечного источника в трехмерном пространстве . Поскольку площадь поверхности сферы (которая равна 4π r ² ) пропорциональна квадрату радиуса, по мере того, как испускаемое излучение удаляется от источника, оно распространяется по площади, которая увеличивается пропорционально квадрату расстояния от источника. Следовательно, интенсивность излучения, проходящего через любую единичную площадь (прямо обращенную к точечному источнику), обратно пропорциональна квадрату расстояния от точечного источника. Закон Гаусса для гравитации применим аналогичным образом и может быть использован с любой физической величиной, которая действует в соответствии с соотношением обратных квадратов.

Происшествия

Гравитация

Гравитация — это притяжение между объектами, имеющими массу. Закон Ньютона гласит:

Сила гравитационного притяжения между двумя точечными массами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Сила всегда притягивающая и действует вдоль линии, соединяющей их. ^{[ необходима цитата ]}

Если распределение материи в каждом теле сферически симметрично, то объекты можно рассматривать как точечные массы без приближения, как показано в теореме о оболочках . В противном случае, если мы хотим вычислить притяжение между массивными телами, нам нужно сложить все силы притяжения точка-точка векторно, и чистое притяжение может не быть точным обратным квадратом. Однако, если расстояние между массивными телами намного больше по сравнению с их размерами, то для хорошего приближения разумно рассматривать массы как точечную массу, расположенную в центре масс объекта при вычислении гравитационной силы.

Как закон тяготения, этот закон был предложен в 1645 году Исмаэлем Бульяльдусом . Но Бульяльдус не принимал второй и третий законы Кеплера , а также не ценил решение Христиана Гюйгенса для кругового движения (движение по прямой линии, оттягиваемое центральной силой). Действительно, Бульяльдус утверждал, что сила Солнца притягивает в афелии и отталкивает в перигелии. Роберт Гук и Джованни Альфонсо Борелли оба изложили гравитацию в 1666 году как силу притяжения. ^[1] Лекция Гука «О гравитации» состоялась в Королевском обществе в Лондоне 21 марта. ^[2] «Теория планет» Борелли была опубликована позднее в 1666 году. ^[3] В лекции Гука в Грешеме 1670 года объяснялось, что гравитация применима ко «всем небесным телам», и были добавлены принципы, согласно которым сила гравитации уменьшается с расстоянием, и что при отсутствии такой силы тела движутся по прямым линиям. К 1679 году Гук считал, что гравитация имеет обратную квадратичную зависимость, и сообщил об этом в письме Исааку Ньютону : ^[4] Мое предположение заключается в том, что притяжение всегда в двойной пропорции к расстоянию от центра, обратно пропорциональному . ^[5]

Гук остался недоволен тем, что Ньютон притязал на изобретение этого принципа, хотя в «Началах» 1686 года Ньютон признавал, что Гук, наряду с Реном и Галлеем, по отдельности оценил закон обратных квадратов в солнечной системе ^[6] , а также отдавал должное Буллиальдусу. ^[7]

Электростатика

Сила притяжения или отталкивания между двумя электрически заряженными частицами, помимо того, что она прямо пропорциональна произведению электрических зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; это известно как закон Кулона . Отклонение показателя степени от 2 составляет менее одной части в 10 ¹⁵ . ^[8]

$${\displaystyle F=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$$

Свет и другое электромагнитное излучение

Интенсивность (или освещенность , или облученность ) света или других линейных волн , излучаемых точечным источником (энергия на единицу площади, перпендикулярной источнику), обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника, поэтому объект (того же размера), находящийся в два раза дальше, получает только четверть энергии ( за тот же период времени).

В более общем смысле, облученность, т. е. интенсивность (или мощность на единицу площади в направлении распространения ) сферического волнового фронта , изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от источника (при условии отсутствия потерь, вызванных поглощением или рассеянием ).

Например, интенсивность излучения Солнца составляет 9126 Вт на квадратный метр на расстоянии Меркурия (0,387 а.е. ), но всего 1367 Вт на квадратный метр на расстоянии Земли (1 а.е.) — приблизительно трехкратное увеличение расстояния приводит к приблизительно девятикратному уменьшению интенсивности излучения.

Для неизотропных излучателей , таких как параболические антенны , фары и лазеры , эффективное начало координат расположено далеко за апертурой луча. Если вы находитесь близко к началу координат, вам не нужно далеко идти, чтобы удвоить радиус, поэтому сигнал быстро падает. Когда вы находитесь далеко от начала координат и все еще имеете сильный сигнал, как в случае с лазером, вам нужно очень далеко идти, чтобы удвоить радиус и уменьшить сигнал. Это означает, что у вас более сильный сигнал или усиление антенны в направлении узкого луча относительно широкого луча во всех направлениях изотропной антенны .

В фотографии и сценическом освещении закон обратных квадратов используется для определения «спада» или разницы в освещении объекта по мере его приближения к источнику света или удаления от него. Для быстрых приближений достаточно помнить, что удвоение расстояния уменьшает освещенность на одну четверть; ^[9] или аналогично, чтобы уменьшить освещенность вдвое, увеличьте расстояние в 1,4 раза ( квадратный корень из 2 ), а чтобы удвоить освещенность, уменьшите расстояние до 0,7 (квадратный корень из 1/2). Когда источник света не является точечным источником, правило обратных квадратов часто все еще является полезным приближением; когда размер источника света составляет менее одной пятой расстояния до объекта, ошибка расчета составляет менее 1%. ^[10]

Дробное уменьшение электромагнитного потока (Φ) для косвенно ионизирующего излучения с увеличением расстояния от точечного источника можно рассчитать с помощью закона обратных квадратов. Поскольку излучение от точечного источника имеет радиальное направление, оно пересекается при перпендикулярном падении. Площадь такой оболочки составляет 4π r ² , где r — радиальное расстояние от центра. Закон особенно важен в диагностической радиографии и планировании лечения радиотерапией , хотя эта пропорциональность не выполняется в практических ситуациях, если размеры источника не намного меньше расстояния. Как указано в теории тепла Фурье , «поскольку точечный источник является увеличением расстояния, его излучение разбавляется пропорционально синусу угла, увеличивающейся дуги окружности от точки происхождения».

Пример

Пусть P   — полная мощность, излучаемая точечным источником (например, всенаправленным изотропным излучателем ). На больших расстояниях от источника (по сравнению с размером источника) эта мощность распределяется по все большим и большим сферическим поверхностям по мере увеличения расстояния от источника. Поскольку площадь поверхности сферы радиусом r равна A  = 4 πr  ² , интенсивность I (мощность на единицу площади) излучения на расстоянии r равна $${\displaystyle I={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}.\,}$$

Энергия или интенсивность уменьшаются (делится на 4) при удвоении расстояния r ; если измерять в дБ, то уменьшатся на 6,02 дБ при удвоении расстояния. Применительно к измерениям мощностных величин отношение может быть выражено как уровень в децибелах путем оценки десятикратного логарифма по основанию 10 отношения измеренной величины к опорному значению.

Звук в газе

В акустике звуковое давление сферического волнового фронта , исходящего от точечного источника, уменьшается на 50% при удвоении расстояния r ; измеренное в дБ , уменьшение все еще составляет 6,02 дБ, поскольку дБ представляет собой отношение интенсивности. Отношение давлений (в отличие от отношения мощностей) не обратно квадратично, а обратно пропорционально (закон обратного расстояния):

$${\displaystyle p\ \propto \ {\frac {1}{r}}\,}$$

То же самое справедливо и для составляющей скорости частицы , которая совпадает по фазе с мгновенным звуковым давлением : ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle p\,}$

$${\displaystyle v\ \propto {\frac {1}{r}}\ \,}$$

В ближнем поле находится квадратурная составляющая скорости частицы, которая на 90° не совпадает по фазе со звуковым давлением и не вносит вклад в усредненную по времени энергию или интенсивность звука. Интенсивность звука является произведением среднеквадратичного звукового давления и синфазной составляющей среднеквадратичной скорости частицы, обе из которых обратно пропорциональны. Соответственно, интенсивность следует обратно квадратичному поведению:

$${\displaystyle I\ =\ pv\ \propto \ {\frac {1}{r^{2}}}.\,}$$

Интерпретация теории поля

Для безвихревого векторного поля в трехмерном пространстве закон обратных квадратов соответствует свойству, что дивергенция равна нулю вне источника. Это можно обобщить на более высокие измерения. В общем случае для безвихревого векторного поля в n -мерном евклидовом пространстве интенсивность "I" векторного поля убывает с расстоянием "r" в соответствии с законом обратной ( n −  1) ^{степени}

$${\displaystyle I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},}$$

при условии, что пространство за пределами источника свободно от расхождений. ^{[ необходима цитата ]}

Неевклидовы импликации

Закон обратных квадратов, фундаментальный в евклидовых пространствах, также применим к неевклидовым геометриям , включая гиперболическое пространство . Внутренняя кривизна в этих пространствах влияет на физические законы, лежащие в основе различных областей, таких как космология , общая теория относительности и теория струн . ^[11]

Джон Д. Барроу в своей статье 2020 года «Неевклидова ньютоновская космология» подробно рассматривает поведение силы (F) и потенциала (Φ) в гиперболическом 3-пространстве (H3). Он иллюстрирует, что F и Φ подчиняются формулам F ∝ 1 / R^2 sinh^2(r/R) и Φ ∝ coth(r/R), где R и r представляют собой радиус кривизны и расстояние от фокальной точки соответственно. ^[11]

Концепция размерности пространства, впервые предложенная Иммануилом Кантом, является постоянной темой дебатов в связи с законом обратных квадратов. ^[12] Димитриа Электра Гатзия и Рекс Д. Рамсьер в своей статье 2021 года утверждают, что закон обратных квадратов больше относится к симметрии в распределении силы, чем к размерности пространства. ^[12]

В области неевклидовой геометрии и общей теории относительности отклонения от закона обратных квадратов могут вытекать не из самого закона, а из предположения, что сила между телами мгновенно зависит от расстояния, что противоречит специальной теории относительности . Общая теория относительности вместо этого интерпретирует гравитацию как искажение пространства-времени, заставляя свободно падающие частицы пересекать геодезические линии в этом искривленном пространстве-времени. ^[13]

История

Джон Дамблтон из Оксфордских калькуляторов XIV века был одним из первых, кто выразил функциональные отношения в графической форме. Он дал доказательство теоремы о средней скорости, утверждая, что «широта равномерно различного движения соответствует градусу средней точки», и использовал этот метод для изучения количественного уменьшения интенсивности освещения в своей Summa logicæ et philosophiæ naturalis (около 1349 г.), утверждая, что она не была линейно пропорциональна расстоянию, но не смог раскрыть закон обратных квадратов. ^[14]

Немецкий астроном Иоганн Кеплер рассуждал о законе обратных квадратов и о том, как он влияет на интенсивность света.

В предложении 9 книги 1 своей книги Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604) астроном Иоганн Кеплер утверждал, что распространение света от точечного источника подчиняется закону обратных квадратов: ^{[15] [16]}

В 1645 году в своей книге «Astronomia Philolaica ...» французский астроном Исмаэль Бульяльдус (1605–1694) опроверг предположение Иоганна Кеплера о том, что «гравитация» ^[17] ослабевает обратно пропорционально расстоянию; вместо этого, утверждал Бульяльдус, «гравитация» ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния: ^{[18] [19]}

В Англии англиканский епископ Сет Уорд (1617–1689) опубликовал идеи Буллиальда в своей критике In Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae fundamenta inquisitio brevis (1653) и опубликовал планетарную астрономию Кеплера в своей книге Astronomia geometrica (1656).

В 1663–1664 годах английский ученый Роберт Гук писал свою книгу Micrographia (1666), в которой он обсуждал, среди прочего, связь между высотой атмосферы и барометрическим давлением на поверхности. Поскольку атмосфера окружает Землю, которая сама по себе является сферой, объем атмосферы, приходящийся на любую единицу площади поверхности Земли, представляет собой усеченный конус (который простирается от центра Земли до вакуума космоса; очевидно, что только часть конуса от поверхности Земли до космоса прилегает к поверхности Земли). Хотя объем конуса пропорционален кубу его высоты, Гук утверждал, что давление воздуха на поверхности Земли вместо этого пропорционально высоте атмосферы, поскольку гравитация уменьшается с высотой. Хотя Гук явно не утверждал этого, соотношение, которое он предложил, было бы верным только в том случае, если гравитация уменьшается как обратный квадрат расстояния от центра Земли. ^{[20] [21]}

Смотрите также

• Поток
• Антенна (радио)
• Закон Гаусса
• Законы движения планет Кеплера
• проблема Кеплера
• Телекоммуникации , в частности:
  • Уильям Томсон, 1-й барон Кельвин
  • Протоколы маршрутизации с учетом энергопотребления
• Обратная пропорциональность
• Мультипликативная обратная величина
• Уменьшение расстояния
• парадокс Ферми
• Закон квадрата-куба
• Принцип подобия

Ссылки

 В этой статье использованы материалы из общедоступного Федерального стандарта 1037C. Администрация общих служб . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г.

1. Гравитация Гука также еще не была универсальной, хотя она приближалась к универсальности ближе, чем предыдущие гипотезы: см. стр. 239 в Curtis Wilson (1989), «Ньютоновские достижения в астрономии», гл. 13 (стр. 233–274) в «Планетная астрономия от эпохи Возрождения до подъема астрофизики: 2A: от Тихо Браге до Ньютона», CUP 1989.
2. Томас Бирч, История Лондонского королевского общества , … (Лондон, Англия: 1756), т. 2, стр. 68–73; см. особенно стр. 70–72.
3. Джованни Альфонсо Борелли, Theoricae Mediceorum Planetarum ex Causis Physicis Deductae [Теория [движения] планет Медичи [т. е. спутников Юпитера], выведенная из физических причин] (Флоренция, (Италия): 1666 г.)
4. Койре, Александр (1952). «Неопубликованное письмо Роберта Гука Исааку Ньютону». Isis . 43 (4): 312–337. doi :10.1086/348155. JSTOR  227384. PMID  13010921. S2CID  41626961.
5. Письмо Гука Ньютону от 6 января 1680 года (Koyré 1952:332).
6. Ньютон признал заслуги Рена, Гука и Галлея в этой связи в схолиях к предложению 4 в книге 1 (во всех изданиях): см., например, английский перевод «Начал» 1729 года на стр. 66.
7. В письме Эдмунду Галлею от 20 июня 1686 года Ньютон писал: «Буллиальдус писал, что вся сила, относящаяся к Солнцу как к своему центру и зависящая от материи, должна быть обратно пропорциональна расстоянию от центра». См.: I. Bernard Cohen and George E. Smith, ed.s, The Cambridge Companion to Newton (Кембридж, Англия: Cambridge University Press, 2002), стр. 204.
8. Уильямс, Э.; Фаллер, Дж.; Хилл, Х. (1971), «Новая экспериментальная проверка закона Кулона: лабораторный верхний предел массы покоя фотона», Physical Review Letters , 26 (12): 721–724, Bibcode : 1971PhRvL..26..721W, doi : 10.1103/PhysRevLett.26.721
9. Миллерсон, Г. (1991) Освещение для кино и телевидения – 3-е издание, стр. 27
10. Райер, А. (1997) «Справочник по измерению света», ISBN 0-9658356-9-3 стр.26 
11. Barrow, John D. (2020). "Non-Euclidean Newtonian Cosmology". Classical and Quantum Gravity . 37 (12): 125007. arXiv : 2002.10155 . Bibcode : 2020CQGra..37l5007B. doi : 10.1088/1361-6382/ab8437. Архивировано из оригинала 25 февраля 2020 года . Получено 30 июля 2023 года .
12. Gatzia, Dimitria Electra; Ramsier, Rex D. (2021). «Размерность, симметрия и закон обратных квадратов». Notes and Records . 75 (2): 333–347. doi :10.1098/rsnr.2019.0044 . Получено 30 июля 2023 г.
13. "Введение в неевклидову общую теорию относительности" (PDF) . MIT OpenCourseWare. 2018. Получено 30 июля 2023 г.
14. Джон Фрили, До Галилея: Рождение современной науки в средневековой Европе (2012)
15. Иоганн Кеплер, Ad Vitellionem Paralipomena, quibus astronomae pars optica traditur (Франкфурт, (Германия): Клод де Марн и наследник Жан Обри, 1604), стр. 10.
16. Ad Vitellionem paralipomena Кеплера взят из: Gal, O. & Chen-Morris, R. (2005) «Археология закона обратных квадратов: (1) метафизические образы и математические практики», History of Science , 43  : 391–414; см. особенно стр. 397.
17. Примечание: И Кеплер, и Уильям Гилберт почти предвосхитили современную концепцию гравитации, не хватало только закона обратных квадратов в их описании «гравитас». На странице 4 главы 1, Introductio, Astronomia Nova , Кеплер излагает свое описание следующим образом: «Истинная теория гравитации основана на следующих аксиомах: каждая телесная субстанция, поскольку она является телесной, имеет естественную пригодность для пребывания в любом месте, где она может быть расположена сама по себе за пределами сферы влияния тела, родственного ей. Гравитация - это взаимное расположение между родственными телами к союзу или соединению (подобное по своей природе магнитному свойству), так что Земля притягивает камень гораздо скорее, чем камень стремится к Земле. ... Если бы два камня были помещены в любой части мира рядом друг с другом и за пределами сферы влияния третьего родственного тела, эти камни, как две магнитные иглы, сошлись бы вместе в промежуточной точке, приближаясь друг к другу на расстояние, пропорциональное сравнительной массе другого . Если бы Луна и Земля не удерживались на своих орбитах своей одушевленной силой или каким-либо другим эквивалентом, Земля поднялась бы к Луне пятьдесят четвертую часть их расстояния, а Луна падает на Землю через остальные пятьдесят три части, и они там встретятся, предполагая, однако, что вещество обоих имеет одинаковую плотность». Обратите внимание, что, говоря « Земля притягивает камень скорее, чем камень стремится к Земле», Кеплер порывает с аристотелевской традицией, согласно которой объекты стремятся быть на своем естественном месте, что камень стремится быть с Землей.
18. Исмаил Буллиалдус, Astronomia Philolaica … (Париж, Франция: Пиже, 1645), стр. 23.
19. Перевод латинской цитаты из «Astronomia Philolaica» Буллиальда… взят из: O'Connor, John J. и Roberson, Edmund F. (2006) «Ismael Boulliau». Архивировано 30 ноября 2016 г. в Wayback Machine , Архив истории математики MacTutor, Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия.
20. (Гал и Чен-Моррис, 2005), стр. 391–392.
21. Роберт Гук, Micrographia … (Лондон, Англия: Джон Мартин, 1667), стр. 227: «[Я говорю цилиндр , а не часть конуса , потому что, как я мог показать в другом месте в Explication of Gravity, эта тройная пропорция оболочек сферы к их соответствующим диаметрам, как я предполагаю, в данном случае устраняется уменьшением силы тяжести.]»

Внешние ссылки

• Затухание уровня звука с расстоянием
• Звуковое давление p и закон обратного расстояния 1/r