Кривая безразличия

Концепция в экономике

Пример карты безразличия с тремя кривыми безразличия, представленными

В экономике кривая безразличия соединяет точки на графике, представляющие различные количества двух товаров, точки, между которыми потребитель безразличен . То есть любые комбинации двух товаров, обозначенные кривой, предоставят потребителю равные уровни полезности, и потребитель не имеет предпочтения к одной комбинации или набору товаров по сравнению с другой комбинацией на той же кривой. Можно также ссылаться на каждую точку на кривой безразличия как на предоставляющую одинаковый уровень полезности (удовлетворения) для потребителя. Другими словами, кривая безразличия — это геометрическое место различных точек, показывающих различные комбинации двух товаров, предоставляющих потребителю равную полезность. Полезность тогда является устройством для представления предпочтений, а не чем-то, из чего эти предпочтения исходят. ^[1] Основное применение кривых безразличия заключается в представлении потенциально наблюдаемых моделей спроса для отдельных потребителей по товарным наборам. ^[2]

Существует бесконечно много кривых безразличия: одна проходит через каждую комбинацию. Набор (выбранных) кривых безразличия, проиллюстрированный графически, называется картой безразличия . Наклон кривой безразличия называется MRS (предельная норма замещения), и он показывает, каким количеством товара y нужно пожертвовать, чтобы сохранить полезность постоянной, если товар x увеличится на одну единицу. Если задана функция полезности u(x,y), чтобы вычислить MRS, берется частная производная функции u по товару x и делится на частную производную функции u по товару y . Если предельная норма замещения убывает вдоль кривой безразличия, то есть величина наклона уменьшается или становится менее крутой, то предпочтение является выпуклым.

История

Теория кривых безразличия была разработана Фрэнсисом Исидро Эджвортом , который в своей книге 1881 года объяснил математику, необходимую для их построения; ^[3] позже Вильфредо Парето был первым автором, который фактически нарисовал эти кривые в своей книге 1906 года. ^{[4] [5]} Теория может быть выведена из порядковой теории полезности Уильяма Стэнли Джевонса , которая утверждает, что индивиды всегда могут ранжировать любые потребительские наборы в порядке предпочтения. ^[6]

Карта и свойства

Пример того, как кривые безразличия получаются как кривые уровня функции полезности

График кривых безразличия для нескольких уровней полезности отдельного потребителя называется картой безразличия . Точки, дающие разные уровни полезности, связаны с отдельными кривыми безразличия, и эти кривые безразличия на карте безразличия подобны контурным линиям на топографическом графике. Каждая точка на кривой представляет одну и ту же высоту. Если вы съезжаете с кривой безразличия, идущей в северо-восточном направлении (предполагая положительную предельную полезность товаров), вы по сути взбираетесь на холм полезности. Чем выше вы поднимаетесь, тем выше уровень полезности. Требование ненасыщения означает, что вы никогда не достигнете «вершины» или « точки блаженства », потребительского набора, который предпочтительнее всех других.

Кривые безразличия обычно ^{[ расплывчато ]} представляются ^{[ требуется разъяснение ]} следующим образом:

1. Определено только в неотрицательном квадранте количеств товаров (т.е. возможность наличия отрицательных количеств любого товара игнорируется).
2. Отрицательно наклонена. То есть, по мере увеличения количества потребляемого одного товара (X) общее удовлетворение будет увеличиваться ^{[ требуется разъяснение ],} если не компенсироваться уменьшением количества потребляемого другого товара (Y). Эквивалентно, насыщение , при котором большее количество любого товара (или обоих) одинаково предпочтительно, чем отсутствие увеличения, исключается. ^{[ требуется разъяснение ]} (Если полезность U = f(x, y) , U в третьем измерении не имеет локального максимума ни для каких значений x и y .) ^{[ требуется разъяснение ]} Отрицательный наклон кривой безразличия отражает предположение о монотонности предпочтений потребителя, что порождает монотонно возрастающие функции полезности, и предположение о ненасыщении (предельная полезность для всех товаров всегда положительна); восходящая наклонная кривая безразличия будет означать, что потребителю безразлично между набором A и другим набором B, потому что они лежат на одной и той же кривой безразличия, даже в случае, когда количество обоих товаров в наборе B больше. Из-за монотонности предпочтений и ненасыщения набор с большим количеством обоих товаров должен быть предпочтительнее набора с меньшим количеством обоих, таким образом, первый набор должен давать более высокую полезность и лежать на другой кривой безразличия с более высоким уровнем полезности. Отрицательный наклон кривой безразличия означает, что предельная норма замещения всегда положительна;
3. Полная , так что все точки на кривой безразличия ранжируются одинаково предпочтительными и ранжируются либо более, либо менее предпочтительными, чем любая другая точка, не находящаяся на кривой. Таким образом, с (2), никакие две кривые не могут пересекаться (иначе ненасыщение было бы нарушено, поскольку точка(ы) пересечения имели бы равную полезность).
4. Транзитивный по отношению к точкам на различных кривых безразличия. То есть, если каждая точка на I ₂ (строго) предпочтительнее каждой точки на I ₁ , а каждая точка на I ₃ предпочтительнее каждой точки на I ₂ , то каждая точка на I ₃ предпочтительнее каждой точки на I ₁ . Отрицательный наклон и транзитивность исключают пересечение кривых безразличия, поскольку прямые линии из начала координат по обе стороны от места их пересечения дали бы противоположные и нетранзитивные рейтинги предпочтений.
5. (Строго) выпуклый . С (2), выпуклые предпочтения ^{[ необходимо разъяснение ]} подразумевают, что кривые безразличия не могут быть вогнутыми к началу координат, т. е. они будут либо прямыми линиями, либо выпуклыми к началу координат кривой безразличия. Если последнее имеет место, то по мере того, как потребитель уменьшает потребление одного товара в последовательных единицах, последовательно большие дозы другого товара требуются для сохранения удовлетворения неизменным.

Предположения теории потребительских предпочтений

• Предпочтения полны . Потребитель ранжировал все доступные альтернативные комбинации товаров с точки зрения удовлетворения, которое они ему предоставляют.

Предположим, что есть два потребительских набора A и B, каждый из которых содержит два товара x и y . Потребитель может однозначно определить, что имеет место одно и только одно из следующих:

• A предпочтительнее B , формально это записывается как A ^p B ^[7]
• B предпочтительнее A , формально это записывается как B ^p A ^[7]
• A безразлично к B , формально записывается как A ^I B ^[7]

Эта аксиома исключает возможность того, что потребитель не сможет принять решение. ^[8] Она предполагает, что потребитель способен провести это сравнение в отношении каждого мыслимого набора товаров. ^[7]

• Предпочтения рефлексивны

Это означает, что если A и B идентичны во всех отношениях, потребитель признает этот факт и будет безразличен к сравнению A и B.

• А = Б ⇒ А ^Я Б ^[7]

• Предпочтения транзитивны ^{[примечание 1]}

• Если A ^p B и B ^p C , то A ^p C. ^[7 ]
• Также, если A ^I B и B ^I C , то A ^I C. ^[7 ]

Это предположение о последовательности.

• Предпочтения непрерывны

• Если A предпочтительнее B , а C достаточно близок к B , то A предпочтительнее C.
• А ^п В и С → В ⇒ А ^п С .

«Непрерывный» означает бесконечно делимый — так же, как существует бесконечно много чисел между 1 и 2, все пучки бесконечно делимы. Это предположение делает кривые безразличия непрерывными.

• Предпочтения демонстрируют сильную монотонность

• Если у A больше и x, и y, чем у B , то A предпочтительнее B.

Это предположение обычно называют предположением «больше — значит лучше».

Альтернативная версия этого предположения требует, что если у А и В одинаковое количество одного товара, но у А больше другого, то А предпочтительнее В.

Это также подразумевает, что товары являются хорошими, а не плохими . Примерами плохих товаров могут быть болезни, загрязнение и т. д., потому что мы всегда хотим меньше таких вещей.

• Кривые безразличия демонстрируют убывающие предельные нормы замещения

• Предельная норма замещения показывает, сколько «y» человек готов пожертвовать, чтобы получить еще одну единицу «x». ^{[ необходимо разъяснение ]}
• Это предположение гарантирует, что кривые безразличия являются гладкими и выпуклыми к началу координат.
• Это предположение также подготовило почву для использования методов ограниченной оптимизации, поскольку форма кривой гарантирует, что первая производная отрицательна, а вторая — положительна.
• Другое название этого предположения — предположение о замещении . Это самое важное предположение теории потребления : потребители готовы отказаться или обменять часть одного товара, чтобы получить больше другого. Основное утверждение заключается в том, что существует максимальное количество, от которого «потребитель откажется, одного товара, чтобы получить одну единицу другого товара, в том количестве, которое оставит потребителя безразличным между новой и старой ситуациями» ^[9]. Отрицательный наклон кривых безразличия отражает готовность потребителя пойти на компромисс. ^[9]

Приложение

Чтобы максимизировать полезность, домохозяйство должно потреблять в (Qx, Qy). Если это так, то можно вывести полный график спроса, поскольку цена одного товара колеблется.

Теория потребления использует кривые безразличия и бюджетные ограничения для создания кривых потребительского спроса . Для одного потребителя это относительно простой процесс. Во-первых, пусть один товар будет примером рынка, например, морковью, а другой будет композитом всех других товаров. Бюджетные ограничения дают прямую линию на карте безразличия, показывающую все возможные распределения между двумя товарами; точка максимальной полезности тогда является точкой, в которой кривая безразличия касается бюджетной линии (показано). Это следует из здравого смысла: если рынок оценивает товар выше, чем домохозяйство, домохозяйство продаст его; если рынок оценивает товар ниже, чем домохозяйство, домохозяйство купит его. Затем процесс продолжается до тех пор, пока предельные нормы замещения рынка и домохозяйства не сравняются. ^[10] Теперь, если цена моркови изменится, а цена всех других товаров останется постоянной, градиент бюджетной линии также изменится, что приведет к другой точке касания и другому объему спроса. Эти комбинации цены и количества затем можно использовать для вывода полной кривой спроса. ^[10] Линия, соединяющая все точки касания между кривой безразличия и бюджетным ограничением, называется траекторией расширения . ^[11]

Примеры кривых безразличия

• 
  Рисунок 1: Пример карты безразличия с тремя представленными кривыми безразличия.
• 
  Рисунок 2: Три кривые безразличия, где товары X и Y являются совершенными заменителями. Серая линия, перпендикулярная всем кривым, указывает на то, что кривые взаимно параллельны.
• 
  Рисунок 3: Кривые безразличия для совершенных дополнений X и Y. Локоть кривых коллинеарен .

На рисунке 1 потребитель предпочел бы быть на I _{3 ,} чем на I ₂ , и предпочел бы быть на I _{2 ,} чем на I ₁ , но ему все равно, где он/она находится на данной кривой безразличия. Наклон кривой безразличия (по абсолютной величине), известный экономистам как предельная норма замещения , показывает скорость, с которой потребители готовы отказаться от одного товара в обмен на большее количество другого товара. Для большинства товаров предельная норма замещения не является постоянной, поэтому их кривые безразличия изогнуты. Кривые выпуклы к началу координат, описывая отрицательный эффект замещения . По мере роста цены при фиксированном денежном доходе потребитель ищет менее дорогую замену на более низкой кривой безразличия. Эффект замещения усиливается за счет эффекта дохода от более низкого реального дохода (Битти-ЛаФранс). Примером функции полезности, которая генерирует кривые безразличия такого рода, является функция Кобба-Дугласа . Отрицательный наклон кривой безразличия отражает готовность потребителя идти на компромиссы. ^[9] ${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha },0\leq \alpha \leq 1}$

Если два товара являются совершенными заменителями, то кривые безразличия будут иметь постоянный наклон, поскольку потребитель будет готов переключаться между ними в фиксированном соотношении. Предельная норма замещения между совершенными заменителями также постоянна. Примером функции полезности, которая связана с такими кривыми безразличия, будет . ${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$

Если два товара являются идеальными комплементарными товарами , то кривые безразличия будут иметь форму буквы L. Примерами идеальных комплементарных товаров являются левые туфли по сравнению с правыми туфлями: потребителю не выгодно иметь несколько правых туфель, если у него есть только один левый ботинок — дополнительные правые туфли имеют нулевую предельную полезность без дополнительных левых туфель, поэтому наборы товаров, отличающиеся только количеством входящих в них правых туфель — как бы много их ни было — одинаково предпочтительны. Предельная норма замещения либо равна нулю, либо бесконечна. Примером типа функции полезности, которая имеет карту безразличия, подобную приведенной выше, является функция Леонтьева: . ${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\min\{\alpha x,\beta y\}}$

Различные формы кривых подразумевают различные реакции на изменение цены, как показано в анализе спроса в теории потребителя . Результаты будут указаны только здесь. Изменение линии цены-бюджета, которое удерживало потребителя в равновесии на той же кривой безразличия:

на рис. 1 будет плавно снижать объем спроса на товар по мере относительного роста цены на этот товар.

на рис. 2 либо не окажет никакого влияния на величину спроса на любой из товаров (на одном конце бюджетного ограничения ), либо изменит величину спроса от одного конца бюджетного ограничения к другому.

на рис. 3 не окажет никакого влияния на равновесные объемы спроса, поскольку бюджетная линия будет вращаться вокруг угла кривой безразличия. ^{[nb 2]}

Отношения предпочтения и полезность

Теория выбора формально представляет потребителей с помощью отношения предпочтения и использует это представление для вывода кривых безразличия, показывающих комбинации равного предпочтения для потребителя.

Отношения предпочтения

Позволять

${\displaystyle A\;}$представлять собой набор взаимоисключающих альтернатив, среди которых потребитель может выбирать.

${\displaystyle a\;}$и быть общими элементами . ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle A\;}$

На языке примера выше, набор состоит из комбинаций яблок и бананов. Символ — одна такая комбинация, например, 1 яблоко и 4 банана, а — другая комбинация, например, 2 яблока и 2 банана. ${\displaystyle A\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$

Отношение предпочтения, обозначаемое , представляет собой бинарное отношение, определенное на множестве . ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle A\;}$

Заявление

${\displaystyle a\succeq b\;}$

описывается как « слабо предпочтительнее ». То есть, по крайней мере так же хорош, как (в удовлетворении предпочтений). ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$

Заявление

${\displaystyle a\sim b\;}$

описывается как « слабо предпочтительнее , чем и слабо предпочтительнее, чем ». То есть человек безразличен к выбору или , имея в виду не то, что они нежелательны, а то, что они одинаково хороши для удовлетворения предпочтений. ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$

Заявление

${\displaystyle a\succ b\;}$

описывается как « слабо предпочтительнее , но не слабо предпочтительнее ». Один говорит, что « строго предпочтительнее ». ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$

Отношение предпочтения является полным , если все пары можно ранжировать. Отношение является транзитивным, если всякий раз, когда и тогда . ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle a,b\;}$ ${\displaystyle a\succeq b\;}$ ${\displaystyle b\succeq c,\;}$ ${\displaystyle a\succeq c\;}$

Для любого элемента соответствующая кривая безразличия состоит из всех элементов, которые безразличны к . Формально, ${\displaystyle a\in A\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}}$ ${\displaystyle A\;}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}=\{b\in A:b\sim a\}}$.

Формальная связь с теорией полезности

В приведенном выше примере элемент множества состоит из двух чисел: количество яблок, назовем его , и количество бананов, назовем его. ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle A\;}$ ${\displaystyle x,\;}$ ${\displaystyle y.\;}$

В теории полезности функция полезности агента — это функция, которая ранжирует все пары потребительских наборов по порядку предпочтения ( полноты ) таким образом, что любой набор из трех или более наборов образует транзитивное отношение . Это означает, что для каждого набора существует уникальное отношение, , представляющее отношение полезности (удовлетворения), связанное с . Отношение называется функцией полезности . Диапазон функции — это набор действительных чисел . Фактические значения функции не имеют значения. Только ранжирование этих значений имеет содержание для теории. Точнее, если , то набор описывается как по крайней мере такой же хороший, как набор . Если , то набор описывается как строго предпочтительный по сравнению с набором . ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)\to U\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle U(x,y)\geq U(x',y')}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(x',y'\right)}$ ${\displaystyle U\left(x,y\right)>U\left(x',y'\right)}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(x',y'\right)}$

Рассмотрим конкретный пучок и возьмем полную производную относительно этой точки: ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$

${\displaystyle dU\left(x_{0},y_{0}\right)=U_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)dx+U_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)dy}$

или, без потери общности,

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=U_{1}(x_{0},y_{0}).1+U_{2}(x_{0},y_{0}){\frac {dy}{dx}}}$ (Уравнение 1)

где — частная производная по первому аргументу, вычисленная при . (Аналогично для ) ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right).}$

Кривая безразличия через должна предоставлять каждому набору на кривой тот же уровень полезности, что и набор . То есть, когда предпочтения представлены функцией полезности, кривые безразличия являются кривыми уровня функции полезности. Следовательно, если нужно изменить количество на , не съезжая с кривой безразличия, нужно также изменить количество на такую ​​величину , чтобы в итоге не произошло никаких изменений в U : ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle dx\,}$ ${\displaystyle y\,}$ ${\displaystyle dy\,}$

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0}$или, подставив 0 в (Уравнение 1) выше, чтобы решить для dy/dx :

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0\Leftrightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {U_{1}(x_{0},y_{0})}{U_{2}(x_{0},y_{0})}}}$.

Таким образом, отношение предельных полезностей дает абсолютное значение наклона кривой безразличия в точке . Это отношение называется предельной нормой замещения между и . ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle y\,}$

Примеры

Линейная полезность

Если функция полезности имеет вид , то предельная полезность равна , а предельная полезность равна . Наклон кривой безразличия, таким образом, равен ${\displaystyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)=\alpha }$ ${\displaystyle y\,}$ ${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right)=\beta }$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {\beta }{\alpha }}.}$

Обратите внимание, что наклон не зависит от или : кривые безразличия представляют собой прямые линии. ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle y\,}$

Утилита Кобба–Дугласа

Класс функций полезности, известный как функции полезности Кобба-Дугласа, очень часто используется в экономике по двум причинам:

1. Они представляют собой «хорошо воспитанные» предпочтения, такие как «чем больше, тем лучше» и предпочтение разнообразию.

2. Они очень гибкие и могут быть легко скорректированы для соответствия реальным данным. Если функция полезности имеет вид предельная полезность равна , а предельная полезность равна .Где . Наклон кривой безразличия, а следовательно, и отрицательная величина предельной нормы замещения , равен тогда ${\displaystyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha }}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)=\alpha \left(x/y\right)^{\alpha -1}}$ ${\displaystyle y\,}$ ${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right)=(1-\alpha )\left(x/y\right)^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha <1}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right).}$

Утилита CES

Общая форма CES ( постоянная эластичность замещения ) имеет вид

${\displaystyle U(x,y)=\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{1/\rho }}$

где и . ( Кобба-Дугласа является частным случаем полезности CES, с .) Предельные полезности определяются как ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ${\displaystyle \rho \leq 1}$ ${\displaystyle \rho \rightarrow 0\,}$

${\displaystyle U_{1}(x,y)=\alpha \left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{\left(1/\rho \right)-1}x^{\rho -1}}$

и

${\displaystyle U_{2}(x,y)=(1-\alpha )\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{\left(1/\rho \right)-1}y^{\rho -1}.}$

Таким образом, вдоль кривой безразличия,

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right)^{1-\rho }.}$

Эти примеры могут быть полезны для моделирования индивидуального или совокупного спроса.

Биология

В биологии кривая безразличия — это модель того, как животные «решают», выполнять ли определенное поведение, на основе изменений двух переменных, интенсивность которых может увеличиваться, одна по оси x, а другая по оси y. Например, ось x может измерять количество доступной пищи, а ось y — риск, связанный с ее получением. Кривая безразличия рисуется для прогнозирования поведения животного при различных уровнях риска и доступности пищи.

Критика

Кривые безразличия наследуют критику, направленную на полезность в более общем плане.

Герберт Ховенкамп (1991) ^[13] утверждал, что наличие эффекта эндаумента имеет значительные последствия для права и экономики , особенно в отношении экономики благосостояния . Он утверждает, что наличие эффекта эндаумента указывает на то, что у человека нет кривой безразличия (см., однако, Hanemann, 1991 ^[14] ), что делает неоклассические инструменты анализа благосостояния бесполезными, и приходит к выводу, что вместо этого судам следует использовать WTA в качестве меры стоимости. Фишель (1995) ^{[15] однако выдвигает контраргумент, что использование WTA в качестве меры стоимости будет сдерживать развитие инфраструктуры и} экономического роста страны .

Австрийский экономист Мюррей Ротбард критиковал кривую безразличия, как «никогда по определению не проявляющуюся в действии, в реальных обменах, и поэтому непознаваемую и объективно бессмысленную» ^{[16] .}

Смотрите также

• Ограничение бюджета
• Кривая безразличия сообщества
• Теория потребления
• Выпуклые предпочтения
• Эффект вклада
• Кривая уровня
• Микроэкономика
• Рациональность
• Заменить хорошо
• Граница полезности–возможности

Примечания

1. Транзитивность слабых предпочтений достаточна для большинства анализов кривых безразличия: если A слабо предпочтительнее B , что означает, что потребителю нравится A по крайней мере так же, как B , и B слабо предпочтительнее C , то A слабо предпочтительнее C. ^[8]
2. Кривые безразличия могут быть использованы для вывода индивидуальной кривой спроса. Однако предположения теории потребительских предпочтений не гарантируют, что кривая спроса будет иметь отрицательный наклон. ^[12]

Ссылки

1. Дженакоплос, Джон (1987). «Модель общего равновесия Эрроу-Дебре». The New Palgrave: A Dictionary of Economics . Том 1. С. 116–124 [с. 117].
2. Бём, Фолькер; Халлер, Ганс (1987). «Теория спроса». Новый Палгрейв: Экономический словарь . Том 1. С. 785–792 [с. 785].
3. Фрэнсис Исидро Эджворт (1881). Математическая психика: эссе о применении математики к моральным наукам. Лондон: C. Kegan Paul and Co.
4. Вильфредо Парето (1919). Manuale di Economia Politica — con una Introduzione alla Scienza Sociale [ Руководство по политической экономии ]. Пиккола Библиотека Научно. Том. 13. Милан: Societa Editrice Libraria.
5. "Кривые безразличия | Поликономика" . Получено 2018-12-08 .
6. "William Stanley Jevons - Policonomics". www.policonomics.com . Получено 23 марта 2018 г. .
7. Бингер; Хоффман (1998). Микроэкономика с исчислением (2-е изд.). Чтение: Addison-Wesley. стр. 109–117. ISBN 0-321-01225-9.
8. Perloff, Jeffrey M. (2008). Микроэкономика: теория и применение с исчислением . Бостон: Addison-Wesley. стр. 62. ISBN 978-0-321-27794-7.
9. Silberberg; Suen (2000). Структура экономики: математический анализ (3-е изд.). Бостон: McGraw-Hill. ISBN 0-07-118136-9.
10. Lipsey, Richard G. (1975). Введение в позитивную экономику (четвертое издание). Weidenfeld & Nicolson . стр. 182–186. ISBN 0-297-76899-9.
11. Сальваторе, Доминик (1989). Очерк теории и проблем управленческой экономики Шаума . McGraw-Hill. ISBN 0-07-054513-8.
12. Бингер; Хоффман (1998). Микроэкономика с исчислением (2-е изд.). Чтение: Addison-Wesley. стр. 141–143. ISBN 0-321-01225-9.
13. Ховенкамп, Герберт (1991). «Правовая политика и эффект вклада». Журнал юридических исследований . 20 (2): 225. doi :10.1086/467886. S2CID  155051169.
14. Ханеманн, В. Майкл (1991). «Готовность платить и готовность принимать: насколько они могут различаться? Ответ». American Economic Review . 81 (3): 635–647. doi :10.1257/000282803321455449. JSTOR  2006525.
15. Фишель, Уильям А. (1995). «Несоответствие предложения/запроса и справедливая компенсация за изъятие: перспектива конституционного выбора». International Review of Law and Economics . 15 (2): 187–203. doi : 10.1016/0144-8188(94)00005-F .
16. Ротбард, Мюррей (1998). Этика свободы . Издательство Нью-Йоркского университета. стр. 242. ISBN 9780814775592.

Дальнейшее чтение

• Битти, Брюс Р.; ЛаФранс, Джеффри Т. (2006). «Закон спроса против убывающей предельной полезности» (PDF) . Прикладные экономические перспективы и политика . 28 (2): 263–271. doi :10.1111/j.1467-9353.2006.00286.x. S2CID  154152189.
• Комлос, Дж. (2015). «Поведенческие кривые безразличия» (PDF) . Австралазийский журнал экономического образования . 2 : 1–11.

Внешние ссылки

• Анатомия функций полезности типа Кобба-Дугласа в 3D
• Анатомия функций утилит типа CES в 3D