В классической механике задача Кеплера представляет собой частный случай задачи двух тел , в которой два тела взаимодействуют с помощью центральной силы F , сила которой меняется пропорционально обратному квадрату расстояния r между ними. Сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Проблема состоит в том, чтобы найти положение или скорость двух тел во времени, учитывая их массы , положения и скорости . Используя классическую механику, решение можно выразить в виде орбиты Кеплера с использованием шести орбитальных элементов .
Проблема Кеплера названа в честь Иоганна Кеплера , который предложил законы движения планет Кеплера (которые являются частью классической механики и решили проблему орбит планет) и исследовал типы сил, которые приводят к тому, что орбиты подчиняются этим законам (так называемые обратная задача Кеплера ). [1]
Для обсуждения проблемы Кеплера, характерной для радиальных орбит, см. Радиальную траекторию . Общая теория относительности обеспечивает более точные решения проблемы двух тел, особенно в сильных гравитационных полях .
Проблема Кеплера возникает во многих контекстах, некоторые из которых выходят за рамки физики, которую изучал сам Кеплер. Проблема Кеплера важна в небесной механике , поскольку ньютоновская гравитация подчиняется закону обратных квадратов . Примеры включают спутник, движущийся вокруг планеты, планету вокруг своего Солнца или две двойные звезды друг вокруг друга. Проблема Кеплера важна также и в движении двух заряженных частиц, поскольку закон электростатики Кулона также подчиняется закону обратных квадратов . Примеры включают атом водорода , позитроний и мюоний , которые сыграли важную роль в качестве модельных систем для проверки физических теорий и измерения констант природы. [ нужна цитата ]
Проблема Кеплера и проблема простого гармонического осциллятора — две наиболее фундаментальные проблемы классической механики . Это единственные две задачи, которые имеют замкнутые орбиты для любого возможного набора начальных условий, т. е. возвращаются в исходную точку с одинаковой скоростью ( теорема Бертрана ). Задача Кеплера часто использовалась для разработки новых методов классической механики, таких как механика Лагранжа , механика Гамильтона , уравнение Гамильтона-Якоби и координаты действие-угол . [ нужна цитация ] Проблема Кеплера также сохраняет вектор Лапласа-Рунге-Ленца , который с тех пор был обобщен для включения других взаимодействий. Решение проблемы Кеплера позволило ученым показать, что движение планет можно полностью объяснить классической механикой и законом тяготения Ньютона ; научное объяснение движения планет сыграло важную роль в провозглашении Просвещения .
Центральная сила F между двумя объектами изменяется по силе как обратная квадрату расстояния r между ними:
где k — константа и представляет собой единичный вектор вдоль линии между ними. [2] Сила может быть либо притягивающей ( k <0), либо отталкивающей ( k >0). Соответствующий скалярный потенциал :
Уравнение движения радиуса частицы массы, движущейся в центральном потенциале , дается уравнениями Лагранжа
и угловой момент сохраняется. Для иллюстрации первый член в левой части равен нулю для круговых орбит, а приложенная внутрь сила равна требованию центростремительной силы , как и ожидалось.
Если L не равно нулю, определение углового момента допускает замену независимой переменной с на
дающее новое уравнение движения, независимое от времени
Расширение первого члена
Это уравнение становится квазилинейным после замены переменных и умножения обеих частей на
После замены и перестановки:
Для закона обратных квадратов силы, такого как гравитационный или электростатический потенциал , потенциал можно записать
Орбиту можно вывести из общего уравнения
решением которого является константа плюс простая синусоида
где ( эксцентриситет ) и ( сдвиг фазы ) — константы интегрирования.
Это общая формула конического сечения с одним фокусом в начале координат; соответствует кругу , соответствует эллипсу, соответствует параболе и соответствует гиперболе . Эксцентриситет связан с полной энергией (ср. вектор Лапласа – Рунге – Ленца ).
Сравнение этих формул показывает, что соответствует эллипсу (все решения, имеющие замкнутые орбиты, являются эллипсами), соответствует параболе и соответствует гиперболе . В частности, для идеально круговых орбит (центральная сила точно равна требованию центростремительной силы , которая определяет необходимую угловую скорость для данного кругового радиуса).
Для силы отталкивания ( k > 0) применимо только e > 1.