принцип Бернулли

Принцип, относящийся к динамике жидкости

Поток воздуха через расходомер Вентури . Кинетическая энергия увеличивается за счет давления жидкости , как показывает разница в высоте двух столбов воды.

Видеоролик о применении расходомера Вентури в лабораторном эксперименте

Принцип Бернулли — ключевое понятие в гидродинамике , связывающее давление, плотность, скорость и высоту. Принцип Бернулли гласит, что увеличение скорости порции жидкости происходит одновременно с уменьшением либо давления, либо высоты над точкой отсчета. ^{[1] : Гл. 3  [2] : 156–164, § 3.5} Принцип назван в честь швейцарского математика и физика Даниила Бернулли , который опубликовал его в своей книге «Гидродинамика» в 1738 году. ^[3] Хотя Бернулли пришел к выводу, что давление уменьшается при увеличении скорости потока, именно Леонард Эйлер в 1752 году вывел уравнение Бернулли в его обычной форме. ^{[4] [5]}

Принцип Бернулли может быть выведен из принципа сохранения энергии . Он гласит, что в установившемся потоке сумма всех форм энергии в жидкости одинакова во всех точках, свободных от сил вязкости. Это требует, чтобы сумма кинетической энергии , потенциальной энергии и внутренней энергии оставалась постоянной. ^{[2] : § 3.5} Таким образом, увеличение скорости жидкости — подразумевающее увеличение ее кинетической энергии — происходит с одновременным уменьшением (суммы) ее потенциальной энергии (включая статическое давление) и внутренней энергии. Если жидкость вытекает из резервуара, сумма всех форм энергии одинакова, поскольку в резервуаре энергия на единицу объема (сумма давления и гравитационного потенциала ρ  g  h ) везде одинакова. ^{[6] : Пример 3.5 и стр.116}

Принцип Бернулли также может быть выведен непосредственно из второго закона движения Исаака Ньютона . Если небольшой объем жидкости течет горизонтально из области высокого давления в область низкого давления, то сзади давление больше, чем спереди. Это дает результирующую силу, действующую на объем, ускоряя его вдоль линии тока. ^{[a] [b] [c]}

Частицы жидкости подвержены только давлению и собственному весу. Если жидкость течет горизонтально и вдоль участка линии тока, где скорость увеличивается, это может быть только потому, что жидкость на этом участке переместилась из области более высокого давления в область более низкого давления; и если ее скорость уменьшается, это может быть только потому, что она переместилась из области более низкого давления в область более высокого давления. Следовательно, в жидкости, текущей горизонтально, самая высокая скорость возникает там, где давление самое низкое, а самая низкая скорость возникает там, где давление самое высокое. ^[10]

Принцип Бернулли применим только для изэнтропических потоков : когда эффекты необратимых процессов (например, турбулентности ) и неадиабатических процессов (например, теплового излучения ) малы и ими можно пренебречь. Однако принцип можно применять к различным типам потоков в этих пределах, что приводит к различным формам уравнения Бернулли. Простая форма уравнения Бернулли верна для несжимаемых потоков (например, большинства потоков жидкостей и газов, движущихся при низком числе Маха ). Более сложные формы могут применяться к сжимаемым потокам при более высоких числах Маха.

Уравнение несжимаемого потока

В большинстве течений жидкостей и газов при малых числах Маха плотность порции жидкости можно считать постоянной, независимо от изменений давления в потоке. Поэтому жидкость можно считать несжимаемой, и эти течения называются несжимаемыми течениями . Бернулли проводил свои эксперименты с жидкостями, поэтому его уравнение в его первоначальной форме справедливо только для несжимаемого течения.

Распространенная форма уравнения Бернулли:

где:

• ${\displaystyle v}$скорость потока жидкости в точке,
• ${\displaystyle g}$это ускорение свободного падения ,
• ${\displaystyle z}$- это высота точки над плоскостью отсчета, причем положительное направление направлено вверх, т.е. в направлении, противоположном ускорению свободного падения, ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle p}$- давление в выбранной точке, а
• ${\displaystyle \rho }$— плотность жидкости во всех точках жидкости.

Уравнение Бернулли и постоянная Бернулли применимы в любой области потока, где энергия на единицу массы однородна. Поскольку энергия на единицу массы жидкости в хорошо перемешанном резервуаре однородна, уравнение Бернулли можно использовать для анализа потока жидкости везде в этом резервуаре (включая трубы или поля потока, которые питает резервуар), за исключением случаев, когда вязкие силы доминируют и разрушают энергию на единицу массы. ^{[6] : Пример 3.5 и стр.116}

Для применения этого уравнения Бернулли должны быть выполнены следующие предположения: ^{[2] : 265}

• поток должен быть устойчивым , то есть параметры потока (скорость, плотность и т. д.) в любой точке не могут изменяться со временем,
• поток должен быть несжимаемым — даже если давление меняется, плотность должна оставаться постоянной вдоль линии тока;
• Трение вязких сил должно быть пренебрежимо малым.

Для консервативных силовых полей (не ограничиваясь гравитационным полем ) уравнение Бернулли можно обобщить следующим образом: ^{[2] : 265} где Ψ — потенциал силы в рассматриваемой точке. Например, для гравитации Земли Ψ = gz . $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$$

Умножив на плотность жидкости ρ , уравнение ( A ) можно переписать как: или: где $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{constant}}}$$ $${\displaystyle q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{constant}}}$$

• д = ⁠1/2⁠ ρv ² — динамическое давление ,
• ч = z + ⁠п/ρг⁠ — пьезометрический напор или гидравлический напор (сумма высоты z и напора ) ^{[11] [12]} и
• p ₀ = p + q — давление торможения (сумма статического давления p и динамического давления q ). ^[13]

Константа в уравнении Бернулли может быть нормализована. Обычный подход заключается в терминах полного напора или энергетического напора H : $${\displaystyle H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},}$$

Приведенные выше уравнения предполагают, что существует скорость потока, при которой давление равно нулю, а при еще более высоких скоростях давление отрицательно. Чаще всего газы и жидкости не способны к отрицательному абсолютному давлению или даже нулевому давлению, поэтому очевидно, что уравнение Бернулли перестает быть справедливым до достижения нулевого давления. В жидкостях — когда давление становится слишком низким — возникает кавитация . Приведенные выше уравнения используют линейную зависимость между квадратом скорости потока и давлением. При более высоких скоростях потока в газах или для звуковых волн в жидкости изменения плотности массы становятся значительными, поэтому предположение о постоянной плотности становится недействительным.

Упрощенная форма

Во многих приложениях уравнения Бернулли изменение члена ρgz настолько мало по сравнению с другими членами, что его можно проигнорировать. Например, в случае самолета в полете изменение высоты z настолько мало, что член ρgz можно опустить. Это позволяет представить приведенное выше уравнение в следующей упрощенной форме: где p ₀ называется полным давлением , а q — динамическим давлением . ^[14] Многие авторы называют давление p статическим давлением, чтобы отличить его от полного давления p ₀ и динамического давления q . В «Аэродинамике » Л. Дж. Клэнси пишет: «Чтобы отличить его от полного и динамического давлений, фактическое давление жидкости, которое связано не с ее движением, а с ее состоянием, часто называют статическим давлением, но там, где используется только термин давление, он относится к этому статическому давлению». ^{[1] : § 3.5} $${\displaystyle p+q=p_{0}}$$

Упрощенную форму уравнения Бернулли можно суммировать в следующем запоминающемся словесном уравнении: ^{[1] : § 3.5}

Статическое давление + Динамическое давление = Полное давление.

Каждая точка в постоянно текущей жидкости, независимо от скорости жидкости в этой точке, имеет свое собственное уникальное статическое давление p и динамическое давление q . Их сумма p + q определяется как полное давление p ₀ . Значение принципа Бернулли теперь можно обобщить как «полное давление постоянно в любой области, свободной от вязких сил». Если поток жидкости останавливается в некоторой точке, эта точка называется точкой застоя, и в этой точке статическое давление равно давлению застоя .

Если поток жидкости является безвихревым , полное давление является однородным, и принцип Бернулли можно обобщить как «полное давление постоянно везде в потоке жидкости». ^{[1] : Уравнение 3.12} Разумно предположить, что безвихревой поток существует в любой ситуации, когда большой объем жидкости протекает мимо твердого тела. Примерами являются самолеты в полете и корабли, движущиеся в открытых водоемах. Однако принцип Бернулли, что важно, не применяется в пограничном слое , например, при течении через длинные трубы .

Нестационарный потенциальный поток

Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального потока используется в теории поверхностных волн океана и акустике . Для безвихревого потока скорость потока может быть описана как градиент ∇ φ потенциала скорости φ . В этом случае и для постоянной плотности ρ уравнения импульса уравнений Эйлера могут быть интегрированы в: ^{[2] : 383} $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),}$$

что является уравнением Бернулли, справедливым также для нестационарных — или зависящих от времени — потоков. Здесь ⁠∂ φ/∂ т⁠ обозначает частную производную потенциала скорости φ по времени t , а v = | ∇ φ | — скорость потока. Функция f ( t ) зависит только от времени, а не от положения в жидкости. В результате уравнение Бернулли в некоторый момент t применимо во всей области жидкости. Это также верно для особого случая стационарного безвихревого потока, в котором f и ⁠∂ φ/∂ т⁠ являются константами, поэтому уравнение ( A ) можно применять в любой точке области жидкости. ^{[2] : 383} Далее f ( t ) можно сделать равным нулю, включив его в потенциал скорости с помощью преобразования: в результате чего получим: $${\displaystyle \Phi =\varphi -\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=0.}$$

Обратите внимание, что соотношение потенциала и скорости потока не изменяется при этом преобразовании: ∇Φ = ∇ φ .

Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального потока также, по-видимому, играет центральную роль в вариационном принципе Люка — вариационном описании потоков со свободной поверхностью с использованием механики Лагранжа .

Уравнение сжимаемого потока

Бернулли разработал свой принцип из наблюдений за жидкостями, и уравнение Бернулли справедливо для идеальных жидкостей: несжимаемых, безвихревых, невязких и подверженных действию консервативных сил. Иногда оно справедливо для потока газов: при условии, что нет передачи кинетической или потенциальной энергии от потока газа к сжатию или расширению газа. Если давление и объем газа изменяются одновременно, то работа будет производиться над или газом. В этом случае уравнение Бернулли — в его форме несжимаемого потока — нельзя считать справедливым. Однако, если газовый процесс полностью изобарический , или изохорный , то работа не производится над или газом (поэтому простой энергетический баланс не нарушается). Согласно газовому закону, изобарический или изохорный процесс обычно является единственным способом обеспечения постоянной плотности в газе. Кроме того, плотность газа будет пропорциональна отношению давления и абсолютной температуры ; Однако это отношение будет меняться при сжатии или расширении, независимо от того, какое ненулевое количество тепла добавляется или удаляется. Единственное исключение — если чистая теплопередача равна нулю, как в полном термодинамическом цикле или в отдельном изэнтропическом (без трения адиабатическом ) процессе, и даже тогда этот обратимый процесс должен быть обращен вспять, чтобы восстановить исходное давление и удельный объем газа, и, следовательно, плотность. Только тогда применимо исходное, немодифицированное уравнение Бернулли. В этом случае уравнение можно использовать, если скорость потока газа достаточно ниже скорости звука , так что изменение плотности газа (из-за этого эффекта) вдоль каждой линии тока можно игнорировать. Адиабатический поток при числе Маха менее 0,3 обычно считается достаточно медленным. ^[15]

Можно использовать фундаментальные принципы физики для разработки подобных уравнений, применимых к сжимаемым жидкостям. Существует множество уравнений, каждое из которых предназначено для конкретного применения, но все они аналогичны уравнению Бернулли и все они опираются только на фундаментальные принципы физики, такие как законы движения Ньютона или первый закон термодинамики .

Сжимаемый поток в гидродинамике

Для сжимаемой жидкости с баротропным уравнением состояния и под действием консервативных сил ^[16] где: $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}}{\rho \left({\tilde {p}}\right)}}+\Psi ={\text{constant (along a streamline)}}}$$

• p — давление
• ρ — плотность, а ρ ( p ) указывает на то, что она является функцией давления.
• v — скорость потока
• Ψ — потенциал, связанный с консервативным силовым полем, часто гравитационный потенциал

В инженерных ситуациях высоты обычно невелики по сравнению с размерами Земли, а временные масштабы течения жидкости достаточно малы, чтобы считать уравнение состояния адиабатическим. В этом случае приведенное выше уравнение для идеального газа становится: ^{[1] : § 3.11} где, в дополнение к перечисленным выше терминам: $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant (along a streamline)}}}$$

• γ — отношение удельных теплоёмкостей жидкости
• g — ускорение свободного падения
• z — высота точки над плоскостью отсчета

Во многих приложениях сжимаемого потока изменения высоты незначительны по сравнению с другими членами, поэтому член gz можно опустить. Очень полезная форма уравнения тогда: $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}}$$

где:

• p ₀ — полное давление
• ρ ₀ — общая плотность

Сжимаемый поток в термодинамике

Наиболее общая форма уравнения, пригодная для использования в термодинамике в случае (квази)стационарного течения, имеет вид: ^{[2] : § 3.5  [17] : § 5  [18] : § 5.9}

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +w={\text{constant}}.}$$

Здесь w — энтальпия на единицу массы (также известная как удельная энтальпия), которую также часто записывают как h (не путать с «напором» или «высотой»).

Обратите внимание, что где e — термодинамическая энергия на единицу массы, также известная как удельная внутренняя энергия . Таким образом, для постоянной внутренней энергии уравнение сводится к форме несжимаемого потока. $${\displaystyle w=e+{\frac {p}{\rho }}~~~\left(={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}\right)}$$ ${\displaystyle e}$

Константа в правой части часто называется постоянной Бернулли и обозначается b . Для устойчивого невязкого адиабатического потока без дополнительных источников или стоков энергии b является постоянным вдоль любой заданной линии тока. В более общем смысле, когда b может изменяться вдоль линий тока, он все равно оказывается полезным параметром, связанным с «головой» жидкости (см. ниже).

Когда изменение Ψ можно игнорировать, очень полезной формой этого уравнения является: где w ₀ — полная энтальпия. Для калорийно совершенного газа, такого как идеальный газ, энтальпия прямо пропорциональна температуре, и это приводит к понятию полной (или стагнационной) температуры. $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}}$$

При наличии ударных волн в системе отсчета , в которой ударная волна неподвижна, а поток постоянен, многие параметры уравнения Бернулли претерпевают резкие изменения при прохождении через ударную волну. Параметр Бернулли остается неизменным. Исключением из этого правила являются радиационные ударные волны, которые нарушают предположения, приводящие к уравнению Бернулли, а именно отсутствие дополнительных стоков или источников энергии.

Нестационарный потенциальный поток

Для сжимаемой жидкости с баротропным уравнением состояния нестационарное уравнение сохранения импульса $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\vec {g}}-{\frac {\nabla p}{\rho }}}$$

С предположением безвихревого течения, а именно, скорость потока может быть описана как градиент ∇ φ потенциала скорости φ . Нестационарное уравнение сохранения импульса становится что приводит к $${\displaystyle {\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}\right)=-\nabla \Psi -\nabla \int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}={\text{constant}}}$$

В этом случае приведенное выше уравнение для изэнтропического потока принимает вид: $${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$$

Производные

Уравнение Бернулли для несжимаемых жидкостей

Уравнение Бернулли для несжимаемых жидкостей можно вывести либо путем интегрирования второго закона движения Ньютона , либо путем применения закона сохранения энергии , игнорируя вязкость , сжимаемость и тепловые эффекты.

Вывод путем интегрирования второго закона движения Ньютона

Самый простой вывод — сначала игнорировать гравитацию и рассмотреть сужения и расширения в трубах, которые в остальном прямые, как показано в эффекте Вентури . Пусть ось x будет направлена ​​вниз по оси трубы.

Определим пакет жидкости, движущийся по трубе с площадью поперечного сечения A , длина пакета равна d x , а объем пакета A d x . Если плотность массы равна ρ , масса пакета равна плотности, умноженной на его объем m = ρA d x . Изменение давления на расстоянии d x равно d p , а скорость потока v = ⁠д х/д т⁠ .

Применим второй закон движения Ньютона (сила = масса × ускорение) и признаем, что эффективная сила, действующая на порцию жидкости, равна − A d p . Если давление уменьшается по длине трубы, d p отрицательно, но сила, приводящая к потоку, положительна вдоль оси x .

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=F\\\rho A\mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-A\mathrm {d} p\\\rho {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}}$$

В стационарном потоке поле скорости постоянно во времени, v = v ( x ) = v ( x ( t )) , поэтому сама v не является прямой функцией времени t . Только когда посылка движется через x , площадь поперечного сечения изменяется: v зависит от t только через положение поперечного сечения x ( t ) . $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right).}$$

При постоянной плотности ρ уравнение движения можно записать как интегрирование по x , где C — константа, иногда называемая константой Бернулли. Это не универсальная константа , а константа конкретной жидкой системы. Вывод таков: где скорость большая, давление мало и наоборот. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0}$$ $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C}$$

В приведенном выше выводе не используется внешний принцип работы-энергии. Вместо этого принцип Бернулли был выведен путем простой манипуляции вторым законом Ньютона.

Трубка потока жидкости, движущейся вправо. Указаны давление, высота, скорость потока, расстояние ( s ) и площадь поперечного сечения. Обратите внимание, что на этом рисунке высота обозначена как h , в отличие от текста, где она указана как z .

Вывод с использованием закона сохранения энергии

Другой способ вывести принцип Бернулли для несжимаемого потока — применить закон сохранения энергии. ^[19] В форме теоремы о работе-энергии , утверждающей, что ^[20]

изменение кинетической энергии E _kin системы равно чистой работе W, произведенной в системе ; $${\displaystyle W=\Delta E_{\text{kin}}.}$$

Поэтому,

работа , совершаемая силами в жидкости, равна увеличению кинетической энергии .

Система состоит из объема жидкости, первоначально между сечениями A ₁ и A ₂ . В интервале времени Δ t элементы жидкости первоначально в сечении притока A ₁ перемещаются на расстояние s ₁ = v ₁ Δ t , в то время как в сечении оттока жидкость перемещается от сечения A ₂ на расстояние s ₂ = v ₂ Δ t . Объемы вытесненной жидкости в притоке и оттоке соответственно равны A ₁ s ₁ и A ₂ s ₂ . Соответствующие вытесненные массы жидкости — когда ρ — плотность массы жидкости — равны плотности, умноженной на объем, поэтому ρA ₁ s ₁ и ρA ₂ s ₂ . По закону сохранения массы эти две массы, вытесненные в интервале времени Δ t, должны быть равны, и эта вытесненная масса обозначается как  Δ m : $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{aligned}}}$$

Работа, совершаемая силами, состоит из двух частей:

• Работа , совершаемая давлением , действующим на площади А ₁ и А ₂ $${\displaystyle W_{\text{pressure}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$$
• Работа , совершаемая силой тяжести : гравитационная потенциальная энергия в объеме A ₁ s ₁ теряется, а при истечении в объеме A ₂ s ₂ приобретается. Таким образом, изменение гравитационной потенциальной энергии Δ E _pot,gravity за промежуток времени Δ t равно

$${\displaystyle \Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.}$$Теперь работа силы тяжести противоположна изменению потенциальной энергии , W _{гравитация} = − ΔE _pot,gravity : пока сила тяжести находится в отрицательном направлении z , работа — сила тяжести, умноженная на изменение высоты — будет отрицательной для положительного изменения высоты Δ z = z ₂ − z ₁ , в то время как соответствующее изменение потенциальной энергии положительно. ^{[21] : 14–4, §14–3} Итак: И, следовательно, полная работа, выполненная за этот интервал времени Δ t , равна Увеличение кинетической энергии равно Объединяя их, теорема о работе и кинетической энергии W = Δ E _kin дает: ^[19] или После деления на массу Δ m = ρA ₁ v ₁ Δ t = ρA ₂ v ₂ Δ t результат равен: ^[19] или, как указано в первом абзаце: $${\displaystyle W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.}$$ $${\displaystyle W=W_{\text{pressure}}+W_{\text{gravity}}.}$$ $${\displaystyle \Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.}$$ $${\displaystyle \Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$$

Дальнейшее деление на g дает следующее уравнение. Обратите внимание, что каждый член может быть описан в измерении длины (например, в метрах). Это уравнение головы, выведенное из принципа Бернулли:

Средний член, z , представляет собой потенциальную энергию жидкости из-за ее возвышения относительно плоскости отсчета. Теперь z называется напором возвышения и обозначается как z _altitude .

Свободно падающая масса с высоты z > 0 (в вакууме ) достигнет скорости при достижении высоты z = 0. Или, если переставить как заголовок : Термин ⁠ $${\displaystyle v={\sqrt {{2g}{z}}},}$$ $${\displaystyle h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}}$$т ²/2 г⁠ называется скоростным напором , выражается как измерение длины. Он представляет собой внутреннюю энергию жидкости, обусловленную ее движением.

Гидростатическое давление p определяется как при p ₀ некоторое опорное давление, или при перестановке в виде напора : Термин ⁠ $${\displaystyle p=p_{0}-\rho gz,}$$ $${\displaystyle \psi ={\frac {p}{\rho g}}.}$$п/ρг⁠ также называется напором давления , выраженным как измерение длины. Он представляет внутреннюю энергию жидкости из-за давления, оказываемого на контейнер. Напор из-за скорости потока и напор из-за статического давления в сочетании с высотой над плоскостью отсчета, получается простое соотношение, полезное для несжимаемых жидкостей с использованием скоростного напора, напора возвышения и напора.

Если уравнение 1 умножить на плотность жидкости, получится уравнение с тремя членами давления:

Обратите внимание, что давление системы постоянно в этой форме уравнения Бернулли. Если статическое давление системы (третий член) увеличивается, а давление из-за высоты (средний член) постоянно, то динамическое давление (первый член) должно уменьшиться. Другими словами, если скорость жидкости уменьшается и это не из-за разницы высот, это должно быть из-за увеличения статического давления, которое сопротивляется потоку.

Все три уравнения представляют собой всего лишь упрощенные версии энергетического баланса системы.

Уравнение Бернулли для сжимаемых жидкостей

Вывод для сжимаемых жидкостей аналогичен. Опять же, вывод зависит от (1) сохранения массы и (2) сохранения энергии. Сохранение массы подразумевает, что на приведенном выше рисунке в интервале времени Δ t количество массы, проходящей через границу, определяемую площадью A ₁ , равно количеству массы, проходящей наружу через границу, определяемую площадью A ₂ : Сохранение энергии применяется аналогичным образом: Предполагается, что изменение энергии объема трубки тока, ограниченной A ₁ и A _{2 ,} полностью обусловлено энергией, входящей или выходящей через одну или другую из этих двух границ. Очевидно, что в более сложной ситуации, такой как поток жидкости, связанный с излучением, такие условия не выполняются. Тем не менее, предполагая, что это так, и предполагая, что поток является устойчивым, так что чистое изменение энергии равно нулю, где Δ E ₁ и Δ E ₂ являются энергией, входящей через A ₁ и выходящей через A ₂ , соответственно. Энергия, поступающая через A _{1 ,} представляет собой сумму поступающей кинетической энергии, энергии, поступающей в виде потенциальной гравитационной энергии жидкости, термодинамической внутренней энергии жидкости на единицу массы ( ε ₁ ) и энергии, поступающей в виде механической работы p d V : где Ψ = gz - потенциальная сила, обусловленная гравитацией Земли , g - ускорение, обусловленное гравитацией, а z - высота над плоскостью отсчета. Аналогичное выражение для Δ E ₂ может быть легко построено. Итак, теперь устанавливаем 0 = Δ E ₁ − Δ E ₂ : что можно переписать как: Теперь, используя ранее полученный результат из закона сохранения массы, это можно упростить, чтобы получить что является уравнением Бернулли для сжимаемого потока. $${\displaystyle 0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t.}$$ $${\displaystyle \Delta E_{1}-\Delta E_{2}=0}$$ $${\displaystyle \Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t}$$ $${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\varepsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t}$$ $${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\varepsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\varepsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\equiv b}$$

Эквивалентное выражение можно записать через энтальпию жидкости ( h ): $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b}$$

Приложения

Конденсация, видимая на верхней поверхности крыла Airbus A340 , вызванная падением температуры, сопровождающим падение давления.

В современной повседневной жизни существует множество наблюдений, которые можно успешно объяснить с помощью применения принципа Бернулли, хотя ни одна реальная жидкость не является полностью невязкой ^[22] , а небольшая вязкость часто оказывает большое влияние на поток.

• Принцип Бернулли может быть использован для расчета подъемной силы на аэродинамическом профиле , если известно поведение потока жидкости вблизи профиля. Например, если воздух, обтекающий верхнюю поверхность крыла самолета, движется быстрее, чем воздух, обтекающий нижнюю поверхность, то принцип Бернулли подразумевает, что давление на поверхности крыла будет ниже сверху, чем снизу. Эта разница давлений приводит к подъемной силе, направленной вверх . ^{[d] [23]} Всякий раз, когда известно распределение скорости мимо верхней и нижней поверхностей крыла, подъемные силы можно рассчитать (с хорошим приближением) с помощью уравнений Бернулли, ^[24] которые были установлены Бернулли более чем за столетие до того, как первые искусственные крылья были использованы для целей полета.
• Карбюратор , используемый во многих поршневых двигателях, содержит трубку Вентури для создания области низкого давления, чтобы втянуть топливо в карбюратор и тщательно смешать его с поступающим воздухом. Низкое давление в горловине трубки Вентури можно объяснить принципом Бернулли; в узкой горловине воздух движется с самой высокой скоростью и, следовательно, находится под самым низким давлением.
• Инжектор на паровозе или статическом котле .
• Трубка Пито и статический порт на самолете используются для определения скорости полета самолета. Эти два устройства подключены к указателю скорости полета , который определяет динамическое давление воздушного потока, проходящего мимо самолета. Принцип Бернулли используется для калибровки указателя скорости полета, чтобы он отображал указанную скорость полета, соответствующую динамическому давлению. ^{[1] : § 3.8}
• Сопло Де Лаваля использует принцип Бернулли для создания силы путем преобразования энергии давления, генерируемой при сгорании топлива, в скорость. Это затем создает тягу посредством третьего закона движения Ньютона .
• Скорость потока жидкости можно измерить с помощью устройства, такого как расходомер Вентури или измерительная диафрагма , которые можно поместить в трубопровод для уменьшения диаметра потока. Для горизонтального устройства уравнение непрерывности показывает, что для несжимаемой жидкости уменьшение диаметра приведет к увеличению скорости потока жидкости. Впоследствии принцип Бернулли показывает, что должно быть уменьшение давления в области уменьшенного диаметра. Это явление известно как эффект Вентури .
• Максимально возможную скорость слива для резервуара с отверстием или краном в основании можно рассчитать непосредственно из уравнения Бернулли, и она оказывается пропорциональной квадратному корню высоты жидкости в резервуаре. Это закон Торричелли , который совместим с принципом Бернулли. Повышенная вязкость снижает эту скорость слива; это отражается в коэффициенте расхода, который является функцией числа Рейнольдса и формы отверстия. ^[25]
• Захват Бернулли основан на этом принципе создания бесконтактной силы сцепления между поверхностью и захватом.
• Во время матча по крикету боулеры постоянно полируют одну сторону мяча. Через некоторое время одна сторона становится довольно шероховатой, а другая все еще гладкой. Таким образом, когда мяч бросают и он проходит через воздух, скорость с одной стороны мяча выше, чем с другой, и это приводит к разнице давления между сторонами; это приводит к вращению («качанию») мяча во время движения по воздуху, что дает преимущество боулерам.

Заблуждения

Подъемная сила аэродинамического профиля

Иллюстрация неправильного объяснения подъемной силы аэродинамического профиля с помощью принципа равного времени прохождения

Одно из наиболее распространенных ошибочных объяснений аэродинамической подъемной силы утверждает, что воздух должен проходить через верхнюю и нижнюю поверхности крыла за одинаковое время, подразумевая, что поскольку верхняя поверхность представляет собой более длинный путь, воздух должен двигаться над верхней частью крыла быстрее, чем над нижней. Затем цитируется принцип Бернулли, чтобы сделать вывод, что давление на верхнюю часть крыла должно быть ниже, чем на нижнюю. ^{[26] [27]}

Равное время прохождения применяется к потоку вокруг тела, не создающего подъемную силу, но нет физического принципа, который требует равного времени прохождения в случаях, когда тела создают подъемную силу. Фактически, теория предсказывает — и эксперименты подтверждают — что воздух проходит верхнюю поверхность тела, испытывающего подъемную силу, за более короткое время, чем нижнюю поверхность; объяснение, основанное на равном времени прохождения, ложно. ^{[28] [29] [30]} Хотя объяснение с равным временем является ложным, это не принцип Бернулли, который является ложным, потому что этот принцип хорошо установлен; уравнение Бернулли правильно используется в общих математических трактовках аэродинамической подъемной силы. ^{[31] [32]}

Демонстрации в обычных классах

Существует несколько распространенных демонстраций в классе, которые иногда неправильно объясняются с использованием принципа Бернулли. ^[33] Одна из них заключается в том, чтобы держать лист бумаги горизонтально так, чтобы он свисал вниз, а затем дуть на него сверху. Когда демонстратор дует на бумагу, бумага поднимается. Затем утверждается, что это происходит потому, что «быстро движущийся воздух имеет меньшее давление». ^{[34] [35] [36]}

Одну проблему с этим объяснением можно увидеть, подув вдоль нижней части бумаги: если отклонение было вызвано более быстро движущимся воздухом, то бумага должна отклоняться вниз; но бумага отклоняется вверх независимо от того, находится ли более быстро движущийся воздух сверху или снизу. ^[37] Другая проблема заключается в том, что когда воздух покидает рот демонстратора, он имеет то же давление, что и окружающий воздух; ^[38] воздух не имеет более низкого давления просто потому, что он движется; в демонстрации статическое давление воздуха, покидающего рот демонстратора, равно давлению окружающего воздуха. ^{[39] [40]} Третья проблема заключается в том, что неверно устанавливать связь между потоком по двум сторонам бумаги, используя уравнение Бернулли, поскольку воздух сверху и снизу представляет собой разные поля потока, а принцип Бернулли применим только в пределах поля потока. ^{[41] [42] [43] [44]}

Поскольку формулировка принципа может изменить его последствия, важно правильно сформулировать принцип. ^[45] Принцип Бернулли на самом деле гласит, что в потоке постоянной энергии, когда жидкость течет через область с более низким давлением, она ускоряется и наоборот. ^[46] Таким образом, принцип Бернулли касается изменений скорости и изменений давления в поле потока. Его нельзя использовать для сравнения различных полей потока.

Правильное объяснение того, почему бумага поднимается, заключается в том, что струя следует изгибу бумаги и что изогнутая линия тока будет создавать градиент давления, перпендикулярный направлению потока, с более низким давлением внутри кривой. ^{[47] [48] [49] [50]} Принцип Бернулли предсказывает, что уменьшение давления связано с увеличением скорости; другими словами, когда воздух проходит над бумагой, он ускоряется и движется быстрее, чем он двигался, когда покидал рот демонстратора. Но это не очевидно из демонстрации. ^{[51] [52] [53]}

Другие распространенные демонстрации в классе, такие как продувание воздуха между двумя подвешенными сферами, надувание большого мешка или подвешивание мяча в воздушном потоке, иногда объясняются аналогичным вводящим в заблуждение образом, говоря, что «более быстро движущийся воздух имеет более низкое давление». ^{[54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61]}

Смотрите также

• Закон Торричелли
• эффект Коанды
• Уравнения Эйлера – для течения невязкой жидкости
• Гидравлика – прикладная гидромеханика для жидкостей
• Уравнения Навье–Стокса – для течения вязкой жидкости
• Эффект чайника
• Терминология в динамике жидкости

Примечания

1. Если частица находится в области переменного давления (неисчезающий градиент давления в направлении x ) и если частица имеет конечный размер l , то передняя часть частицы будет «видеть» давление, отличное от давления задней части. Точнее, если давление падает в направлении x ( ⁠д п/д х⁠ < 0 ) давление сзади выше, чем спереди, и частица испытывает (положительную) результирующую силу. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает ускорение, и скорость частицы увеличивается по мере ее движения вдоль линии тока... Уравнение Бернулли описывает это математически (см. полный вывод в приложении). ^[7]
2. Ускорение воздуха вызвано градиентами давления. Воздух ускоряется в направлении скорости, если давление падает. Таким образом, уменьшение давления является причиной более высокой скорости. ^[8]
3. Идея заключается в том, что по мере того, как посылка движется вперед, следуя линии тока, по мере того, как она движется в область более высокого давления, впереди будет более высокое давление (выше, чем давление позади), и это будет оказывать силу на посылку, замедляя ее. И наоборот, если посылка движется в область более низкого давления, позади нее будет более высокое давление (выше, чем давление впереди), ускоряя ее. Как всегда, любая неуравновешенная сила вызовет изменение импульса (и скорости), как того требуют законы движения Ньютона. ^[9]
4. "Когда поток воздуха обтекает аэродинамический профиль, возникают локальные изменения скорости вокруг аэродинамического профиля и, следовательно, изменения статического давления в соответствии с теоремой Бернулли. Распределение давления определяет подъемную силу, момент тангажа и сопротивление формы аэродинамического профиля, а также положение его центра давления". ^{[1] : § 5.5}

Ссылки

1. Клэнси, LJ (1975). Аэродинамика. Уайли. ISBN 978-0-470-15837-1.
2. Batchelor, GK (2000). Введение в гидродинамику. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-66396-0.
3. "Hydrodynamica". Онлайн-энциклопедия Britannica . Получено 30 октября 2008 г.
4. Андерсон, Дж. Д. (2016), «Некоторые размышления об истории динамики жидкости», в Джонсон, Р. В. (ред.), Справочник по динамике жидкости (2-е изд.), CRC Press, ISBN 9781439849576
5. Дарригол, О.; Фриш, У. (2008), «От механики Ньютона к уравнениям Эйлера», Physica D: Nonlinear Phenomena , 237 (14–17): 1855–1869, Bibcode : 2008PhyD..237.1855D, doi : 10.1016/j.physd.2007.08.003
6. Стритер, Виктор Лайл (1966). Механика жидкостей. Нью-Йорк: McGraw-Hill.
7. Бабинский, Хольгер (ноябрь 2003 г.), «Как работают крылья?», Physics Education , 38 (6): 497–503, Bibcode : 2003PhyEd..38..497B, doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001, S2CID  1657792
8. " Weltner, Klaus; Ingelman-Sundberg, Martin, Misinterpretations of Bernoulli's Law, архивировано из оригинала 29 апреля 2009 г.
9. Денкер, Джон С. (2005). "3 Аэродинамические профили и воздушный поток". Смотрите, как это летает . Получено 27 июля 2018 г.
10. Резник, Р.; Холлидей, Д. (1960). Физика . John Wiley & Sons. раздел 18–4.
11. Малли, Рэймонд (2004). Течение промышленных жидкостей: теория и уравнения. CRC Press. С. 43–44. ISBN 978-0-8493-2767-4.
12. Шансон, Хьюберт (2004). Гидравлика потока в открытом канале. Elsevier. стр. 22. ISBN 978-0-08-047297-3.
13. Эртель, Герберт; Прандтль, Людвиг; Бёле, М.; Мэйс, Кэтрин (2004). Основы механики жидкости Прандтля. Спрингер. стр. 70–71. ISBN 978-0-387-40437-0.
14. "Уравнение Бернулли". NASA Glenn Research Center. Архивировано из оригинала 2012-07-31 . Получено 2009-03-04 .
15. Уайт, Фрэнк М. Механика жидкости (6-е изд.). McGraw-Hill International Edition. стр. 602.
16. Кларк, Кэти; Карсвелл, Боб (2007). Принципы астрофизической гидродинамики. Cambridge University Press. стр. 161. ISBN 978-1-139-46223-5.
17. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики (2-е изд.). Pergamon Press. ISBN 978-0-7506-2767-2.
18. Ван Вайлен, Гордон Дж .; Зоннтаг, Ричард Э. (1965). Основы классической термодинамики. Нью-Йорк: John Wiley and Sons.
19. Фейнман, RP ; Лейтон, RB ; Сэндс, M. (1963). Лекции Фейнмана по физике . Том 2. ISBN 978-0-201-02116-5.^{: 40–6 по 40–9, §40–3}
20. Типлер, Пол (1991). Физика для ученых и инженеров: Механика (3-е расширенное изд.). WH Freeman. ISBN 978-0-87901-432-2., стр. 138.
21. Фейнман, RP ; Лейтон, RB ; Сэндс, M. (1963). Лекции Фейнмана по физике . Том 1. ISBN 978-0-201-02116-5.
22. Томас, Джон Э. (май 2010 г.). «Почти идеальный ферми-газ» (PDF) . Physics Today . 63 (5): 34–37. Bibcode : 2010PhT....63e..34T. doi : 10.1063/1.3431329.
23. Резник, Р.; Холлидей, Д. (1960). Физика . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. раздел 18–5. Линии тока ближе друг к другу над крылом, чем под ним, так что принцип Бернулли предсказывает наблюдаемую динамическую подъемную силу, направленную вверх.
24. Истлейк, Чарльз Н. (март 2002 г.). «Взгляд аэродинамика на подъемную силу, Бернулли и Ньютон» (PDF) . The Physics Teacher . 40 (3): 166–173. Bibcode : 2002PhTea..40..166E. doi : 10.1119/1.1466553.«Результирующая сила определяется путем интегрирования распределения поверхностного давления по площади поверхности аэродинамического профиля».
25. Справочное руководство по машиностроению (9-е изд.).
26. Научно-исследовательский центр технического образования (2006). Физика, которая работает . Кендалл Хант. ISBN 0787291811OCLC  61918633. Одно из наиболее широко распространенных, но неверных объяснений можно назвать теорией «более длинного пути» или теорией «равного времени прохождения».
27. Смит, Норман Ф. (ноябрь 1972 г.). «Бернулли и Ньютон в механике жидкости». The Physics Teacher . 10 (8): 451. Bibcode :1972PhTea..10..451S. doi :10.1119/1.2352317. Аэродинамический профиль крыла самолета, согласно объяснению в учебнике, которое является более или менее стандартным в Соединенных Штатах, имеет особую форму с большей кривизной сверху, чем снизу; следовательно, воздух должен проходить по верхней поверхности дальше, чем по нижней. Поскольку воздух должен пройти по верхней и нижней поверхностям за одинаковое время..., скорость по верхней поверхности будет больше, чем по нижней. Согласно теореме Бернулли, эта разница скоростей создает разницу давлений, которая является подъемной силой. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
28. Бабинский, Хольгер (2003). "Как работают крылья?" (PDF) . Physics Education . 38 (6): 497–503. Bibcode :2003PhyEd..38..497B. doi :10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID  1657792. ...часто спрашивают, почему частицы жидкости должны снова встречаться на задней кромке. Или, другими словами, почему две частицы по обе стороны крыла должны тратить одинаковое время на перемещение от S до T? Очевидного объяснения нет, и реальные наблюдения доказывают, что это неверно.
29. "Фактическая скорость над верхней частью аэродинамического профиля намного выше, чем предсказывает теория "более длинного пути", и частицы, движущиеся над верхней частью, достигают задней кромки раньше, чем частицы, движущиеся под аэродинамическим профилем". Исследовательский центр Гленна (16 августа 2000 г.). "Неправильная теория подъема № 1". NASA. Архивировано из оригинала 27 апреля 2014 г. Получено 27 июня 2021 г.
    
30. Андерсон, Джон (2005). Введение в полет . Бостон: McGraw-Hill Higher Education. стр. 355. ISBN 978-0072825695. Затем предполагается, что эти два элемента должны встретиться на задней кромке, и поскольку расстояние пробега по верхней поверхности аэродинамического профиля больше, чем по нижней поверхности, элемент по верхней поверхности должен двигаться быстрее. Это просто неверно. Экспериментальные результаты и вычислительные гидродинамические расчеты ясно показывают, что элемент жидкости, движущийся по верхней поверхности аэродинамического профиля, покидает заднюю кромку задолго до того, как его сопутствующий элемент, движущийся по нижней поверхности, достигает задней кромки.
31. Андерсон, Дэвид; Эберхардт, Скотт. "Как летают самолеты". Как летают самолеты: физическое описание подъемной силы . Архивировано из оригинала 26 января 2016 г. Получено 26 января 2016 г. Нет ничего неправильного в принципе Бернулли или в утверждении, что воздух движется быстрее над верхней частью крыла. Но, как следует из вышеизложенного обсуждения, наше понимание не является полным с этим объяснением. Проблема в том, что мы упускаем важную часть, когда применяем принцип Бернулли. Мы можем рассчитать давление вокруг крыла, если знаем скорость воздуха над и под крылом, но как определить скорость?
32. Андерсон, Джон Д. (2016). «Глава 4. Основы аэродинамики». Введение в полет (8-е изд.). McGraw-Hill Education.
33. "Закон Бернулли и эксперименты, приписываемые ему, увлекательны. К сожалению, некоторые из этих экспериментов объясняются ошибочно..." Вельтнер, Клаус; Ингельман-Сундберг, Мартин. "Неправильные толкования закона Бернулли". Физический факультет Франкфуртского университета. Архивировано из оригинала 21 июня 2012 г. Получено 25 июня 2012 г.
34. Tymony, Cy. "Origami Flying Disk". MAKE Magazine . Архивировано из оригинала 2013-01-03. Это происходит из-за принципа Бернулли — быстро движущийся воздух имеет более низкое давление, чем неподвижный воздух.
35. "Эффекты Бернулли". Факультет физики и астрономии, Университет Миннесоты . Архивировано из оригинала 2012-03-10. Более быстро движущаяся жидкость, более низкое давление. ... Когда демонстратор держит бумагу перед своим ртом и дует поверх нее, он создает область более быстро движущегося воздуха.
36. "Образовательный пакет" (PDF) . Фестиваль больших парусных судов – Гавань островов Чаннел. Архивировано из оригинала (PDF) 3 декабря 2013 г. Получено 25 июня 2012 г. Принцип Бернулли гласит, что более быстро движущийся воздух имеет более низкое давление... Вы можете продемонстрировать принцип Бернулли, подув на лист бумаги, удерживаемый горизонтально у ваших губ.
37. Craig, Gale M. "Physical Principles of Winged Flight" . Получено 31 марта 2016 г. – через rcgroups.com. Если подъемная сила на рисунке A была вызвана "принципом Бернулли", то бумага на рисунке B должна была бы провисать еще больше, когда под нее дует воздух. Однако, как показано, она поднимается, когда восходящий градиент давления в нисходящем искривленном потоке добавляется к атмосферному давлению на нижней поверхности бумаги.
38. Бабинский, Хольгер (2003). "Как работают крылья" (PDF) . Физическое образование . 38 (6). Издательство IOP: 497. Bibcode :2003PhyEd..38..497B. doi :10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID  1657792 . Получено 7 апреля 2022 г. – через iopscience.iop.org. Фактически, давление в воздухе, выдуваемом из легких, равно давлению окружающего воздуха...
39. Иствуэлл, Питер (2007). «Бернулли? Возможно, но как насчет вязкости?» (PDF) . Обзор научного образования . 6 (1). Архивировано из оригинала (PDF) 2018-03-18 . Получено 2018-03-18 . ...воздух не имеет уменьшенного бокового давления (или статического давления...) просто потому, что он вынужден двигаться, статическое давление свободного воздуха не уменьшается с увеличением скорости воздуха, это неправильное понимание принципа Бернулли, чтобы предположить, что это то, о чем он нам говорит, и поведение изогнутой бумаги объясняется другими рассуждениями, нежели принцип Бернулли.
40. Раскин, Джеф (февраль 2003 г.). "Эффект Коанда: понимание того, почему работают крылья". karmak.org . Сделайте полоску писчей бумаги размером примерно 5 см × 25 см. Держите ее перед губами так, чтобы она свисала наружу и вниз, образуя выпуклую вверх поверхность. Когда вы дуете на верхнюю часть бумаги, она поднимается. Во многих книгах это объясняется снижением давления воздуха сверху исключительно эффектом Бернулли. Теперь пальцами сформируйте из бумаги кривую, слегка вогнутую вверх по всей ее длине, и снова подуйте на верхнюю часть этой полоски. Теперь бумага изгибается вниз... часто цитируемый эксперимент, который обычно воспринимается как демонстрация общепринятого объяснения подъемной силы, этого не делает...
41. Бабинский, Хольгер (2003). "Как работают крылья" (PDF) . Физическое образование . 38 (6). Издательство IOP: 497. Bibcode :2003PhyEd..38..497B. doi :10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID  1657792 . Получено 7 апреля 2022 г. – через iopscience.iop.org. Обдувание листа бумаги не демонстрирует уравнение Бернулли. Хотя верно, что изогнутая бумага поднимается, когда поток прикладывается с одной стороны, это не потому, что воздух движется с разной скоростью с двух сторон... Неверно устанавливать связь между потоком с двух сторон бумаги, используя уравнение Бернулли.
42. Иствуэлл, Питер (2007). "Бернулли? Возможно, но как насчет вязкости?" (PDF) . Обзор научного образования . 6 (1). Архивировано из оригинала (PDF) 2018-03-18 . Получено 2018-03-18 . Объяснение, основанное на принципе Бернулли, неприменимо к этой ситуации, поскольку этот принцип ничего не говорит о взаимодействии воздушных масс, имеющих разные скорости... Кроме того, хотя принцип Бернулли позволяет нам сравнивать скорости и давления жидкости вдоль одной линии тока и... вдоль двух различных линий тока, которые возникают при одинаковых условиях жидкости, использование принципа Бернулли для сравнения воздуха над и под изогнутой бумагой на рисунке 1 бессмысленно; в этом случае под бумагой вообще нет никаких линий тока!
43. Ауэрбах, Дэвид. "Почему самолеты летают" (PDF) . European Journal of Physics . 21 : 295 – через iopscience.iop.org. Известная демонстрация явления подъемной силы путем подъема страницы, консольно закрепленной в руке, путем горизонтального дуновения вдоль нее, вероятно, больше является демонстрацией сил, присущих эффекту Коанда, чем демонстрацией закона Бернулли; поскольку здесь воздушная струя выходит изо рта и прикрепляется к изогнутой (и, в данном случае, податливой) поверхности. Верхний край представляет собой сложный вихревой перемешивающий слой, а дальний поток неподвижен, так что закон Бернулли вряд ли применим.
44. Смит, Норман Ф. (ноябрь 1972 г.). «Бернулли и Ньютон в механике жидкости». Учитель физики . Миллионы детей на уроках естествознания просят подуть на изогнутые листы бумаги и наблюдать, как они «поднимаются»... Затем их просят поверить, что за это отвечает теорема Бернулли... К сожалению, «динамический подъем», о котором идет речь... не объясняется должным образом теоремой Бернулли.
45. Denker, John S. "Bernoulli's Principle". See How It Flies – via av8n.com. Принцип Бернулли очень легко понять, если он правильно сформулирован. Однако мы должны быть осторожны, потому что, казалось бы, небольшие изменения в формулировке могут привести к совершенно неверным выводам.
46. Смит, Норман Ф. (1973). «Бернулли, Ньютон и динамический подъем, часть I». School Science and Mathematics . 73 (3): 181–186. doi :10.1111/j.1949-8594.1973.tb08998.x – через wiley.com. Полная формулировка теоремы Бернулли выглядит следующим образом: «В потоке, где энергия не добавляется и не отнимается, сумма его различных энергий является постоянной: следовательно, где скорость увеличивается, давление уменьшается, и наоборот».
47. Бабинский, Хольгер (2003). «Как работают крылья» (PDF) . Физическое образование . 38 (6). Издательство IOP: 497. Bibcode :2003PhyEd..38..497B. doi :10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID  1657792 . Получено 7 апреля 2022 г. – через iopscience.iop.org. ...если линия тока искривлена, должен быть градиент давления поперек линии тока, причем давление увеличивается в направлении от центра кривизны.
48. Смит, Норман Ф. (1973). "Бернулли, Ньютон и динамический подъем, часть II". Школьные науки и математика . 73 (4): 3333. doi :10.1111/j.1949-8594.1973.tb09040.x – через wiley.com. Изогнутая бумага поворачивает поток воздуха вниз, и это действие создает подъемную реакцию, которая поднимает бумагу.
49. Аэронавтика: Руководство для педагога с заданиями по естественнонаучному, математическому и технологическому образованию (PDF) . NASA. стр. 26 – через nasa.gov. Изогнутая поверхность языка создает неравномерное давление воздуха и подъемную силу. ... Подъемная сила возникает при движении воздуха по изогнутой поверхности.
50. Андерсон, Дэвид Ф .; Эберхардт, Скотт. "Ньютоновское описание подъемной силы крыла" (PDF) . стр. 12. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-11 – через integener.com. Вязкость заставляет дыхание следовать за изогнутой поверхностью, первый закон Ньютона гласит, что на воздух действует сила, а третий закон Ньютона гласит, что на бумагу действует равная и противоположная сила. Передача импульса поднимает полоску. Уменьшение давления, действующего на верхнюю поверхность листа бумаги, заставляет бумагу подниматься.
51. Андерсон, Дэвид Ф.; Эберхардт, Скотт. Понимание полета . стр. 229 – через Google Books.«Демонстрации» принципа Бернулли часто выдаются за демонстрации физики подъемной силы. Это действительно демонстрации подъемной силы, но, конечно, не принципа Бернулли.
52. Файл, Макс. Аэронавтика. Архивировано из оригинала 17 мая 2015 г. В качестве примера возьмем вводящий в заблуждение эксперимент, который чаще всего используется для «демонстрации» принципа Бернулли. Держите лист бумаги так, чтобы он изгибался над вашим пальцем, затем подуйте наверх. Бумага поднимется. Однако большинство людей не понимают, что бумага не поднимется, если она будет плоской, даже если вы дуете воздухом сверху с бешеной скоростью. Принцип Бернулли в этом случае не применяется напрямую. Это происходит потому, что воздух с двух сторон бумаги изначально не исходил из одного и того же источника. Воздух внизу — это окружающий воздух из комнаты, но воздух наверху вышел из вашего рта, где вы фактически увеличили его скорость, не уменьшив его давления, выталкивая его изо рта. В результате воздух с обеих сторон плоской бумаги фактически имеет одинаковое давление, хотя воздух наверху движется быстрее. Причина, по которой изогнутый лист бумаги действительно поднимается, заключается в том, что воздух изо рта ускоряется еще больше, следуя изгибу бумаги, что, в свою очередь, снижает давление, согласно Бернулли.
53. Geurts, Pim. "Some simple Experiments". sailtheory.com . Архивировано из оригинала 2016-03-03 . Получено 7 апреля 2022 г. Некоторые люди дуют на лист бумаги, чтобы продемонстрировать, что ускоренный воздух над листом приводит к более низкому давлению. Они ошибаются в своих объяснениях. Лист бумаги поднимается, потому что он отклоняет воздух с помощью эффекта Коанда, и это отклонение является причиной силы, поднимающей лист. Чтобы доказать их неправоту, я использую следующий эксперимент: если лист бумаги предварительно согнуть в другую сторону, сначала свернув его, и если вы дуете на него, то он опускается. Это происходит потому, что воздух отклоняется в другую сторону. Скорость воздуха над листом все еще выше, так что это не вызывает более низкого давления.
54. Бобровски, Мэтт. «В: Действительно ли это вызвано эффектом Бернулли?». Science 101. Национальная ассоциация преподавателей естественных наук. Эффект Бернулли часто — и неправильно — используется для объяснения: :почему два подвешенных воздушных шара или мяча для настольного тенниса движутся навстречу друг другу, когда вы дуете между ними воздухом; :почему бумага поднимается, когда вы дуете на нее воздухом; :почему брошенный бейсбольный мяч изгибается; :почему ложка притягивается к струе воды; :почему мяч остается подвешенным в струе воздуха. Вот новости: ни одно из этих явлений не является результатом эффекта Бернулли.
55. Камела, Мартин (сентябрь 2007 г.). «Размышления о Бернулли». The Physics Teacher . 45 (6). Американская ассоциация учителей физики: 379–381. Bibcode :2007PhTea..45..379K. doi :10.1119/1.2768700. Архивировано из оригинала 23 февраля 2013 г. Наконец, вернемся к первоначальному примеру с мячом, парящим в струе воздуха. Наивное объяснение устойчивости мяча в воздушном потоке, «потому что давление в струе ниже давления в окружающей атмосфере», явно неверно. Статическое давление в свободной воздушной струе такое же, как давление в окружающей атмосфере...
56. Смит, Норман Ф. (ноябрь 1972 г.). «Бернулли и Ньютон в механике жидкости». The Physics Teacher . 10 (8): 455. Bibcode :1972PhTea..10..451S. doi :10.1119/1.2352317. Асимметричный поток (не теорема Бернулли) также объясняет подъемную силу мяча для пинг-понга или пляжного мяча , который так загадочно плавает в наклонном выхлопе пылесоса...
57. Bauman, Robert P. "The Bernoulli Conundrum" (PDF) . introphysics.info . Department of Physics, University of Alabama at Birmingham. Архивировано из оригинала (PDF) 25 февраля 2012 г. . Получено 25 июня 2012 г. Теорема Бернулли часто затмевается демонстрациями, в которых участвуют небернуллиевские силы. Например, мяч может поддерживаться восходящей струей воздуха или воды, поскольку любая жидкость (воздух и вода) обладает вязкостью, которая замедляет проскальзывание одной части жидкости, движущейся мимо другой части жидкости.
58. Крейг, Гейл М. «Физические принципы крылатого полета» . Получено 31 марта 2016 г. В демонстрации, которую иногда ошибочно описывают как демонстрацию подъемной силы из-за снижения давления в движущемся воздухе или снижения давления из-за ограничения пути потока, мяч или воздушный шар подвешивается струей воздуха.
59. Андерсон, Дэвид Ф.; Эберхардт, Скотт. "Ньютоновское описание подъемной силы крыла" (PDF) . стр. 12. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-11 – через integener.com. Второй пример - удержание шарика для пинг-понга в вертикальном выхлопе фена . Нам говорят, что это демонстрация принципа Бернулли. Но теперь мы знаем, что выхлоп не имеет меньшего значения ps. Опять же, именно передача импульса удерживает шарик в воздушном потоке. Когда шарик приближается к краю выхлопа, вокруг шарика возникает асимметричный поток, который отталкивает его от края потока. То же самое верно, когда кто-то дует между двумя шариками для пинг-понга, висящими на нитях.
60. "Тонкие металлические листы – эффект Коанда". physics.umd.edu . Физический лекционно-демонстрационный центр, Университет Мэриленда. Архивировано из оригинала 23 июня 2012 г. . Получено 23 октября 2012 г. Эта демонстрация часто неправильно объясняется с использованием принципа Бернулли. Согласно НЕПРАВИЛЬНОМУ объяснению, поток воздуха быстрее в области между листами, тем самым создавая более низкое давление по сравнению с тихим воздухом снаружи листов.
61. "Ответ № 256". physics.umd.edu . Физический лекционно-демонстрационный центр, Университет Мэриленда. Архивировано из оригинала 13 декабря 2014 г. . Получено 9 декабря 2014 г. Хотя эффект Бернулли часто используется для объяснения этой демонстрации, и один производитель продает материал для этой демонстрации как "мешки Бернулли", ее нельзя объяснить эффектом Бернулли, а скорее процессом увлечения.

Внешние ссылки

• Поток сухой воды - Фейнмановские лекции по физике
• Наука 101 В: Действительно ли это вызвано эффектом Бернулли?
• Калькулятор уравнения Бернулли
• Университет Миллерсвилля – Приложения уравнения Эйлера
• NASA – Руководство для начинающих по аэродинамике Архивировано 15 июля 2012 г. на Wayback Machine
• Неправильные толкования уравнения Бернулли – Вельтнер и Ингельман-Сундберг Архивировано 2012-02-08 на Wayback Machine