Различие значений преобразований евклидова пространства
Геометрические преобразования можно разделить на два типа: активные преобразования или преобразования алиби , которые изменяют физическое положение набора точек относительно фиксированной системы отсчета или системы координат ( алиби означает «нахождение где-то в другом месте в одно и то же время»); и пассивные преобразования или преобразования псевдонимов , которые оставляют точки фиксированными, но меняют систему отсчета или систему координат, относительно которой они описаны ( псевдоним означает «переходить под другим именем»). [1] [ 2] Под преобразованием математики обычно подразумевают активные преобразования, тогда как физики и инженеры могут иметь в виду и то, и другое. [ нужна цитата ]
Например, активные преобразования полезны для описания последовательных положений твердого тела . С другой стороны, пассивные преобразования могут быть полезны при анализе движений человека, чтобы наблюдать движение большеберцовой кости относительно бедренной кости , то есть ее движение относительно ( локальной ) системы координат, которая движется вместе с бедренной костью, а не (локальной) системой координат, которая движется вместе с бедренной костью. глобальная ) система координат, привязанная к полу. [2]
Пространственные преобразования в евклидовом пространстве R 3
В общем, пространственная трансформация может состоять из трансляции и линейной трансформации. Далее перевод будет опущен, а линейное преобразование будет представлено матрицей 3×3 .
Активная трансформация
В качестве активного преобразования преобразует исходный вектор в новый вектор .
Если рассматривать как новый базис , то координаты нового вектора в новом базисе такие же, как и в исходном базисе. Обратите внимание, что активные преобразования имеют смысл даже в качестве линейного преобразования в другое векторное пространство . Имеет смысл записывать новый вектор в базисе без штриха (как указано выше) только тогда, когда преобразование происходит из пространства в себя.
Пассивная трансформация
С другой стороны, если рассматривать как пассивное преобразование, исходный вектор остается неизменным, а система координат и ее базисные векторы преобразуются в противоположном направлении, то есть с помощью обратного преобразования . [4] Это дает новую систему координат XYZ с базисными векторами:
Новые координаты относительно новой системы координат XYZ определяются как:
Из этого уравнения видно, что новые координаты определяются выражением
Пассивное преобразование преобразует старые координаты в новые.
Обратите внимание на эквивалентность двух видов преобразований: координаты новой точки в активном преобразовании и новые координаты точки в пассивном преобразовании одинаковы, а именно
В абстрактных векторных пространствах
Различие между активными и пассивными преобразованиями можно увидеть математически, рассматривая абстрактные векторные пространства .
Зафиксируйте конечномерное векторное пространство над полем (думаемое как или ) и базис . Этот базис обеспечивает изоморфизм через отображение компонентов .
Активное преобразование тогда является эндоморфизмом на , то есть линейным отображением из в себя. При таком преобразовании вектор преобразуется как . Компоненты относительно базиса определяются уравнением . Затем компоненты преобразуются как .
Вместо этого пассивное преобразование является эндоморфизмом на . Это относится к компонентам: . При условии, что это обратимо, новый базис определяется путем запроса того , из которого может быть получено выражение .
Хотя пространства и изоморфны, они не канонически изоморфны. Тем не менее выбор базиса позволяет построить изоморфизм.
Как левые и правые действия
Часто ограничиваются случаем, когда отображения обратимы, так что активные преобразования представляют собой общую линейную группу преобразований, а пассивные преобразования — группу .
Тогда преобразования можно понимать как действия на пространстве оснований для . Активное преобразование отправляет базу . Тем временем пассивная трансформация отправляет базу .
Обратное пассивное преобразование гарантирует, что компоненты преобразуются одинаково при и . Таким образом, это дает резкое различие между активными и пассивными преобразованиями: активные преобразования действуют слева на основаниях, а пассивные преобразования действуют справа из-за обратного.
Это наблюдение становится более естественным, если рассматривать базисы как выбор изоморфизма . Пространство базисов эквивалентно пространству таких изоморфизмов, обозначаемому . Активные преобразования, обозначенные значком , действуют слева по композиции, тогда как пассивные преобразования, обозначенные значком, действуют справа по предварительной композиции.
Это превращает пространство оснований в лево - торсор и право -торсор.
С физической точки зрения активные преобразования можно охарактеризовать как преобразования физического пространства, тогда как пассивные преобразования характеризуются как избыточность в описании физического пространства. Это играет важную роль в математической калибровочной теории , где калибровочные преобразования математически описываются картами переходов, действующими справа на слоях.
^ Крампин, М.; Пирани, ФАЭ (1986). Применимая дифференциальная геометрия. Издательство Кембриджского университета. п. 22.
^ ab Джозеф К. Дэвидсон, Кеннет Хендерсон Хант (2004). «§4.4.1 Активная интерпретация и активное преобразование». Роботы и теория винтов: приложения кинематики и статики в робототехнике . Издательство Оксфордского университета. п. 74 и далее . ISBN0-19-856245-4.
^ Баргманн, Валентин (1957). «Относительность». Обзоры современной физики . 29 (2): 161–174. doi : 10.1103/RevModPhys.29.161.
^ Амидрор, Исаак (2007). «Приложение D: Замечание D.12». Теория явления Муара: Апериодические слои . Спрингер. п. 346. ИСБН978-1-4020-5457-0.