Объем

Объем — это мера областей в трехмерном пространстве . ^[1] Он часто количественно определяется с помощью единиц, производных от СИ (например, кубический метр и литр ), или с помощью различных имперских или общепринятых единиц США (например, галлон , кварта , кубический дюйм ). Определение длины и высоты (в кубе) взаимосвязано с объемом. Объем контейнера обычно понимается как вместимость контейнера; т. е. количество жидкости (газа или жидкости), которое может вместить контейнер, а не количество пространства, которое сам контейнер вытесняет. По метонимии термин «объем» иногда используется для обозначения соответствующей области (например, ограничивающего объема ). ^[2]^[3]

В древние времена объем измерялся с помощью естественных сосудов аналогичной формы. Позже стали использоваться стандартизированные сосуды. Некоторые простые трехмерные формы могут иметь свой объем, легко вычисленный с помощью арифметических формул . Объемы более сложных форм могут быть вычислены с помощью интегрального исчисления, если существует формула для границы формы. Нуль- , одно- и двумерные объекты не имеют объема; в четырех и более измерениях аналогичной концепцией нормального объема является гиперобъем.

История

Древняя история

Точность измерений объема в древности обычно колеблется в пределах 10–50 мл (0,3–2 жидких унций США; 0,4–2 жидких унций им. бр.). ^[4]^{: 8} Самые ранние свидетельства расчета объема пришли из Древнего Египта и Месопотамии в виде математических задач, аппроксимирующих объем простых форм, таких как кубоиды , цилиндры , усеченные конусы и конусы . Эти математические задачи были записаны в Московском математическом папирусе (ок. 1820 г. до н. э.). ^[5]^{: 403} В папирусе Рейснера древние египтяне записали конкретные единицы объема для зерна и жидкостей, а также таблицу длины, ширины, глубины и объема для блоков материала. ^[4]^{: 116} Египтяне использовали свои единицы длины ( локоть , ладонь , палец ) для разработки своих единиц объема, таких как объем локтя ^[4]^{: 117} или отрицание ^[5]^{: 396} (1 локоть × 1 локоть × 1 локоть), объем ладони (1 локоть × 1 локоть × 1 ладонь) и объем цифры (1 локоть × 1 локоть × 1 палец). ^[4]^{: 117}

Последние три книги «Начал » Евклида , написанные около 300 г. до н. э., подробно описывали точные формулы для вычисления объема параллелепипедов , конусов, пирамид , цилиндров и сфер . Формула была определена предшествующими математиками с помощью примитивной формы интегрирования , путем разбиения форм на более мелкие и простые части. ^[5]^{: 403} Спустя столетие Архимед ( ок. 287 – 212 гг. до н. э. ) разработал приблизительную формулу объема нескольких форм, используя метод исчерпания , что означает получение решений из ранее известных формул из подобных форм. Примитивная интеграция форм была также открыта независимо Лю Хуэем в 3 веке н. э., Цзу Чунчжи в 5 веке н. э., на Ближнем Востоке и в Индии . ^[5]^{: 404}

Архимед также разработал способ вычисления объема неправильного объекта, погрузив его под воду и измерив разницу между начальным и конечным объемом воды. Разница в объеме воды является объемом объекта. ^[5]^{: 404} Несмотря на большую популярность, Архимед, вероятно, не погружает золотую корону, чтобы найти ее объем, а значит, ее плотность и чистоту, из-за чрезвычайной точности. ^[6] Вместо этого он, вероятно, разработал примитивную форму гидростатических весов . Здесь корона и кусок чистого золота с аналогичным весом помещаются на оба конца весов, погруженных под воду, которые будут наклоняться соответствующим образом из-за принципа Архимеда . ^[7]

Исчисление и стандартизация единиц

В Средние века было создано много единиц измерения объема, таких как сестер , янтарь, кумб и пласт . Огромное количество таких единиц побудило британских королей стандартизировать их, что достигло кульминации в статуте Ассиза хлеба и эля в 1258 году Генриха III Английского . Статут стандартизировал вес, длину и объем, а также ввел пенни, унцию, фунт, галлон и бушель. ^[4]^{: 73–74} В 1618 году Лондонская фармакопея (каталог лекарственных соединений) приняла римский галлон ^[8] или конгиус^[9] в качестве базовой единицы объема и дала таблицу перевода в единицы веса аптекарей. ^[8] Примерно в это же время измерения объема становятся более точными, а неопределенность сужается до 1–5 мл (0,03–0,2 жидкой унции США; 0,04–0,2 жидкой унции им. Империи). ^[4]^{: 8}

Примерно в начале 17-го века Бонавентура Кавальери применил философию современного интегрального исчисления для вычисления объема любого объекта. Он разработал принцип Кавальери , который гласил, что использование все более тонких срезов формы будет делать результирующий объем все более и более точным. Эта идея была позже расширена Пьером де Ферма , Джоном Уоллисом , Исааком Барроу , Джеймсом Грегори , Исааком Ньютоном , Готфридом Вильгельмом Лейбницем и Марией Гаэтаной Аньези в 17-м и 18-м веках, чтобы сформировать современное интегральное исчисление, которое остается в использовании в 21-м веке. ^[5]^{: 404}

Метрика и переопределения

7 апреля 1795 года метрическая система была официально определена во французском законодательстве с использованием шести единиц. Три из них связаны с объемом: стер (1 м ³ ) для объема дров; литр (1 дм ³ ) для объема жидкости; и грамм , для массы, определяемой как масса одного кубического сантиметра воды при температуре тающего льда. ^[10] Тридцать лет спустя, в 1824 году, имперский галлон был определен как объем, занимаемый десятью фунтами воды при температуре 17 °C (62 °F). ^[5]^{: 394} Это определение было дополнительно уточнено до Закона Соединенного Королевства о мерах и весах 1985 года , который делает 1 имперский галлон точно равным 4,54609 литра без использования воды. ^[11]

Переопределение метра 1960 года от Международного прототипа метра к оранжево-красной линии излучения атомов криптона-86 освободило метр, кубический метр и литр от физических объектов. Это также сделало метр и производные от метра единицы объема устойчивыми к изменениям в Международном прототипе метра. ^[12] Определение метра было снова переопределено в 1983 году для использования скорости света и секунды (которая получена из цезиевого стандарта ) и перефразировано для ясности в 2019 году . ^[13]

Характеристики

Как мера евклидова трехмерного пространства , объем не может быть физически измерен как отрицательное значение, подобно длине и площади . Как и все непрерывные монотонные (сохраняющие порядок) меры, объемы тел можно сравнивать друг с другом и, таким образом, упорядочивать. Объемы также можно складывать и разлагать до бесконечности; последнее свойство является неотъемлемой частью принципа Кавальери и исчисления бесконечно малых трехмерных тел. ^[14] «Единицей» бесконечно малого объема в интегральном исчислении является элемент объема ; эта формулировка полезна при работе с различными системами координат , пространствами и многообразиями .

Измерение

Самый старый способ приблизительного измерения объема объекта — это использование человеческого тела, например, размера руки и щипков . Однако различия в строении человеческого тела делают этот способ крайне ненадежным. Лучший способ измерения объема — использование примерно одинаковых и прочных емкостей, встречающихся в природе, таких как тыквы , овечьи или свиные желудки и мочевые пузыри . Позже, по мере совершенствования металлургии и производства стекла , небольшие объемы в настоящее время обычно измеряются с помощью стандартизированных емкостей, изготовленных человеком. ^[5]^{: 393} Этот метод распространен для измерения небольшого объема жидкостей или сыпучих материалов с использованием кратного или дробного объема емкости. Для сыпучих материалов емкость встряхивают или выравнивают, чтобы сформировать примерно ровную поверхность. Этот метод не является самым точным способом измерения объема, но часто используется для измерения ингредиентов для приготовления пищи . ^[5]^{: 399}

Пипетка с вытеснением воздуха используется в биологии и биохимии для измерения объема жидкостей в микроскопическом масштабе. ^[15] Калиброванные мерные чашки и ложки подходят для приготовления пищи и повседневных нужд, однако они недостаточно точны для лабораторий . Там объем жидкостей измеряется с помощью градуированных цилиндров , пипеток и мерных колб . Самыми большими из таких калиброванных контейнеров являются резервуары для хранения нефти , некоторые из которых могут вмещать до 1 000 000 баррелей (160 000 000 л) жидкостей. ^[5]^{: 399} Даже в этом масштабе, зная плотность и температуру нефти, можно сделать очень точное измерение объема в этих резервуарах. ^[5]^{: 403}

Для еще больших объемов, таких как резервуар , объем контейнера моделируется формами и рассчитывается с помощью математики. ^[5]^{: 403}

Единицы

Для облегчения расчетов единица объема равна объему, занимаемому единичным кубом (со стороной, равной единице). Поскольку объем занимает три измерения, если в качестве единицы длины выбран метр (м), соответствующей единицей объема будет кубический метр (м ³ ). Кубический метр также является производной единицей СИ . ^[16] Следовательно, объем имеет единичную размерность L ³ . ^[17]

Метрические единицы объема используют метрические префиксы , строго в степенях десяти . При применении префиксов к единицам объема, которые выражаются в единицах длины в кубе, операторы куба применяются к единице длины, включая префикс. Пример преобразования кубического сантиметра в кубический метр: 2,3 см3 ⁼ 2,3 (см) ³ = 2,3 (0,01 м) ³ = 0,0000023 м3 ⁽ пять нулей). ^[18]^{: 143}

Обычно используемые префиксы для кубических единиц длины — кубический миллиметр (мм ³ ), кубический сантиметр (см ³ ), кубический дециметр (дм ³ ), кубический метр (м ³ ) и кубический километр (км ³ ). Преобразование между единицами префиксов следующее: 1000 мм ³ = 1 см ³ , 1000 см ³ = 1 дм ³ , и 1000 дм ³ = 1 м ³ . ^[1] Метрическая система также включает литр (л) как единицу объема, где 1 л = 1 дм ³ = 1000 см ³ = 0,001 м ³ . ^[18]^{: 145} Для единицы измерения литра обычно используются префиксы миллилитр (мл), сантилитр (сл) и литр (л), где 1000 мл = 1 л, 10 мл = 1 сл, 10 сл = 1 дл и 10 дл = 1 л. ^[1]

Также используются различные другие имперские или общепринятые в США единицы измерения объема, в том числе: ^[5]^{: 396–398}

кубический дюйм , кубический фут , кубический ярд , акр-фут , кубическая миля ;
миним , драхма , жидкая унция , пинта ;
чайная ложка , столовая ложка ;
джилл , кварта , галлон , баррель ;
шнур , кек , бушель , бочка .

Вместимость и объем

Вместимость — это максимальное количество материала, которое может вместить контейнер, измеренное в объеме или весе . Однако содержащийся объем не должен заполняться в сторону вместимости контейнера, или наоборот. Контейнеры могут вмещать только определенное количество физического объема, а не веса (исключая практические соображения). Например, резервуар на 50 000 баррелей (7 900 000 л), который может вместить только 7 200 т (15 900 000 фунтов) мазута, не сможет вместить те же 7 200 т (15 900 000 фунтов) нафты из -за более низкой плотности нафты и, следовательно, большего объема. ^[5]^{: 390–391}

Вычисление

Базовые формы

Для многих форм, таких как куб , прямоугольный параллелепипед и цилиндр , по сути, используется та же формула расчета объема, что и для призмы : основание формы, умноженное на ее высоту .

Интегральное исчисление

Вычисление объема является важной частью интегрального исчисления. Одним из них является вычисление объема тел вращения путем вращения плоской кривой вокруг линии на той же плоскости. Метод интегрирования шайбы или диска используется при интегрировании по оси, параллельной оси вращения. Общее уравнение можно записать как: где и - границы плоской кривой. ^[19]^{: 1, 3} Метод интегрирования оболочки используется при интегрировании по оси, перпендикулярной оси вращения. Уравнение можно записать как: ^[19]^{: 6} Объем области D в трехмерном пространстве задается тройным или объемным интегралом постоянной функции по области. Обычно он записывается как: ^[20]^{: Раздел 14.4} $V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx$ ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle г(х)}$ $V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx$ $f(x,y,z)=1$ $\iiint _{D}1\,dx\,dy\,dz.$

В цилиндрических координатах интеграл объема равен $\iiint _{D}r\,dr\,d\theta \,dz,$

В сферических координатах (используя соглашение для углов с азимутом и измеряемых от полярной оси; см. подробнее об соглашениях ), интеграл объема равен $\тета$ $\varphi$ $\iiint _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi.$

Геометрическое моделирование

Полигональная сетка — это представление поверхности объекта с использованием полигонов . Объемная сетка явно определяет его объем и свойства поверхности.

Производные величины

Плотность — это масса вещества на единицу объема, или общая масса, деленная на общий объем. ^[21]
Удельный объем – это общий объем, деленный на массу, или величину, обратную плотности. ^[22]
Объемный расход или расход — это объем жидкости, проходящий через данную поверхность за единицу времени.
Объемная теплоемкость — это теплоемкость вещества, деленная на его объем.

Смотрите также

Примечания

^ При постоянной температуре и давлении, игнорируя для краткости другие состояния вещества.

Ссылки

^ abc "SI Units - Volume". Национальный институт стандартов и технологий . 13 апреля 2022 г. Архивировано из оригинала 7 августа 2022 г. Получено 7 августа 2022 г.
^ "IEC 60050 — Подробности для номера IEV 102-04-40: "volume"". Международный электротехнический словарь (на японском языке) . Получено 2023-09-19 .
^ "IEC 60050 — Подробности для номера IEV 102-04-39: "трехмерная область"". Международный электротехнический словарь (на японском языке) . Получено 2023-09-19 .
^ abcdef Имхаузен, Аннет (2016). Математика в Древнем Египте: Контекстуальная история . Princeton University Press . ISBN 978-1-4008-7430-9. OCLC 934433864.
^ abcdefghijklmn Treese, Steven A. (2018). История и измерение основных и производных единиц . Cham, Швейцария: Springer Science+Business Media . ISBN 978-3-319-77577-7. LCCN 2018940415. OCLC 1036766223.
^ Роррес, Крис. "Золотая корона". Университет Дрекселя . Архивировано из оригинала 11 марта 2009 года . Получено 24 марта 2009 года .
^ Граф, Э. Х. (2004). «Что сказал Архимед о плавучести?». The Physics Teacher . 42 (5): 296–299. Bibcode : 2004PhTea..42..296G. doi : 10.1119/1.1737965. Архивировано из оригинала 14.04.2021 . Получено 07.08.2022 .
^ ab "Balances, Weights and Measures" (PDF) . Королевское фармацевтическое общество . 4 февраля 2020 г. стр. 1. Архивировано (PDF) из оригинала 20 мая 2022 г. . Получено 13 августа 2022 г. .
^ Кардарелли, Франсуа (6 декабря 2012 г.). Научный перевод единиц: практическое руководство по метризации (2-е изд.). Лондон: Springer Science+Business Media . стр. 151. ISBN 978-1-4471-0805-4. OCLC 828776235.
^ Кокс, Эдвард Франклин (1958). История метрической системы мер и весов с упором на кампании по ее принятию в Великобритании и Соединенных Штатах до 1914 года (диссертация на степень доктора философии). Университет Индианы. С. 99–100. ProQuest 301905667.
^ Кук, Джеймс Л. (1991). Коэффициенты перевода . Оксфорд [Англия]: Oxford University Press . стр. xvi. ISBN 0-19-856349-3. OCLC 22861139.
^ Мэрион, Джерри Б. (1982). Физика для науки и техники . CBS College Publishing. стр. 3. ISBN 978-4-8337-0098-6.
^ "Mise en pratique for the definition of the meter in the SI" (PDF) . Международное бюро мер и весов . Консультативный комитет по длине. 20 мая 2019 г. стр. 1. Архивировано (PDF) из оригинала 13 августа 2022 г. . Получено 13 августа 2022 г. .
^ "Том - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2023-05-27 .
^ "Использование микропипеток" (PDF) . Buffalo State College . Архивировано из оригинала (PDF) 4 августа 2016 года . Получено 19 июня 2016 года .
^ "Площадь и объем". Национальный институт стандартов и технологий . 25 февраля 2022 г. Архивировано из оригинала 7 августа 2022 г. Получено 7 августа 2022 г.
^ Лемонс, Дон С. (16 марта 2017 г.). Руководство для студентов по размерному анализу . Нью-Йорк: Cambridge University Press . стр. 38. ISBN 978-1-107-16115-3. OCLC 959922612.
^ ab Международная система единиц (PDF) (9-е изд.). Международное бюро мер и весов. Декабрь 2022 г. ISBN 978-92-822-2272-0.
^ ab "Volumes by Integration" (PDF) . Рочестерский технологический институт . 22 сентября 2014 г. Архивировано (PDF) из оригинала 2 февраля 2022 г. . Получено 12 августа 2022 г. .
^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентали (6-е изд.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Бенсон, Том (7 мая 2021 г.). «Плотность газа». Исследовательский центр Гленна . Архивировано из оригинала 2022-08-09 . Получено 2022-08-13 .
^ Cengel, Yunus A.; Boles, Michael A. (2002). Термодинамика: инженерный подход . Бостон: McGraw-Hill . С. 11. ISBN 0-07-238332-1.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Тома» .

Периметры, площади, объемы в Wikibooks
Объем в Wikibooks