Паранепротиворечивая логика

Тип формальной логики без принципа взрыва

Параконсистентная логика — это тип неклассической логики, который допускает сосуществование противоречивых утверждений, не приводя к логическому взрыву, где все может быть доказано как истинное. В частности, параконсистентная логика — это подраздел логики , который занимается изучением и разработкой «устойчивых к несоответствиям» систем логики, намеренно исключая принцип взрыва .

Логики, устойчивые к непоследовательности, обсуждаются по крайней мере с 1910 года (а возможно, и гораздо раньше, например, в трудах Аристотеля ); ^[1] однако термин «паранепротиворечивый» («вне непротиворечивого») был впервые введен в 1976 году перуанским философом Франсиско Миро Кесадой Кантуариасом . ^[2] Изучение паранепротиворечивой логики получило название «паранепротиворечивость» , ^[3] что охватывает школу диалетеизма .

Определение

В классической логике (а также в интуиционистской логике и большинстве других логик) противоречия влекут за собой все. Эта особенность, известная как принцип взрыва или ex contraste sequitur quodlibet ( лат . «из противоречия следует все») ^[4], может быть формально выражена как

Что означает: если P и его отрицание ¬ P оба предполагаются истинными, то из двух утверждений P и (некоторое произвольное) A , по крайней мере одно истинно. Следовательно, P или A истинно. Однако, если мы знаем, что P или A истинно, а также что P ложно (что ¬ P истинно), мы можем заключить, что A , которое может быть чем угодно, истинно. Таким образом, если теория содержит единственное противоречие, то теория тривиальна — то есть каждое ее предложение является теоремой.

Характерной или определяющей чертой паранепротиворечивой логики является то, что она отвергает принцип взрыва. В результате паранепротиворечивые логики, в отличие от классических и других логик, могут быть использованы для формализации противоречивых, но нетривиальных теорий.

Сравнение с классической логикой

Отношения вывода паранепротиворечивых логик пропозиционально слабее , чем в классической логике ; то есть они считают меньше пропозициональных выводов действительными. Дело в том, что паранепротиворечивая логика никогда не может быть пропозициональным расширением классической логики, то есть пропозиционально подтверждать каждое вывод, которое делает классическая логика. В некотором смысле, тогда, паранепротиворечивая логика более консервативна или осторожна, чем классическая логика. Именно из-за такой консервативности паранепротиворечивые языки могут быть более выразительными , чем их классические аналоги, включая иерархию метаязыков, созданную Альфредом Тарским и другими. По словам Соломона Фефермана : «естественный язык изобилует прямо или косвенно самореферентными, но, по-видимому, безвредными выражениями — все из которых исключены из структуры Тарского». ^[5] Это выразительное ограничение может быть преодолено в паранепротиворечивой логике.

Мотивация

Основной мотивацией паранепротиворечивой логики является убеждение, что должно быть возможно рассуждать с противоречивой информацией контролируемым и различающим образом. Принцип взрыва исключает это, и поэтому должен быть отброшен. В непаранепротиворечивых логиках существует только одна противоречивая теория: тривиальная теория, в которой каждое предложение является теоремой. Паранепротиворечивая логика позволяет различать противоречивые теории и рассуждать с ними.

Исследования паранепротиворечивой логики также привели к созданию философской школы диалетеизма (наиболее известной из которых является Грэм Прист ), которая утверждает, что истинные противоречия существуют в реальности, например, группы людей, придерживающиеся противоположных взглядов по различным моральным вопросам. ^[6] Быть диалетеистом рационально обязывает человека придерживаться некоторой формы паранепротиворечивой логики, под страхом принятия тривиализма , т. е. признания того, что все противоречия (и, соответственно, все утверждения) являются истинными. ^[7] Однако изучение паранепротиворечивой логики не обязательно влечет за собой диалетеистическую точку зрения. Например, не нужно признавать существование истинных теорий или истинных противоречий, а предпочесть более слабый стандарт, такой как эмпирическая адекватность , как предложил Бас ван Фраассен . ^[8]

Философия

В классической логике три закона Аристотеля, а именно, исключенное третье ( p или ¬ p ), непротиворечивость ¬ ( p ∧ ¬ p ) и тождественность ( p iff p ), рассматриваются как одно и то же из-за взаимоопределения связок. Более того, традиционно противоречивость (наличие противоречий в теории или в совокупности знаний) и тривиальность (тот факт, что такая теория влечет за собой все возможные последствия) предполагаются неразделимыми, при условии, что отрицание доступно. Эти взгляды могут быть философски оспорены именно на том основании, что они не различают противоречивость и другие формы непоследовательности.

С другой стороны, можно вывести тривиальность из «конфликта» между согласованностью и противоречиями, как только эти понятия будут правильно различены. Сами понятия согласованности и непоследовательности могут быть далее интернализированы на уровне объектного языка.

Компромиссы

Параконсистентность подразумевает компромиссы. В частности, отказ от принципа взрыва требует отказа по крайней мере от одного из следующих двух принципов: ^[9]

Оба эти принципа были подвергнуты сомнению.

Один из подходов заключается в том, чтобы отвергнуть введение дизъюнкции, но сохранить дизъюнктивный силлогизм и транзитивность. При таком подходе правила естественной дедукции сохраняются, за исключением введения дизъюнкции и исключенного третьего ; более того, вывод A⊢B не обязательно означает вывод A⇒B. Кроме того, сохраняются следующие обычные булевы свойства: двойное отрицание , а также выводы ассоциативности , коммутативности , дистрибутивности , Де Моргана и идемпотентности (для конъюнкции и дизъюнкции). Кроме того, для вывода справедливо доказательство отрицания, устойчивое к противоречиям: (A⇒(B∧¬B))⊢¬A.

Другой подход заключается в том, чтобы отвергнуть дизъюнктивный силлогизм. С точки зрения диалетеизма , совершенно логично, что дизъюнктивный силлогизм должен потерпеть неудачу. Идея этого силлогизма заключается в том, что если ¬ A , то A исключается, а B может быть выведено из A ∨ B . Однако, если A может иметь место так же, как и ¬A , то аргумент в пользу вывода ослабевает.

Еще один подход заключается в том, чтобы делать и то, и другое одновременно. Во многих системах релевантной логики , а также линейной логики , есть две отдельные дизъюнктивные связки. Одна допускает введение дизъюнкции, а другая допускает дизъюнктивный силлогизм. Конечно, это имеет недостатки, вытекающие из отдельных дизъюнктивных связок, включая путаницу между ними и сложность в их соотнесении.

Более того, правило доказательства отрицания (ниже) само по себе является неустойчивым в том смысле, что отрицание любого предложения может быть доказано из противоречия.

Строго говоря, наличие только правила выше является паранепротиворечивым, поскольку не каждое предложение может быть доказано из противоречия. Однако, если также добавить правило устранения двойного отрицания ( ), то каждое предложение может быть доказано из противоречия. Устранение двойного отрицания не выполняется для интуиционистской логики . ${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$

Логика парадокса

Одним из примеров паранепротиворечивой логики является система, известная как LP (« Логика парадокса »), впервые предложенная аргентинским логиком Флоренсио Гонсалесом Асенхо в 1966 году и позднее популяризированная Пристом и другими. ^[10]

Один из способов представления семантики LP — заменить обычную функциональную оценку реляционной . [ ^11] Бинарное отношение связывает формулу со значением истинности : означает, что это истинно, и означает, что это ложно. Формуле должно быть присвоено по крайней мере одно значение истинности, но нет требования, чтобы ей было присвоено не более одного значения истинности. Семантические предложения для отрицания и дизъюнкции даны следующим образом: ${\displaystyle V\,}$ ${\displaystyle V(A,1)\,}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle V(A,0)\,}$ ${\displaystyle A\,}$

• ${\displaystyle V(\neg A,1)\Leftrightarrow V(A,0)}$
• ${\displaystyle V(\neg A,0)\Leftrightarrow V(A,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,1)\Leftrightarrow V(A,1){\text{ or }}V(B,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,0)\Leftrightarrow V(A,0){\text{ and }}V(B,0)}$

(Другие логические связки определяются, как обычно, в терминах отрицания и дизъюнкции.) Или, выражаясь менее символически:

• не А истинно тогда и только тогда, когда А ложно
• не А ложно тогда и только тогда, когда А истинно
• A или B истинно тогда и только тогда, когда A истинно или B истинно
• A или B ложны тогда и только тогда, когда A ложны и B ложны

(Семантическое) логическое следствие тогда определяется как сохранение истины:

${\displaystyle \Gamma \vDash A}$тогда и только тогда, когда истинно, когда каждый элемент истинен. ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle \Gamma \,}$

Теперь рассмотрим оценку, такую ​​что и , но это не тот случай, когда . Легко проверить, что эта оценка представляет собой контрпример как к взрывному, так и к дизъюнктивному силлогизму. Однако это также контрпример к modus ponens для материального условного предложения LP. По этой причине сторонники LP обычно выступают за расширение системы, чтобы включить более сильную условную связку, которая не определяется в терминах отрицания и дизъюнкции. ^[12] ${\displaystyle V\,}$ ${\displaystyle V(A,1)\,}$ ${\displaystyle V(A,0)\,}$ ${\displaystyle V(B,1)\,}$

Как можно убедиться, LP сохраняет большинство других шаблонов вывода, которые можно было бы считать действительными, например, законы Де Моргана и обычные правила введения и исключения для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Удивительно, но логические истины (или тавтологии ) LP в точности совпадают с истинами классической пропозициональной логики. ^[13] (LP и классическая логика отличаются только выводами, которые они считают действительными.) Ослабление требования, чтобы каждая формула была либо истинной, либо ложной, приводит к более слабой паранепротиворечивой логике, обычно известной как вывод первой степени (FDE). В отличие от LP, FDE не содержит логических истин.

LP — это лишь одна из многих предложенных паранепротиворечивых логик. ^[14] Здесь она представлена ​​лишь как иллюстрация того, как может работать паранепротиворечивая логика.

Отношение к другим логикам

Одним из важных типов параконсистентной логики является релевантная логика . Логика является релевантной, если она удовлетворяет следующему условию:

если A → B — теорема, то A и B имеют общую нелогическую константу .

Из этого следует, что логика релевантности не может иметь ( p ∧ ¬ p ) → q в качестве теоремы и, таким образом (при разумных предположениях), не может подтвердить вывод из { p , ¬ p } в q .

Паранепротиворечивая логика имеет значительное совпадение с многозначной логикой ; однако, не все паранепротиворечивые логики являются многозначными (и, конечно, не все многозначные логики являются паранепротиворечивыми). Диалетейские логики , которые также являются многозначными, являются паранепротиворечивыми, но обратное не выполняется. Идеальная 3-значная паранепротиворечивая логика, приведенная ниже, становится логикой RM3 при добавлении контрапозиции.

Интуиционистская логика допускает, чтобы A ∨ ¬ A не было эквивалентно истине, в то время как паранепротиворечивая логика допускает, чтобы A ∧ ¬ A не было эквивалентно ложности. Таким образом, кажется естественным рассматривать паранепротиворечивую логику как « дуал » интуиционистской логики. Однако интуиционистская логика — это конкретная логическая система, тогда как паранепротиворечивая логика охватывает большой класс систем. Соответственно, дуальное понятие паранепротиворечивости называется параполнотой , а «дуал» интуиционистской логики (конкретная параполная логика) — это конкретная паранепротиворечивая система, называемая антиинтуиционистской или дуально-интуиционистской логикой (иногда называемой бразильской логикой по историческим причинам). ^[15] Двойственность между двумя системами лучше всего видна в рамках секвенциального исчисления . В то время как в интуиционистской логике секвенциальная

${\displaystyle \vdash A\lor \neg A}$

невыводимо в дуально-интуиционистской логике

${\displaystyle A\land \neg A\vdash }$

не выводимо ^{[ требуется ссылка ]} . Аналогично, в интуиционистской логике секвенция

${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$

невыводим, тогда как в дуально-интуиционистской логике

${\displaystyle A\vdash \neg \neg A}$

не выводим. Дуально-интуиционистская логика содержит связку #, известную как псевдоразность , которая является дуальной интуиционистской импликации. Очень вольно, A # B можно прочитать как " A , но не B ". Однако, # не является истинностно-функциональным , как можно было бы ожидать от оператора 'но не'; аналогично, интуиционистский оператор импликации не может рассматриваться как " ¬ ( A ∧ ¬ B ) ". Дуально-интуиционистская логика также имеет базовую связку ⊤, которая является дуальной интуиционистской ⊥: отрицание можно определить как ¬ A = (⊤ # A )

Полное описание дуальности паранепротиворечивой и интуиционистской логики, включая объяснение того, почему дуально-интуиционистская и паранепротиворечивая логика не совпадают, можно найти в работе Бруннера и Карниелли (2005).

Эти другие логики избегают взрыва: импликативный пропозициональный исчисление , позитивный пропозициональный исчисление , эквивалентный исчисление и минимальная логика . Последняя, ​​минимальная логика, является как паранепротиворечивой, так и параполной (подсистема интуиционистской логики). Остальные три просто не позволяют выразить противоречие изначально, поскольку у них отсутствует способность формировать отрицания.

Идеальная трехзначная паранепротиворечивая логика

Вот пример трехзначной логики , которая является паранепротиворечивой и идеальной , как определено в «Идеальной паранепротиворечивой логике» О. Ариели, А. Аврона и А. Заманского, особенно на страницах 22–23. ^[16] Три значения истинности: t (только истина), b (и истина, и ложь) и f (только ложь).

Формула истинна, если ее истинностное значение равно t или b для используемой оценки. Формула является тавтологией паранепротиворечивой логики, если она истинна в каждой оценке, которая отображает атомарные предложения в { t , b , f }. Каждая тавтология паранепротиворечивой логики также является тавтологией классической логики. Для оценки множество истинных формул замкнуто относительно modus ponens и теоремы о дедукции . Любая тавтология классической логики, которая не содержит отрицаний, также является тавтологией паранепротиворечивой логики (путем слияния b с t ). Эту логику иногда называют «Pac» или «LFI1».

Включено

Вот некоторые тавтологии паранепротиворечивой логики:

• Все схемы аксиом для паранепротиворечивой логики:

${\displaystyle P\to (Q\to P)}$** для теоремы о дедукции и ?→{ t , b } = { t , b }

${\displaystyle (P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$** для теоремы о дедукции (примечание: { t , b }→{ f } = { f } следует из теоремы о дедукции)

${\displaystyle \lnot (P\to Q)\to P}$** { ф }→? = { т }

${\displaystyle \lnot (P\to Q)\to \lnot Q}$** ?→{ т } = { т }

${\displaystyle P\to (\lnot Q\to \lnot (P\to Q))}$** { т , б }→{ б , ж } = { б , ж }

${\displaystyle \lnot \lnot P\to P}$** ~{ ф } = { т }

${\displaystyle P\to \lnot \lnot P}$** ~{ t , b } = { b , f } (примечание: ~{ t } = { f } и ~{ b , f } = { t , b } следуют из способа кодирования истинностных значений)

${\displaystyle P\to (P\lor Q)}$** { т , б }v? = { т , б }

${\displaystyle Q\to (P\lor Q)}$** ?v{ т , б } = { т , б }

${\displaystyle \lnot (P\lor Q)\to \lnot P}$** { т }в? = { т }

${\displaystyle \lnot (P\lor Q)\to \lnot Q}$** ?v{ т } = { т }

${\displaystyle (P\to R)\to ((Q\to R)\to ((P\lor Q)\to R))}$** { ф }v{ ф } = { ф }

${\displaystyle \lnot P\to (\lnot Q\to \lnot (P\lor Q))}$** { б , ф }v{ б , ф } = { б , ф }

${\displaystyle (P\land Q)\to P}$** { ф }&? = { ф }

${\displaystyle (P\land Q)\to Q}$** ?&{ ф } = { ф }

${\displaystyle \lnot P\to \lnot (P\land Q)}$** { б , ф }&? = { б . ф }

${\displaystyle \lnot Q\to \lnot (P\land Q)}$** ?&{ б , ж } = { б , ж }

${\displaystyle (\lnot P\to R)\to ((\lnot Q\to R)\to (\lnot (P\land Q)\to R))}$** { т }&{ т } = { т }

${\displaystyle P\to (Q\to (P\land Q))}$** { т , б }&{ т , б } = { т , б }

${\displaystyle (P\to Q)\to ((\lnot P\to Q)\to Q)}$** ? — это объединение { t , b } с { b , f }

• Некоторые другие схемы теорем:

${\displaystyle P\to P}$

${\displaystyle (\lnot P\to P)\to P}$

${\displaystyle ((P\to Q)\to P)\to P}$

${\displaystyle P\lor \lnot P}$

${\displaystyle \lnot (P\land \lnot P)}$

${\displaystyle (\lnot P\to Q)\to (P\lor Q)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to Q)\to Q)\to (((P\land \lnot P)\to Q)\to (P\to Q))}$** каждое истинностное значение равно t , b или f .

${\displaystyle ((P\to Q)\to R)\to (Q\to R)}$

Исключено

Вот некоторые тавтологии классической логики, которые не являются тавтологиями паранепротиворечивой логики:

${\displaystyle \lnot P\to (P\to Q)}$** нет взрыва в паранепротиворечивой логике

${\displaystyle (\lnot P\to Q)\to ((\lnot P\to \lnot Q)\to P)}$

${\displaystyle (P\to Q)\to ((P\to \lnot Q)\to \lnot P)}$

${\displaystyle (P\lor Q)\to (\lnot P\to Q)}$** дизъюнктивный силлогизм не работает в паранепротиворечивой логике

${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)}$** контрапозитив не выполняется в паранепротиворечивой логике

${\displaystyle (\lnot P\to \lnot Q)\to (Q\to P)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to Q)\to Q)\to (P\to Q)}$

${\displaystyle (P\land \lnot P)\to (Q\land \lnot Q)}$** не все противоречия эквивалентны в паранепротиворечивой логике

${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to (P\to R))}$

${\displaystyle ((P\to Q)\to R)\to (\lnot P\to R)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to R)\to R)\to (((P\to Q)\to R)\to R)}$** контрфактуально для { b , f }→? = { t , b } (несовместимо с b → f = f )

Стратегия

Предположим, что мы сталкиваемся с противоречивым набором посылок Γ и хотим избежать сведения к тривиальности. В классической логике единственный метод, который можно использовать, — это отвергнуть одну или несколько посылок в Γ. В паранепротиворечивой логике мы можем попытаться разделить противоречие. То есть ослабить логику так, чтобы Γ→ X больше не было тавтологией при условии, что пропозициональная переменная X не появляется в Γ. Однако мы не хотим ослаблять логику больше, чем это необходимо для этой цели. Поэтому мы хотим сохранить modus ponens и теорему о дедукции, а также аксиомы, которые являются правилами введения и исключения для логических связок (где это возможно).

Для этого мы добавляем третье истинностное значение b , которое будет использоваться в отсеке, содержащем противоречие. Мы делаем b фиксированной точкой всех логических связок.

${\displaystyle b=\lnot b=(b\to b)=(b\lor b)=(b\land b)}$

Мы должны сделать b своего рода истиной (в дополнение к t ), потому что в противном случае не было бы вообще никаких тавтологий.

Чтобы гарантировать, что modus ponens работает, мы должны иметь

${\displaystyle (b\to f)=f,}$

то есть, чтобы гарантировать, что истинная гипотеза и истинная импликация приводят к истинному заключению, мы должны иметь, что ложное ( f ) заключение и истинная ( t или b ) гипотеза приводят к ложному импликации.

Если всем пропозициональным переменным в Γ присвоить значение b , то сама Γ будет иметь значение b . Если мы придадим X значение f , то

${\displaystyle (\Gamma \to X)=(b\to f)=f}$.

Поэтому Γ→ X не будет тавтологией.

Ограничения: (1) Не должно быть констант для значений истинности, потому что это противоречило бы цели паранепротиворечивой логики. Наличие b изменило бы язык по сравнению с классической логикой. Наличие t или f снова позволило бы взрыв, потому что

${\displaystyle \lnot t\to X}$или ${\displaystyle f\to X}$

были бы тавтологиями. Обратите внимание, что b не является неподвижной точкой этих констант, поскольку b ≠ t и b ≠ f .

(2) Способность этой логики содержать противоречия применима только к противоречиям между частными посылками, а не к противоречиям между схемами аксиом.

(3) Утрата дизъюнктивного силлогизма может привести к недостаточной приверженности разработке «правильной» альтернативы, что может нанести ущерб математике.

(4) Чтобы установить, что формула Γ эквивалентна Δ в том смысле, что любая из них может быть заменена другой везде, где они появляются в качестве подформулы, нужно показать,

${\displaystyle (\Gamma \to \Delta )\land (\Delta \to \Gamma )\land (\lnot \Gamma \to \lnot \Delta )\land (\lnot \Delta \to \lnot \Gamma )}$.

Это сложнее, чем в классической логике, поскольку контрапозиции не обязательно следуют друг за другом.

Приложения

Паранепротиворечивая логика применялась как средство управления несогласованностью во многих областях, включая: ^[17]

• Семантика : Параконсистентная логика была предложена как средство предоставления простого и интуитивно понятного формального описания истины , которое не становится жертвой парадоксов, таких как Лжец . Однако такие системы должны также избегать парадокса Карри , который гораздо сложнее, поскольку по сути не подразумевает отрицания.
• Теория множеств и основы математики
• Эпистемология и пересмотр убеждений : паранепротиворечивая логика была предложена как средство обоснования и пересмотра противоречивых теорий и систем убеждений.
• Управление знаниями и искусственный интеллект : Некоторые специалисты по информатике использовали параконсистентную логику как средство изящного обращения с непоследовательной ^[18] или противоречивой ^[19] информацией. Математическая структура и правила параконсистентной логики были предложены в качестве функции активации искусственного нейрона для построения нейронной сети для аппроксимации функций , идентификации моделей и управления с успехом. ^[20]
• Деонтическая логика и метаэтика : паранепротиворечивая логика была предложена как средство решения этических и других нормативных конфликтов.
• Программная инженерия : Паранепротиворечивая логика была предложена как средство для решения широко распространенных несоответствий между документацией , вариантами использования и кодом больших программных систем . ^{[21] [22] [23]}
• Экспертная система . Алгоритм параанализатора, основанный на параконсистентной аннотированной логике с 2-значными аннотациями (PAL2v), также называемый параконсистентной аннотированной доказательной логикой (PAL E t), полученный из параконсистентной логики, использовался в системах принятия решений, например, для поддержки медицинской диагностики. ^[24]
• В электронике обычно используется четырехзначная логика , где «высокое сопротивление (z)» и «безразлично (x)» играют те же роли, что и «не знаю» и «и правда, и ложь» соответственно, в дополнение к «истина» и «ложь». Эта логика была разработана независимо от философской логики.
• Система управления : Модель эталонного управления, созданная с помощью рекуррентной параконсистентной нейронной сети для вращающегося перевернутого маятника, продемонстрировала большую надежность и меньшие усилия по управлению по сравнению с классическим хорошо настроенным контроллером размещения полюсов. ^[25]
• Цифровой фильтр : алгоритм фильтра PAL2v, использующий параконсистентную искусственную нейронную ячейку обучения путем извлечения от противного (PANLctx) в составе параконсистентной аналитической сети (PANnet), основанной на правилах и уравнениях PAL2V, может использоваться в качестве оценщика, усреднителя, фильтра и обработки сигналов для промышленной автоматизации и робототехники. ^{[26] [27] [28]}
• Извлекатель противоречий . Рекуррентный алгоритм, основанный на правилах и уравнениях PAL2v, использовался для извлечения противоречий в наборе статистических данных. ^[29]
• Квантовая физика
• Физика черной дыры
• излучение Хокинга
• Квантовые вычисления
• Спинтроника
• Квантовая запутанность
• Квантовая связь
• Принцип неопределенности

Критика

Логика, как она понимается в классическом смысле, основывается на трех основных правилах ( законах мышления ): законе тождества ( ЗТ ), законе непротиворечивости ( ЗН ) и законе исключенного третьего ( ЗИ ). Паранепротиворечивая логика отличается от классической логики, отказываясь принимать ЗН . Однако ЗН можно рассматривать как тесно взаимосвязанный как с ЗТ, так и с ЗН :

   LoI утверждает, что A есть A ( A ≡ A ). Это означает, что A отличается от своей противоположности или отрицания ( not A или ¬ A ). В классической логике это различие поддерживается тем фактом, что когда A истинно, его противоположность не является таковой. Однако без LNC и A , и not A могут быть истинными ( A ∧¬ A ), что размывает их различие. А без различия становится сложно определить идентичность. Таким образом, отбрасывание LNC также сопряжено с риском устранения LoI .

   LEM утверждает, что либо A , либо не A являются истинными ( A ∨¬ A ). Однако без LNC и A , и не A могут быть истинными ( A ∧¬ A ). Таким образом, отбрасывание LNC также влечет за собой риск устранения LEM

Следовательно, неосторожное отбрасывание LNC рискует также потерять как LOI , так и LEM . И отбрасывание всех трех классических законов не просто меняет вид логики — оно оставляет нас вообще без какой-либо функциональной системы логики. Потеря всей логики исключает возможность структурированного рассуждения. Поэтому неосторожная паранепротиворечивая логика может рисковать неодобрением любых средств мышления, кроме хаоса. Паранепротиворечивая логика стремится избежать этой опасности, используя осторожные и точные технические определения. Как следствие, большая часть критики паранепротиворечивой логики также имеет тенденцию быть весьма технической по своей природе (например, окружающие вопросы, такие как может ли парадокс быть истинным).

Однако даже на высокотехническом уровне паранепротиворечивая логика может быть сложной для аргументации. Очевидно, что паранепротиворечивая логика приводит к противоречиям. Однако паранепротиворечивый логик принимает противоречия, включая любые противоречия, которые являются частью или результатом паранепротиворечивой логики. Как следствие, большая часть критики была сосредоточена на применимости и сравнительной эффективности паранепротиворечивой логики. Это важный спор, поскольку принятие паранепротиворечивой логики сопряжено с риском потери большого количества теорем , которые составляют основу математики и физики .

Логик Стюарт Шапиро стремился привести доводы в пользу паранепротиворечивой логики как части своего аргумента в пользу плюралистического взгляда на логику (взгляда, что различные логики одинаково уместны или одинаково правильны). Он обнаружил, что можно привести доводы о том, что либо интуитоническая логика как «Единая истинная логика», либо плюрализм интуитонической логики и классической логики интересны и плодотворны. Однако, когда дело доходит до паранепротиворечивой логики, он не нашел «примеров, которые были бы ... убедительны (по крайней мере для меня)». ^[30]

В статье «Спасение истины от парадокса» Хартри Филд рассматривает ценность паранепротиворечивой логики как решения парадокса . ^[31] Филд выступает за точку зрения, которая избегает как избытка истины (где утверждение может быть как истинным, так и ложным), так и пробелов истины (где утверждение не является ни истинным, ни ложным). Одной из проблем Филда является проблема паранепротиворечивой метатеории : если сама логика позволяет противоречиям быть истинными, то метатеория, которая описывает или управляет логикой, также должна быть паранепротиворечивой. Если метатеория паранепротиворечива, то обоснование логики (почему мы должны ее принять) может быть сомнительным, потому что любой аргумент, сделанный в рамках паранепротиворечивой структуры, потенциально может быть как действительным, так и недействительным. Это создает проблему для сторонников паранепротиворечивой логики, чтобы объяснить, как их логика может быть оправдана, не впадая в парадокс или не теряя объяснительной силы. Стюарт Шапиро выразил схожие опасения: «существуют определенные понятия и концепции, которые диалетеист использует (неформально), но которые он не может адекватно выразить, если метатеория не является (полностью) последовательной. Настойчивое требование последовательной метатеории подорвет ключевой аспект диалетеизма» ^[32]

В своей книге «В противоречии», в которой приводятся доводы в пользу паранепротиворечивого диалетеизма, Грэм Прист признает метатеоретические трудности: «Существует ли метатеория для паранепротиворечивой логики, которая приемлема в паранепротиворечивых терминах? Ответ на этот вопрос вовсе не очевиден». ^[33]

Литтманн и Кит Симмонс утверждали, что теория диалетеизма непонятна: «Как только мы осознаем, что теория включает в себя не только утверждение «(L) является одновременно истинным и ложным», но и утверждение «(L) не является одновременно истинным и ложным», мы можем почувствовать себя в растерянности». ^[34]

Некоторые философы выступают против диалетеизма на том основании, что контринтуитивность отказа от любого из трех вышеперечисленных принципов перевешивает любую контринтуитивность, которую может иметь принцип взрыва.

Другие, такие как Дэвид Льюис , возражали против паранепротиворечивой логики на том основании, что утверждение и его отрицание просто не могут быть совместно истинными. ^[35] Связанное с этим возражение заключается в том, что «отрицание» в паранепротиворечивой логике на самом деле не является отрицанием ; это просто оператор формирования субпротивоположности . ^[36]

Альтернативы

Существуют подходы, которые позволяют разрешать противоречивые убеждения, не нарушая никаких интуитивных логических принципов. Большинство таких систем используют многозначную логику с байесовским выводом и теорией Демпстера-Шейфера , допуская, что ни одно нетавтологическое убеждение не является полностью (на 100%) неопровержимым, поскольку оно должно основываться на неполном, абстрактном, интерпретированном, вероятно неподтвержденном, потенциально неинформированном и, возможно, неверном знании (конечно, само это предположение, если оно нетавтологично, влечет за собой свою собственную опровержимость, если под «опровержимым» мы подразумеваем «не полностью [на 100%] неопровержимое»).

Известные деятели

Известные деятели в истории и/или современном развитии паранепротиворечивой логики включают в себя:

• Алан Росс Андерсон (США, 1925–1973). Один из основателей релевантной логики , разновидности паранепротиворечивой логики.
• Флоренсио Гонсалес Асенхо ( Аргентина , 1927-2013)
• Дидерик Батенс (Бельгия)
• Нуэль Белнап (США, р. 1930) разработал логические связки четырехзначной логики .
• Жан-Ив Безьо (Франция/Швейцария, р. 1965). Много писал об общих структурных особенностях и философских основах паранепротиворечивой логики.
• Росс Брэди (Австралия)
• Брайсон Браун (Канада)
• Уолтер Карниелли ( Бразилия ). Разработчик семантики возможных переводов , новой семантики, которая делает паранепротиворечивую логику применимой и философски понимаемой.
• Ньютон да Коста ( Бразилия , 1929-2024). Один из первых, кто разработал формальные системы паранепротиворечивой логики.
• Итала МЛ Д'Оттавиано ( Бразилия )
• Дж. Майкл Данн (США). Важная фигура в логике релевантности.
• Карл Хьюитт
• Станислав Яськовский ( Польша ). Один из первых, кто разработал формальные системы паранепротиворечивой логики.
• Р. Э. Дженнингс (Канада)
• Дэвид Келлог Льюис (США, 1941–2001). Явный критик паранепротиворечивой логики.
• Ян Лукасевич ( Польша , 1878–1956)
• Роберт К. Мейер (США/Австралия)
• Крис Мортенсен (Австралия). Много писал о паранепротиворечивой математике .
• Лоренцо Пенья (Испания, р. 1944). Разработал оригинальное направление параконсистентной логики, градуалистскую логику (также известную как транзитивная логика , ТЛ), родственную нечеткой логике .
• Вэл Пламвуд [ранее Раутли] (Австралия, р. 1939). Постоянный соавтор Сильвана.
• Грэм Прист (Австралия). Возможно, самый выдающийся сторонник паранепротиворечивой логики в современном мире.
• Франсиско Миро Кесада ( Перу ). Ввел термин «паранепротиворечивая логика» .
• Б. Х. Слейтер (Австралия). Еще один красноречивый критик паранепротиворечивой логики.
• Ричард Сильван [ранее Раутли] (Новая Зеландия/Австралия, 1935–1996). Важная фигура в логике релевантности и частый соавтор Пламвуда и Приста.
• Николай Александрович Васильев (Россия, 1880–1940). Впервые построил логику, терпимую к противоречиям (1910).

Смотрите также

• Философский портал

• Девиантная логика
• Формальная логика
• Вероятностная логика
• Интуиционистская логика
• Таблица логических символов

Примечания

1. "Paraconsistent Logic". Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 2015-12-11 . Получено 1 декабря 2015 .
2. Прист (2002), стр. 288 и §3.3.
3. Карниелли, В.; Родригес, А. «Эпистемический подход к паранепротиворечивости: логика доказательств и истины» Питтсбург
4. Карниелли, В. и Маркос, Дж. (2001) "Ex contraste non sequitur quodlibet" Архивировано 16 октября 2012 г. на Wayback Machine Proc. 2nd Conf. on Reasoning and Logic (Бухарест, июль 2000 г.)
5. Феферман, Соломон (1984). «К полезным теориям без типов, I». Журнал символической логики . 49 (1): 75–111. doi :10.2307/2274093. JSTOR  2274093. S2CID  10575304.
6. Дженнифер Фишер (2007). О философии логики. Cengage Learning. С. 132–134. ISBN 978-0-495-00888-0.
7. Грэм Прист (2007). «Параконсистенция и диалетеизм». В Дов М. Габбей; Джон Вудс (ред.). Многозначный и немонотонный поворот в логике . Elsevier. стр. 131. ISBN 978-0-444-51623-7.
8. Отавио Буэно (2010). «Философия логики». В Fritz Allhoff (ред.). Philosophies of the Sciences: A Guide . John Wiley & Sons. стр. 55. ISBN 978-1-4051-9995-7.
9. Подробнее об этом читайте в статье о принципе взрыва .
10. Прист (2002), стр. 306.
11. LP также обычно представляется как многозначная логика с тремя значениями истинности ( истина , ложь и оба ).
12. См., например, Priest (2002), §5.
13. См. Прист (2002), стр. 310.
14. Обзоры различных подходов к паранепротиворечивой логике можно найти в работах Бремера (2005) и Приста (2002), а большое семейство паранепротиворечивых логик подробно рассмотрено в работах Карниелли, Конгилио и Маркоса (2007).
15. См. Аояма (2004).
16. "Идеальные паранепротиворечивые логики" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2017-08-09 . Получено 2018-08-21 .
17. Большинство из них обсуждаются в работах Бремера (2005) и Приста (2002).
18. См., например, системы поддержания истины или статьи в Bertossi et al. (2004).
19. Гершенсон, К. (1999). Моделирование эмоций с помощью многомерной логики. В трудах 18-й Международной конференции Североамериканского общества обработки нечеткой информации (NAFIPS '99), стр. 42–46, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. IEEE Press. http://cogprints.org/1479/
20. де Карвалью-младший, А.; Хусто, Дж. Ф.; Анджелико, бакалавр; де Оливейра, AM; да Силва Фильо, JI (2021). «Идентификация вращающегося перевернутого маятника для управления парасогласованной нейронной сетью». Доступ IEEE . 9 : 74155–74167. Бибкод : 2021IEEA...974155D. дои : 10.1109/ACCESS.2021.3080176 . ISSN  2169-3536.
21. Хьюитт (2008b)
22. Хьюитт (2008a)
23. Карл Хьюитт. «Формализация рассуждений здравого смысла для масштабируемой несогласованности-устойчивой координации информации с использованием прямого логического рассуждения и модели актора». в т. 52 « Исследований по логике» . Колледжские публикации. ISBN 1848901593. 2015. 
24. де Карвалью-младший, Арнальдо; Хусто, Жоао Франсиско; де Оливейра, Александр Манисоба; да Силва Фильо, Жоау Инасиу (1 января 2024 г.). «Всесторонний обзор паранепротиворечивой аннотированной доказательной логики: алгоритмы, приложения и перспективы». Инженерные применения искусственного интеллекта . 127 (Б): 107342. doi :10.1016/j.engappai.2023.107342. S2CID  264898768.
25. Карвальо, А.; Анжелико, БА; Хусто, ДЖФ; Оливейра, АМ; Силва, ДЖИД (2023). «Управление эталонной моделью с помощью рекуррентной нейронной сети, построенной с параконсистентными нейронами для отслеживания траектории вращающегося перевернутого маятника». Прикладные мягкие вычисления . 133 : 109927. doi : 10.1016/j.asoc.2022.109927. ISSN  1568-4946.
26. де Карвалью-младший, Арнальдо; Хусто, Жоао Франсиско; де Оливейра, Александр Манисоба; да Силва Фильо, Жоау Инасиу (1 января 2024 г.). «Всесторонний обзор паранепротиворечивой аннотированной доказательной логики: алгоритмы, приложения и перспективы». Инженерные применения искусственного интеллекта . 127 (Б): 107342. doi :10.1016/j.engappai.2023.107342. S2CID  264898768.
27. де Карвальо младший, Арнальдо; да Силва Фильо, Жоау Инасио; де Фрейтас Минич, Марсио; Матук, Густаво Р.; Кортес, Хайгор Миранда; Гарсия, Доротея Виланова; Тазинаффо, Пауло Марсело; Абэ, Джаир Миноро (2023). «Парасогласованная искусственная нейронная клетка обучения путем извлечения противоречий (PANCLCTX) с примерами применения». Достижения в области прикладной логики . Справочная библиотека интеллектуальных систем. Том. 243. стр. 63–79. дои : 10.1007/978-3-031-35759-6_5. ISBN 978-3-031-35758-9.
28. Карвальо, Арнальдо; Хусто, Жоау Ф.; Анхелико, Бруно А.; де Оливейра, Александр М.; да Силва Фильо, Жоау Инасио (22 октября 2022 г.). «Парасогласованная оценка состояния для управления маятником Фуруты». С.Н. Информатика . 4 (1). doi : 10.1007/s42979-022-01427-z. S2CID  253064746.
29. де Карвалью-младший, Арнальдо; Хусто, Жоао Франсиско; де Оливейра, Александр Манисоба; да Силва Фильо, Жоау Инасиу (1 января 2024 г.). «Всесторонний обзор паранепротиворечивой аннотированной доказательной логики: алгоритмы, приложения и перспективы». Инженерные применения искусственного интеллекта . 127 (Б): 107342. doi :10.1016/j.engappai.2023.107342. S2CID  264898768.
30. Шапиро, Стюарт (2014). Разновидности логики . Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. стр. 82. ISBN 978-0-19-882269-1.
31. Филд, Хартри (2008). Спасая истину от парадокса . Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923074-7.
32. Шапиро, Стюарт (2004). Прист, Грэм; Билл, Дж. К.; Армор-Гарб, Брэдли (ред.). Простая истина, противоречие, последовательность . Нью-Йорк: Oxford University Press. стр. 338. ISBN 978-0-19-920419-9.
33. Прист, Грэм (1987). В противоречии. Исследование трансконсистентного . Нью-Йорк: Oxford University Press. стр. 258. ISBN 0-19-926330-2.
34. Литтманн, Грег; Симмонс, Кит (2004). Прист, Грэм; Билл, Дж. К.; Армор-Гарб, Брэдли (ред.). Критика диалетеизма . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 314–335. ISBN 978-0-19-920419-9.
35. См. Льюис (1982).
36. См. Слейтер (1995), Безьо (2000).

Ресурсы

• Жан-Ив Безио ; Уолтер Карниелли ; Дов Габбай , ред. (2007). Справочник по паранепротиворечивости . Лондон: Королевский колледж. ISBN 978-1-904987-73-4.
• Аояма, Хироши (2004). «LK, LJ, Двойственная интуиционистская логика и квантовая логика». Notre Dame Journal of Formal Logic . 45 (4): 193–213. doi : 10.1305/ndjfl/1099238445 .
• Бертосси, Леопольдо, ред. (2004). Устойчивость к несоответствиям . Берлин: Springer. ISBN 3-540-24260-0.
• Бруннер, Андреас и Карниелли, Уолтер (2005). «Антиинтуиционизм и паранепротиворечивость». Журнал прикладной логики . 3 (1): 161–184. doi : 10.1016/j.jal.2004.07.016 .
• Béziau, Jean-Yves (2000). «Что такое параконсистентная логика?». В D. Batens; et al. (ред.). Frontiers of Paraconsistent Logic . Baldock: Research Studies Press. стр. 95–111. ISBN 0-86380-253-2.
• Бремер, Мануэль (2005). Введение в паранепротиворечивую логику . Франкфурт: Peter Lang. ISBN 3-631-53413-2.
• Браун, Брайсон (2002). «О параконсистентности». В Dale Jacquette (ред.). A Companion to Philosophical Logic . Malden, Massachusetts: Blackwell Publishers. стр. 628–650. ISBN 0-631-21671-5.
• Карниелли, Вальтер; Конильо, Марсело Э.; Маркос, Дж. (2007). «Логика формальной несогласованности». В Д. Габбее ; Ф. Гюнтнере (ред.). Справочник по философской логике, том 14 (2-е изд.). Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . стр. 1–93. ISBN 978-1-4020-6323-7.
• Феферман, Соломон (1984). «К полезным теориям без типов, I». Журнал символической логики . 49 (1): 75–111. doi :10.2307/2274093. JSTOR  2274093. S2CID  10575304.
• Хьюитт, Карл (2008a). «Крупномасштабные организационные вычисления требуют нерасслоенного отражения и сильной паранепротиворечивости». В Хайме Сичмане; Пабло Норьеге; Джулиане Паджете; Саше Оссовски (ред.). Координация, организации, институты и нормы в агентных системах III . Конспект лекций по информатике. Том 4780. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-79003-7.
• Хьюитт, Карл (2008b). «Здравый смысл для параллелизма и устойчивости к несоответствиям с использованием Direct Logic и модели Actor». arXiv : 0812.4852 [cs.LO].
• Льюис, Дэвид (1998) [1982]. «Логика для двусмысленных». Статьи по философской логике . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 97–110. ISBN 0-521-58788-3.
• Пенья, Лоренцо (1996) [1996]. «Диалетеизм» Грэма Приста: истина ли она в целом?». Sorites . 7 : 28–56. hdl :10261/9714. Архивировано из оригинала 04.07.2011 . Получено 03.05.2009 .
• Прист, Грэм (2002). «Параконсистентная логика». В Д. Габбее ; Ф. Гюнтнере (ред.). Справочник по философской логике . Том 6 (2-е изд.). Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . стр. 287–393. ISBN 1-4020-0583-0.
• Прист, Грэм и Танака, Кодзи (2009) [1996]. «Параконсистентная логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 17 июня 2010 г.(Впервые опубликовано вт 24 сен 1996; существенная переработка впт 20 мар 2009)
• Слейтер, Б. Х. (1995). «Параконсистентные логики?». Журнал философской логики . 24 (4): 451–454. doi :10.1007/BF01048355. S2CID  12125719.
• Вудс, Джон (2003). Парадокс и паранепротиворечивость: разрешение конфликтов в абстрактных науках . Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-00934-0.
• De Carvalho, A.; Justo, JF; De Oliveira, AM; Da Silva Filho, JI (2024). «Всесторонний обзор паранепротиворечивой аннотированной доказательной логики: алгоритмы, приложения и перспективы». Инженерные приложения искусственного интеллекта . 127B : 107342. doi : 10.1016/j.engappai.2023.107342. ISSN  0952-1976.

Внешние ссылки

• «Параконсистентная логика». Интернет-энциклопедия философии .
• Залта, Эдвард Н. (ред.). «Параконсистентная логика». Стэнфордская энциклопедия философии .
• Залта, Эдвард Н. (ред.). «Непоследовательная математика». Стэнфордская энциклопедия философии .
• «Всемирный конгресс по параконсистентности, Гент, 1997 г., Жукей, 2000 г., Тулуза, 2003 г., Мельбурн, 2008 г., Калькутта, 2014 г.»
• Паранепротиворечивая логика первого порядка с бесконечной иерархией уровней противоречия LP#. Аксиоматическая система HST#, как паранепротиворечивое обобщение теории множеств Хрбачека HST
• О. Ариели, А. Аврон, А. Заманский, «Идеальные паранепротиворечивые логики»