Паракомпактное пространство

Топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие имеет открытое измельчение, которое локально конечно

В математике паракомпактное пространство — это топологическое пространство , в котором каждое открытое покрытие имеет открытое измельчение , которое локально конечно . Эти пространства были введены Дьедонне (1944). Каждое компактное пространство является паракомпактным. ^[1] Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство является нормальным , а хаусдорфово пространство является паракомпактным, если ^[2] и только если оно допускает разбиения единицы, подчиненные любому открытому покрытию. Иногда паракомпактные пространства определяются так, чтобы они всегда были хаусдорфовыми.

Каждое замкнутое подпространство паракомпактного пространства является паракомпактным. В то время как компактные подмножества хаусдорфовых пространств всегда замкнуты, это неверно для паракомпактных подмножеств. Пространство, каждое подпространство которого является паракомпактным пространством, называется наследственно паракомпактным . Это эквивалентно требованию, чтобы каждое открытое подпространство было паракомпактным.

Понятие паракомпактного пространства также изучается в бесточечной топологии , где оно более хорошо себя ведет. Например, произведение любого числа паракомпактных локалей является паракомпактным локалем, но произведение двух паракомпактных пространств может не быть паракомпактным. ^{[3] [4]} Сравните это с теоремой Тихонова , которая утверждает, что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно. Однако произведение паракомпактного пространства и компактного пространства всегда паракомпактно.

Каждое метрическое пространство паракомпактно. Топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно является паракомпактным и локально метризуемым хаусдорфовым пространством .

Определение

Покрытие множества — это набор подмножеств , объединение которых содержит . В символах, если — индексированное семейство подмножеств , то — это покрытие , если ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Покрытие топологического пространства открыто, если все его элементы являются открытыми множествами . Уточнение покрытия пространства — это новое покрытие того же пространства, такое что каждое множество в новом покрытии является подмножеством некоторого множества в старом покрытии. В символах покрытие является уточнением покрытия тогда и только тогда, когда для каждого в существует некоторое в такое, что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle V_{\beta }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$

Открытое покрытие пространства локально конечно, если каждая точка пространства имеет окрестность , пересекающую только конечное число множеств в покрытии. В символах локально конечно тогда и только тогда, когда для любого из существует некоторая окрестность такого , что множество ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V\neq \varnothing \right\}}$

конечно. Топологическое пространство теперь называется паракомпактным, если каждое открытое покрытие имеет локально конечное открытое измельчение. ${\displaystyle X}$

Это определение дословно распространяется на локали, за исключением локально конечных: открытое покрытие локально конечно тогда и только тогда, когда множество открытий , пересекающих только конечное число открытий в , также образуют покрытие . Обратите внимание, что открытое покрытие на топологическом пространстве локально конечно тогда и только тогда, когда оно является локально конечным покрытием базовой локали. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Примеры

• Каждое компактное пространство паракомпактно.
• Каждое регулярное пространство Линделёфа паракомпактно. ^[5] В частности, каждое локально компактное хаусдорфово пространство со второй счетностью является паракомпактным.
• Линия Зоргенфрея является паракомпактной, хотя она не является ни компактной, ни локально компактной, ни второй счетной, ни метризуемой.
• Каждый комплекс CW является паракомпактным. ^[6]
• ( Теорема А. Х. Стоуна ) Каждое метрическое пространство паракомпактно. ^[7] Ранние доказательства были несколько запутанными, но элементарное доказательство было найдено М. Е. Рудиным . ^[8] Существующие доказательства этого требуют аксиомы выбора для несепарабельного случая . Было показано, что теория ZF недостаточна для доказательства этого, даже после добавления более слабой аксиомы зависимого выбора . ^[9]

Вот некоторые примеры пространств, которые не являются паракомпактными:

• Самым известным контрпримером является длинная линия , которая является непаракомпактным топологическим многообразием . (Длинная линия локально компактна, но не удовлетворяет второй аксиоме счетности.)
• Другой контрпример — произведение несчетного числа копий бесконечного дискретного пространства . Любое бесконечное множество, несущее конкретную точечную топологию , не является паракомпактным; на самом деле оно даже не является метакомпактным .
• Многообразие Прюфера P является непаракомпактной поверхностью. (Легко найти несчетное открытое покрытие P без каких-либо уточнений.)
• Теорема о волынке показывает, что существует 2 ^{ℵ ₁} топологических классов эквивалентности непаракомпактных поверхностей.
• Плоскость Зоргенфрея не является паракомпактной, несмотря на то, что является произведением двух паракомпактных пространств.

Характеристики

Паракомпактность слабо наследственна, т.е. каждое замкнутое подпространство паракомпактного пространства является паракомпактным. Это может быть распространено и на F-сигма -подпространства. ^[10]

• Регулярное пространство является паракомпактным, если каждое открытое покрытие допускает локально конечное измельчение. (Здесь измельчение не обязательно должно быть открытым.) В частности, каждое регулярное пространство Линделёфа является паракомпактным.
• ( Теорема Смирнова о метризации ) Топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно, хаусдорфово и локально метризуемо.
• Теорема Майкла о выборе утверждает, что полунепрерывные снизу мультифункции из X в непустые замкнутые выпуклые подмножества банаховых пространств допускают непрерывный выбор тогда и только тогда, когда X паракомпактно.

Хотя произведение паракомпактных пространств не обязательно должно быть паракомпактным, верны следующие утверждения:

• Произведение паракомпактного пространства и компактного пространства является паракомпактом.
• Произведение метакомпактного пространства и компактного пространства является метакомпактным.

Оба эти результата можно доказать с помощью леммы о трубке , которая используется при доказательстве того, что произведение конечного числа компактных пространств компактно.

Паракомпактные хаусдорфовы пространства

Иногда для расширения свойств паракомпактных пространств требуется, чтобы они также были хаусдорфовыми .

• ( Теорема Жана Дьедонне ) Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство нормально .
• Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство является сжимающимся пространством , то есть каждое открытое покрытие паракомпактного хаусдорфова пространства имеет сжимающееся: другое открытое покрытие, индексированное тем же множеством, таким образом, что замыкание каждого множества в новом покрытии лежит внутри соответствующего множества в старом покрытии.
• На паракомпактных хаусдорфовых пространствах когомологии пучков и когомологии Чеха равны. ^[11]

Разделы единства

Важнейшей особенностью паракомпактных хаусдорфовых пространств является то, что они допускают разбиения единицы, подчиненные любому открытому покрытию. Это означает следующее: если X — паракомпактное хаусдорфово пространство с заданным открытым покрытием, то существует набор непрерывных функций на X со значениями в единичном интервале [0, 1] такой, что:

• для каждой функции f :  X  →  R из набора существует открытое множество U из покрытия такое, что носитель f содержится в U ;
• Для каждой точки x из X существует окрестность V точки x , такая, что все функции в наборе, за исключением конечного числа, тождественно равны 0 в V , а сумма ненулевых функций тождественно равна 1 в V.

На самом деле, пространство T ₁ является хаусдорфовым и паракомпактным тогда и только тогда, когда оно допускает разбиения единицы, подчиненные любому открытому покрытию (см. ниже). Это свойство иногда используется для определения паракомпактных пространств (по крайней мере, в хаусдорфовом случае).

Разбиения единицы полезны, поскольку они часто позволяют расширить локальные конструкции на все пространство. Например, интеграл дифференциальных форм на паракомпактных многообразиях сначала определяется локально (где многообразие выглядит как евклидово пространство , а интеграл хорошо известен), а затем это определение распространяется на все пространство посредством разбиения единицы.

Доказательство того, что паракомпактные хаусдорфовы пространства допускают разбиения единицы

(Нажмите «показать» справа, чтобы увидеть доказательство, или «скрыть», чтобы скрыть его.)

Хаусдорфово пространство является паракомпактным тогда и только тогда, когда каждое его открытое покрытие допускает подчиненное разбиение единицы. Направление if прямолинейно. Теперь для единственного направления if мы делаем это в несколько этапов. ${\displaystyle X\,}$

Лемма 1: Если — локально конечное открытое покрытие, то существуют открытые множества для каждого , такие, что каждое и является локально конечным измельчением. ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W_{U}\,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$

Лемма 2: Если — локально конечное открытое покрытие, то существуют непрерывные функции такие, что и такие, что — непрерывная функция, которая всегда не равна нулю и конечна. ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$

Теорема: В паракомпактном хаусдорфовом пространстве , если — открытое покрытие, то существует разбиение единицы, подчиненное ему. ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$

Доказательство (лемма 1):

Пусть будет набором открытых множеств, встречающихся только с конечным числом множеств в , и замыкание которых содержится в множестве в . Можно проверить в качестве упражнения, что это обеспечивает открытое измельчение, поскольку паракомпактные хаусдорфовы пространства регулярны, и поскольку локально конечно. Теперь замените локально конечным открытым измельчением. Можно легко проверить, что каждое множество в этом измельчении имеет то же свойство, что и то, которое характеризовало исходное покрытие. ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$

Теперь определим . Свойство гарантирует, что каждое содержится в некотором . Поэтому является открытым уточнением . Поскольку у нас есть , это покрытие немедленно локально конечно. ${\displaystyle W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W_{U}\subseteq U}$

Теперь мы хотим показать, что каждый . Для каждого мы докажем, что . Поскольку мы выбрали локально конечную точку, существует окрестность , такая , что только конечное число множеств в имеют непустое пересечение с , и мы отмечаем те из них в определении . Поэтому мы можем разложить на две части: которые пересекаются , и остальные , которые не пересекаются, что означает, что они содержатся в замкнутом множестве . Теперь мы имеем . Так как и , то для каждого имеем . И поскольку является дополнением окрестности , то также не находится в . Поэтому мы имеем . ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle x\notin U}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle C:=X\setminus V[x]}$ ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C}$ ${\displaystyle {\bar {A_{i}}}\subseteq U}$ ${\displaystyle x\notin U}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {A_{i}}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$

Доказательство (лемма 2):

Применяя лемму 1, пусть будут непрерывными отображениями с и (по лемме Урысона для непересекающихся замкнутых множеств в нормальных пространствах, каковым является паракомпактное хаусдорфово пространство). Заметим, что под носителем функции мы здесь подразумеваем точки, не отображающиеся в ноль (а не замыкание этого множества). Чтобы показать, что всегда конечно и не равно нулю, возьмем , и пусть окрестность , встречающая только конечное число множеств в ; таким образом, принадлежит только конечному числу множеств в ; таким образом , для всех, кроме конечного числа ; более того , для некоторых , таким образом ; поэтому конечно и . Чтобы установить непрерывность, возьмем, как и прежде, и пусть , которое конечно; тогда , которое является непрерывной функцией; следовательно, прообраз при окрестности будет окрестностью . ${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$ ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle f_{U}(x)=0\,}$ ${\displaystyle U\,}$ ${\displaystyle x\in W_{U}\,}$ ${\displaystyle U\,}$ ${\displaystyle f_{U}(x)=1\,}$ ${\displaystyle f(x)\,}$ ${\displaystyle \geq 1\,}$ ${\displaystyle x,N\,}$ ${\displaystyle S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,}$ ${\displaystyle f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle f(x)\,}$ ${\displaystyle x\,}$

Доказательство (теорема):

Возьмем локально конечное подпокрытие покрытия измельчения: . Применяя лемму 2, получим непрерывные функции с (таким образом, обычная замкнутая версия носителя содержится в некотором , для каждого ; для которого их сумма составляет непрерывную функцию, которая всегда конечна и отлична от нуля (следовательно, является непрерывной положительной, конечнозначной). Так что, заменяя каждое на , теперь имеем — все остается тем же самым — что их сумма везде . Наконец, для , полагая , что это окрестность встреч только конечного числа множеств в , мы имеем для всех, кроме конечного числа, поскольку каждое . Таким образом, мы имеем разбиение единицы, подчиненное исходному открытому покрытию. ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,}$ ${\displaystyle f_{W}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle 1/f\,}$ ${\displaystyle f_{W}\,}$ ${\displaystyle f_{W}/f\,}$ ${\displaystyle 1\,}$ ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle f_{W}\upharpoonright N=0\,}$ ${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$

Связь с компактностью

Существует сходство между определениями компактности и паракомпактности: для паракомпактности «подпокрытие» заменяется на «открытое измельчение», а «конечное» на «локально конечное». Оба эти изменения существенны: если мы возьмем определение паракомпактности и заменим «открытое измельчение» обратно на «подпокрытие» или «локально конечное» обратно на «конечное», то в обоих случаях мы получим компактные пространства.

Паракомпактность имеет мало общего с понятием компактности, а скорее связана с разбиением топологических пространственных сущностей на управляемые части.

Сравнение свойств с компактностью

Паракомпактность подобна компактности в следующих отношениях:

• Каждое замкнутое подмножество паракомпактного пространства является паракомпактным.
• Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство является нормальным . ^[10]

Он отличается в следующих отношениях:

• Паракомпактное подмножество хаусдорфова пространства не обязательно должно быть замкнутым. Фактически, для метрических пространств все подмножества являются паракомпактными.
• Произведение паракомпактных пространств не обязано быть паракомпактным. Квадрат действительной прямой R в топологии нижнего предела является классическим примером этого.

Вариации

Существует несколько вариаций понятия паракомпактности. Чтобы определить их, нам сначала нужно расширить список терминов, приведенных выше:

Топологическое пространство — это:

• метакомпакт , если каждое открытое покрытие имеет открытое точечно-конечное измельчение.
• ортокомпакт , если каждое открытое покрытие имеет открытое измельчение, такое что пересечение всех открытых множеств относительно любой точки этого измельчения открыто.
• полностью нормальным , если каждое открытое покрытие имеет уточнение в виде открытой звезды , и полностью T _4, если оно полностью нормально и T 1 (см. аксиомы разделения ).

Наречие « исчисляемо » можно добавлять к любому из прилагательных «паракомпактный», «метакомпактный» и «полностью нормальный», чтобы требование применялось только к исчисляемым открытым оболочкам.

Каждое паракомпактное пространство является метакомпактным, а каждое метакомпактное пространство является ортокомпактным.

Определение соответствующих терминов для вариаций

• При наличии покрытия и точки звезда точки в покрытии является объединением всех множеств в покрытии, содержащих точку. В символах звезда x в U = { U _α  : α в A } есть

${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.}$

Обозначение звезды в литературе не стандартизировано, и это всего лишь один из вариантов.

• Звездное измельчение покрытия пространства X — это покрытие того же пространства, такое, что для любой точки в пространстве звезда точки в новом покрытии является подмножеством некоторого множества в старом покрытии. В символах V — это звездное измельчение U = { U _α  : α в A }, если для любого x в X существует U _α в U такое, что V ^* ( x ) содержится в U _α .
• Покрытие пространства X является точечно-конечным (или точечно-конечным ), если каждая точка пространства принадлежит только конечному числу множеств в покрытии. В символах U является точечно-конечным, если для любого x из X множество конечно. ${\displaystyle \left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}}$

Как следует из названий, полностью нормальное пространство является нормальным , а полностью T ₄ пространство является T ₄ . Каждое полностью T ₄ пространство является паракомпактным. Фактически, для хаусдорфовых пространств паракомпактность и полная нормальность эквивалентны. Таким образом, полностью T ₄ пространство является тем же самым, что и паракомпактное хаусдорфово пространство.

Без свойства Хаусдорфа паракомпактные пространства не обязательно полностью нормальны. Любое компактное пространство, которое не является регулярным, является примером.

Историческая справка: полностью нормальные пространства были определены до паракомпактных пространств, в 1940 году, Джоном У. Тьюки . ^[12] Доказательство того, что все метризуемые пространства являются полностью нормальными, легко. Когда AH Stone доказал, что для хаусдорфовых пространств полная нормальность и паракомпактность эквивалентны, он неявно доказал, что все метризуемые пространства являются паракомпактными. Позднее Эрнест Майкл дал прямое доказательство последнего факта, а ME Rudin дал другое, элементарное, доказательство.

Смотрите также

• а-паракомпактное пространство
• Паранормальное пространство

Примечания

1. Манкрес 2000, стр. 252.
2. Дугунджи 1966, стр. 170, Теорема 4.2.
3. Джонстон, Питер Т. (1983). «Точка бесточечной топологии» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 8 (1): 41–53. doi :10.1090/S0273-0979-1983-15080-2.
4. Дугунджи 1966, стр. 165. Теорема 2.4.
5. Майкл, Эрнест (1953). "Заметка о паракомпактных пространствах" (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN  0002-9939. Архивировано (PDF) из оригинала 2017-08-27.
6. Хэтчер, Аллен , Векторные расслоения и К-теория , предварительная версия доступна на домашней странице автора
7. Стоун, А. Х. Паракомпактность и пространства произведений. Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 977–982
8. Рудин, Мэри Эллен (февраль 1969). «Новое доказательство того, что метрические пространства являются паракомпактными». Труды Американского математического общества . 20 (2): 603. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0236876-3 .
9. Good, C.; Tree, IJ; Watson, WS (апрель 1998 г.). «О теореме Стоуна и аксиоме выбора». Труды Американского математического общества . 126 (4): 1211–1218. doi : 10.1090/S0002-9939-98-04163-X .
10. Dugundji 1966, стр. 165, Теорема 2.2.
11. Брилински, Жан-Люк (2007), Пространства петель, характеристические классы и геометрическое квантование, Progress in Mathematics, т. 107, Springer, стр. 32, ISBN 9780817647308.
12. Тьюки, Джон У. (1940). Сходимость и однородность в топологии . Annals of Mathematics Studies. Том 2. Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, стр. ix+90. MR  0002515.

Ссылки

• Дьедонне, Жан (1944), «Обобщение компактных пространств», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 23 : 65–76, ISSN  0021-7824, MR  0013297
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший , Контрпримеры в топологии (2-е изд.) , Springer Verlag , 1978, ISBN 3-540-90312-7 . стр.23. 
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
• Мэтью, Ахил. «Топология/Паракомпактность».

Внешние ссылки

• «Паракомпактное пространство», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]