Отношение (математика)

В математике отношение обозначает некоторый вид отношения между двумя объектами в наборе , который может иметь место или не иметь его. ^[1] Например, « меньше чем » — это отношение на множестве натуральных чисел ; оно имеет место, например, между значениями $1$ и $3$ (обозначается как $1 < 3$ ), а также между $3$ и $4$ (обозначается как $3 < 4$ ), но не между значениями $3$ и $1$ или между $4$ и $4$ , то есть $3 < 1$ и $4 < 4$ оба оцениваются как ложные. Другой пример: « является сестрой » — это отношение на множестве всех людей, оно имеет место, например, между Марией Кюри и Брониславой Длуской , и наоборот. Члены множества могут не находиться в отношении «в определенной степени» — они либо находятся в отношении, либо нет.

Формально отношение $R$ над множеством $X$ можно рассматривать как множество упорядоченных пар $(x, y)$ элементов $X$ . ^[2] Отношение $R$ выполняется между $x$ и $y ,$ если $(x, y)$ является элементом $R$ . Например, отношение « меньше чем » на натуральных числах — это бесконечное множество $R меньше$ пар натуральных чисел, которое содержит как $(1,3)$ , так и $(3,4)$ , но ни $(3,1)$ , ни $(4,4)$ . Отношение « является нетривиальным делителем » на множестве однозначных натуральных чисел достаточно мало, чтобы его можно было показать здесь: $R$ $dv$ $= { (2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (3,9), (4,8)$ } ; например, $2$ является нетривиальным делителем $8$ , но не наоборот, следовательно, $(2,8) \in$ $R$ $dv$ , но $(8,2) \notin$ $R$ $dv$ .

Если $R$ — это отношение, которое выполняется для $x$ и $y,$ то часто пишут $xRy$ . Для большинства общих отношений в математике вводятся специальные символы, такие как " $<$ " для "меньше , чем" и " $|$ " для "является нетривиальным делителем" и, наиболее популярный " $=$ " для "равно" . Например, " $1 < 3$ ", " $1$ меньше, чем $3$ " и " $(1,3) \in R меньше$ " означают одно и то же; некоторые авторы также пишут " $(1,3) \in (<)$ ".

Исследуются различные свойства отношений. Отношение $R$ является рефлексивным, если $xRx$ выполняется для всех $x$ , и иррефлексивным, если $xRx$ выполняется ни для одного $x$ . Оно симметрично, если $xRy$ всегда подразумевает $yRx$ , и асимметрично, если $xRy$ подразумевает, что $yRx$ невозможно. Оно транзитивно, если $xRy$ и $yRz$ всегда подразумевают $xRz$ . Например, « is less than » является иррефлексивным, асимметричным и транзитивным, но не рефлексивным и не симметричным. « is sister of » является транзитивным, но не рефлексивным (например, Пьер Кюри не является сестрой самого себя), не симметричным и не асимметричным; в то время как быть иррефлексивным или нет может быть вопросом определения (каждая женщина является сестрой самой себя?), « is dector of » является транзитивным, а « is parent of » — нет. Известны математические теоремы о комбинациях свойств отношений, таких как «транзитивное отношение является иррефлексивным тогда и только тогда, когда оно асимметрично».

Особое значение имеют отношения, которые удовлетворяют определенным комбинациям свойств. Частичный порядок — это отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, ^[3]отношение эквивалентности — это отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным, ^[4] функция — это отношение , которое является право-уникальным и лево-тотальным (см. ниже). ^[5]^[6]

Поскольку отношения являются множествами, ими можно манипулировать с помощью операций над множествами, включая объединение , пересечение и дополнение , что приводит к алгебре множеств . Кроме того, исчисление отношений включает операции взятия обратного и составления отношений . ^[7]^[8]^[9]

Вышеуказанное понятие отношения ^[a] было обобщено для признания отношений между членами двух различных множеств ( гетерогенное отношение , например, « лежит на » между множеством всех точек и множеством всех прямых в геометрии), отношений между тремя или более множествами ( финитное отношение , например, «человек $x$ живет в городе $y$ в момент времени $z$ » ) и отношений между классами ^[b] (например, « является элементом » в классе всех множеств, см. Бинарное отношение § Множества и классы ).

Определение

Для заданного множества $X$ отношение $R$ над $X$ — это множество упорядоченных пар элементов из $X$ , формально: $R \subseteq { (x, y) | x, y \in X}$ . ^[2]^[10]

Утверждение $(x, y) \in R$ читается как « $x$ является $R$ -связанным с $y$ » и записывается в инфиксной нотации как $xRy$ . ^[7]^[8] Порядок элементов важен; если $x \neq y ,$ то $yRx$ может быть истинным или ложным независимо от $xRy$ . Например, $3$ делит $9$ , но $9$ не делит $3$ .

Представление отношений

Отношение $R$ на конечном множестве $X$ можно представить как:

Направленный граф : каждый элемент $X$ соответствует вершине; направленное ребро из $x$ в $y$ существует тогда и только тогда, когда ( $x, y) \in R.$
Булева матрица : элементы $X$ расположены в некоторой фиксированной последовательности $x 1$ , ..., $x n$ ; матрица имеет размеры $n \times n$ , причем элемент в строке $i$ и столбце $j$ равен, если $(x i, x j) \in R$ , и, в противном случае.
Двумерный график : как обобщение булевой матрицы, отношение на бесконечном множестве $R$ действительных чисел можно представить в виде двумерной геометрической фигуры: используя декартовы координаты , нарисуйте точку в точке $(x, y)$ , когда $(x, y$ ) $\in$ $R.$

Транзитивное ^[c] отношение $R$ на конечном множестве $X$ может быть также представлено как

Диаграмма Хассе : Каждый член $X$ соответствует вершине; направленные ребра рисуются таким образом, что направленный путь из $x$ в $y$ существует тогда и только тогда, когда $(x, y) \in R$ . По сравнению с представлением в виде направленного графа, диаграмма Хассе требует меньше ребер, что приводит к менее запутанному изображению. Поскольку отношение « существует направленный путь из $x$ в $y$ » является транзитивным, в диаграммах Хассе могут быть представлены только транзитивные отношения. Обычно диаграмма размечается таким образом, что все ребра указывают в направлении вверх, а стрелки опускаются.

Например, на множестве всех делителей числа $12$ определим отношение $R div$ следующим образом:

x R div y,

если

x

является делителем

y

x \neq y

Формально, $X = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }$ и $R div = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (1,12), (2,4), (2,6), (2,12), (3,6), (3,12), (4,12), (6,12) }$ . Представление $R div$ в виде булевой матрицы показано в средней таблице; представление в виде диаграммы Хассе и в виде ориентированного графа показано на левом рисунке.

Следующие значения эквивалентны:

$x R div y$ верно.
$(x, y) \in R div$ .
Путь от $x$ к $y$ существует на диаграмме Хассе, представляющей $R div$ .
Ребро от $x$ до $y$ существует в ориентированном графе, представляющем $R div$ .
В булевой матрице, представляющей $R div$ , элемент в строке $x$ , столбце $y$ равен "".

В качестве другого примера определим отношение $R el$ к $R$ следующим образом:

x R e l y,

если

x 2 + xy + y 2 = 1

Представление $R el$ в виде 2D-графика дает эллипс, см. правую картинку. Поскольку $R$ не является конечным, ни ориентированный граф, ни конечная булева матрица, ни диаграмма Хассе не могут быть использованы для изображения $R el$ .

Свойства отношений

Некоторые важные свойства, которыми может обладать отношение $R$ над множеством $X$ :

Рефлексивный: для всех $x \in X$ , $xRx$ . Например, $\geq$ является рефлексивным отношением, а $>$ — нет.

Иррефлексивный (или строгий ): для всех $x \in X$ , а не $xRx$ . Например, $>$ является иррефлексивным отношением, а $\geq$ — нет.

Предыдущие 2 альтернативы не являются исчерпывающими; например, красное отношение $y = x 2 ,$ приведенное на диаграмме ниже, не является ни иррефлексивным, ни рефлексивным, поскольку оно содержит пару $(0,0)$ , но не $(2,2)$ соответственно.

Симметричный: для всех $x, y \in X$ , если $xRy$ , то $yRx$ . Например, «является кровным родственником» является симметричным отношением, поскольку $x$ является кровным родственником $y$ тогда и только тогда, когда $y$ является кровным родственником $x$ .

Антисимметричный: для всех $x, y \in X$ , если $xRy$ и $yRx$ , то $x = y$ . Например, $\geq$ является антисимметричным отношением; так же как и $>$ , но бессодержательно (условие в определении всегда ложно). ^[11]

Асимметричный: для всех $x, y \in X$ , если $xRy$ , то не $yRx$ . Отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно одновременно антисимметрично и иррефлексивно. ^[12] Например, $>$ является асимметричным отношением, но $\geq$ — нет.

Опять же, предыдущие 3 альтернативы далеки от исчерпывающего рассмотрения; в качестве примера для натуральных чисел можно привести отношение $xRy$ , определяемое соотношением $x > 2,$ которое не является ни симметричным (например, $5 R 1$ , но не $1 R 5$ ), ни антисимметричным (например, $6 R 4$ , но также и $4 R 6$ ), не говоря уже о том, что оно асимметрично.

Переходный: для всех $x, y, z \in X$ , если $xRy$ и $yRz$ , то $xRz$ . Транзитивное отношение является иррефлексивным тогда и только тогда, когда оно асимметрично. ^[13] Например, «является предком» является транзитивным отношением, тогда как «является родителем» — нет.

Подключен: для всех $x, y \in X$ , если $x \neq y ,$ то $xRy$ или $yRx$ . Например, в натуральных числах $<$ связно, а " является делителем " - нет (например, ни $5 R 7$ , ни $7 R 5$ ).

Сильно связаны: для всех $x, y \in X$ , $xRy$ или $yRx$ . Например, на натуральных числах $\leq$ сильно связно, а $< —$ нет. Отношение сильно связно тогда и только тогда, когда оно связно и рефлексивно.

Свойства уникальности:

Инъективный ^[d] (также называемый лево-уникальным ^[14] ): Для всех $x, y, z \in X$ , если $xRy$ и $zRy$ , то $x = z$ . Например, зеленые и синие отношения на диаграмме инъективны, но красное — нет (поскольку оно связывает и $-1$ , и $1$ с $1$ ), как и черное — нет (поскольку оно связывает и $-1$ , и $1$ с $0$ ).
Функциональный ^[15]^[16]^[17]^[d] (также называемый право-уникальным , ^[14] право-определенным ^[18] или унивалентным ^[9] ): Для всех $x, y, z \in X$ , если $xRy$ и $xRz ,$ то $y = z$ . Такое отношение называется частичной функцией . Например, красное и зеленое отношения на диаграмме являются функциональными, но синее — нет (поскольку оно связывает $1$ как с $-1,$ так и с $1$ ), как и черное (поскольку оно связывает 0 как с −1, так и с 1).

Свойства совокупности:

Последовательный^[d] (также называется тотальным или лево-тотальным ): Для всех $x \in X$ существует некоторый $y \in X$ такой, что $xRy$ . Такое отношение называется многозначной функцией . Например, красные и зеленые отношения на диаграмме являются общими, но синее отношение не является таковым (поскольку оно не связывает $-1$ ни с каким действительным числом), как и черное отношение (поскольку оно не связывает $2$ ни с каким действительным числом). В качестве другого примера, $>$ является последовательным отношением над целыми числами. Но это не последовательное отношение над положительными целыми числами, потому что в положительных целых числах нет $y$ такого, что $1 > y$ . ^[19] Однако $<$ является последовательным отношением над положительными целыми числами, рациональными числами и действительными числами. Каждое рефлексивное отношение является последовательным: для данного $x$ выберите $y = x$ .

Сюръективный ^[d] (также называется право-тотальным ^[14] или on ): Для всех $y \in Y$ существует $x \in X$ такой, что $xRy$ . Например, зеленые и синие отношения на диаграмме сюръективны, но красное — нет (поскольку оно не связывает ни одно действительное число с $-1$ ), как и черное (поскольку оно не связывает ни одно действительное число с $2$ ).

Комбинации свойств

Отношения, которые удовлетворяют определенным комбинациям вышеуказанных свойств, особенно полезны и поэтому получили собственные названия.

Отношение эквивалентности: Отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Это также отношение, которое является симметричным, транзитивным и последовательным, поскольку эти свойства подразумевают рефлексивность.

Заказы:

Частичный заказ: Отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Строгий частичный порядок: Отношение, которое является иррефлексивным, асимметричным и транзитивным.

Общий заказ: Отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным, транзитивным и связанным. ^[20]

Строгий общий порядок: Отношение, которое является иррефлексивным, асимметричным, транзитивным и связанным.

Свойства уникальности:

Один на один ^[d]: Инъективное и функциональное. Например, зеленое отношение на диаграмме является отношением один к одному, а красное, синее и черное — нет.
Один-ко-многим ^[d]: Инъективное и не функциональное. Например, синее отношение на диаграмме — один ко многим, а красное, зеленое и черное — нет.
Многие-к-одному ^[d]: Функциональное и неинъективное. Например, красное отношение на диаграмме — отношение «многие к одному», а зеленое, синее и черное — нет.
Многие-ко-многим ^[d]: Не инъективно и не функционально. Например, черное отношение на диаграмме — многие-ко-многим, а красное, зеленое и синее — нет.

Свойства уникальности и тотальности:

Функция ^[d]: Отношение, которое является функциональным и тотальным. Например, красные и зеленые отношения на диаграмме являются функциями, а синие и черные — нет.
Инъекция ^[d]: Функция, которая является инъекцией. Например, зеленое отношение на диаграмме является инъекцией, а красное, синее и черное — нет.
Сюръекция ^[d]: Функция, которая является сюръективной. Например, зеленое отношение на диаграмме является сюръекцией, а красное, синее и черное — нет.
Биекция ^[d]: Функция, которая является инъективной и сюръективной. Например, зеленое отношение на диаграмме является биекцией, а красное, синее и черное — нет.

Операции над отношениями

Союз ^[э]: Если $R$ и $S$ являются отношениями над $X,$ то $R \cup S = { (x, y) | xRy или xSy}$ является отношением объединения $R$ и $S$ . Элементом тождества этой операции является пустое отношение. Например, $\leq$ является объединением $<$ и $=$ , а $\geq$ является объединением $>$ и $=$ .

Пересечение ^[е]: Если $R$ и $S$ — отношения над $X,$ то $R \cap S = { (x, y) | xRy и xSy}$ — отношение пересечения $R$ и $S$ . Элементом тождества этой операции является универсальное отношение. Например, «является младшей картой той же масти, что и» является пересечением «является младшей картой, чем» и «принадлежит к той же масти, что и».

Состав ^[э]: Если $R$ и $S$ являются отношениями над $X,$ то $S \circ R = { (x, z) | существует y \in X, такой что xRy и ySz}$ (также обозначается как $R; S$ ) является относительным произведением $R$ и $S$ . Элементом тождества является отношение тождества. Порядок $R$ и $S$ в обозначении $S \circ R$ , используемом здесь, согласуется со стандартным порядком обозначений для композиции функций . Например, композиция "является матерью" $\circ$ "является родителем" дает "является прародителем по материнской линии", в то время как композиция "является родителем" $\circ$ "является матерью" дает "является бабушкой". Для первого случая, если $x$ является родителем $y$ , а $y$ является матерью $z$ , то $x$ является прародителем по материнской линии $z$ .

Обратный ^[e]: Если $R$ — отношение над множествами $X$ и $Y,$ $то R T = { ( y , x ) | xRy } — обратное отношение R$ над $Y и X. Например, = — обратное отношение$ к себе , как $и$ ≠ $,$ а $<$ и $>$ — $обратные$ друг $другу$ , как и $\leq$ и $\geq$ .

Дополнение ^[е]: Если $R$ — отношение над $X,$ то $R = {(x, y) | x, y \in X и не xRy}$ (также обозначается как $R$ или $\neg R$ ) — дополнительное отношение R. Например, $=$ и $\neq$ являются дополнениями друг друга, как и ⊆ и ⊈, $\supseteq$ и $⊉$ $,$ $и$ ∈ $и$ ∉ $,$ а $для$ полных порядков также $<$ и $\geq$ , и $>$ и $\leq$ . Дополнение обратного отношения $R$ $T$ является обратным к дополнению: ${\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.$

Ограничение ^[е]: Если $R$ — отношение над $X$ , а $S$ — подмножество $X$ , то $R | S = {(x, y) | xRy и x, y \in S}$ — этоотношение ограничения $R$ к $S.$ Выражение $R | S = { (x, y) | xRy и x \in S}$ являетсяотношение левого ограничения $R$ к $S$ ; выражение $R | S = { (x, y) | xRy и y \in S}$ называетсяправое ограничение отношения Rк $S.$ Если отношение являетсярефлексивным, иррефлексивным,симметричным,антисимметричным,асимметричным,транзитивным,полным,трихотомическим $,$ частичнымпорядком,полным порядком,строгим слабым порядком,полным предпорядком(слабым порядком) илиотношением эквивалентности, то таковыми являются и его ограничения. Однако транзитивное замыкание ограничения является подмножеством ограничения транзитивного замыкания, т. е. в общем случае не равно. Например, ограничение отношения « $x$ является родителем $y$ » на лиц женского пола дает отношение « $x$ является матерью женщины $y$ »; его транзитивное замыкание не связывает женщину с ее бабушкой по отцовской линии. С другой стороны, транзитивное замыкание «является родителем» является «является предком»; его ограничение на лиц женского пола связывает женщину с ее бабушкой по отцовской линии.

Отношение $R$ между множествами $X$ и $Y$ называетсясодержится в отношении $S$ над $X$ и $Y$ , записанном как $R \subseteq S$ , если $R$ является подмножеством $S$ , то есть для всех $x \in X$ и $y \in Y$ , если $xRy$ , то $xSy$ . Если $R$ содержится в $S$ и $S$ содержится в $R$ , то $R$ и $S$ называютсяравными, записанными как $R = S$ . Если $R$ содержится в $S ,$ но $S$ не содержится в $R$ , то $R$ называетсяменьше S, пишется $R$ $⊊$ $S.$ Например, нарациональных числахотношение $>$ меньше $\geq$ $и$ равно композиции $> \circ >$ .

Теоремы об отношениях

Отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и иррефлексивно.
Транзитивное отношение является иррефлексивным тогда и только тогда, когда оно асимметрично.
Отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда его дополнение иррефлексивно.
Отношение является сильно связанным тогда и только тогда, когда оно связано и рефлексивно.
Отношение равно своему обратному тогда и только тогда, когда оно симметрично.
Отношение является связным тогда и только тогда, когда его дополнение антисимметрично.
Отношение является сильно связанным тогда и только тогда, когда его дополнение асимметрично. ^[21]
Если отношение R содержится в отношении S , то
- Если $R$ рефлексивно, связно, сильно связно, лево-тотально или право-тотально, то и $S$ тоже .
- Если $S$ иррефлексивен, асимметричен, антисимметричен, уникален слева или уникален справа, то и $R$ тоже .
Отношение является рефлексивным, иррефлексивным, симметричным, асимметричным, антисимметричным, связным, сильно связным и транзитивным, если его обратное отношение соответственно.

Примеры

Отношения порядка , включая строгие приказы :
- Больше чем
- Больше или равно
- Меньше, чем
- Меньше или равно
- Делит (поровну)
- Подмножество
Отношения эквивалентности :
- Равенство
- Параллельно (для аффинных пространств )
- Находится в биекции с
- Изоморфный
Отношение толерантности , рефлексивное и симметричное отношение:
- Отношение зависимости , отношение конечной толерантности
- Отношение независимости , дополнение некоторого отношения зависимости
Родственные отношения

Обобщения

Вышеуказанное понятие отношения было обобщено для допуска отношений между членами двух различных множеств. При заданных множествах $X$ и $Y$ неоднородное отношение $R$ над $X$ и $Y$ является подмножеством ${ (x, y) | x \in X, y \in Y}$ . ^[2]^[22] Когда $X = Y$ , получается описанное выше понятие отношения; его часто называют однородным отношением (или эндоотношением ) ^[23]^[24], чтобы отличить его от его обобщения. Вышеуказанные свойства и операции, отмеченные " ^[d] " и " ^[e] " соответственно, обобщаются на неоднородные отношения. Примером неоднородного отношения является "океан $x$ граничит с континентом $y$ ". Наиболее известными примерами являются функции ^[f] с различными областями и диапазонами, такие как $sqrt : N \to R +$ .

Смотрите также

Структура инцидентности , неоднородная связь между множеством точек и линий
Теория порядка , исследует свойства отношений порядка.
Реляционная алгебра

Примечания

^ называется «однородным бинарным отношением (на множествах)», когда важно разграничение его обобщений
^ обобщение множеств
^ см. ниже
^ abcdefghijklm Эти свойства также распространяются на гетерогенные отношения.
^ abcdefg Эта операция также обобщается на неоднородные отношения.
^ то есть, право-уникальные и лево-полные гетерогенные отношения

Ссылки

^ Столл, Роберт Р. Теория множеств и логика . Сан-Франциско, Калифорния: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
^ abc Кодд 1970
↑ Халмош 1968, гл. 14
^ Халмош 1968, Гл. 7
^ "Определение отношения – Math Insight". mathinsight.org . Получено 11.12.2019 .
^ Халмош 1968, Гл. 8
^ ab Эрнст Шредер (1895) Алгебра и логика относительной, через Интернет-архив
^ ab CI Lewis (1918) Обзор символической логики, стр. 269–279, через интернет-архив
^ ab Schmidt 2010, Глава 5
^ Эндертон 1977, Гл. 3. стр. 40
^ Смит, Эгген и Сент-Андре 2006, с. 160
^ Нивергельт 2002, стр. 158
^ Flaška et al. 2007, стр. 1 Лемма 1.1 (iv). Этот источник называет асимметричные отношения «строго антисимметричными».
^ abc Kilp, Knauer & Mikhalev 2000, стр. 3. Те же четыре определения встречаются в следующих работах: Pahl & Damrath 2001, стр. 506, Best 1996, стр. 19–21, Riemann 1999, стр. 21–22
^ Ван Гастерен 1990, стр. 45.
^ "Функциональное отношение - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2024-06-13 .
^ "функциональное отношение в nLab". ncatlab.org . Получено 2024-06-13 .
↑ Мая 2007 г.
^ Яо и Вонг 1995
^ Розенштейн 1982, стр. 4
^ Шмидт и Штрёляйн 1993
^ Эндертон 1977, Гл. 3. стр. 40
^ Мюллер 2012, стр. 22
^ Pahl & Damrath 2001, стр. 496

Библиография

Best, Eike (1996). Семантика последовательных и параллельных программ . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-460643-9.
Кодд, Эдгар Франк (июнь 1970 г.). «Реляционная модель данных для больших общих банков данных» (PDF) . Сообщения ACM . 13 (6): 377–387. doi :10.1145/362384.362685. S2CID 207549016 . Получено 29.04.2020 .
Кодд, Эдгар Франк (1990). Реляционная модель управления базами данных: Версия 2. Бостон: Addison-Wesley . ISBN 978-0201141924.
Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Бостон: Academic Press . ISBN 978-0-12-238440-0.
Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Транзитивные замыкания бинарных отношений I (PDF) . Прага: Школа математики – Физический Карлов университет. Архивировано из оригинала (PDF) 2013-11-02.
Халмош, Пол Р. (1968). Наивная теория множеств . Принстон: Nostrand.
Килп, Мати; Кнауэр, Ульрих; Михалев, Александр (2000). Моноиды, акты и категории: с приложениями к произведениям сплетений и графам . Берлин: De Gruyter . ISBN 978-3-11-015248-7.
Mäs, Stephan (2007), «Рассуждение об ограничениях пространственной семантической целостности», Пространственная теория информации: 8-я международная конференция, COSIT 2007, Мельбурн, Австралия, 19–23 сентября, Труды , Lecture Notes in Computer Science, т. 4736, Springer, стр. 285–302, doi :10.1007/978-3-540-74788-8_18
Мюллер, М. Э. (2012). Открытие реляционных знаний . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19021-3.
Нивергельт, Ив (2002), Основы логики и математики: приложения к информатике и криптографии , Springer-Verlag
Pahl, Peter J.; Damrath, Rudolf (2001). Математические основы вычислительной техники: Справочник . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67995-0.
Пирс, Чарльз Сандерс (1873). «Описание нотации для логики отношений, полученное в результате амплификации концепций логического исчисления Буля». Мемуары Американской академии искусств и наук . 9 (2): 317–178. Bibcode :1873MAAAS...9..317P. doi :10.2307/25058006. hdl : 2027/hvd.32044019561034 . JSTOR 25058006 . Получено 05.05.2020 .
Риман, Роберт-Кристоф (1999). Моделирование параллельных систем: структурные и семантические методы в исчислении сетей Петри высокого уровня . Herbert Utz Verlag. ISBN 978-3-89675-629-9.
Розенштейн, Джозеф Г. (1982), Линейные упорядочения , Academic Press, ISBN 0-12-597680-1
Шмидт, Гюнтер (2010). Реляционная математика. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-76268-7.
Шмидт, Гюнтер ; Штрёляйн, Томас (1993). Отношения и графы: Дискретная математика для компьютерных ученых. Берлин: Springer. ISBN 978-3-642-77970-1.
Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2006), Переход к высшей математике (6-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-39900-2
Ван Гастерен, Антонетта (1990). О форме математических аргументов . Берлин: Шпрингер. ISBN 9783540528494.
Яо, YY; Вонг, SKM (1995). "Обобщение грубых множеств с использованием отношений между значениями атрибутов" (PDF) . Труды 2-й ежегодной совместной конференции по информационным наукам : 30–33.