В геометрии постулат параллельности , также называемый пятым постулатом Евклида , поскольку это пятый постулат в «Началах» Евклида , является отличительной аксиомой в евклидовой геометрии . Он утверждает, что в двумерной геометрии:
Если отрезок пересекает две прямые линии, образующие два внутренних угла с одной стороны, которые меньше двух прямых углов , то эти две линии, если их продолжить до бесконечности, встретятся с той стороны, с которой сумма углов меньше двух прямых углов.
Этот постулат не говорит конкретно о параллельных прямых; [1] это всего лишь постулат, связанный с параллельностью. Евклид дал определение параллельных прямых в Книге I, Определение 23 [2] как раз перед пятью постулатами. [3]
Евклидова геометрия — это раздел геометрии, удовлетворяющий всем аксиомам Евклида, включая постулат о параллельных прямых.
Постулат долгое время считался очевидным или неизбежным, но доказательства были неуловимы. В конце концов, было обнаружено, что инвертирование постулата дает действительные, хотя и другие геометрии. Геометрия, в которой постулат параллельности не выполняется, известна как неевклидова геометрия . Геометрия, которая не зависит от пятого постулата Евклида (т. е. предполагает только современный эквивалент первых четырех постулатов), известна как абсолютная геометрия (или иногда «нейтральная геометрия»).
Вероятно, наиболее известным эквивалентом постулата Евклида о параллельных прямых, зависящим от других его постулатов, является аксиома Плейфера , названная в честь шотландского математика Джона Плейфера , которая гласит:
На плоскости, если задана прямая и точка, не лежащая на ней, через эту точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной прямой. [4]
Эта аксиома сама по себе логически не эквивалентна постулату о параллельных линиях Евклида, поскольку существуют геометрии, в которых одна из них истинна, а другая — нет. Однако при наличии остальных аксиом, дающих геометрию Евклида, одну из них можно использовать для доказательства другой, поэтому они эквивалентны в контексте абсолютной геометрии . [5]
Было предложено много других утверждений, эквивалентных постулату о параллельных линиях, некоторые из них на первый взгляд кажутся не связанными с параллелизмом, а некоторые кажутся настолько очевидными , что их неосознанно принимали люди, утверждавшие, что доказали постулат о параллельных линиях на основе других постулатов Евклида. Эти эквивалентные утверждения включают:
Однако альтернативы, использующие слово «параллельный», перестают казаться такими простыми, когда приходится объяснять, какое из четырех общих определений «параллельный» имеется в виду — постоянное разделение, никогда не встречающееся, те же углы, где пересекается некоторая третья линия, или те же углы, где пересекается любая третья линия, — поскольку эквивалентность этих четырех сама по себе является одним из бессознательно очевидных предположений, эквивалентных пятому постулату Евклида. В приведенном выше списке всегда подразумевается, что это относится к непересекающимся линиям. Например, если слово «параллельный» в аксиоме Плейфера понимается как «постоянное разделение» или «те же углы, где пересекается любая третья линия», то оно больше не эквивалентно пятому постулату Евклида и доказуемо из первых четырех (аксиома гласит: «Существует не более одной линии...», что согласуется с тем, что таких линий нет). Однако, если определение брать так, что параллельные прямые — это прямые, которые не пересекаются или имеют некоторую прямую, пересекающую их под теми же углами, аксиома Плейфера контекстуально эквивалентна пятому постулату Евклида и, таким образом, логически независима от первых четырех постулатов. Обратите внимание, что последние два определения не эквивалентны, поскольку в гиперболической геометрии второе определение справедливо только для ультрапараллельных прямых.
С самого начала постулат подвергся нападкам как доказуемый, и, следовательно, не постулат, и на протяжении более двух тысяч лет предпринималось много попыток доказать (вывести) постулат о параллельности, используя первые четыре постулата Евклида. [10] Основная причина, по которой такое доказательство было столь востребовано, заключалась в том, что, в отличие от первых четырех постулатов, постулат о параллельности не является самоочевидным. Если порядок, в котором постулаты были перечислены в «Началах», имеет значение, это указывает на то, что Евклид включил этот постулат только тогда, когда понял, что не может доказать его или продолжить работу без него. [11] Было предпринято много попыток доказать пятый постулат из остальных четырех, многие из них принимались в качестве доказательств в течение длительного времени, пока не была обнаружена ошибка. Неизменно ошибка заключалась в предположении некоторого «очевидного» свойства, которое оказывалось эквивалентным пятому постулату (аксиома Плейфэра). Хотя это известно со времен Прокла, это стало известно как аксиома Плейфера после того, как Джон Плейфер написал знаменитый комментарий к Евклиду в 1795 году, в котором он предложил заменить пятый постулат Евклида своей собственной аксиомой. Сегодня, более двух тысяч двухсот лет спустя, пятый постулат Евклида остается постулатом.
Прокл (410–485) написал комментарий к «Началам» , где он комментирует попытки доказательств вывести пятый постулат из остальных четырех; в частности, он отмечает, что Птолемей представил ложное «доказательство». Затем Прокл приводит собственное ложное доказательство. Однако он привел постулат, эквивалентный пятому постулату.
Ибн аль-Хайсам (Альхазен) (965–1039), арабский математик , предпринял попытку доказать постулат параллельности, используя доказательство от противного , [12] в ходе которого он ввел понятие движения и преобразования в геометрию. [13] Он сформулировал четырехугольник Ламберта , который Борис Абрамович Розенфельд называет «четырехугольником Ибн аль-Хайсама–Ламберта», [14] и его попытка доказательства содержит элементы, похожие на те, которые встречаются в четырехугольниках Ламберта и аксиоме Плейфера . [15]
Персидский математик, астроном, философ и поэт Омар Хайям (1050–1123) попытался доказать пятый постулат из другого явно данного постулата (основанного на четвертом из пяти принципов, приписываемых Философу ( Аристотелю ), а именно: «Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении, в котором они сходятся». [16] Он вывел некоторые из более ранних результатов, принадлежащих эллиптической геометрии и гиперболической геометрии , хотя его постулат исключал последнюю возможность. [17] Четырехугольник Саккери также был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце 11-го века в Книге I « Объяснения трудностей постулатов Евклида» . [14] В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая Джованни Джироламо Саккери ), Хайям не пытался доказать параллельность постулат как таковой, а вывести его из эквивалентного постулата. Он осознал, что три возможности возникают из-за опущения пятого постулата Евклида; если два перпендикуляра к одной прямой пересекают другую прямую, разумный выбор последней может сделать внутренние углы, где она пересекает два перпендикуляра, равными (тогда она параллельна первой прямой). Если эти равные внутренние углы являются прямыми, мы получаем пятый постулат Евклида, в противном случае они должны быть либо острыми, либо тупыми. Он показал, что острые и тупые случаи приводят к противоречиям, используя его постулат, но теперь известно, что его постулат эквивалентен пятому постулату.
Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) в своей работе «Аль-рисала аш-шафийа'ан аш-шакк фи'л-хутут аль-мутавазия» ( «Рассуждение, устраняющее сомнения относительно параллельных линий ») (1250) подробно рассмотрел постулат о параллельных линиях и попытку доказательства Хайяма столетием ранее. Насир ад-Дин попытался вывести доказательство от противного постулата о параллельных линиях. [18] Он также рассмотрел случаи того, что сейчас известно как эллиптическая и гиперболическая геометрия, хотя он исключил обе из них. [17]
Сын Насира ад-Дина, Садр ад-Дин (иногда известный как «Псевдо-Туси»), написал книгу на эту тему в 1298 году, основанную на более поздних мыслях своего отца, в которой был представлен один из самых ранних аргументов в пользу неевклидовой гипотезы, эквивалентной постулату о параллельных линиях. «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих положений из « Начал ». [18] [19] Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами. Эта работа стала отправной точкой для работы Саккери на эту тему [18] , которая началась с критики работы Садр ад-Дина и работы Валлиса. [20]
Джордано Витале (1633–1711) в своей книге Euclide restituo (1680, 1686) использовал четырехугольник Хайяма-Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены от основания AB и вершины CD, то AB и CD везде равноудалены. Джироламо Саккери (1667–1733) более тщательно проводил ту же линию рассуждений, правильно получая абсурд из тупого случая (исходя, как и Евклид, из неявного предположения, что прямые могут быть продолжены до бесконечности и имеют бесконечную длину), но не смог опровергнуть острый случай (хотя ему удалось ошибочно убедить себя в том, что он это сделал).
В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал, Theorie der Parallellinien, в которой он попытался, как и Саккери, доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, которую сегодня мы называем четырехугольником Ламберта , четырехугольником с тремя прямыми углами (можно считать половиной четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении об остром угле. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат о том, что сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлениям о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Он не развил эту идею дальше. [21]
Там, где Хайям и Саккери пытались доказать пятую теорему Евклида, опровергая единственно возможные альтернативы, в девятнадцатом веке математики наконец-то исследовали эти альтернативы и открыли логически последовательные геометрии, которые из них получались. В 1829 году Николай Иванович Лобачевский опубликовал отчет об острой геометрии в малоизвестном русском журнале (позже переизданном в 1840 году на немецком языке). В 1831 году Янош Бойяи включил в книгу своего отца приложение, описывающее острую геометрию, которую, несомненно, он разработал независимо от Лобачевского. Карл Фридрих Гаусс также изучал эту проблему, но он не опубликовал ни одного из своих результатов. Услышав о результатах Бойяи в письме от отца Бойяи, Фаркаша Бойяи , Гаусс заявил:
Если бы я начал с того, что не могу похвалить эту работу, вы бы, конечно, удивились на мгновение. Но я не могу сказать иначе. Хвалить ее значило бы хвалить себя. Действительно, все содержание работы, путь, пройденный вашим сыном, результаты, к которым он пришел, почти полностью совпадают с моими размышлениями, которые занимали мой ум отчасти в течение последних тридцати или тридцати пяти лет. [22]
Полученные геометрии были позднее развиты Лобачевским , Риманом и Пуанкаре в гиперболическую геометрию (острый случай) и эллиптическую геометрию (тупой случай). Независимость постулата о параллельных линиях от других аксиом Евклида была окончательно продемонстрирована Эудженио Бельтрами в 1868 году.
Евклид не постулировал обратное утверждение своего пятого постулата, что является одним из способов отличить евклидову геометрию от эллиптической геометрии . «Начала» содержат доказательство эквивалентного утверждения (книга I, предложение 27): если прямая, падающая на две прямые, делает накрест лежащие углы равными друг другу, то прямые будут параллельны друг другу. Как указал де Морган [23] , это логически эквивалентно (книга I, предложение 16). Эти результаты не зависят от пятого постулата, но они требуют второго постулата [24], который нарушается в эллиптической геометрии.
Попытки логически доказать параллельный постулат, а не восьмую аксиому, [25] были подвергнуты критике Артуром Шопенгауэром в его работе «Мир как воля и идея» . Однако аргумент, используемый Шопенгауэром, состоял в том, что постулат очевиден посредством восприятия, а не в том, что он не является логическим следствием других аксиом. [26]
Постулат параллельности эквивалентен соединению Lotschnittaxiom и аксиомы Аристотеля . [27] Первый утверждает, что перпендикуляры к сторонам прямого угла пересекаются, в то время как последний утверждает, что не существует верхней границы для длин расстояний от катета угла до другого катета. Как показано в [28], постулат параллельности эквивалентен соединению следующих геометрических форм инцидентности Lotschnittaxiom и аксиомы Аристотеля :
Даны три параллельные прямые, существует прямая, пересекающая все три из них.
Если заданы прямая a и две различные пересекающиеся прямые m и n , каждая из которых отлична от a , то существует прямая g , которая пересекает a и m , но не n .
Расщепление постулата параллельности на соединение этих аксиом геометрии инцидентности возможно только при наличии абсолютной геометрии . [29]
Параллельные прямые линии — это прямые линии, которые, находясь в одной плоскости и продолжаясь неограниченно в обоих направлениях, не пересекаются ни в одном из направлений.
эквивалентен постулату равноудалённости , аксиоме Плейфера , аксиоме Прокла , постулату треугольника и теореме Пифагора .
Мы могли бы включить... постулат о параллельных и вывести теорему Пифагора. Или мы могли бы вместо этого включить теорему Пифагора в число других аксиом и вывести постулат о параллельных.
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )По сути, этот метод характеризовал параллельные линии как линии, всегда равноудалённые друг от друга, а также ввёл в геометрию понятие движения.
«Постулат Хайяма исключил случай гиперболической геометрии, тогда как постулат ат-Туси исключил как гиперболическую, так и эллиптическую геометрии».
«Но в рукописи, вероятно, написанной его сыном Садр ад-Дином в 1298 году, основанной на более поздних мыслях Насир ад-Дина по этому вопросу, есть новый аргумент, основанный на другой гипотезе, также эквивалентной гипотезе Евклида, [...] Важность этой последней работы заключается в том, что она была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами. В частности, она стала отправной точкой для работы Саккери и в конечном итоге для открытия неевклидовой геометрии».
«В «Изложении Евклида» Псевдо-Туси [...] вместо постулата используется другое утверждение. Оно не зависит от постулата Евклида V и его легко доказать. [...] Он существенно пересмотрел как систему аксиом и постулатов Евклида, так и доказательства многих положений из « Начал ».
Эдер, Мишель (2000), Взгляды на постулат о параллельных линиях Евклида в Древней Греции и средневековом исламе, Ратгерский университет , получено 23.01.2008