Оптомеханика резонаторов

Типичной моделью многих структур в оптомеханике резонаторов является оптический резонатор, состоящий из неподвижного зеркала и механического генератора.

Оптомеханика полостей — это раздел физики , который фокусируется на взаимодействии света и механических объектов в масштабах низких энергий. Это перекрестная область оптики , квантовой оптики , физики твердого тела и материаловедения . Мотивация для исследований в области оптомеханики полостей исходит из фундаментальных эффектов квантовой теории и гравитации , а также технологических приложений. ^[1]

Название области связано с основным интересующим эффектом: усилением взаимодействия давления излучения между светом ( фотонами ) и веществом с помощью оптических резонаторов (полостей) . Впервые это стало актуальным в контексте обнаружения гравитационных волн , поскольку в интерферометрических детекторах гравитационных волн необходимо учитывать оптомеханические эффекты . Более того, можно представить оптомеханические структуры, позволяющие реализовать кота Шрёдингера . Макроскопические объекты, состоящие из миллиардов атомов, имеют общие коллективные степени свободы, которые могут вести себя квантовомеханически (например, сфера микрометрового диаметра находится в пространственной суперпозиции между двумя разными местами). Такое квантовое состояние движения позволило бы исследователям экспериментально исследовать декогеренцию , которая описывает переход объектов из состояний, описываемых квантовой механикой, в состояния, описываемые механикой Ньютона . Оптомеханические структуры предоставляют новые методы проверки предсказаний квантовой механики и моделей декогеренции и, таким образом, могут позволить ответить на некоторые из наиболее фундаментальных вопросов современной физики. ^{[2] [3] [4]}

Существует широкий спектр экспериментальных оптико-механических систем, практически эквивалентных по своему описанию, но совершенно различных по размеру, массе и частоте. Оптомеханика резонаторов была названа самой последней «вехой истории фотонов» в фотонике природы наряду с хорошо устоявшимися концепциями и технологиями, такими как квантовая информация , неравенства Белла и лазер . ^[5]

Представления об оптомеханике резонаторов

Физические процессы

Стоксово и антистоксово рассеяние.

Самое элементарное взаимодействие света и материи — это рассеяние светового луча на произвольном объекте (атоме, молекуле, нанолуче и т. д.). Всегда существует упругое рассеяние света , при котором частота исходящего света идентична частоте входящего . Неупругое рассеяние, напротив, сопровождается возбуждением или снятием возбуждения материального объекта (например, могут возбуждаться внутренние атомные переходы). Однако всегда возможно иметь рассеяние Бриллюэна, независимое от внутренних электронных деталей атомов или молекул из-за механических вибраций объекта: где частота колебаний. Вибрации получают или теряют энергию соответственно для этих стоксовых/антистоксовых процессов , в то время как вокруг частоты входящего света создаются оптические боковые полосы: если стоксово и антистоксово рассеяние происходят с одинаковой скоростью, вибрации будут только нагревать объект. . Однако оптический резонатор можно использовать для подавления (анти)стоксового процесса, что раскрывает принцип базовой оптомеханической установки: оптический резонатор с лазерным приводом связан с механическими колебаниями некоторого объекта. Целью резонатора является выбор оптических частот (например, для подавления стоксова процесса), которые резонансно увеличивают интенсивность света и повышают чувствительность к механическим вибрациям. Установка демонстрирует особенности истинного двустороннего взаимодействия между светом и механикой, в отличие от оптических пинцетов , оптических решеток или вибрационной спектроскопии, где световое поле управляет механикой (или наоборот), но петля не замкнута. ^{[1] [6]} ${\displaystyle \omega '=\omega }$ $${\displaystyle \omega '=\omega \pm \omega _{m},}$$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ $${\displaystyle \omega '=\omega \mp \omega _{m}.}$$

Сила радиационного давления

Другой, но эквивалентный способ интерпретации принципа оптомеханических полостей — использование концепции радиационного давления . Согласно квантовой теории света, каждый фотон с волновым числом несет импульс , где – постоянная Планка . Это означает, что фотон, отраженный от поверхности зеркала, передает импульс зеркалу за счет сохранения импульса . Этот эффект чрезвычайно мал и не может наблюдаться на большинстве предметов повседневного обихода; это становится более значимым, когда масса зеркала очень мала и/или количество фотонов очень велико (т.е. высокая интенсивность света). Поскольку импульс фотонов чрезвычайно мал и недостаточен для существенного изменения положения подвешенного зеркала, взаимодействие необходимо усилить. Одним из возможных способов сделать это является использование оптических резонаторов. Если фотон заключен между двумя зеркалами, одно из которых является осциллятором, а другое — тяжелым неподвижным, он будет многократно отскакивать от зеркал и передавать свой импульс каждый раз, когда попадет в зеркала. Количество раз, которое фотон может передать свой импульс, напрямую связано с тонкостью резонатора, которую можно улучшить с помощью зеркальных поверхностей с высокой отражающей способностью. Давление излучения фотонов не просто сдвигает подвешенное зеркало все дальше и дальше, поскольку необходимо учитывать влияние на световое поле резонатора: если зеркало смещается, длина резонатора изменяется, что также изменяет резонансную частоту резонатора. Таким образом, изменяется расстройка между измененным резонатором и неизмененной частотой возбуждения лазера, которая определяет амплитуду света внутри резонатора. Он определяет амплитуду света внутри резонатора — при меньших уровнях расстройки в резонатор фактически попадает больше света, поскольку он ближе к резонансной частоте резонатора. Поскольку амплитуда света, т. е. количество фотонов внутри резонатора, вызывает силу давления излучения и, следовательно, смещение зеркала, петля замыкается: сила давления излучения эффективно зависит от положения зеркала. Еще одним преимуществом оптических резонаторов является то, что модуляцию длины резонатора через колеблющееся зеркало можно непосредственно увидеть в спектре резонатора. ^{[1] [7]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \Delta p=2\hbar k}$

Оптический пружинящий эффект

В этой оптомеханической системе сила радиационного давления используется для обнаружения отдельной молекулы белка . Лазерный свет взаимодействует со стеклянной сферой : сила давления излучения заставляет ее вибрировать. Присутствие единственной молекулы на сфере нарушает эту (тепловую) вибрацию и вызывает сдвиг ее резонансной частоты: молекула посредством света вызывает эффект оптической пружины. Сдвиг резонансной частоты можно считать смещением спектра осциллятора , отображаемого на левом мониторе. ^[8]

Некоторые первые эффекты света на механический резонатор можно уловить путем преобразования силы давления излучения в потенциал и добавления ее к внутреннему гармоническому осцилляционному потенциалу механического осциллятора, где - наклон силы давления излучения. Этот комбинированный потенциал открывает возможность статической мультистабильности в системе, т.е. потенциал может иметь несколько устойчивых минимумов. Кроме того, можно понимать, что это модификация механической жесткости пружины. Этот эффект известен как эффект оптической пружины (светоиндуцированная жесткость пружины). ^[9] $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}V_{\text{rad}}(x)=-F(x),}$$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ $${\displaystyle D=D_{0}-{\frac {dF}{dx}}.}$$

Однако модель неполна, поскольку она не учитывает эффекты замедления из-за конечной скорости распада фотонов полости . Сила следует за движением зеркала лишь с некоторой задержкой во времени, ^[10] что приводит к таким эффектам, как трение. Например, предположим, что положение равновесия находится где-то на восходящей линии резонанса. В тепловом равновесии вокруг этого положения будут происходить колебания, не повторяющие форму резонанса из-за запаздывания. Следствием этой запаздывающей радиационной силы в течение одного цикла колебаний является то, что совершается работа, в данном конкретном случае она отрицательна, т.е. радиационная сила извлекает механическую энергию (имеется дополнительное светоиндуцированное затухание). Это можно использовать для охлаждения механического движения и называется оптическим или оптомеханическим охлаждением . ^[11] Это важно для достижения квантового режима механического генератора, при котором воздействие теплового шума на устройство становится незначительным. ^[12] Аналогично, если положение равновесия находится на падающем наклоне резонанса полости, работа положительна и механическое движение усиливается. В этом случае дополнительное световое демпфирование отрицательно и приводит к усилению механического движения (нагреву). ^{[1] [13]} Такое радиационное затухание впервые наблюдалось в пионерских экспериментах Брагинского и его коллег в 1970 году. ^[14] ${\displaystyle \kappa }$ ${\textstyle \oint F\,dx<0}$

Квантованная передача энергии

Другое объяснение основных оптомеханических эффектов охлаждения и усиления можно дать в квантовой картине: отстраивая входящий свет от резонанса резонатора на красную боковую полосу, фотоны могут попасть в резонатор только в том случае, если они заберут фононы с энергией из механики; он эффективно охлаждает устройство до тех пор, пока не будет достигнут баланс с нагревательными механизмами из окружающей среды и лазерным шумом. Точно так же можно нагреть конструкции (усилить механическое движение), отстроив возбуждающий лазер на синюю сторону; в этом случае лазерные фотоны рассеиваются в фотон резонатора и создают дополнительный фонон в механическом генераторе. ${\displaystyle \hbar \omega _{m}}$

Принцип можно резюмировать так: фононы преобразуются в фотоны при охлаждении и наоборот при усилении.

Три режима работы: охлаждение, нагрев, резонанс.

Основное поведение оптомеханической системы обычно можно разделить на различные режимы, в зависимости от расстройки между частотой лазера и резонансной частотой резонатора : ^[1] ${\displaystyle \Delta =\omega _{L}-\omega _{\text{cav}}}$

• Режим отстройки от красного цвета (наиболее заметные эффекты на красной боковой полосе ): В этом режиме может происходить обмен состояниями между двумя резонансными генераторами (т.е. светоделитель на языке квантовой оптики). Это можно использовать для передачи состояний между фононами и фотонами (что требует так называемого «режима сильной связи») или вышеупомянутого оптического охлаждения. ${\displaystyle \Delta <0}$ ${\displaystyle \Delta =-\omega _{m}}$
• Режим с отстройкой синего цвета (наиболее заметное влияние на синюю боковую полосу ): Этот режим описывает «двухрежимное сжатие». Его можно использовать для достижения квантового запутывания , сжатия и механической «генерации» (усиления механического движения до автономных оптомеханических колебаний / колебаний предельного цикла ), если рост механической энергии превышает внутренние потери (в основном механическое трение). . ${\displaystyle \Delta >0}$ ${\displaystyle \Delta =+\omega _{m}}$
• Резонансный режим : В этом режиме резонатор просто работает как интерферометр для считывания механического движения. ${\displaystyle \Delta =0}$

Эффект оптической пружины также зависит от расстройки. Его можно наблюдать при высоких уровнях расстройки ( ), и его сила меняется в зависимости от расстройки и привода лазера. ${\displaystyle \Delta \gg \omega _{m},\kappa }$

Математическая обработка

гамильтониан

Стандартная оптико-механическая установка представляет собой резонатор Фабри – Перо, в котором одно зеркало подвижно и, таким образом, обеспечивает дополнительную механическую степень свободы. Эту систему можно математически описать одной модой оптического резонатора, связанной с одной механической модой. Связь возникает из-за давления излучения светового поля, которое в конечном итоге перемещает зеркало, что изменяет длину резонатора и резонансную частоту. Оптический режим управляется внешним лазером. Эту систему можно описать следующим эффективным гамильтонианом : ^[15] где и – операторы бозонной аннигиляции данной моды резонатора и механического резонатора соответственно, – частота оптической моды, – положение механического резонатора, – частота механической моды, – частота возбуждающего лазера, – амплитуда. Он удовлетворяет коммутационным соотношениям, которые теперь зависят от . Последний термин описывает управление, определяемое как где – входная мощность, связанная с рассматриваемой оптической модой, и ее ширина линии. Система связана с окружающей средой, поэтому полная обработка системы также будет включать оптическое и механическое рассеяние (обозначается и соответственно) и соответствующий шум, попадающий в систему. ^[16] $${\displaystyle H_{\text{tot}}=\hbar \omega _{\text{cav}}(x)a^{\dagger }a+\hbar \omega _{m}b^{\dagger }b+i\hbar E\left(ae^{i\omega _{L}t}-a^{\dagger }e^{-i\omega _{L}t}\right)}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \omega _{\text{cav}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle \omega _{L}}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=[b,b^{\dagger }]=1.}$$ ${\displaystyle \omega _{cav}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle E={\sqrt {\frac {P\kappa }{\hbar \omega _{L}}}}}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Стандартный оптомеханический гамильтониан получается путем избавления от явной временной зависимости члена возбуждения лазера и отделения оптомеханического взаимодействия от свободного оптического генератора. Это делается путем переключения на систему отсчета, вращающуюся с частотой лазера (в этом случае оператор аннигиляции оптической моды претерпевает преобразование ) и применения разложения Тейлора на . Квадратичными членами связи и членами связи более высокого порядка обычно пренебрегают, так что стандартный гамильтониан становится там, где лазерная расстройка и оператор положения . Первые два члена ( и ) представляют собой свободный оптический и механический гамильтонианы соответственно. Третий член содержит оптомеханическое взаимодействие, где – сила однофотонной оптомеханической связи (также известной как голая оптомеханическая связь). Он определяет величину сдвига резонансной частоты резонатора, если механический генератор смещается на неопределенность нулевой точки , где - эффективная масса механического генератора. Иногда удобнее использовать параметр изменения частоты или , чтобы определить изменение частоты при перемещении зеркала. ${\displaystyle \omega _{L}}$ ${\displaystyle a\rightarrow ae^{-i\omega _{L}t}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{cav}}}$ $${\displaystyle H_{\text{tot}}=-\hbar \Delta a^{\dagger }a+\hbar \omega _{m}b^{\dagger }b-\hbar g_{0}a^{\dagger }a{\frac {x}{x_{\text{zpf}}}}+i\hbar E\left(a-a^{\dagger }\right)}$$ ${\displaystyle \Delta =\omega _{L}-\omega _{\text{cav}}}$ ${\displaystyle x=x_{\text{zpf}}(b+b^{\dagger })}$ ${\displaystyle -\hbar \Delta a^{\dagger }a}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{m}b^{\dagger }b}$ ${\displaystyle g_{0}=\left.{\tfrac {d\omega _{\text{cav}}}{dx}}\right|_{x=0}x_{\text{zpf}}}$ ${\textstyle x_{\text{zpf}}={\sqrt {\hbar /2m_{\text{eff}}\omega _{m}}}}$ ${\displaystyle m_{\text{eff}}}$ ${\displaystyle G={\frac {g_{0}}{x_{\text{zpf}}}}}$

Например, сила оптико-механической связи резонатора Фабри – Перо длиной с движущимся торцевым зеркалом может быть непосредственно определена из геометрии, которая должна быть . ^[1] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle g_{0}={\frac {\omega _{\text{cav}}(0)x_{\text{zpf}}}{L}}}$

Этот стандартный гамильтониан основан на предположении, что взаимодействуют только одна оптическая и механическая моды. В принципе, каждый оптический резонатор поддерживает бесконечное количество мод и механических генераторов, которые имеют более одной моды колебаний/вибраций. Правомерность этого подхода основана на возможности настройки лазера таким образом, чтобы он заселял только одну оптическую моду (подразумевается, что расстояние между модами резонатора должно быть достаточно большим). Кроме того, предполагается, что рассеяние фотонов на другие моды пренебрежимо мало, что справедливо, если механические (движущиеся) боковые полосы возбуждаемой моды не перекрываются с другими модами резонатора; т.е. если частота механической моды меньше типичного разделения оптических мод. ^[1] ${\displaystyle H_{\text{tot}}}$

Линеаризация

Сила однофотонной оптомеханической связи обычно имеет небольшую частоту, намного меньшую, чем скорость распада резонатора , но эффективную оптомеханическую связь можно повысить за счет увеличения мощности привода. При достаточно сильном возбуждении динамику системы можно рассматривать как квантовые флуктуации вокруг классического стационарного состояния, т. е. где – средняя амплитуда светового поля и обозначает флуктуации. При расширении числа фотонов этот член можно опустить, поскольку он приводит к постоянной силе давления излучения, которая просто смещает положение равновесия резонатора. Линеаризованный оптомеханический гамильтониан можно получить, пренебрегая членом второго порядка : где . Хотя этот гамильтониан является квадратичной функцией , он считается «линеаризованным», поскольку приводит к линейным уравнениям движения. Это достоверное описание многих экспериментов, где величина обычно очень мала и требует усиления с помощью возбуждающего лазера. Для реалистичного описания необходимо добавить рассеяние как к оптическому, так и к механическому генератору. Управляющий член стандартного гамильтониана не является частью линеаризованного гамильтониана, поскольку он является источником классической амплитуды света, вокруг которой была выполнена линеаризация. ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle a=\alpha +\delta a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \delta a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }a}$ ${\displaystyle ~\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\text{lin}}}$ ${\displaystyle ~\delta a^{\dagger }\delta a}$ $${\displaystyle H_{\text{lin}}=-\hbar \Delta \delta a^{\dagger }\delta a+\hbar \omega _{m}b^{\dagger }b-\hbar g(\delta a+\delta a^{\dagger })(b+b^{\dagger })}$$ ${\displaystyle g=g_{0}\alpha }$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

При том или ином выборе расстройки можно наблюдать различные явления (см. также раздел о физических процессах). Наиболее четкое различие можно провести между следующими тремя случаями: ^{[1] [17]}

• ${\displaystyle \Delta \approx -\omega _{m}}$: аппроксимация линеаризованного гамильтониана вращающейся волной , в которой опускаются все нерезонансные члены, сводит гамильтониан связи к оператору светоделителя, . Это приближение лучше всего работает при резонансе; т.е. если расстройка становится точно равной отрицательной механической частоте. Отрицательная отстройка (красная отстройка лазера от резонанса резонатора) на величину, равную частоте механической моды, благоприятствует антистоксовой боковой полосе и приводит к суммарному охлаждению резонатора. Лазерные фотоны поглощают энергию механического генератора, аннигилируя фононы, чтобы войти в резонанс с резонатором. ${\displaystyle H_{\text{int}}=\hbar g_{0}(\delta a^{\dagger }b+\delta ab^{\dagger })}$
• ${\displaystyle \Delta \approx \omega _{m}}$: аппроксимация линеаризованного гамильтониана вращающейся волной приводит к другим резонансным членам. Гамильтониан связи принимает вид , пропорциональный оператору двухмодового сжатия. Следовательно, при таком выборе параметра можно наблюдать двухмодовое сжатие и перепутывание между механическими и оптическими модами. Положительная отстройка (синяя отстройка лазера от резонанса резонатора) также может привести к нестабильности. Боковая полоса Стокса расширяется, т.е. лазерные фотоны теряют энергию, увеличивая число фононов и при этом становясь резонансными с резонатором. ${\displaystyle H_{\text{int}}=\hbar g_{0}(\delta ab+\delta a^{\dagger }b^{\dagger })}$
• ${\displaystyle \Delta =0}$: В данном случае езды на резонансе необходимо учитывать все слагаемые . Оптическая мода испытывает сдвиг, пропорциональный механическому смещению, что приводит к сдвигу фазы света, прошедшего через резонатор (или отраженного от него). Резонатор служит интерферометром с коэффициентом оптической тонкости и может использоваться для измерения очень малых смещений. Эта установка позволила LIGO обнаружить гравитационные волны. ^[18] ${\displaystyle H_{\text{int}}=\hbar g_{0}(\delta a+\delta a^{\dagger })(b+b^{\dagger })}$

Уравнения движения

Из линеаризованного гамильтониана можно вывести так называемые линеаризованные квантовые уравнения Ланжевена , которые управляют динамикой оптомеханической системы, если добавить к уравнениям движения Гейзенберга члены диссипации и шума. ^{[19] [20]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\dot {a}}&=(i\Delta -\kappa /2)\delta a+ig(b+b^{\dagger })-{\sqrt {\kappa }}a_{\text{in}}\\[1ex]{\dot {b}}&=-(i\omega _{m}+\Gamma /2)b+ig(\delta a+\delta a^{\dagger })-{\sqrt {\Gamma }}b_{\text{in}}\end{aligned}}}$$

Здесь и – операторы входного шума (квантового или теплового шума), и – соответствующие диссипативные члены. Для оптических фотонов тепловым шумом можно пренебречь из-за высоких частот, так что входной оптический шум можно описать только квантовым шумом; это не относится к микроволновым реализациям оптико-механической системы. Для механического генератора необходимо учитывать тепловой шум, и именно по этой причине многие эксперименты проводятся в дополнительных охлаждающих средах для снижения температуры окружающей среды. ${\displaystyle a_{\text{in}}}$ ${\displaystyle b_{\text{in}}}$ ${\displaystyle -\kappa \delta a}$ ${\displaystyle -\Gamma \delta p}$

Эти дифференциальные уравнения первого порядка можно легко решить, если их переписать в частотном пространстве (т. е. применить преобразование Фурье ).

Два основных воздействия света на механический осциллятор можно выразить следующим образом:

Оптически индуцированное затухание механического генератора, которое добавляется к собственному механическому затуханию.

$${\displaystyle \delta \omega _{m}=g^{2}\left({\frac {\Delta -\omega _{m}}{\kappa ^{2}/4+(\Delta -\omega _{m})^{2}}}+{\frac {\Delta +\omega _{m}}{\kappa ^{2}/4+(\Delta +\omega _{m})^{2}}}\right)}$$

Приведенное выше уравнение называется эффектом оптической пружины и может привести к значительным сдвигам частоты в случае низкочастотных генераторов, таких как маятниковые зеркала. ^{[21] [22] [23]} В случае более высоких резонансных частот ( МГц) это существенно не меняет частоту. Для гармонического генератора связь между сдвигом частоты и изменением жесткости пружины возникает из закона Гука . ${\displaystyle \omega _{m}\gtrsim 1}$ $${\displaystyle \Gamma ^{\text{eff}}=\Gamma +g^{2}\left({\frac {\kappa }{\kappa ^{2}/4+(\Delta +\omega _{m})^{2}}}-{\frac {\kappa }{\kappa ^{2}/4+(\Delta -\omega _{m})^{2}}}\right)}$$

Приведенное выше уравнение показывает оптическое демпфирование, т.е. собственное механическое демпфирование становится сильнее (или слабее) из-за оптомеханического взаимодействия. Из формулы в случае отрицательной расстройки и большой связи механическое демпфирование может быть сильно увеличено, что соответствует охлаждению механического генератора. В случае положительной расстройки оптико-механическое взаимодействие снижает эффективное демпфирование. Нестабильность может возникнуть, когда эффективное затухание падает ниже нуля ( ), что означает, что оно переходит в общее усиление, а не в затухание механического генератора. ^[24] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{\text{eff}}<0}$

Режимы важных параметров

Наиболее основные режимы, в которых может работать оптико-механическая система, определяются лазерной отстройкой и описаны выше. Результирующими явлениями являются либо охлаждение, либо нагрев механического генератора. Однако дополнительные параметры определяют, какие эффекты действительно можно наблюдать. ${\displaystyle \Delta }$

Режим хорошего /плохого резонатора (также называемый режимом разрешенной/неразрешенной боковой полосы ) связывает механическую частоту с шириной оптической линии. Режим хорошего резонатора (разрешенный предел боковой полосы) имеет экспериментальное значение, поскольку он является необходимым требованием для достижения охлаждения механического генератора в основном состоянии , т.е. охлаждения до среднего механического числа заполнения ниже . Термин «режим разрешенной боковой полосы» относится к возможности отличить боковые полосы движения от резонанса полости, что верно, если ширина линии полости меньше, чем расстояние от резонанса полости до боковой полосы ( ). Это требование приводит к условию для так называемого параметра боковой полосы: . Если система находится в режиме плохого резонатора (предел неразрешенной боковой полосы), где боковая полоса движения находится в пределах пика резонанса резонатора. В режиме неразрешенной боковой полосы многие боковые полосы движения могут быть включены в широкую ширину линии резонатора, что позволяет одному фотону создавать более одного фонона, что приводит к большему усилению механического осциллятора. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m}/\kappa \gg 1}$ ${\displaystyle \omega _{m}/\kappa \ll 1}$

Еще одно различие можно сделать в зависимости от силы оптико-механической связи. Если (усиленная) оптомеханическая связь становится больше ширины линии резонатора ( ), достигается режим сильной связи . Здесь происходит гибридизация оптических и механических мод и происходит расщепление нормальных мод. Этот режим следует отличать от (экспериментально гораздо более сложного) однофотонного режима сильной связи , где чистая оптомеханическая связь становится порядка ширины линии резонатора . Эффекты полного нелинейного взаимодействия, описываемые только в этом режиме, становятся наблюдаемыми. Например, это является предварительным условием для создания негауссовских состояний с помощью оптомеханической системы. Типичные эксперименты в настоящее время проводятся в линеаризованном режиме (малый ) и исследуют только эффекты линеаризованного гамильтониана. ^[1] ${\displaystyle g\geq \kappa }$ ${\displaystyle g_{0}\geq \kappa }$ ${\displaystyle \hbar g_{0}a^{\dagger }a(b+b^{\dagger })}$ ${\displaystyle g_{0}\ll \kappa }$

Экспериментальные реализации

Настраивать

Сильная сторона оптомеханического гамильтониана заключается в широком диапазоне экспериментальных реализаций, к которым он может применяться, что приводит к широким диапазонам параметров оптомеханических параметров. Например, размеры оптико-механических систем могут быть порядка микрометров или, в случае LIGO , километров. (хотя LIGO занимается обнаружением гравитационных волн, а не исследованием конкретно оптомеханики). ^[18]

Примеры реальных оптико-механических реализаций:

• Полости с движущимся зеркалом: архетип оптико-механической системы. Свет отражается от зеркал и передает импульс подвижному, что, в свою очередь, изменяет резонансную частоту резонатора.
• Система «мембрана посередине»: микромеханическая мембрана выведена в полость, состоящую из неподвижных массивных зеркал. Мембрана берет на себя роль механического генератора. В зависимости от расположения мембраны внутри полости эта система ведет себя как стандартная оптико-механическая система. ^[25]

  

  Показаны три типа оптико-механических систем с дисперсионно-связанными резонаторами. (а) Нанопучок нитрида кремния с высоким напряжением, соединенный с микродиском в режиме шепчущей галереи посредством дипольного взаимодействия. (б) Оптомеханический кристалл с колокализованными механическими и оптическими модами. (в) Механически податливый алюминиевый конденсатор, используемый для формирования сверхпроводящего LC-генератора.

• Левитирующая система: оптически левитирующая наночастица помещается в полость, состоящую из неподвижных массивных зеркал. Левитирующая наночастица берет на себя роль механического осциллятора. В зависимости от положения частицы внутри полости эта система ведет себя как стандартная оптико-механическая система. ^[26]
• Микротороиды , поддерживающие режим оптической шепчущей галереи, могут быть либо связаны с механическим режимом тороида , либо незаметно с нанолучем , поднесенным близко. ^{[27] [28]}
• Оптомеханические кристаллические структуры: узорчатые диэлектрики или метаматериалы могут ограничивать оптические и/или механические (акустические) моды. Если узорчатый материал предназначен для ограничения света, его называют фотонно-кристаллической полостью. Если он предназначен для ограничения звука, его называют полостью фононного кристалла . Любой из них может использоваться соответственно в качестве оптического или механического компонента. Гибридные кристаллы, которые удерживают звук и свет в одной и той же области, особенно полезны, поскольку образуют целостную оптико-механическую систему. ^[29]
• В электромеханических реализациях оптомеханической системы используются сверхпроводящие LC-цепи с механически податливой емкостью, такой как мембрана с металлическим покрытием или крошечная пластина конденсатора, наклеенная на нее. При использовании подвижных пластин конденсатора механическое движение (физическое смещение) пластины или мембраны изменяет емкость , которая преобразует механические колебания в электрические колебания. ^[30] LC-генераторы имеют резонансы в микроволновом диапазоне частот; поэтому LC-цепи также называют микроволновыми резонаторами. Физика точно такая же, как и в оптических резонаторах, но диапазон параметров другой, поскольку микроволновое излучение имеет большую длину волны, чем оптический свет или инфракрасный лазерный свет. ${\displaystyle C}$

Целью изучения различных конструкций одной и той же системы являются различные режимы параметров, доступные для разных установок, и их разные возможности для преобразования в инструменты коммерческого использования.

Измерение

Оптомеханическую систему можно измерить, используя схему, подобную гомодинному обнаружению . Либо измеряется свет управляющего лазера, либо используется двухрежимная схема, где сильный лазер используется для приведения оптомеханической системы в интересующее состояние, а второй лазер используется для считывания состояния система. Этот второй «зондовый» лазер обычно слаб, т.е. его оптико-механическим взаимодействием можно пренебречь по сравнению с эффектами, вызываемыми сильным лазером «накачки». ^[17]

Выходное оптическое поле также можно измерить с помощью детекторов одиночных фотонов для получения статистики подсчета фотонов.

Отношение к фундаментальным исследованиям

Одним из вопросов, которые до сих пор являются предметом дискуссий, является точный механизм декогеренции. В мысленном эксперименте с котом Шредингера кошку никогда нельзя было бы увидеть в квантовом состоянии: должно произойти что-то вроде коллапса квантовых волновых функций, который переводит ее из квантового состояния в чисто классическое состояние. Вопрос в том, где проходит граница между объектами с квантовыми свойствами и классическими объектами. Если взять в качестве примера пространственные суперпозиции, то может существовать ограничение по размеру объектов, которые могут быть объединены в суперпозиции, может существовать предел пространственного разделения центров масс суперпозиции или даже предел суперпозиции гравитационных полей и его влияние на малые пробные массы. Эти предсказания можно проверить с помощью крупных механических структур, которыми можно манипулировать на квантовом уровне. ^[31]

Некоторые более простые в проверке предсказания квантовой механики — это предсказание отрицательных функций Вигнера для определенных квантовых состояний, ^[32] точность измерений, выходящая за пределы стандартного квантового предела с использованием сжатых состояний света, ^[33] или асимметрия боковых полос в спектре квантовой механики. полость вблизи основного квантового состояния. ^[34]

Приложения

За годы до того, как оптомеханика резонаторов получила статус самостоятельной области исследований, многие ее методы уже использовались в детекторах гравитационных волн , где необходимо измерять смещения зеркал порядка масштаба Планка. Даже если эти детекторы не предназначены для измерения квантовых эффектов, они сталкиваются с сопутствующими проблемами ( фотонный дробовой шум ) и используют аналогичные приемы ( сжатые когерентные состояния ) для повышения точности. Дальнейшие применения включают разработку квантовой памяти для квантовых компьютеров , ^[35] высокоточных датчиков (например, датчиков ускорения ^[36] ) и квантовых преобразователей, например, между оптической и микроволновой областью ^[37] (используя тот факт, что механический осциллятор могут легко сочетаться с обоими частотными режимами).

Связанные поля и расширения

В дополнение к стандартной оптомеханике резонатора, описанной выше, существуют варианты простейшей модели:

• Импульсная оптомеханика: непрерывное лазерное воздействие заменяется импульсным лазерным воздействием. ^[38] Это полезно для создания запутанности и позволяет избежать обратных измерений.
• Квадратичная связь: система с квадратичной оптомеханической связью может быть исследована за пределами линейной связи . Тогда гамильтониан взаимодействия будет содержать член с . В установках «мембрана посередине» можно добиться квадратичной связи при отсутствии линейной связи, расположив мембрану в экстремуме стоячей волны внутри полости. ^[25] Одним из возможных применений является проведение квантового неразрушающего измерения числа фононов. ${\displaystyle g_{0}=\left.{\tfrac {d\omega _{\text{cav}}(x)}{dx}}\right|_{x=0}x_{\text{zpf}}}$ ${\displaystyle \hbar g_{\text{quad}}a^{\dagger }a(b+b^{\dagger })^{2}}$ ${\displaystyle g_{\text{sq}}={\frac {1}{2}}\left.{\tfrac {d^{2}\omega _{\text{cav}}(x)}{dx^{2}}}\right|_{x=0}x_{\text{zpf}}^{2}}$
• Обратный режим диссипации: в стандартной оптико-механической системе механическое затухание значительно меньше оптического. Можно спроектировать систему, в которой эта иерархия перевернута; т.е. оптическое затухание намного меньше механического затухания ( ). В линеаризованном режиме симметрия подразумевает инверсию описанных выше эффектов; Например, охлаждение механического генератора в стандартной оптико-механической системе заменяется охлаждением оптического генератора в системе с обратной иерархией диссипации. ^[39] Этот эффект также наблюдался в петлях оптического волокна в 1970-х годах. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \kappa \ll \Gamma }$
• Диссипативная связь: связь между оптикой и механикой возникает из-за зависящей от положения скорости оптической диссипации вместо зависящей от положения резонансной частоты полости , которая изменяет гамильтониан взаимодействия и изменяет многие эффекты стандартной оптомеханической системы. Например, эта схема позволяет механическому резонатору остыть до основного состояния без необходимости соблюдения режима хорошего резонатора. ^[40] ${\displaystyle \kappa (x)}$ ${\displaystyle \omega _{cav}}$

Расширения стандартной оптико-механической системы включают подключение к большему количеству физически различных систем:

• Оптомеханические матрицы: соединение нескольких оптомеханических систем друг с другом (например, с использованием затухающей связи оптических мод) позволяет изучать многомодовые явления, такие как синхронизация. До сих пор было сделано много теоретических предсказаний, но существует лишь несколько экспериментов. Первый оптико-механический массив (с более чем двумя связанными системами) состоит из семи оптико-механических систем. ^[41]
• Гибридные системы: оптико-механическая система может быть соединена с системой другой природы (например, облаком ультрахолодных атомов и двухуровневой системой ), что может привести к новым эффектам как на оптико-механическую, так и на дополнительную систему.

Оптомеханика резонаторов тесно связана с физикой захваченных ионов и конденсатами Бозе – Эйнштейна . Эти системы имеют очень похожие гамильтонианы, но содержат меньше частиц (около 10 для ионных ловушек и 10 ⁵ –10 ⁸ для бозе-эйнштейновских конденсатов), взаимодействующих со световым полем. Это также связано с областью квантовой электродинамики полостей .

Смотрите также

• Физический портал

• Квантовый гармонический осциллятор
• Оптический резонатор
• Лазерное охлаждение
• Последовательный контроль

Рекомендации

1. Аспельмейер, Маркус; Киппенберг, Тобиас Дж.; Марквардт, Флориан, ред. (2014). Оптомеханика полостей . дои : 10.1007/978-3-642-55312-7. ISBN 978-3-642-55311-0.
2. Бозе, С.; Джейкобс, К.; Найт, Польша (1 ноября 1997 г.). «Получение неклассических состояний в резонаторах с движущимся зеркалом». Физический обзор А. 56 (5): 4175–4186. arXiv : Quant-ph/9708002 . Бибкод : 1997PhRvA..56.4175B. doi :10.1103/PhysRevA.56.4175. hdl : 10044/1/312 . S2CID  6572957.
3. Маршалл, Уильям; Саймон, Кристоф; Пенроуз, Роджер; Бауместер, Дик (23 сентября 2003 г.). «К квантовым суперпозициям зеркала». Письма о физических отзывах . 91 (13): 130401. arXiv : quant-ph/0210001 . Бибкод : 2003PhRvL..91m0401M. doi : 10.1103/PhysRevLett.91.130401. PMID  14525288. S2CID  16651036.
4. Халили, Фарид Я; Данилишин, Стефан Л. (01 января 2016 г.), Виссер, Тако Д. (редактор), «Глава третья - Квантовая оптомеханика», Progress in Optics , 61 , Elsevier: 113–236, doi : 10.1016/bs.po .2015.09.001 , получено 6 августа 2020 г.
5. «Веха 23: Вехи природы: фотоны» . Архивировано из оригинала 21 октября 2011 г. Проверено 26 декабря 2011 г.
6. Киппенберг, Ти Джей; Вахала, Кей Джей (10 декабря 2007 г.). «Резонаторная оптомеханика». Оптика Экспресс . 15 (25): 17172–17205. arXiv : 0712.1618 . Бибкод : 2007OExpr..1517172K. дои : 10.1364/OE.15.017172 . ISSN  1094-4087. ПМИД  19551012.
7. Мецгер, Констанца; Фаверо, Иван; Ортлиб, Александр; Каррай, Халед (9 июля 2008 г.). «Оптическое самоохлаждение деформируемого резонатора Фабри-Перо в классическом пределе». Физический обзор B . 78 (3): 035309. arXiv : 0707.4153 . Бибкод : 2008PhRvB..78c5309M. doi : 10.1103/PhysRevB.78.035309. ISSN  1098-0121. S2CID  119121252.
8. Ю, Вэньян; Цзян, Вэй С.; Линь, Цян; Лу, Тао (27 июля 2016 г.). «Полостое оптико-механическое пружинное зондирование одиночных молекул». Природные коммуникации . 7 (1): 12311. arXiv : 1504.03727 . Бибкод : 2016NatCo...712311Y. дои : 10.1038/ncomms12311 . ISSN  2041-1723. ПМЦ 4974467 . ПМИД  27460277. 
9. Шеард, Бенджамин С.; Грей, Малкольм Б.; Моу-Лоури, Конор М.; Макклелланд, Дэвид Э.; Уиткомб, Стэнли Э. (7 мая 2004 г.). «Наблюдение и характеристика оптической пружины». Физический обзор А. 69 (5): 051801. Бибкод : 2004PhRvA..69e1801S. doi :10.1103/PhysRevA.69.051801.
10. Мейстр, Пьер (2013). «Краткая прогулка по квантовой оптомеханике». Аннален дер Физик . 525 (3): 215–233. arXiv : 1210.3619 . Бибкод : 2013АнП...525..215М. дои : 10.1002/andp.201200226. ISSN  1521-3889. S2CID  118388281.
11. Мецгер, Констанца Хёбергер; Каррай, Халед (декабрь 2004 г.). «Охлаждение полости микрорычага». Природа . 432 (7020): 1002–1005. Бибкод : 2004Natur.432.1002M. дои : 10.1038/nature03118. ISSN  1476-4687. PMID  15616555. S2CID  4304653.
12. Чан, Джаспер; Алегре, Т.П. Майер; Сафави-Наини, Амир Х.; Хилл, Джефф Т.; Краузе, Алекс; Грёблахер, Симон; Аспельмейер, Маркус; Художник Оскар (октябрь 2011 г.). «Лазерное охлаждение наномеханического генератора до основного квантового состояния». Природа . 478 (7367): 89–92. arXiv : 1106.3614 . Бибкод : 2011Natur.478...89C. дои : 10.1038/nature10461. ISSN  1476-4687. PMID  21979049. S2CID  4382148.
13. Арсисет, О.; Кохадон, П.-Ф.; Брайант, Т.; Пинар, М.; Хайдманн, А. (ноябрь 2006 г.). «Радиационно-давильное охлаждение и оптико-механическая неустойчивость микрозеркала». Природа . 444 (7115): 71–74. arXiv : Quant-ph/0607205 . Бибкод : 2006Natur.444...71A. дои : 10.1038/nature05244. ISSN  1476-4687. PMID  17080085. S2CID  1449162.
14. Брагинский В.Б., Манукин А.Б., Тихонов М.Ю. (1970). Исследование диссипативных пондеромоторных эффектов электромагнитного излучения. Советская физика ЖЭТФ том 31, 5 (оригинал: ЖЭТФ 58, 1549 (1970))
15. Закон, CK (1 января 1994 г.). «Эффективный гамильтониан излучения в резонаторе с движущимся зеркалом и изменяющейся во времени диэлектрической средой». Физический обзор А. 49 (1): 433–437. doi : 10.1103/PhysRevA.49.433. ISSN  1050-2947.
16. Сафави-Наини, Амир Х; Чан, Джаспер; Хилл, Джефф Т; Грёблахер, Симон; Мяо, Хайсин; Чен, Яньбэй; Аспельмейер, Маркус; Художник Оскар (06 марта 2013 г.). «Лазерный шум в резонаторно-оптомеханическом охлаждении и термометрии». Новый журнал физики . 15 (3): 035007. arXiv : 1210.2671 . Бибкод : 2013NJPh...15c5007S. дои : 10.1088/1367-2630/15/3/035007 . ISSN  1367-2630.
17. Боуэн, Уорвик П. (18 ноября 2015 г.). Квантовая оптомеханика. Милберн, Дж.Дж. (Джерард Дж.). Бока-Ратон. ISBN 978-1-4822-5916-2. ОКЛК  929952165.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
18. Вайс, Райнер (18 декабря 2018 г.). «Нобелевская лекция: LIGO и открытие гравитационных волн I». Обзоры современной физики . 90 (4): 040501. Бибкод : 2018RvMP...90d0501W. doi : 10.1103/RevModPhys.90.040501 .
19. Гардинер, CW; Коллетт, MJ (1 июня 1985 г.). «Ввод и вывод в затухающих квантовых системах: квантовые стохастические дифференциальные уравнения и главное уравнение». Физический обзор А. 31 (6): 3761–3774. Бибкод : 1985PhRvA..31.3761G. doi : 10.1103/PhysRevA.31.3761. ПМИД  9895956.
20. Коллетт, MJ; Гардинер, CW (1 сентября 1984 г.). «Сжатие внутрирезонаторных и световых полей бегущей волны, получаемых при параметрическом усилении». Физический обзор А. 30 (3): 1386–1391. Бибкод : 1984PhRvA..30.1386C. doi : 10.1103/PhysRevA.30.1386.
21. Джинс, К.; Виталий Д.; Томбези, П.; Гиган, С.; Аспельмейер, М. (3 марта 2008 г.). «Охлаждение микромеханического генератора в основном состоянии: сравнение схем холодного демпфирования и охлаждения с помощью резонатора». Физический обзор А. 77 (3): 033804. arXiv : 0705.1728 . doi :10.1103/PhysRevA.77.033804. ISSN  1050-2947.
22. Корбитт, Томас; Чен, Яньбэй; Иннерхофер, Эдит; Мюллер-Эбхардт, Хельге; Оттауэй, Дэвид; Ребейн, Хеннинг; Сигг, Дэниел; Уиткомб, Стэнли; Випф, Кристофер; Мавалвала, Нергис (13 апреля 2007 г.). «Полнооптическая ловушка для зеркала размером в грамм». Письма о физических отзывах . 98 (15): 150802. arXiv : quant-ph/0612188 . doi :10.1103/PhysRevLett.98.150802. ISSN  0031-9007.
23. Корбитт, Томас; Випф, Кристофер; Бодия, Тимоти; Оттауэй, Дэвид; Сигг, Дэниел; Смит, Николас; Уиткомб, Стэнли; Мавалвала, Нергис (18 октября 2007 г.). «Оптическое разбавление и охлаждение граммового генератора с обратной связью до 6,9 мК». Письма о физических отзывах . 99 (16): 160801. arXiv : 0705.1018 . doi : 10.1103/PhysRevLett.99.160801. ISSN  0031-9007.
24. Клерк, А.А.; Деворет, Миннесота; Гирвин, С.М.; Марквардт, Флориан; Шёлкопф, Р.Дж. (15 апреля 2010 г.). «Введение в квантовый шум, измерение и усиление». Обзоры современной физики . 82 (2): 1155–1208. arXiv : 0810.4729 . Бибкод : 2010RvMP...82.1155C. doi : 10.1103/RevModPhys.82.1155. hdl : 21.11116/0000-0001-D7A2-5. S2CID  119200464.
25. Томпсон, JD; Цвикль, Б.М.; Джейич, AM; Марквардт, Флориан; Гирвин, С.М.; Харрис, JGE (6 марта 2008 г.). «Сильное дисперсионное соединение высокотонкой полости с микромеханической мембраной». Природа . 452 (7183): 72–75. arXiv : 0707.1724 . дои : 10.1038/nature06715. ISSN  0028-0836.
26. Кизель, Н.; Блазер, Ф.; Делик, У.; Грасс, Д.; Кальтенбек, Р.; Аспельмейер, М. (12 августа 2013 г.). «Охлаждение полости оптически левитирующей субмикронной частицы». Труды Национальной академии наук . 110 (35): 14180–14185. arXiv : 1304.6679 . Бибкод : 2013PNAS..11014180K. дои : 10.1073/pnas.1309167110 . ISSN  0027-8424. ПМЦ 3761640 . ПМИД  23940352. 
27. Верхаген, Э.; Делеглиз, С.; Вайс, С.; Шлиссер, А.; Киппенберг, Ти Джей (2012). «Квантово-когерентная связь механического генератора с модой оптического резонатора». Природа . 482 (7383): 63–67. arXiv : 1107.3761 . дои : 10.1038/nature10787. ISSN  0028-0836.
28. Анецбергер, Г.; Арсисет, О.; Унтеррайтмайер, королевский адвокат; Ривьер, Р.; Шлиссер, А.; Вейг, Э.М.; Коттхаус, JP; Киппенберг, Ти Джей (11 октября 2009 г.). «Оптомеханика ближнего поля с наномеханическими генераторами». Физика природы . 5 (12). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 909–914. arXiv : 0904.4051 . дои : 10.1038/nphys1425. ISSN  1745-2473.
29. Эйченфилд, Мэтт; Чан, Джаспер; Камачо, Райан М.; Вахала, Керри Дж.; Художник Оскар (2009). «Оптомеханические кристаллы». Природа . 462 (7269): 78–82. arXiv : 0906.1236 . дои : 10.1038/nature08524. ISSN  0028-0836.
30. Тойфель, JD; Доннер, Т.; Ли, Дейл; Харлоу, JW; Оллман, MS; Чичак, К.; Сируа, AJ; Уиттакер, доктор юридических наук; Ленерт, КВ; Симмондс, RW (2011). «Боковое охлаждение микромеханического движения до основного квантового состояния». Природа . 475 (7356): 359–363. arXiv : 1103.2144 . дои : 10.1038/nature10261. ISSN  0028-0836.
31. Бозе, С.; Джейкобс, К.; Найт, Польша (1 мая 1999 г.). «Схема исследования декогеренции макроскопического объекта». Физический обзор А. 59 (5): 3204–3210. arXiv : Quant-ph/9712017 . doi : 10.1103/PhysRevA.59.3204. ISSN  1050-2947.
32. Саймон Рипс, Мартин Киффнер, Игнасио Уилсон-Рэй и Майкл Хартманн. (2011). Оптомеханика резонаторов с нелинейными механическими резонаторами в квантовом режиме - Технический дайджест OSA (CD). Дайджест конференции CLEO/Europe и EQEC 2011 (стр. JSI2_3). Оптическое общество Америки. Получено с http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=EQEC-2011-JSI2_3.
33. Джаекель, MT; Рейно, С. (15 октября 1990 г.). «Квантовые пределы в интерферометрических измерениях». Письма по еврофизике (EPL) . 13 (4): 301–306. arXiv : Quant-ph/0101104 . дои : 10.1209/0295-5075/13/4/003. ISSN  0295-5075.
34. Сафави-Наеини, А.Х., Чан, Дж., Хилл, Дж.Т., Алегре, ТПМ, Краузе, А., и Пейнтер, О. (2011). Измерение квантового нулевого движения наномеханического резонатора, 6. Получено с https://arxiv.org/abs/1108.4680.
35. Коул, Гаррет Д.; Аспельмейер, Маркус (2011). «Механическая память прозревает». Природные нанотехнологии . 6 (11): 690–691. дои : 10.1038/nnano.2011.199. ISSN  1748-3387.
36. Краузе, Александр Г.; Вингер, Мартин; Блазиус, Тим Д.; Линь, Цян; Художник Оскар (2012). «Микрочиповый оптико-механический акселерометр высокого разрешения». Природная фотоника . 6 (11): 768–772. arXiv : 1203.5730 . дои : 10.1038/nphoton.2012.245. ISSN  1749-4885.
37. Бохманн, Йорг; Вайнсенчер, Амит; Авшалом, Дэвид Д.; Клеланд, Эндрю Н. (2013). «Наномеханическая связь между микроволновыми и оптическими фотонами». Физика природы . 9 (11): 712–716. дои : 10.1038/nphys2748. ISSN  1745-2473.
38. Паломаки, Т.А., Тойфель, Дж.Д., Симмондс, Р.В., Ленерт, К.В. (2013). Наука 342, 6159, 710-713
39. Нунненкамп, А.; Судхир, В.; Феофанов А.К.; Руле, А.; Киппенберг, Т.Дж. (11 июля 2014 г.). «Квантово-ограниченное усиление и параметрическая нестабильность в режиме обращенной диссипации оптомеханики резонаторов». Письма о физических отзывах . 113 (2): 023604. arXiv : 1312.5867 . doi :10.1103/PhysRevLett.113.023604. ISSN  0031-9007.
40. Эльсте, Флориан; Гирвин, С.М.; Клерк, А.А. (22 мая 2009 г.). «Квантовая шумовая интерференция и обратное охлаждение в резонаторной наномеханике». Письма о физических отзывах . 102 (20): 207209. arXiv : 0903.2242 . doi :10.1103/PhysRevLett.102.207209. ISSN  0031-9007.
41. Чжан, Миан; Шах, Шреяс; Карденас, Хайме; Липсон, Михал (16 октября 2015 г.). «Синхронизация и снижение фазового шума в матрицах микромеханических генераторов, связанных через свет». Письма о физических отзывах . 115 (16): 163902. arXiv : 1505.02009 . doi : 10.1103/PhysRevLett.115.163902. ISSN  0031-9007.

дальнейшее чтение

• Дэниел Штек, Классическая и современная оптика
• Мишель Деверо, Бежамин Уард, Роберт Шелькопф, Летисия Ф. Куглиандоло (2014). Квантовые машины: измерение и управление инженерными квантовыми системами. Конспекты лекций летней школы Ле Уш: Том 96, июль 2011 г. Oxford University Press
• Киппенберг, Тобиас Дж.; Вахала, Керри Дж. (2007). «Резонаторная оптомеханика». Оптика Экспресс . 15 (25): 17172. doi :10.1364/OE.15.017172. ISSN  1094-4087.
• Демир, Дилек, «Настольная демонстрация радиационного давления», 2011, Дипломатическая работа, E-Theses univie. doi:10.25365/thesis.16381