Лемма Ито

Тождество в исчислении Ито, аналогичное цепному правилу

В математике лемма Ито или формула Ито (также называемая формулой Ито-Дёблина , особенно во французской литературе) — это тождество , используемое в исчислении Ито для нахождения дифференциала зависящей от времени функции случайного процесса . Оно служит аналогом цепного правила в стохастическом исчислении . Его можно получить эвристически, разложив функцию в ряд Тейлора до ее вторых производных и сохранив члены до первого порядка по приращению времени и второго порядка по приращению винеровского процесса . Лемма широко используется в математических финансах , и ее наиболее известное применение связано с выводом уравнения Блэка-Шоулза для стоимости опционов.

Киёси Ито опубликовал доказательство формулы в 1951 году. ^[1]

Мотивация

Предположим, нам дано стохастическое дифференциальное уравнение

$${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},}$$

B _tвинеровский процесс ${\displaystyle \mu _{t},\sigma _{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle B_{t}.}$

$${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.}$$

Это выражение позволяет нам легко считать среднее значение и дисперсию (которая не имеет высших моментов). Во-первых, обратите внимание, что среднее значение каждого индивидуально равно 0, поэтому ожидаемое значение — это просто интеграл функции дрейфа: ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$

$${\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}$$

Аналогичным образом, поскольку термины имеют дисперсию 1 и не коррелируют друг с другом, дисперсия представляет собой просто интеграл дисперсии каждого бесконечно малого шага случайного блуждания: ${\displaystyle dB}$ ${\displaystyle X_{t}}$

$${\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}$$

Однако иногда мы сталкиваемся со стохастическим дифференциальным уравнением более сложного процесса, в котором процесс появляется по обе стороны дифференциального уравнения. То есть, скажем ${\displaystyle Y_{t},}$

$${\displaystyle dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},}$$

${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}.}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle f(t,x),\mu _{t},}$ ${\displaystyle \sigma _{t},}$ ${\displaystyle Y_{t}=f(t,X_{t})}$ ${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.}$

Неофициальный вывод

Формальное доказательство леммы основано на пределе последовательности случайных величин. Здесь этот подход не представлен, поскольку он включает в себя ряд технических деталей. Вместо этого мы даем набросок того, как можно вывести лемму Ито, разложив ряд Тейлора и применив правила стохастического исчисления.

Предположим, что X _t представляет собой процесс дрейфа-диффузии Ито , который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},}$

где B _t — винеровский процесс .

Если f ( t , x ) дважды дифференцируемая скалярная функция, ее разложение в ряд Тейлора равно

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,dt^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,dx^{2}+\cdots .}$

Замена X _t на x и, следовательно, µ _t  dt + σ _t  dB _t на dx дает

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,dt^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x}}(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,(dt)^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,(dB_{t})^{2}\right)+\cdots .}$

В пределе dt → 0 члены dt ² и dt dB _t стремятся к нулю быстрее, чем dB ² , что равно O ( dt ) . Приравнивая члены dt ² и dt dB _t к нулю, заменяя dt на дБ ² (из-за квадратичного изменения винеровского процесса ) и собирая члены dt и dB , мы получаем

${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}}$

как требуется.

Геометрическая интуиция

Когда является гауссовской случайной величиной, она также является приблизительно гауссовской случайной величиной, но ее среднее значение отличается от коэффициента, пропорционального и дисперсии . ${\displaystyle X_{t+dt}}$ ${\displaystyle f(X_{t+dt})}$ ${\displaystyle E[f(X_{t+dt})]}$ ${\displaystyle f(E[X_{t+dt}])}$ ${\displaystyle f''(E[X_{t+dt}])}$ ${\displaystyle X_{t+dt}}$

Предположим, мы знаем, что это две совместно распределенные по Гауссу случайные величины, которые нелинейны, но имеют непрерывную вторую производную, тогда, в общем, ни одна из них не является гауссовой, и их совместное распределение также не является гауссовским. Однако, поскольку это гауссово, мы все равно можем обнаружить, что оно гауссово. Это неверно, когда оно конечно, но когда оно становится бесконечно малым, это становится истиной. ${\displaystyle X_{t},X_{t+dt}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X_{t}),f(X_{t+dt})}$ ${\displaystyle X_{t+dt}\mid X_{t}}$ ${\displaystyle f(X_{t+dt})\mid f(X_{t})}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle dt}$

Ключевая идея заключается в том, что есть детерминированная часть и шумная часть. Когда нелинейно, шумная часть имеет детерминированный вклад. Если выпукло, то детерминированный вклад положителен (по неравенству Йенсена ). ${\displaystyle X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+dW_{t}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Чтобы узнать, насколько велик вклад, запишем , где – стандартная гауссиана, затем выполним разложение Тейлора. ${\displaystyle X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t+dt})&=f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})(\sigma _{t}^{2}z^{2}\,dt+2\mu _{t}\sigma _{t}z\,dt^{3/2}+\mu _{t}^{2}dt^{2})+o(dt)\\&=\left(f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+o(dt)\right)+\left(f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}(z^{2}-1)\,dt+o(dt)\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle dt\to 0}$ ${\displaystyle f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt}$

Чтобы понять, почему должен быть вклад из-за выпуклости, рассмотрим простейший случай геометрического броуновского блуждания (на фондовом рынке): . Другими словами, . Пусть тогда , и является броуновским блужданием. Однако, хотя ожидание остается постоянным, ожидание растет. Интуитивно это происходит потому, что отрицательная сторона ограничена нулем, а потенциал роста не ограничен. То есть, несмотря на нормальное распределение, оно имеет логарифмически нормальное распределение . ${\displaystyle S_{t+dt}=S_{t}(1+dB_{t})}$ ${\displaystyle d(\ln S_{t})=dB_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}=\ln S_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}=e^{X_{t}}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$

Математическая формулировка леммы Ито.

В следующих подразделах мы обсуждаем варианты леммы Ито для различных типов случайных процессов.

Процессы дрейфа-диффузии Ито (обусловлены: Кунита – Ватанабэ)

В своей простейшей форме лемма Ито утверждает следующее: для процесса дрейфа-диффузии Ито

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$

и любая дважды дифференцируемая скалярная функция f ( t , x ) двух действительных переменных t и x имеет

${\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}$

Это сразу означает, что f ( t , X _t ) сам по себе является процессом дрейфа-диффузии Ито.

В более высоких измерениях if - вектор процессов Ито такой, что ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}}$

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}}$

для вектора и матрицы лемма Ито утверждает, что ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{t}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\[4pt]&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}$

где — градиент f относительно X , H _X f — матрица Гессе f относительно X , а Tr — оператор следа . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }f}$

Пуассоновские скачкообразные процессы

Мы также можем определить функции разрывных случайных процессов.

Пусть h — интенсивность прыжка. Модель процесса Пуассона для скачков заключается в том, что вероятность одного скачка в интервале [ t , t + Δ t ] равна h Δ t плюс члены более высокого порядка. h может быть константой, детерминированной функцией времени или случайным процессом. Вероятность выживания p _s ( t ) — это вероятность того, что в интервале [0, t ] не произошло никакого скачка . Изменение вероятности выживания равно

${\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.}$

Так

${\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).}$

Пусть S ( t ) — разрывный случайный процесс. Запишите значение S при приближении к t слева. Запишите небесконечно малое изменение S ( t ) в результате скачка. Затем ${\displaystyle S(t^{-})}$ ${\displaystyle d_{j}S(t)}$

${\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))}$

Пусть z будет величиной скачка и пусть будет распределением z . Ожидаемая величина скачка равна ${\displaystyle \eta (S(t^{-}),z)}$

${\displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}$

Определим компенсированный процесс и мартингейл как ${\displaystyle dJ_{S}(t)}$

${\displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-\left(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta \left(S(t^{-}),z\right)\,dz\right)\,dt.}$

Затем

${\displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))\left(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz\right)dt+dJ_{S}(t).}$

Рассмотрим функцию скачкообразного процесса dS ( t ) . Если S ( t ) прыгает на Δs , то g ( t ) прыгает на Δg . Δg рассчитывается из распределения , которое может зависеть от , dg и . Прыжковая часть ${\displaystyle g(S(t),t)}$ ${\displaystyle \eta _{g}()}$ ${\displaystyle g(t^{-})}$ ${\displaystyle S(t^{-})}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(t)-g(t^{-})=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).}$

Если содержит части дрейфа, диффузии и скачка, то лемма Ито для равна ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g(S(t),t)}$

${\displaystyle dg(t)=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}\left(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g\right)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).}$

Лемма Ито для процесса, который представляет собой сумму процесса дрейфа-диффузии и скачкообразного процесса, представляет собой просто сумму леммы Ито для отдельных частей.

Ненепрерывные семимартингалы

Лемма Ито также может быть применена к общим d -мерным семимартингалам , которые не обязательно должны быть непрерывными. В общем, семимартингал — это процесс кадлага , и в формулу необходимо добавить дополнительный член, чтобы гарантировать, что скачки процесса правильно определяются леммой Ито. Для любого процесса cadlag Y _t левый предел в t обозначается Y _t− , который является непрерывным слева процессом. Скачки записываются как Δ Y _t = Y _t − Y _t− . Тогда лемма Ито утверждает, что если X = ( X ¹ , X ² , ..., X ^d ) является d -мерным семимартингалом и f является дважды непрерывно дифференцируемой вещественнозначной функцией на R ^d , то f ( X ) является семимартингалом , и

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})&=f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&\qquad +\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}$

Она отличается от формулы для непрерывных семимартингалов дополнительным членом, суммирующим по скачкам X , что гарантирует, что скачок правой части в момент времени t равен Δ f ( X _t ).

Множественные прерывистые переходные процессы

^{[ нужна цитация ]} Существует также версия этого для дважды непрерывно дифференцируемой в пространстве один раз во времени функции f, оцениваемой в (потенциально различных) прерывистых полумартингалах, которую можно записать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t,X_{t}^{1},\ldots ,X_{t}^{d})={}&f(0,X_{0}^{1},\ldots ,X_{0}^{d})+\int _{0}^{t}{\dot {f}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})d{s}\\&{}+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i)}\\&{}+{\frac {1}{2}}\sum _{i_{1},\ldots ,i_{d}=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i_{1},\ldots ,i_{d}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i_{1})}\cdots X_{s}^{(c,i_{d})}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left[f(s,X_{s}^{1},\ldots ,X_{s}^{d})-f({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\right]\end{aligned}}}$

где обозначает непрерывную часть i - го семимартингала. ${\displaystyle X^{c,i}}$

Примеры

Геометрическое броуновское движение

Говорят , что процесс S следует геометрическому броуновскому движению с постоянной волатильностью σ и постоянным дрейфом µ , если он удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению для броуновского движения B. Применение леммы Ито с дает ${\displaystyle dS_{t}=\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt}$ ${\displaystyle f(S_{t})=\log(S_{t})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}df&=f^{\prime }(S_{t})\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S_{t})(dS_{t})^{2}\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}(-S_{t}^{-2})(S_{t}^{2}\sigma ^{2}\,dt)\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\left(\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[4pt]&=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Следует, что

${\displaystyle \log(S_{t})=\log(S_{0})+\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t,}$

возведение в степень дает выражение для S ,

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t\right).}$

Срок коррекции —σ ²/2соответствует разнице между медианой и средним логарифмически нормальным распределением или, что эквивалентно для этого распределения, среднему геометрическому и среднему арифметическому, причем медиана (среднее геометрическое) ниже. Это связано с неравенством AM – GM и соответствует вогнутости логарифма (или выпуклости вверх), поэтому поправочный член соответственно можно интерпретировать как поправку на выпуклость . Это бесконечно малая версия того факта, что годовая доходность меньше средней доходности, причем разница пропорциональна дисперсии. См. геометрические моменты логнормального распределения для дальнейшего обсуждения.

Тот же факторσ ²/2появляется во вспомогательных переменных d ₁ и d ₂ формулы Блэка-Шоулза и может интерпретироваться как следствие леммы Ито.

Экспонента Долеана-Дада

Экспонента Долеана -Дейда (или стохастическая экспонента) непрерывного семимартингала X может быть определена как решение СДУ dY = Y dX с начальным условием Y ₀ = 1 . Иногда его обозначают Ɛ( X ) . Применение леммы Ито с f ( Y ) = log( Y ) дает

${\displaystyle {\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}\,dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}\,d[Y]\\[6pt]&=dX-{\tfrac {1}{2}}\,d[X].\end{aligned}}}$

Возведение в степень дает решение

${\displaystyle Y_{t}=\exp \left(X_{t}-X_{0}-{\tfrac {1}{2}}[X]_{t}\right).}$

Формула Блэка – Шоулза

Лемму Ито можно использовать для вывода уравнения Блэка-Шоулза для опциона . ^[2] Предположим, что цена акции следует геометрическому броуновскому движению , заданному стохастическим дифференциальным уравнением dS = S ( σdB + µ dt ) . Тогда, если стоимость опциона в момент времени t равна f ( t , S _t ), лемма Ито дает

${\displaystyle df(t,S_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left(S_{t}\sigma \right)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}$

Термин∂ ж/∂ С dS представляет собой изменение стоимости во времени dt торговой стратегии, состоящей из удержания суммы∂ ж/∂ Сзапаса. Если следовать этой торговой стратегии и предполагается, что любые имеющиеся денежные средства будут расти по безрисковой ставке r , то общая стоимость V этого портфеля удовлетворяет SDE.

${\displaystyle dV_{t}=r\left(V_{t}-{\frac {\partial f}{\partial S}}S_{t}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}$

Эта стратегия повторяет вариант, если V = f ( t , S ). Объединение этих уравнений дает знаменитое уравнение Блэка – Шоулза.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\sigma ^{2}S^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0.}$

Правило продукта для процессов Itô

Пусть это двумерный процесс Ито с СДУ: ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}=d{\begin{pmatrix}X_{t}^{1}\\X_{t}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}dt+{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\,dB_{t}}$

Тогда мы можем использовать многомерную форму леммы Ито, чтобы найти выражение для . ${\displaystyle d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})}$

У нас есть и . ${\displaystyle \mu _{t}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}}$

Мы устанавливаем и наблюдаем, что и ${\displaystyle f(t,\mathbf {X} _{t})=X_{t}^{1}X_{t}^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0,\ (\nabla _{\mathbf {X} }f)^{T}=(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1})}$ ${\displaystyle H_{\mathbf {X} }f={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Подстановка этих значений в многомерную версию леммы дает нам:

${\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=df(t,\mathbf {X} _{t})\\&=0\cdot dt+(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1})\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}(dX_{t}^{1}\ \ dX_{t}^{2}){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dX_{t}^{1}\\dX_{t}^{2}\end{pmatrix}}\\&=X_{t}^{2}\,dX_{t}^{1}+X_{t}^{1}dX_{t}^{2}+dX_{t}^{1}\,dX_{t}^{2}\end{aligned}}}$

Это обобщение правила произведения Лейбница на недифференцируемые процессы Ито.

Кроме того, использование второй формы многомерной версии, приведенной выше, дает нам

${\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=\left\{0+(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1}){\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[(\sigma _{t}^{1}\ \ \sigma _{t}^{2}){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\right]\right\}\,dt+(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2})\,dB_{t}\\[5pt]&=\left(X_{t}^{2}\mu _{t}^{1}+X_{t}^{1}\mu _{t}^{2}+\sigma _{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)\,dt+(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2})\,dB_{t}\end{aligned}}}$

Итак, мы видим, что продукт сам по себе представляет собой процесс дрейфа-диффузии Ито . ${\displaystyle X_{t}^{1}X_{t}^{2}}$

Формула Ито для функций с конечной квадратичной вариацией

Идея Ханса Фёлльмера заключалась в том, чтобы распространить формулу Ито на функции с конечной квадратичной вариацией. ^[3]

Пусть – вещественная функция и функция RCLL с конечной квадратичной вариацией. Затем ${\displaystyle f\in C^{2}}$ ${\displaystyle x:[0,\infty ]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})={}&f(x_{0})+\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{]0,t]}f''(x_{s-})\,d[x,x]_{s}\\&+\sum _{0\leq s\leq t}\left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s}-{\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^{2})\right).\end{aligned}}}$

Бесконечномерные формулы

Существует несколько расширений бесконечномерных пространств (например, Парду, ^[4] Дьёндь-Крылов, ^[5] Бжезняк-ван Неервен-Вераар-Вейс ^[6] ).

Смотрите также

• Винеровский процесс
• исчисление Ито
• Формула Фейнмана – Каца
• Метод Эйлера-Маруямы

Примечания

1. Ито, Киёси (1951). «О формуле, касающейся стохастических дифференциалов». Нагойская математика. Дж . 3 : 55–65.
2. Маллиарис, AG (1982). Стохастические методы в экономике и финансах. Нью-Йорк: Северная Голландия. стр. 220–223. ISBN 0-444-86201-3.
3. Фёлльмер, Ганс (1981). «Расчет без вероятностей». Семинар вероятностей в Страсбурге . 15 : 143–144.
4. Парду, Этьен (1974). «Уравнения aux dérivées partielles стохастических типов монотонного типа». Семинар Жан Лере (3).
5. Дьёндь, Иштван; Крылов Николай Владим Владимирович (1981). «Формула Ито в банаховых пространствах». В М. Арато; Д. Вермес, Д.; А. В. Балакришнан (ред.). Стохастические дифференциальные системы . Том. 36. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. дои : 10.1007/BFb0006409.
6. Бжезняк, Здзислав; ван Неервен, Ян МАМ; Вераар, Марк С.; Вайс, Лутц (2008). «Формула Ито в банаховых пространствах UMD и регулярность решений уравнения Закаи». Журнал дифференциальных уравнений . 245 (1).

Рекомендации

• Кийоси Ито (1944). Стохастический интеграл. Учеб. Императорский акад. Токио 20 , 519–524. Это статья с формулой Ито; В сети
• Кийоси Ито (1951). О стохастических дифференциальных уравнениях. Мемуары, Американское математическое общество 4 , 1–51. В сети
• Бернт Оксендал (2000). Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в приложения , 5-е издание, исправленное 2-е издание. Спрингер. ISBN 3-540-63720-6 . Разделы 4.1 и 4.2. 
• Филип Э. Проттер (2005). Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения , 2-е издание. Спрингер. ISBN 3-662-10061-4 . Раздел 2.7. 

Внешние ссылки

• Вывод, профессор Тайер Уоткинс
• Неофициальное доказательство, optiontutor