stringtranslate.com

Орбифолд

Меня не следует винить в этой терминологии. Оно было получено в результате демократического процесса в течение моего курса 1976–1977 годов. Орбифолд — это нечто, имеющее множество складок; к сожалению, слово «многообразие» уже имеет другое определение. Я попробовал слово «фолдамани», которое было быстро заменено на «многообразное». После двух месяцев терпеливых заявлений «нет, не коллектор, манифоль мертв », мы провели голосование, и победил «орбифолд».

Терстон (1978–1981, стр. 300, раздел 13.2), объясняющий происхождение слова «орбифолд».

В математических дисциплинах топологии и геометрии орбифолд (от «орбит-многообразие») является обобщением многообразия . Грубо говоря, орбифолд — это топологическое пространство , которое локально является конечным групповым фактором евклидова пространства .

Определения орбифолда давались несколько раз: Ичиро Сатаке в контексте автоморфных форм в 1950-х годах под названием V-многообразие ; [1] Уильяма Терстона в контексте геометрии трехмерных многообразий в 1970-х годах [2], когда он придумал название орбифолд после голосования своих учеников; и Андре Хэфлигером в 1980-х годах в контексте программы Михаила Громова по пространствам CAT (k) под названием орбиэдр . [3]

Исторически орбифолды возникли как поверхности с особыми точками задолго до того, как они были формально определены. [4] Один из первых классических примеров возник в теории модулярных форм [5] с действием модулярной группы на верхней полуплоскости : версия теоремы Римана–Роха справедлива после компактификации фактора сложением двух точек возврата орбифолда. В теории трехмерных многообразий теория расслоений Зейферта , начатая Гербертом Зейфертом , может быть сформулирована в терминах двумерных орбифолдов. [6] В геометрической теории групп пост-Громова дискретные группы изучались с точки зрения свойств локальной кривизны орбиэдров и их накрывающих пространств. [7]

В теории струн слово «орбифолд» имеет несколько иное значение, [8] подробно обсуждаемое ниже. В двумерной конформной теории поля это относится к теории, связанной с подалгеброй неподвижной точки вершинной алгебры под действием конечной группы автоморфизмов .

Основным примером основного пространства является фактор - пространство многообразия при собственно разрывном действии возможно бесконечной группы диффеоморфизмов с конечными подгруппами изотропии . [9] В частности, это относится к любому действию конечной группы ; таким образом, многообразие с краем имеет естественную структуру орбифолда, поскольку оно является фактором своего двойника по действию .

Одно топологическое пространство может содержать разные орбифолдные структуры. Например, рассмотрим орбифолд O , связанный с факторпространством 2-сферы вдоль вращения на ; он гомеоморфен 2-сфере, но естественная структура орбифолда другая. Большинство характеристик многообразий можно адаптировать к орбифолдам, и эти характеристики обычно отличаются от соответствующих характеристик основного пространства. В приведенном выше примере орбифолдная фундаментальная группа O равна 1 , а ее эйлерова характеристика орбифолда равна 1.

Формальные определения

Определение с использованием атласа орбифолда

Как и многообразие, орбифолд определяется локальными условиями; однако вместо того, чтобы локально моделироваться на открытых подмножествах , орбифолд локально моделируется на факторах открытых подмножеств по действиям конечной группы. Структура орбифолда кодирует не только структуру базового фактор-пространства, которое не обязательно должно быть многообразием, но и структуру подгрупп изотропии .

n - мерный орбифолд — это хаусдорфово топологическое пространство X , называемое базовым пространством , с покрытием набором открытых множеств , замкнутых относительно конечного пересечения. Для каждого существует

Коллекция орбифолдных карт называется орбифолдным атласом, если выполняются следующие свойства:

Что касается атласов на многообразиях , два орбифолдных атласа X эквивалентны, если их можно последовательно объединить, чтобы получить больший орбифолдный атлас. Таким образом, орбифолдная структура является классом эквивалентности орбифолдных атласов.

Обратите внимание, что структура орбифолда определяет подгруппу изотропии любой точки орбифолда с точностью до изоморфизма: ее можно вычислить как стабилизатор точки в любой карте орбифолда. Если U i U j U k , то существует единственный переходный элемент g ijk в Γ k такой, что

g ijk · ψ ik = ψ jk · ψ ij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Ad g ijkf ik = f jk · f ij

а также отношение коцикла (гарантирующее ассоциативность)

ж км ( г ijk ) · г ikm знак равно г ijm · г jkm .

В более общем смысле к открытому покрытию орбифолда орбифолдными картами прикрепляются комбинаторные данные так называемого комплекса групп (см. ниже).

Точно так же, как и в случае с многообразиями, на отображения склейки можно наложить условия дифференцируемости, чтобы дать определение дифференцируемого орбифолда . Он будет римановым орбифолдом, если к тому же на картах орбифолда имеются инвариантные римановы метрики и карты склейки являются изометриями .

Определение с использованием группоидов Ли

Напомним, что группоид состоит из набора объектов , набора стрелок и структурных карт, включая исходную и целевую карты, а также других карт, позволяющих составлять и инвертировать стрелки. Он называется группоидом Ли, если оба и являются гладкими многообразиями, все структурные карты гладкие, а исходное и целевое карты являются субмерсиями. Пересечение исходного и целевого волокна в данной точке , т.е. наборе , представляет собой группу Ли , называемую группой изотропии at . Группоид Ли называется правильным, если отображение является правильным , и этальным, если и исходное, и целевое отображения являются локальными диффеоморфизмами .

Орбифолдный группоид задается одним из следующих эквивалентных определений:

Поскольку группы изотропии собственных группоидов автоматически компактны , из условия дискретности следует, что изотропии должны быть фактически конечными группами . [10]

Орбифолдные группоиды играют ту же роль, что и орбифолдные атласы в приведенном выше определении. Действительно, орбифолдная структура на топологическом пространстве Хаусдорфа определяется как класс эквивалентности Мориты орбифолдного группоида вместе с гомеоморфизмом , где - пространство орбит группоида Ли (т.е. фактор по эквивалентному отношению, когда , если существует a с и ). Это определение показывает, что орбифолды представляют собой особый вид дифференцируемой стопки .

Связь между двумя определениями

Учитывая орбифолдный атлас пространства , можно построить псевдогруппу , состоящую из всех диффеоморфизмов между открытыми множествами , сохраняющих функции перехода . В свою очередь, пространство ростков своих элементов является орбифолдным группоидом. Более того, поскольку по определению орбифолдного атласа каждая конечная группа действует точно на , группоид автоматически эффективен, т. е. отображение инъективно для каждого . Два разных атласа орбифолда порождают одну и ту же структуру орбифолда тогда и только тогда, когда связанные с ними группоиды орбифолда эквивалентны Морита. Следовательно, любая орбифолдная структура согласно первому определению (также называемая классическим орбифолдом ) является особым видом орбифолдной структуры согласно второму определению.

И наоборот, для данного орбифолдного группоида существует канонический орбифолдный атлас над его пространством орбит, связанный с ним эффективный орбифолдный группоид Морита эквивалентен . Поскольку пространства орбит эквивалентных по Морите группоидов гомеоморфны, орбифолдная структура согласно второму определению приводит к орбифолдной структуре согласно первому определению в эффективном случае. [11]

Соответственно, хотя понятие орбифолдного атласа проще и чаще встречается в литературе, понятие орбифолдного группоида особенно полезно при обсуждении неэффективных орбифолдов и карт между орбифолдами. Например, карта между орбифолдами может быть описана гомоморфизмом между группоидами, который несет больше информации, чем лежащее в основе непрерывное отображение между основными топологическими пространствами.

Примеры

Фундаментальная группа орбифолда

Есть несколько способов определить фундаментальную группу орбифолда . Более сложные подходы используют орбифолдные накрывающие пространства или классифицирующие пространства группоидов . Самый простой подход (принятый Хефлигером и известный также Терстону) расширяет обычное понятие петли, используемое в стандартном определении фундаментальной группы .

Орбифолдный путь — это путь в базовом пространстве, снабженный явным кусочным подъемом сегментов пути к орбифолдным диаграммам и явными элементами группы, идентифицирующими пути в перекрывающихся диаграммах; если базовый путь является петлей, он называется орбифолдной петлей . Два орбифолдных пути идентифицируются, если они связаны путем умножения на элементы группы в орбифолдных диаграммах. Фундаментальная группа орбифолдов — это группа, образованная гомотопическими классами орбифолдных петель.

Если орбифолд возникает как фактор односвязного многообразия M по собственному жесткому действию дискретной группы Γ, фундаментальная группа орбифолда может быть отождествлена ​​с Γ. В общем случае это расширение Γ посредством π 1 M .

Орбифолд называется развивающимся или хорошим , если он возникает как фактор группового действия; иначе это называется плохим . Универсальное накрывающее орбифолд можно построить для орбифолда по прямой аналогии с построением универсального накрывающего топологического пространства, а именно как пространства пар, состоящих из точек орбифолда и гомотопических классов орбифолдных путей, соединяющих их с базовой точкой. Это пространство, естественно, является орбифолдом.

Заметим, что если орбифолдная карта на стягиваемом открытом подмножестве соответствует группе Γ, то существует естественный локальный гомоморфизм Γ в фундаментальную группу орбифолда.

Фактически следующие условия эквивалентны:

Орбифолды как диффеологии

Орбифолды могут быть определены в общих рамках диффеологии [12] и, как было доказано [13], эквивалентны оригинальному определению Ичиро Сатаке : [1]

Определение: Орбифолд — это диффеологическое пространство, локально диффеоморфное в каждой точке некоторой , где — целое число и — конечная линейная группа, которая может меняться от точки к точке.

Это определение требует нескольких замечаний:

Обратите внимание, что фундаментальная группа орбифолда как диффеологического пространства не совпадает с фундаментальной группой, определенной выше. Последнее связано со структурным группоидом [18] и его группами изотропии.

Орбипространства

Для приложений в геометрической теории групп часто бывает удобно иметь несколько более общее понятие орбифолда, предложенное Хефлигером. Орбипространство для топологических пространств — то же самое , что орбифолд для многообразий. Орбипространство — это топологическое обобщение концепции орбифолда. Оно определяется путем замены модели орбифолдных карт локально компактным пространством с жестким действием конечной группы, т.е. такой, для которой точки с тривиальной изотропией плотны. (Это условие автоматически удовлетворяется точными линейными действиями, поскольку точки, фиксированные любым нетривиальным элементом группы, образуют собственное линейное подпространство .) Также полезно рассматривать структуры метрического пространства в орбипространстве, заданные инвариантными метриками на картах орбипространства. для которых карты склейки сохраняют расстояние. В этом случае каждая карта орбипространства обычно должна представлять собой пространство длины с уникальными геодезическими, соединяющими любые две точки.

Пусть X — орбипространство, наделенное метрической пространственной структурой, карты которого являются пространствами геодезических длин. Предыдущие определения и результаты для орбифолдов можно обобщить, чтобы дать определения фундаментальной группы орбипространства и универсального накрывающего орбипространства с аналогичными критериями развертываемости. Функции расстояния на картах орбипространства можно использовать для определения длины пути орбипространства в универсальном покрывающем орбипространстве. Если функция расстояния на каждой карте имеет неположительную кривую , то аргумент сокращения кривой Биркгофа можно использовать для доказательства того, что любой путь в орбипространстве с фиксированными конечными точками гомотопен уникальной геодезической. Применяя это к постоянным путям в карте орбипространства, отсюда следует, что каждый локальный гомоморфизм инъективен и, следовательно:

Комплексы групп

С каждым орбифолдом связана дополнительная комбинаторная структура, заданная комплексом групп .

Определение

Комплекс групп ( Y , f , g ) на абстрактном симплициальном комплексе Y задается формулой

Элементы группы должны дополнительно удовлетворять условию коцикла

ж π ρ ( г ρστ ) г πρτ знак равно г π στ г π ρσ

для каждой цепочки симплексов (это условие бессмысленно, если Y имеет размерность 2 или меньше.)

Любой выбор элементов h στ в Γ σ дает эквивалентный комплекс групп, определив

Комплекс групп называется простым , если gρστ = 1 всюду.

Зачастую удобнее и концептуальнее перейти к барицентрическому подразделению Y . Вершины этого подразделения соответствуют симплексам Y , так что к каждой вершине прикреплена группа. Ребра барицентрического подразделения естественно ориентированы (соответствуют включениям симплексов), и каждое направленное ребро дает включение групп. К каждому треугольнику прикреплен переходный элемент, принадлежащий группе ровно из одной вершины; а тетраэдры, если они есть, задают коциклические соотношения для переходных элементов. Таким образом, комплекс групп включает в себя только 3-скелет барицентрического подразделения; и только 2-скелет, если он простой.

Пример

Если X — орбифолд (или орбипространство) , выберите покрытие открытыми подмножествами среди орбифолдных карт f i : Vi U i . Пусть Y — абстрактный симплициальный комплекс, заданный нервом покрытия : его вершины — множества покрытия, а его n -симплексы соответствуют непустым пересечениям U α = U i 1 ··· U i n . Для каждого такого симплекса существует ассоциированная группа Γ α и гомоморфизмы f ij становятся гомоморфизмами f στ . Для каждой тройки ρ σ τ, соответствующей пересечениям

существуют карты φ i  : Vi i U i , φ ij  : V ij U i U j и φ ijk  : V ijk U i U j U k и карты склейки ψ : V ij Vi i , ψ' : V ijk V ij и ψ" : V ijk V я .

Существует единственный переходный элемент g ρστ в Γ i такой, что g ρστ · ψ " = ψ · ψ . Из соотношений, которым удовлетворяют переходные элементы орбифолда, следуют соотношения, необходимые для комплекса групп. Таким образом, комплекс групп могут быть канонически ассоциированы с нервом открытого покрытия орбифолдными (или орбипространственными) картами. На языке некоммутативной теории пучков и гербов комплекс групп в этом случае возникает как пучок групп, ассоциированных с покрытием U i. данные g ρστ являются 2-коциклом в некоммутативных пучковых когомологиях , а данные h στ дают 2-кограничное возмущение.

Группа краевых путей

Группу реберных путей комплекса групп можно определить как естественное обобщение группы реберных путей симплициального комплекса. В барицентрическом подразделении Y возьмем генераторы e ij, соответствующие ребрам от i до j , где i j , так, чтобы существовала инъекция ψ ij  : Γ i Γ j . Пусть Γ — группа, порожденная e ij и Γ k с соотношениями

е ij −1 · грамм · е ij знак равно ψ ij ( грамм )

для g в Γ i и

e ik = e jk · e ij · g ijk

если я j k .

Для фиксированной вершины i 0 группа реберных путей Γ( i 0 ) определяется как подгруппа Γ, порожденная всеми произведениями

г 0 · е я 0 я 1 · г 1 · е я 1 я 2 · ··· · г n · е я п я 0

где i 0 , i 1 , ..., i n , i 0 — реберный путь, g k лежит в Γ i k и e ji = e ij −1 , если i j .

Развивающие комплексы

Симплициальное собственное действие дискретной группы Γ на симплициальный комплекс X с конечным фактором называется регулярным , если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий: [9]

Фундаментальная область и фактор Y = X /Γ в этом случае естественным образом могут быть идентифицированы как симплициальные комплексы, заданные стабилизаторами симплексов в фундаментальной области. Комплекс групп Y называется развивающимся, если он возникает таким образом.

Действие Γ на барицентрическое подразделение X ' пространства X всегда удовлетворяет следующему условию, более слабому, чем регулярность:

Действительно, симплексы в X ' соответствуют цепочкам симплексов в X , так что подсимплекс, заданный подцепями симплексов, однозначно определяется размерами симплексов в подцепи. Если действие удовлетворяет этому условию, то g обязательно фиксирует все вершины σ. Прямой индуктивный аргумент показывает, что такое действие становится регулярным на барицентрическом подразделении; в частности

На самом деле нет необходимости переходить к третьему барицентрическому подразделению: как замечает Хефлигер, используя язык теории категорий , в этом случае 3-скелет фундаментальной области X «уже несет все необходимые данные, включая переходные элементы для треугольников. – определить группу ребер и путей, изоморфную Γ.

В двух измерениях это особенно просто описать. Фундаментальная область X " имеет ту же структуру, что и барицентрическое подразделение Y ' комплекса групп Y , а именно:

Затем можно определить группу реберных путей. Подобную структуру наследует барицентрическое подразделение Z ', и его группа реберных путей изоморфна группе Z .

Орбиэдры

Если счетная дискретная группа действует регулярным симплициальным собственным действием на симплициальный комплекс , то фактору можно задать не только структуру комплекса групп, но и структуру орбипространства. В более общем смысле это приводит к определению «орбиэдра», симплициального аналога орбифолда.

Определение

Пусть X — конечный симплициальный комплекс с барицентрическим подразделением X '. Структура орбиэдра состоит из:

Это действие Γ i на L i ' продолжается до симплициального действия на симплициальном конусе C i над Li ' (симплициальное соединение i и Li ' ), фиксируя центр i конуса. Отображение φ i расширяется до симплициального отображения C i на звезду St( i ) i , перенося центр на i ; таким образом , φ i отождествляет C i / Γ i , фактор звезды i в Ci , с St( i ) и дает диаграмму орбиэдра в i .

Если i j k , то существует единственный переходный элемент g ijk в Γ k такой, что

g ijk ·ψ ik = ψ jk ·ψ ij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Ad g ijkf ik = f jk · f ij

а также соотношение коцикла

ψ км ( г ijk ) · г ikm знак равно г ijm · г jkm .

Основные свойства

Треугольники групп

Исторически одно из наиболее важных применений орбифолдов в геометрической теории групп было к треугольникам групп . Это простейший двумерный пример, обобщающий одномерный «интервал групп», обсуждавшийся в лекциях Серра о деревьях, где объединенные свободные произведения изучаются в терминах действий на деревьях. Такие треугольники групп возникают всякий раз, когда дискретная группа просто транзитивно действует на треугольники в аффинном здании Брюа–Титса для SL 3 ( Q p ); в 1979 году Мамфорд открыл первый пример для p = 2 (см. ниже) как этап создания алгебраической поверхности, не изоморфной проективному пространству , но имеющей те же числа Бетти . Треугольники групп были подробно разработаны Герстеном и Столлингсом, тогда как более общий случай комплексов групп, описанный выше, был независимо развит Хефлигером. Основной геометрический метод анализа конечно представленных групп в терминах метрических пространств неположительной кривизны принадлежит Громову. В этом контексте треугольники групп соответствуют двумерным симплициальным комплексам неположительной кривизны с регулярным действием группы, транзитивным на треугольниках .

Треугольник групп — это простой комплекс групп , состоящий из треугольника с вершинами A , B , C. Есть группы

Существуют инъективные гомоморфизмы группы Γ ABC во все остальные группы и группы ребер Γ XY в Γ X и Γ Y . Все три способа отображения Γ ABC в группу вершин совпадают. (Часто Γ ABC является тривиальной группой.) Евклидова метрическая структура в соответствующем орбипространстве является неположительной кривизной тогда и только тогда, когда связь каждой из вершин в диаграмме орбиэдра имеет обхват не менее 6.

Этот обхват в каждой вершине всегда четный и, как заметил Столлингс, может быть описан в вершине A , скажем, как длина наименьшего слова в ядре естественного гомоморфизма в Γ A объединенного свободного произведения над Γ ABC. групп ребер Γ AB и Γ AC :

Результат с использованием евклидовой метрической структуры не является оптимальным. Углы α, β, γ в вершинах A , B и C были определены Столлингсом как 2π, разделенные на обхват. В евклидовом случае α, β, γ ≤ π/3. Однако если требуется только, чтобы α + β + γ ≤ π, можно отождествить треугольник с соответствующим геодезическим треугольником в гиперболической плоскости с метрикой Пуанкаре (или евклидовой плоскости, если выполнено равенство). Классический результат гиперболической геометрии состоит в том, что гиперболические медианы пересекаются в гиперболическом барицентре [19] , как и в знакомом евклидовом случае. Барицентрическое подразделение и метрика из этой модели дают метрическую структуру неположительной кривизны в соответствующем орбипространстве. Таким образом, если α+β+γ≤π,

Пример Мамфорда

Самолет Фано

Пусть α = задано биномиальным разложением (1 − 8) 1/2 в Q 2 и положим K = Q ( α ) Q 2 . Позволять

ζ = exp 2 π i /7
λ = ( α − 1)/2 = ζ + ζ 2 + ζ 4
μ = λ / λ *.

Пусть E = Q ( ζ ), трехмерное векторное пространство над K с базисом 1, ζ и ζ 2 . Определим K -линейные операторы на E следующим образом:

Элементы ρ , σ и τ порождают дискретную подгруппу группы GL 3 ( K ), которая правильно действует на аффинном здании Брюа–Титса, соответствующем SL 3 ( Q 2 ). Эта группа действует транзитивно на все вершины, ребра и треугольники здания. Позволять

σ 1 знак равно σ , σ 2 знак равно ρσρ -1 , σ 3 знак равно ρ 2 σρ -2 .

Затем

Элементы σ и τ порождают стабилизатор вершины. Связь этой вершины можно отождествить со сферическим зданием SL 3 ( F 2 ), а стабилизатор можно отождествить с группой коллинеации плоскости Фано , порожденной 3-кратной симметрией σ, фиксирующей точку, и циклической перестановкой τ все 7 точек, удовлетворяющие στ = τ 2 σ . Отождествляя F 8 * с плоскостью Фано, σ можно считать ограничением автоморфизма Фробениуса σ ( x ) = x 22 F 8 и τ как умножение на любой элемент, не входящий в простое поле F 2 , т. е. порядок 7 генератор циклической мультипликативной группы F 8 . Эта группа Фробениуса действует просто транзитивно на 21 флаге плоскости Фано, т. е. прямых с отмеченными точками. Таким образом , формулы для σ и τ на E «поднимают» формулы на F 8 .

Мамфорд также получает действие, просто транзитивное на вершинах здания, переходя к подгруппе из Γ 1 = < ρ , σ , τ , − I >. Группа Γ 1 сохраняет Q ( α )-значную эрмитову форму

ж ( x , y ) = xy * + σ ( xy *) + σ 2 ( xy *)

на Q (ζ) и может быть отождествлен с U 3 (f) GL 3 ( S ), где S = Z [ α , 1/2]. Поскольку S /( α ) = F 7 , существует гомоморфизм группы Γ 1 в GL 3 ( F 7 ). Это действие оставляет инвариантным двумерное подпространство в F 7 3 и, следовательно, приводит к гомоморфизму Ψ группы Γ 1 в SL 2 ( F 7 ), группу порядка 16·3·7. С другой стороны, стабилизатор вершины является подгруппой порядка 21 и Ψ инъективен на этой подгруппе. Таким образом, если конгруэнц-подгруппа Γ 0 определена как прообраз относительно Ψ 2 - силовской подгруппы группы SL 2 ( F 7 ), то действие Γ 0 на вершинах должно быть просто транзитивным.

Обобщения

Другие примеры треугольников или двумерных комплексов групп можно построить путем вариаций приведенного выше примера.

Картрайт и др. рассмотрим действия над зданиями, которые просто транзитивны по вершинам . Каждое такое действие создает биекцию (или модифицированную двойственность) между точками x и прямыми x * в комплексе флагов конечной проективной плоскости и набором ориентированных треугольников точек ( x , y , z ), инвариантных относительно циклических перестановок, таких как что x лежит на z *, y лежит на x * и z лежит на y * и любые две точки однозначно определяют третью. Созданные группы имеют образующие x , помеченные точками, и отношения xyz = 1 для каждого треугольника. В общем случае эта конструкция не будет соответствовать действию на классическое аффинное здание.

В более общем смысле, как показали Баллманн и Брин, подобные алгебраические данные кодируют все действия, которые просто транзитивно выполняются над вершинами двумерного симплициального комплекса неположительной кривизны, при условии, что ссылка каждой вершины имеет обхват не менее 6. Эти данные состоят из из:

Элементы g в S обозначают вершины g · v в зацеплении фиксированной вершины v ; и отношения соответствуют ребрам ( g −1 · v , h · v ) в этой ссылке. Граф с вершинами S и ребрами ( g , h ) для g −1 h в S должен иметь обхват не менее 6. Исходный симплициальный комплекс можно восстановить с помощью комплексов групп и второго барицентрического подразделения.

Двудольный граф Хивуда

Дальнейшие примеры двумерных комплексов групп неположительной кривизны были построены Святковским на основе действий, просто транзитивных на ориентированных ребрах и индуцирующих трехмерную симметрию в каждом треугольнике; и в этом случае комплекс групп получается регулярным действием на второе барицентрическое подразделение. Самый простой пример, открытый ранее Баллманом, начинается с конечной группы H с симметричным набором образующих S , не содержащим единицы, такой, что соответствующий граф Кэли имеет обхват не менее 6. Соответствующая группа порождается H и инволюцией τ при условии (τg) 3 = 1 для каждого g в S .

В самом деле, если Γ действует таким образом, фиксируя ребро ( v , w ), существует инволюция τ, меняющая местами v и w . Ссылка v состоит из вершин g · w для g в симметричном подмножестве S множества H = Γ v , порождающем H , если ссылка связна. Из предположения о треугольниках следует, что

τ·( г · ш ) знак равно г −1 · ш

для g в S. ​Таким образом, если σ = τg и u = g 1 · w , то

σ( v ) знак равно ш , σ( ш ) знак равно ты , σ( ты ) знак равно ш .

Из простой транзитивности треугольника ( v , w , u ) следует, что σ3 = 1.

Второе барицентрическое подразделение дает комплекс групп, состоящих из одиночек или пар барицентрически подразделенных треугольников, соединенных большими сторонами: эти пары индексируются фактор-пространством S /~ , полученным путем идентификации обратных в S. Одиночные или «спаренные» треугольники, в свою очередь, соединяются одним общим «позвоночником». Все стабилизаторы симплексов тривиальны, за исключением двух вершин на концах позвоночника со стабилизаторами H и <τ> и остальных вершин больших треугольников со стабилизатором, порожденным соответствующим σ. Три меньших треугольника в каждом большом треугольнике содержат переходные элементы.

Когда все элементы S являются инволюциями, ни один из треугольников не нужно удваивать. Если в качестве H взять группу диэдра D7 порядка 14, порожденную инволюцией a и элементом b порядка 7 такой, что

аб знак равно б -1 а ,

тогда H порождается тремя инволюциями a , ab и ab 5 . Связь каждой вершины задается соответствующим графом Кэли, поэтому это просто двудольный граф Хивуда , т.е. точно такой же, как в аффинном построении для SL 3 ( Q 2 ). Эта структура связей подразумевает, что соответствующий симплициальный комплекс обязательно является евклидовым зданием . В настоящее время, однако, кажется неизвестным, может ли какой-либо из этих типов действий действительно быть реализован на классическом аффинном здании: группа Мамфорда Γ 1 (по модулю скаляров) просто транзитивна на ребрах, а не на ориентированных ребрах.

Двумерные орбифолды

Двумерные орбифолды имеют следующие три типа особых точек:

Компактный двумерный орбифолд имеет эйлерову характеристику , заданную формулой

,

где – эйлерова характеристика основного топологического многообразия , – порядки угловых отражателей, – порядки эллиптических точек.

Двумерный компактный связный орбифолд имеет гиперболическую структуру, если его эйлерова характеристика меньше 0, евклидову структуру, если она равна 0, и если его эйлерова характеристика положительна, он либо плох , либо имеет эллиптическую структуру (орбифолд называется плохим). если оно не имеет многообразия в качестве накрывающего пространства). Другими словами, его универсальное накрывающее пространство имеет гиперболическую, евклидову или сферическую структуру.

Компактные двумерные связные орбифолды, не являющиеся гиперболическими, перечислены в таблице ниже. 17 параболических орбифолдов представляют собой частное плоскости по 17 группам обоев .

3-мерные орбифолды

Трехмерное многообразие называется малым , если оно замкнуто, неприводимо и не содержит несжимаемых поверхностей.

Теорема об орбифолде. Пусть M — маленькое 3-многообразие. Пусть φ — нетривиальный периодический диффеоморфизм M , сохраняющий ориентацию . Тогда M допускает φ-инвариантную гиперболическую структуру или расслоенную структуру Зейферта.

Эта теорема является частным случаем теоремы Терстона об орбифолде, объявленной без доказательства в 1981 году; это является частью его гипотезы геометризации трехмерных многообразий . В частности, из этого следует, что если X — компактный, связный, ориентируемый, неприводимый, тороидальный 3-орбифолд с непустым сингулярным множеством, то M имеет геометрическую структуру (в смысле орбифолдов). Полное доказательство теоремы было опубликовано Буало, Леебом и Порти в 2005 году. [20]

Приложения

Орбифолды в теории струн

В теории струн слово «орбифолд» имеет несколько новое значение. Для математиков орбифолд — это обобщение понятия многообразия , допускающее наличие точек, окрестность которых диффеоморфна фактору Rn по конечной группе, т. е . Rn / Γ . В физике понятие орбифолда обычно описывает объект, который можно глобально записать как пространство орбит M / G , где M — многообразие (или теория), а G — группа его изометрий (или симметрий) — не обязательно все они. В теории струн эти симметрии не обязательно должны иметь геометрическую интерпретацию.

Квантовая теория поля , определенная на орбифолде, становится сингулярной вблизи неподвижных точек G . Однако теория струн требует от нас добавления новых частей гильбертова пространства замкнутых струн , а именно скрученных секторов, в которых поля, определенные на замкнутых струнах, являются периодическими с точностью до действия из G . Таким образом, орбифолдинг - это общая процедура теории струн, позволяющая вывести новую теорию струн из старой теории струн, в которой элементы G были отождествлены с тождеством. Такая процедура уменьшает количество состояний, поскольку состояния должны быть инвариантны относительно G , но также увеличивает количество состояний из-за дополнительных скрученных секторов. Результатом обычно является совершенно гладкая новая теория струн.

D-браны , распространяющиеся по орбифолдам, при низких энергиях описываются калибровочными теориями, определяемыми колчанными диаграммами . Открытые струны, прикрепленные к этим D-бранам, не имеют скрученного сектора, поэтому количество состояний открытой струны уменьшается с помощью процедуры орбифолдинга.

Более конкретно, когда группа орбифолдов G является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени, то, если она не имеет неподвижной точки, результатом обычно является компактное гладкое пространство; скрученный сектор состоит из замкнутых струн, намотанных вокруг компактного измерения, которые называются состояниями обмотки .

Когда группа орбифолдов G является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени и имеет неподвижные точки, то они обычно имеют конические особенности , потому что R n / Z k имеет такую ​​особенность в неподвижной точке Z k . В теории струн гравитационные сингулярности обычно являются признаком дополнительных степеней свободы , которые расположены в определенной точке пространства-времени. В случае орбифолда эти степени свободы представляют собой скрученные состояния, представляющие собой струны, «застрявшие» в фиксированных точках. Когда поля, связанные с этими закрученными состояниями, приобретают ненулевое вакуумное математическое ожидание , сингулярность деформируется, т.е. метрика изменяется и становится регулярной в этой точке и вокруг нее. Примером полученной геометрии является пространство-время Эгучи-Хэнсона .

С точки зрения D-бран в окрестности неподвижных точек эффективная теория открытых струн, прикрепленных к этим D-бранам, представляет собой суперсимметричную теорию поля, пространство вакуумов которой имеет особую точку, где имеются дополнительные безмассовые степени свобода существует. Поля, связанные с скрученным сектором замкнутой струны, соединяются с открытыми струнами таким образом, что к лагранжиану суперсимметричной теории поля добавляется член Файе – Илиопулоса, так что, когда такое поле приобретает ненулевое вакуумное математическое ожидание , – Член Илиопулоса ненулевой и тем самым деформирует теорию (т.е. изменяет ее) так, что сингулярность больше не существует [1], [2].

Многообразия Калаби – Яу

В теории суперструн [ 21] [22] построение реалистичных феноменологических моделей требует уменьшения размерностей, поскольку струны естественным образом распространяются в 10-мерном пространстве, в то время как наблюдаемая размерность пространства-времени Вселенной равна 4. Тем не менее формальные ограничения на теории наложить ограничения на компактифицированное пространство , в котором живут дополнительные «скрытые» переменные: при поиске реалистичных 4-мерных моделей с суперсимметрией вспомогательное компактифицированное пространство должно быть 6-мерным многообразием Калаби – Яу . [23]

Существует большое количество возможных многообразий Калаби – Яу (десятки тысяч), отсюда и использование термина « ландшафт » в современной литературе по теоретической физике для описания загадочного выбора. Общее исследование многообразий Калаби – Яу математически сложно, и долгое время примеры было трудно построить явно. Таким образом, орбифолды оказались очень полезными, поскольку они автоматически удовлетворяют ограничениям, налагаемым суперсимметрией. Они приводят примеры вырождения многообразий Калаби–Яу из-за их особых точек [24] , но это вполне приемлемо с точки зрения теоретической физики. Такие орбифолды называются «суперсимметричными»: их технически легче изучать, чем общие многообразия Калаби – Яу. Очень часто можно сопоставить непрерывное семейство неособых многообразий Калаби–Яу с сингулярным суперсимметричным орбифолдом. В 4 измерениях это можно проиллюстрировать с помощью сложных поверхностей K3 :

  • Каждая поверхность К3 допускает 16 циклов размерности 2, топологически эквивалентных обычным 2-сферам. При стремлении поверхности этих сфер к нулю на поверхности К3 появляется 16 особенностей. Этот предел представляет собой точку на границе пространства модулей поверхностей К3 и соответствует орбифолду, полученному факторизацией тора по симметрии инверсии.

Изучение многообразий Калаби – Яу в теории струн и двойственности между различными моделями теории струн (типа IIA и IIB) привело к идее зеркальной симметрии в 1988 году. На роль орбифолдов впервые указали Диксон, Харви, Вафа и Виттен примерно в то же время. [25]

Теория музыки

Помимо разнообразия и различных применений в математике и физике, орбифолды применялись в теории музыки , по крайней мере, еще в 1985 году в работах Гуэрино Маццолы [26] [27] , а затем Дмитрия Тимочко и его соавторов (Tymoczko 2006) и (Callender и Тимочко 2008) . [28] [29] Одна из статей Тимочко была первой статьей по теории музыки, опубликованной в журнале Science . [30] [31] [32] Маццола и Тимочко участвовали в дебатах относительно своих теорий, задокументированных в серии комментариев, доступных на их соответствующих веб-сайтах. [33] [34]

Анимированные срезы трехмерного орбифолда . Кусочки кубов, стоящих дыбом (их длинные диагонали перпендикулярны плоскости изображения), образуют цветные области Вороного (окрашенные в зависимости от типа аккорда), которые представляют собой трехнотные аккорды в их центрах с увеличенными трезвучиями в самом центре, окруженными мажорные и минорные трезвучия (лаймово-зеленый и темно-синий). Белые области представляют собой вырожденные трихорды (одна нота повторяется три раза), причем три линии (представляющие две ноты), соединяющие их центры, образуют стенки скрученной треугольной призмы, а двумерные плоскости, перпендикулярные плоскости изображения, действуют как зеркала.

Тимочко моделирует музыкальные аккорды, состоящие из n нот, которые не обязательно различны, как точки в орбифолде – пространстве n неупорядоченных точек (не обязательно различных) в круге, реализованном как частное n - тора (пространство n упорядоченные точки на окружности) симметричной группой (соответствующей переходу от упорядоченного множества к неупорядоченному множеству).

В музыкальном плане это объясняется следующим образом:

Для диад (два тона) это дает замкнутую ленту Мёбиуса ; для триад (три тона) это дает орбифолд, который можно описать как треугольную призму с верхней и нижней треугольными гранями, отождествляемыми с поворотом на 120 ° (1/3твист) – то же самое, что и полнотелый тор в трёх измерениях с поперечным сечением равностороннего треугольника и такой твист.

Полученный орбифолд естественным образом расслаивается повторяющимися тонами (собственно целочисленными разбиениями t ) – открытое множество состоит из различных тонов (разбиение ), тогда как существует одномерное сингулярное множество, состоящее из всех одинаковых тонов (разбиение ), топологически представляющий собой круг, и различные промежуточные перегородки. Также есть примечательный круг, проходящий через центр открытого множества, состоящего из равноотстоящих друг от друга точек. В случае триад три боковые грани призмы соответствуют двум одинаковым тонам и разным третьим (разделу ), а три ребра призмы соответствуют одномерному сингулярному множеству. Верхняя и нижняя грани являются частью открытого набора и появляются только потому, что орбифолд был разрезан — если рассматривать их как треугольный тор с поворотом, эти артефакты исчезают.

Тимочко утверждает, что аккорды, близкие к центру (с одинаковыми или почти одинаковыми тонами), составляют основу большей части традиционной западной гармонии, и что их визуализация таким образом помогает в анализе. В центре расположены 4 аккорда (равномерно распределенные по одинаковой темперации – интервал между тонами 4/4/4), соответствующие расширенным трезвучиям (считающимся музыкальными наборами ): C♯FA, DF♯A♯, D♯GB, и EG♯C (затем они чередуются: FAC♯ = C♯FA), при этом 12 мажорных аккордов и 12 минорных аккордов являются точками рядом с центром, но не в центре – почти равномерно, но не совсем. Мажорные аккорды соответствуют интервалу 4/3/5 (или, что эквивалентно, 5/4/3), а минорные аккорды соответствуют интервалу 3/4/5. Ключевые изменения тогда соответствуют движению между этими точками в орбифолде, причем более плавные изменения происходят за счет движения между соседними точками.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ аб Сатаке 1956.
  2. ^ Терстон 1978–1981, Глава 13.
  3. ^ Хэфлигер 1990.
  4. ^ Пуанкаре 1985.
  5. ^ Серр 1970.
  6. ^ Скотт 1983.
  7. ^ Бридсон и Хефлигер 1999.
  8. ^ Ди Франческо, Матье и Сенешаль 1997.
  9. ^ аб Бредон 1972.
  10. ^ Мурдейк, Ике (2002). Орбифолды как группоиды: введение. Орбифолды в математике и физике. Современная математика. Том. 310. Американское математическое общество . стр. 205–222. arXiv : математика/0203100 . ISBN 978-0-8218-2990-5.
  11. ^ Мурдейк, Ике ; Мркун, Янез (2003). Введение в слоения и группоиды Ли. Кембриджские исследования по высшей математике. Издательство Кембриджского университета . стр. 140–144. дои : 10.1017/cbo9780511615450. ISBN 978-0-521-83197-0.
  12. ^ Иглесиас-Земмур 2013.
  13. ^ Иглесиас, Каршон и Задка 2010.
  14. ^ Иглесиас и др. 2010, Теорема 46.
  15. ^ Хефлигер 1984.
  16. ^ Сатаке 1957, сноска, стр. 469.
  17. ^ Иглесиас и др. 2010, Пример 25.
  18. ^ Иглесиас-Земмур и Лафинёр, 2017.
  19. ^ Теорема о гиперболических медианах
  20. Общее введение в этот материал можно найти в заметках Питера Скотта 1983 года и в пояснениях Буало, Майо и Порти, а также Купера, Ходжсона и Керкхоффа.
  21. ^ М. Грин, Дж. Шварц и Э. Виттен, Теория суперструн , Vol. 1 и 2, издательство Кембриджского университета, 1987, ISBN 0521357527
  22. ^ Дж. Полчински, Теория струн , Том. 2, Издательство Кембриджского университета, 1999, ISBN 0-521-63304-4. 
  23. ^ П. Канделас, Лекции по комплексным многообразиям , * Триест, 1987, Proceedings, Superstrings '87 * 1-88, 1987.
  24. ^ Блюменхаген, Ральф; Люст, Дитер; Тайзен, Стефан (2012), Основные понятия теории струн, Теоретическая и математическая физика, Springer, стр. 487, Бибкод : 2013bcst.book.....B, ISBN 9783642294969Орбифолды можно рассматривать как сингулярные пределы гладких многообразий Калаби–Яу..
  25. ^ Диксон, Л.; Харви, Дж.А.; Вафа, К.; Виттен, Э. (1 января 1985 г.). «Струны на орбифолдах». Ядерная физика Б . 261 : 678–686. Бибкод : 1985NuPhB.261..678D. дои : 10.1016/0550-3213(85)90593-0. ISSN  0550-3213.
  26. ^ Маццола, Гуэрино (1985). Группы и категории в музыке: Entwurf einer mathematischen Musiktheorie. Хельдерманн. ISBN 978-3-88538-210-2. Проверено 26 февраля 2012 г.
  27. ^ Маццола, Гуэрино; Мюллер, Стефан (2002). Топос музыки: геометрическая логика понятий, теория и исполнение. Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-5731-3. Проверено 26 февраля 2012 г.
  28. ^ Дмитрий Тимочко, Геометрия музыки - ссылки на статьи и программное обеспечение для визуализации.
  29. ^ Пространство модулей аккордов: Дмитрий Тимочко о «Геометрии и музыке», пятница, 7 марта, 14:30, опубликовано 28 февраля 2008 г. - абстрактное обсуждение и математическое описание высокого уровня.
  30. ^ Майкл Д. Лемоник, Геометрия музыки, время , 26 января 2007 г.
  31. Элизабет Гудрайс, Mapping Music, Harvard Magazine, январь/февраль 2007 г.
  32. ^ Тони Филлипс, Взгляд Тони Филлипса на математику в средствах массовой информации, Американское математическое общество , октябрь 2006 г.
  33. ^ Агустин-Акино, Октавио Альберто; Маццола, Гуэрино (14 июня 2011 г.). «О критике Д. Тимочко теории контрапункта Маццолы» (PDF) .
  34. ^ Тимочко, Дмитрий. «Теория контрапункта Маццолы» (PDF) .

Рекомендации